О необходимых условиях оптимальности первого порядка в задаче управления, описываемой системой интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2023 Управление, вычислительная техника и информатика № 64

Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ CONTROL OF DYNAMICAL SYSTEMS

Научная статья УДК 517.977

doi: 10.17223/19988605/64/1

О необходимых условиях оптимальности первого порядка в задаче управления, описываемой системой интегро-дифференциальных уравнений

дробного порядка

Жаля Билал кызы Ахмедова

Бакинский государственный университет, Баку, Азербайджан, Институт систем управления Министерства науки и образования Азербайджана, Баку, Азербайджан, [email protected]

Аннотация. Рассматривается задача оптимального управления для систем интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра с дробной производной Капуто. Функционал качества является функционалом терминального типа. Применяя аналог модифицированного метода приращений, установлено необходимое условие оптимальности первого порядка в форме принципа максимума Л.С. Понтрягина.

Ключевые слова: задача оптимального управления; функция Гамильтона-Понтрягина; принцип максимума; необходимое условие оптимальности; дробная производная Капуто.

Для цитирования: Ахмедова Ж.Б. О необходимых условиях оптимальности первого порядка в задаче управления, описываемой системой интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 64. С. 4-10. doi: 10.17223/19988605/64/1

Original article

doi: 10.17223/19988605/64/1

On necessary first-order optimality conditions in a control problem described by a system of fractional-order integro-differential equations

Zhala B. Ahmadova

Baku State University, Baku, Azerbaijan, Institute of Control Systems of the Ministry of Science and Education of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan, [email protected]

Abstract. The optimal control problem for systems of Volterra-type integro-differential equations with Caputo fractional derivative is considered. The quality functional is a functional of terminal type. Using an analogue of the modified increment method, a necessary first-order optimality condition is established in the form of the L.S. Pontryagin.

Keywords: optimal control problem; Hamilton-Pontryagin function; maximum principle; necessary optimality condition; fractional Caputo derivative.

For citation: Ahmadova, Z.B. (2023) On necessary first-order optimality conditions in a control problem described by a system of fractional-order integro-differential equations. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 64. pp. 4-10. doi: 10.17223/19988605/64/1

© Ж.Б. Ахмедова, 2023

Введение

Принцип максимума Л.С. Понтрягина, являясь одним из основных результатов теории необходимых условий оптимальности первого порядка, доказан для различных задач оптимального управления, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (см., напр.: [1-3]). В последние годы стали интенсивно изучаться задачи оптимального управления объектами, описываемые различными дифференциальными уравнениями с дробными производными (см., напр., [4-8]).

В [4] исследуется задача оптимального управления динамическими системами дробного порядка с использованием метода моментов.

В [5], применяя классическую теорию управления к дробно-дифференциальной системе в ограниченной области, рассмотрена дробная задача оптимального управления для дифференциальной системы с запаздыванием. Дробная производная по времени рассматривается в смысле Римана-Лиувилля. Изучены существование и единственность решения системы дробных дифференциалов с запаздыванием в гильбертовом пространстве. В работе также показано, что рассматриваемая задача оптимального управления имеет единственное решение.

Точное представление многих динамических систем приводит к набору дробных дифференциальных уравнений (ДДУ). В статье [6] представлены общая формулировка и схема решения класса дробных задач оптимального управления (ДЗОУ). Дробная производная используется в смысле Ри-мана-Лиувилля. Показатель эффективности ДДУ рассматривается как функция состояния и управляющих переменных, а динамические ограничения определяются набором ДДУ. Вариационное исчисление, множители Лагранжа и формулы дробного интегрирования по частям используются в задачах ДДУ для получения уравнений Эйлера-Лагранжа.

В работе [7] рассматривается задача оптимального управления для линейной стационарной динамической системы дробного порядка. Исследованы такие условия, при которых проблема моментов может быть поставлена и является разрешимой. Рассмотрены частные случаи (одномерная линейная стационарная система, двойной интегратор и маятник), для которых получены решения задачи и исследованы вопросы качественной динамики. Продемонстрирована возможность постановки и исследования задачи оптимального управления в форме обобщенной проблемы моментов для системы, описываемой уравнением переноса с производной дробного порядка по времени.

В [8] рассматривается новая общая формулировка дробных задач оптимального управления, показатель качества которых представлен в форме дробного интеграла, а динамика задается системой дробных дифференциальных уравнений в смысле Капуто. Использован новый подход для доказательства необходимых условий оптимальности в виде принципа максимума Понтрягина для дробно нелинейных задач оптимального управления.

В [9] исследована задача оптимального управления, описываемая интегро-дифференциальными уравнениями типа Вольтерра с дробной производной Капуто. В рассматриваемой задаче функционал качества является функционалом терминального типа. Установлен аналог принципа максимума Понтрягина.

В [10] рассматривается класс нелинейных фрактально-дробных задач оптимального управления в смысле Атанганы-Римана-Лиувилля с невырожденным ядром Миттаг-Леффлера. Предложен численный метод, основанный на обобщенных вейвлетах Лукаса и методе Ритца. В работе также показано преимущество предлагаемого метода на численных примерах.

Отметим также, что в работе [11] в отличие от нашей работы рассмотрена дискретная задача оптимального управления, в которой доказан дискретный аналог принципа максимума Л.С. Понтрягина.

В настоящей работе рассматриваются процессы, описываемые обыкновенными интегро-диффе-ренциальным уравнением типа Вольтерра дробного порядка. С помощью схемы, основанной на методе приращений, доказан аналог принципа максимума Л.С. Понтрягина.

1. Постановка задачи

Пусть управляемый процесс описывается дробной системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра

t

CDlа x(t) = J f(t, x, x(x), u(x))dx, t eT = [t0, tx ] (1)

t

с начальным условием

где

x(t0) = x0, (2)

Свах(*) =-1-1 х(х) йх, ае[0,1],

*0 * Г(1 -а) I (*-х)а 1 }

левая дробная производная Капуто [8, 12, 13], а - показывает степень дробной производной, C -означает дробную производную Капуто, Ь - начальная точка заданного отрезка, на котором задан управляемый непрерывный процесс, и(0 - г-мерная кусочно-непрерывная (с конечным числом точек разрыва первого рода) вектор-функция управляющих воздействий со значениями из заданного непустого и ограниченного множества, т.е.

и(*) еи с Яг, * е[*0, *1 ], (3)

(допустимое управление), xo - заданный постоянный вектор, /(*, х, х, и) - заданная «-мерная вектор-функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по х.

Рассмотрим задачу о минимизации терминального функционала

5 (и) = ф( х(*1)) (4)

при ограничениях (1)-(3). Здесь ф(х) - заданная непрерывно-дифференцируемая скалярная функция.

Допустимое управление и(0, доставляющее минимальное значение функционалу (4) при ограничениях (1)—(3), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (и(*), х(*)) - оптимальным процессом.

2. Формула приращения функционала качества

Пусть (и(), х(*)) и (и (*) = и(*) + Ди(*), X(*) = х(*) + Дх(*)) - два допустимых процесса.

Запишем приращение функционала качества

Д5 (и) = 5(и )- 5 (и) = ф(х (* ))-ф(х (* )) . (5)

Ясно, что приращение Дх(*) траектории х(*) является решением следующей задачи:

*

Сра Дх(*) = | [ / (*, х, х (х), и (х)) - / (*, х, х(х), и(х))] й х, (6)

*0

Дх(*о) = 0. (7)

Пусть у = у(*) - пока произвольная «-мерная вектор-функция. Умножая обе стороны уравнения (6) скалярно на у ( *) и интегрируя полученное соотношение по t на интервале от Ьо до Н, получим

|[/(*,х,х(х),и(х)) -/(*,х,х(х),и(х))]йх й*. (8)

if у'(t) C0D?Ax(t )dt = J у'(t)

По формуле интегрирования по частям для дробных производных (см., напр.: [12, 13]) и при начальном условии (7) имеем

* у'(*) СДаДх(* )й* = * *у' (* )Дх(* )й* +* /1-ау(*) Дх(* )|* =

*0 *0

t.

= / СБу '(г )Дх(г )йг '(г1)Лх(г1),

(9)

где ¡/]- а - правый интеграл Римана-Лиувилля [12, 13]. Используя формулу Фубини, можно записать

/у ()

i [ I (г, т, х (х), и (т)) - / (г, т, х(х), и(т)) ] й x

/у '(т) [I(X, г, X (г), и (г)) -I(т, г, х(г), и(г)) ] йт

йг =

йг.

(10)

Поэтому формулу приращения (5) функционала качества (4) можем записать следующим образом:

Ч

ДЯ (и ) = ф( X (г1 ))-ф(х (г1))+ / Соау '(г)Дх(г)йг +г /¡-ау '(ОМО -

/ у '(т) [I(X, г, X (г), и (г)) -I(т, г, х(г), и(г)) ] йт

йг.

Введем аналог функции Гамильтона-Понтрягина:

н (г, х(г), и(г), у(г)) = /у '(т) I (т, г, х(г), и(г))й т.

Тогда формулу (11) можно написать в виде:

ч

ДБ(и) = ф(X(^)) - ф(X(ь)) + / '(г)Дх(г)йг +,/¡"ау■(г1)Дх(г1>

г0

4 _ _

- / [ н (г, х (г), и (г), у(г)) - н (г, х(г), и (г), у (г)) ]йг. Используя формулу Тейлора (см. напр.: [13, 14]), из (12) получим

ДЯ ( и ) = -

Оф'(х(г,)) „ ч /„ „ ч||Ч , г1 „

Дх (г1) + о (||Дх (г1 )||)+, /1"ау '(ОДх^) + / С Б* у '(г)Дх(г)йг

ОХ г

- / [ н (г, х(г), и (г), у (г)) - н (г, х(г), и (г), у(г)) ]йг - /Он % х(гХ и(г), у(г)) М(г )йг -

Ох

г1

-I

¿п

Он (г, х(г), и (г), у(г)) Он (г, х(г), и(г), у(г))

Ох

Ох

Дх(г )йг - /о2 (II Дх (г )шг.

(11)

(12)

(13)

Здесь ||а|| есть норма вектора а = (а1,а2,...,ап)', определяемая формулой ||а|| = Х|аг-1, а о(а) - вели-

г=1

чина, имеющая более высокий порядок малости, чем а, т.е.

о(а)

а

0 при а ^ 0.

Пусть вектор-функция у(г) является решением следующей дробной системы интегро-дифференциальных уравнений:

с ^ а ^ = он (г, Х(г), и (г), у(г))

с начальным условием

г/?1-ау '(г1) = -

Ох

Оф(Х (г1))

Ох

(14)

(15)

г

0

г

Задачу (14), (15) назовем сопряженной системой для рассматриваемой задачи. Учитывая формулы (14) и (15), из (13) получим, что

Д5 ( и ) = -1 [ Н (*, х(*), и (*), у(*)) - Н (*, х(*), и(*), у(* ))]й* + о1 (|| Дх (*1 )||) -

г,,

_ (16) дН (*, х(*), и (*), у(*)) дН (*, х(*), и(*), у(*))

h

-I

in

dx dx

Ax(t)dt - J o2 (|| Ax (Olld•

3. Оценка нормы приращения траектории

Полученная формула приращения (16) позволяет доказать необходимое условие оптимальности. Для этого нам понадобится оценка нормы приращения Дх( *) траектории х( *) .

Из (6), (7), используя определение дробной производной Капуто, получаем, что

Дх( *) П /(х,х^и^ - /(х,^^ йзйх =

( ) Г(а) 10 (з -у)1-а

= ^11 (s - Y) [f(x, s, X(s),й(s)) - f (x, s, x(s),й(s)) +

r(a)toto

+ f (x, s, x(s), й (s)) - f (x, s, x(s), u(s))]dsd x = (17)

1 t x

= -— 11 (s - Y)a_1 [ f (x, s, x(s),й(s)) - f (x, s, x(s),й(s))]dsdx +

Г(а) to to

1 t x

+ 7Г— II (s - y)"-1 Auf (x, s, x(s), u(s))ds d x,

Г(а) to to

где по определению

Auf (x, s, x(s), M(s)) = f (x, s, x(s), й (s)) - f (x, s, x(s), u(s)). Так как в силу сделанных предположений функция f удовлетворяет условию Липшица по x, то, переходя к норме и используя условию Липшица, получаем, что

||Ax(t )|| < L J J (x - Y)"-11 |Ax(s)|| dsd x + J J (x - y)"-1 A„-f (x, s, x(s), u(s))dsd x, (18) Г(а) io x Г(а) io x

где Ц = const > o - некоторая постоянная.

Применяя аналог формулы Гронуолла-Беллмана [15], получим

1 11

II Ax(t)|| < L2 — J J(x - y)"-1 A„f (x, x(x),u(x))dsdx. (19)

Г(а) to x

где L2 = const > o - некоторая постоянная.

Пусть 9e[t0, ty) - произвольная точка непрерывности управляющей функции й (t), а е > 0 -произвольное малое число, такое что 9 + s< ^, v gU - произвольный вектор. Специальное приращение управления й(^) определим по формуле

й (t), t е[9,9 + s) g [to, t1 ] \ [9,9 + s)

Через Axe (t) обозначим специальное приращение траектории x(t), соответствующее специальному приращению игольчатой вариации (20) управления й^). Из неравенства (19) следует, что

IM t )||< L3S, (21)

где L3 = const > o - некоторая постоянная.

fv - й (t), t е [9,9 + s), Aus (t ) = J (), [, ), (20)

sw [o, t е [to, t1 ] \ [9,9 + s).

Принимая во внимание оценку (21) и формулу (20), из формулы приращения (16) на основании теоремы о среднем получаем справедливость разложения

Ч

ASs (u) = S(u + ДиЁ) - S(u) = - J [H(t, x(t),u(t) + ДиЁ (t), y(t)) - H(t, x(t),u(t), y(t))ty =

to

e+s

= - J [H(t,x(t),v,y(t)) -H(t,x(t),u(t),y(t))]dt + o(s) = (22)

e

= -s [ h (e, x(e), v, y(e)) - h (e, x(e), u(e), y(e))]+o(s).

Если предполагать, что u(t) - оптимальное управление, то из разложения (22) следует, что

н (e, x(e), v, y(e)) - h (e, x(e), u(e), y(e)) > o,

т.е.

max н (e, x(e), v, y(e))=н (e, x(e), u(e), y(e)) > o. (23)

veU

Следовательно, имеет место следующая теорема.

Теорема (принцип максимума Понтрягина). Для оптимальности допустимого управления u(t)

необходимо, чтобы условие максимума (23) выполнялось для всех v eU, e e [to, tx).

Доказанная теорема является аналогом принципа максимума Понтрягина в рассматриваемой задаче.

Заключение

В работе рассмотрена задача оптимального управления для объекта, описываемого интегро-дифференциальным уравнением типа Вольтерра с дробной производной Капуто. Минимизируемый критерий качества является функционалом терминального типа. Область управления - произвольное, непустое и ограниченное множество, а управляющая функция является кусочно-непрерывной (с конечным числом точек разрыва первого порядка) вектор-функцией. Используя введенную сопряженную систему, получена формула для приращения функционала качества. Установлен соответствующий аналог принципа максимума Понтрягина.

Список источников

1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М. : Изд-во МЦНМО, 2011. Кн. 2. 434 с.

2. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В. Методы оптимизации. Минск : Четыре четверти, 2011, 472 с.

3. Милютин А.А., Дмитрук А.В., Осмоловский Н.П. Принцип максимума в оптимальном управлении. M. : МГУ, 2004, 168 с.

4. Постнов С.С. Исследование задач оптимального управления динамическими системами дробного порядка методом мо-

ментов : автореферат дис. ... канд. физ.-мат. наук. М. : ИПУ РАН, 2015. 26 c.

5. Bahaa G.M. Fractional optimal control problem for differential system with delay argument // Advances in Difference Equations.

2017. № 1. P. 32-51.

6. Agrawal O.P. A General Formulation and Solution Scheme for Fractional Optimal Control Problems // Nonlinear Dynamics. 2004. V. 38. P. 323-337.

7. Кубышкин В.А., Постнов С.С. Оптимальное управление линейными динамическими системами нецелого порядка //

XII Всерос. совещание по проблемам управления - ВСПУ 2014. Москва, 16-19 июня. М., 2014. C. 2562-2573.

8. Ali H.M., Pereira F.L., Gama S.M.A. A new approach to the Pontryagin maximum principle for nonlinear fractional optimal

control problems // Mathematics. Optimization and Control. arXiv:1503.07720. 2015. pp. 1-17. doi: 10.1002/mma.3811

9. Мансимов К.Б., Ахмедова Ж.Б. Аналог принципа максимума Понтрягина в задаче оптимального управления системой

дифференциальных уравнений с дробной производной Капуто и многоточечным критерием качества // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2022. Вып. 3 (58). C. 5-10.

10. Sabermahani S., Ordokhani Y., Rahimkhani P. Application of generalized Lucas wavelet method for solving nonlinear fractal-fractional optimal control problems // Chaos, Solitons & Fractals. 2023. V. 170. Art. 113348. doi: 10.1016/j.chaos.2023.113348

11. Алиева С.Т. Принцип максимума Понтрягина для нелинейных разностных уравнений дробного порядка // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2021. № 54. C. 4-11.

12. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Fractional integrals and derivatives: Theory and applications. Yverdon ; Philadelphia, Pa : Gordon and Breach Science publishers. 1993. xxxvi, 976 p.

13. Usero D. Fractional Taylor series for Caputo fractional derivatives Construction of numerical schemes : preprint // Universidad Complutense. Informática. Madrid, 2008. 1-18 р. URL: http://www.fdi.ucm.es/profesor/lvazquez/calcfrac/docs/paper_usero.pdf

14. Odibat Z., Shawagfeh N. Generalized Taylor's formula // Appl. Math. Comput. 2007. V. 186. P. 286-293.

15. Lin S.Y. Generalized Gronwall inequalities and their applications to fractional differential equations // Journal of Inequalities and Applications. 2013. Art. 549. doi: 10.1186/1029-242X-2013-549

References

1. Vasiliev, F.P. (2011) Metody optimizatsii [Optimization Methods]. Vol. 2. Moscow: MTsNMO.

2. Gabasov, R., Kirillova, F.M. & Alsevich, V.V. (2011)Metody optimizatsii [Optimization Methods]. Minsk: Chetyre chetverti.

3. Milyutin, A.A., Dmitruk, A.V. & Osmolovsky, N.P. (2004) Printsip maksimuma v optimal'nom upravlenii [The maximum principle

in optimal control]. Moscow: MSU.

4. Postnov, S.S. (2015) Issledovanie zadach optimal'nogo upravleniya dinamicheskimi sistemami drobnogo poryadka metodom

momentov [Investigation of problems of optimal of dynamic systems of fractional order by the method of moments]. Abstract of Physics and Mathematics Cand. Diss. Moscow.

5. Bahaa, G.M. (2017) Fractional optimal control problem for differential system with delay argument. Advances in Difference

Equations. 1. pp. 32-51. DOI: 10.1186/s13662-017-1121-6

6. Agrawal, O.P. (2004) A General Formulation and Solution Scheme for Fractional Optimal Control Problems. Nonlinear Dynamics.

38. pp. 323-337. DOI: 10.1007/s11071-004-3764-6

7. Kubyshkin, V.A. & Postnov, S.S. (2014) Optimal'noe upravlenie lineynymi dinamicheskimi sistemami netselogo poryadka

[Optimal control of linear dynamical systems of non-integer order]. XII Vseros. soveshchaniepoproblemam upravleniya - VSPU 2014 [The 12th All-Russian meeting on control problems. VSPU-2014]. Moscow, June 16-19. pp. 2562-2573.

8. Ali, H.M., Pereira, F.L. & Gama, S.M.A. (2015) A new approach to the Pontryagin maximum principle for nonlinear fractional

optimal control problems. Mathematics. Optimization and Control. arXiv:1503.07720. pp. 1-17. https://doi.org/10.1002/mma.3811

9. Mansimov, K.B. & Akhmedova, Zh.B. (2022) An analogue of the Pontryagin maximum principle in the optimal control problem

for a system of differential equations with a fractional Caputo derivative and with a multipoint quality criterion. Vestnik Permskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika - Perm University Bulletin. Mathematics. Mechanics. Computer science. 3(58). pp. 5-10.

10. Sabermahani, S., Ordokhani, Y. & Rahimkhani, P. (2023) Application of generalized Lucas wavelet method for solving nonlinear fractal-fractional optimal control problems. Chaos, Solitons & Fractals. 170. Art. 113348. DOI: 10.1016/j.chaos.2023.113348

11. Alieva, S.T. (2021) The Pontryagin maximum principle for nonlinear fractional order difference equations. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel 'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 54. pp. 4-11. DOI: 10.17223/19988605/54/1

12. Samko, S.G., Kilbas, A.A. & Marichev, O.I. (1993) Fractional integrals and derivatives: Theory and applications. Yverdon, Switzerland: Gordon and Breach Science.

13. Usero, D. (2008) Fractional Taylor series for Caputo fractional derivatives Construction of numerical schemes. Preprint. Madrid. Spain. pp. 1-18. [Online] Available from: http://www.fdi.ucm.es/profesor/lvazquez/calcfrac/docs/paper_usero.pdf

14. Odibat, Z. & Shawagfeh, N. (2007) Generalized Taylor's formula. Applied Mathematics and Computation. 186. pp. 286-293. DOI: 10.1016/j.amc.2006.07.102

15. Lin, S.Y. (2013) Generalized Gronwall inequalities and their applications to fractional differential equations. Journal of Inequalities and Applications. Art. 549. DOI: 10.1186/1029-242X-2013-549

Информация об авторе:

Ахмедова Жаля Билал кызы - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математическая кибернетика» Бакинского государственного университета (Баку, Азербайджан); Институт систем управления Министерства науки и образования Азербайджана (Баку, Азербайджан). E-mail: [email protected]

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Information about the author:

Ahmadova Zhala B. (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematical Cybernetics, Baku State University, Baku, Azerbaijan; Institute of Control Systems of the Ministry of Science and Education of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan). E-mail: [email protected]

The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию 30.03.2023; принята к публикации 04.09.2023 Received 30.03.2023; accepted for publication 04.09.2023