Необходимые условия оптимальности первого и второго порядков в одной задаче оптимального управления с нетиповым критерием качества Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2023 Управление, вычислительная техника и информатика № 64

Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science

Научная статья

УДК 519.3. 62-50

doi: 10.17223/19988605/64/2

Необходимые условия оптимальности первого и второго порядков в одной задаче оптимального управления с нетиповым критерием качества

Камиль Байрамали оглы Мансимов1, Илаха Фирдовис кызы Нагиева2

12Бакинский государственный университет, Баку, Азербайджан 2 Институт систем управления Министерства науки и образования Азербайджана, Баку, Азербайджан

1 kamilbmansimov@gmail.com

2 ilaha_nagiyeva@gmail. com

Аннотация. Рассматривается задача оптимального управления, описываемая системой интегро-дифферен-циальных уравнений типа Вольтерра с нетиповым критерием качества. При предположении открытости области управления вычислены первая и вторая вариации функционала качества. Доказан аналог уравнения Эйлера. Из условия неотрицательности второй вариации функционала качества получены различные конструктивно проверяемые необходимые условия оптимальности второго порядка. Отдельно изучен случай особых, в классическом смысле, управлений.

Ключевые слова: нетиповая задача оптимального управления; задача типа Н.Н. Моисеева; допустимое управление; интегро-дифференциальное уравнение типа Вольтерра; классическая экстремаль; аналог уравнения Эйлера; особые, в классическом смысле, управления; оптимальное управление.

Для цитирования: Мансимов К.Б., Нагиева И.Ф. Необходимые условия оптимальности первого и второго порядков в одной задаче оптимального управления с нетиповым критерием качества // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 64. С. 11-20. doi: 10.17223/19988605/64/2

Original article

doi: 10.17223/19988605/64/2

Necessary conditions for the optimality of the first and second orders in one optimal control problem with atypical quality criteria

Kamil B. Mansimov1, Ilaha F. Nagiyeva2

12 Baku State University, Baku, Azerbaijan

2 Institute of Management Systems of the Ministry of Science and Education of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan

1 kamilbmansimov@gmail.com

2 ilaha_nagiyeva@gmail. com

Abstract. An optimal control problem described by a system of Volterra type integro-differential equations with an atypical quality criterion is considered. Assuming the openness of the control domain the first and second variations of the quality functional are calculated. An analogue of the Euler equation is proved. From the non-negativity condition of the second variation of the quality functional, various constructively verifiable necessary second-order optimality conditions are obtained. The case of singular controls in the classical sense is studied separately.

Keywords: an atypical optimal control problem; N.N. Moiseev type problem, admissible control; an integro-differential equation of the Volterra-type; classical extremal; an analogue of the Euler equation; singular in the classical sense of controls; optimal control.

For citation: Mansimov, K.B., Nagiyeva, I.F. (2023) Necessary conditions for the optimality of the first and second orders in one optimal control problem with atypical quality criteria. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universi-teta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 64. pp. 11-20. doi: 10.17223/19988605/64/2

© К.Б. Мансимов, И.Ф. Нагиева, 2023

Введение

К настоящему времени для различных задач оптимального управления с типовыми критериями качества (задачи управления типа Лагранжа, Майера, Больца) установлен ряд необходимых условий оптимальности типа принципа максимума Понтрягина и их следствий. Обзоры соответствующих работ представлены, например, в [1-5] и др.

В работе [6. С. 369-414] Н.Н. Моисеев при исследовании задач синтеза, сводящихся к задачам вариационного исчисления и оптимального управления, пришел к необходимости исследования задач оптимального управления объектами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями с критерием качества в виде двойного интеграла (см.: [6. С. 393-414]).

Подобные задачи оптимального управления (задачи типа Моисеева) являются задачами оптимального управления с нетиповым критерием качества. В работе [6] Н.Н. Моисеев для такой задачи доказал необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.

Позднее в работе [7] также рассмотрена задача оптимального управления для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с нетиповым критерием качества, в которой исследован случай вырождения необходимого условия оптимальности первого порядка (особый случай [8]).

В предлагаемой работе рассматривается задача, аналогичная [6, 7], в предположении, что процесс описывается системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра.

В случае открытого множества возможных значений управлений получены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков, носящие конструктивный характер. Отдельно изучен случай вырождения аналога условия Лежандра-Клебша и доказано необходимое условие оптимальности особых, в классическом смысле, управлений [8].

1. Постановка задачи

Предположим, что управляемый процесс на заданном отрезке времени T = , tj ] описывается

системой интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра

t

х = f(t,x,u) + ^K(t,T,x(ï),u(ï))dT, teT (1)

i>

с начальным условием

x(t0) = x0, (2)

Здесь f (t, x, u) и K(t, x, x, u) - «-мерные заданные вектор-функции, непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по ( x, u ) до второго порядка включительно, x0 - заданный постоянный вектор, u (t ) r-мерный, кусочно-непрерывный (с конечным числом точек разрыва первого рода) вектор управляющих воздействий со значениями из заданного непустого, ограниченного и открытого множества U с Rr, т.е.

u(t ) eU с Rr, t eT. (3)

Каждую управляющую функцию с вышеприведенными свойствами назовем допустимым управлением.

Предполагается, что каждому допустимому управлению u(t) соответствует единственное, непрерывное и кусочно-гладкое (в смысле [5]) решение x(t) задачи Коши (1), (2).

Пусть q>(t ) - заданная дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция, F (t, s, a, b) -заданная скалярная функция, непрерывная по совокупности переменных вместе с частными производными по (a,b) до второго порядка включительно.

Рассмотрим задачу о минимуме функционала

h h

S (u) = ф x(tj )) + ||f (t, s, x(t ), x(s))dsdt, (4)

10 t0

определенного на решениях задачи Коши (1), (2), порожденных всевозможными допустимыми управлениями.

Допустимое управление и(г) доставляющее минимальное значение функционалу (4), при ограничениях (1)—(3), назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (и(г),х(г))- оптимальным процессом.

Целью работы является получение необходимых условий оптимальности первого и второго порядков в рассматриваемой задаче.

2. Вычисление первой и второй вариаций функционала качества

Пусть (и(г), х(г)) и (и (г) = и(г) + Ли(г), х(г) = х(г) + Лх(г)) - два допустимых процесса. Запишем приращение функционала качества (4)

ч г

Л5(и) = 5(и ) - 5(и) = ф(х (г)) - ф(х(г)) +1|(F(г,5,х(г),х(у)) - F(г,5,х(г),х(у)))СС. (5)

Из введенных обозначений ясно, что приращение Лх(г) траектории х(г) является решением за-

дачи

£

(6)

Лх(го) = 0. (7)

Через у(г) обозначим пока произвольную «-мерную вектор-функцию. Из тождества (6) получаем, что

1 1

I у = | у' (7) (/(г1, х (0, и (0) ~ х(0,и (0)) Ж

г +

+}у' (г)

| [ К (г, х, х (т), и (х)) - К (г, х, х(х), и(х))] с 1

(8)

Учитывая начальное условие (7) и применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим, что

п п

| у' = у' ) Дг ) -1 у'

(9)

Далее на основе формулы Фубини (см., напр.: [4, 9]) имеем

|у' (г)

| [ К (г, х, х (х), и (т)) - К (г, х, х(т), и (х)) ] с 1

1 1

| I у'(г) [ К (х, г, х (г), и (г)) - К (х, г, х(г), и(г))] С х

Сг.

(10)

Принимая во внимания тождества (8)-(10) в формуле приращения (5) функционала (4), получим, что

Л5(и) = 5(и )- 5(и) = ф(х (г ))-ф(х(г )) +1|(F(г,5,х(г),х(у)) - F(г,у,х(г),х(у)))СС

г0 г0

к к

+у' ) Аг) -1 у' (?)Ах(1)Л -1 у' (/) (/0, X (0, й(0) - /0, х(0, М (0)) Ж

+

Л -

1 1

I I у' (г) [ К (х, г, х (г), и (г)) - К (х, г, х(г), и (г)) ] С х

Сг.

(11)

Введем аналог функции Гамильтона-Понтрягина в виде:

н (г, х(г), и(г), у (г)) = у '(г) / (г, х(г), и(г)) +1 у' (т) к (т, г, х(г), и(г ))ё т.

г

Тогда формула приращения (11) примет вид:

к

АЗ (и) = ф(х )) - ф(х(^ )) + ) Дг(^) - |у'(/1)Аг(0Л +

ч к

+ JJ(F(t,s,x(t),x(s)) - F(t,s,x(t),x(s)))dsdt

(12)

1

-1[н(г, х(г),и (г), у(г)) - н(г, х(г),и(г), у(г)) Применяя формулу Тейлора для отдельных слагаемых в формуле приращения (12), получаем

AS (u ) =

5ф '^^Дг(ij) +1Дг'1 (ij)5 ф(*(0)Ar(ii) + Oi(||Ar(ii)f) + vXii)Ar(ii)_J>ii.(i)Ar(0A

сх

+

!1

сх2

■ dF(t,s,x(t),x(s)) Ax(t) + dF'(t,s,x(t),x(s)) Axis)

+

da

db

dsdt +

+ — 2

, ti ti

2 !!

t0 t0

+ Ax'(s)

к

-!

Ar'(t)d2F(t■ ^(!Ix(s)) Ax(t) + 2Ax'(t)d'F(t,s.*)■x(s)) Ax(s) +

da1

d2 F (t, s, x(t), x(s)) db2

dH \t, x(t), u(t), v(t))

da db

Ax(s)

ti ti / \ dsdt + !! o2 (||Ax(t )|| + ||Ax(s)|| J2 )dsdt

Ax (t ) + dH(t1x(i)^)M)) Au (t)

dt -

dx du

'0 -

1! Г (t )d2 H (t,x(t),u(t), y(t)) Ax (t) + 2Au (t )d 2 H (t,x(t),u(t), Y(t)) Ax (t) 9 J W dx W W Я,/Яг v '

2

du dx

t) +

(13)

+ Au '(t)

d2 H (t, x(t), u(t), y(t))

du2

Au (t)

t1

dt - Jo ([||Ax(t)|| +1|Ax(s)|]2 )dt.

Здесь штрих (') - операция транспонирования, а есть норма вектора а = (а,а2,...,ап)' в линейном

п

«-мерном пространстве Я", определяемая формулой ||а|| = \, а о(а) - величина, имеющая более

¡=1

о(а)

высокий порядок малости, чем а, т.е.

а

-» 0 при а ^ 0.

Легко видеть, что

ч ч !!

dF\t, s, x(t), x(s))

ч 4

Ax(s)dsdt = J!

dF '(s, t, x(s), x(t))

Ax(t )dsdt.

дЬ Л дЬ

г0 го го го

Поэтому, если предполагать, что у (г) является решением уравнения

v(0 = —

dx

W(ti) = -

da

d9( x (ti))

dx

db

ds,

(14)

(15)

0 l0

tt

00

то формула приращения (13) примет вид:

дх (u )=_| т ■(, У 0» Ди (t ^дх (t)+

cbc7

+ — 2

ii i

дх ,(t) а2 F(t,,, X((t), x(,)) Mt) + 2Дх ,(t) a2 F (t,s, X(t),x(s)) дх( s) +

da2

da db

+ Ax '(s)

d2 F (t, s, x(t), x(s))

db2

Ax(s)

dsdt -

1 i

Ax'(t)

d2 H (t, x(t), u(t), y(t))

dx2

Ax (t) + 2 Am'(t)

d2 H (t, x(t), u(t), y(t))

du dx

Ax (t) +

+ Au'(t)

d2 H (t, x(t), u(t), y(t))

du2

Au (t)

t

dt + o, (||Ax (ti )||2) - i o2 ([||Ax(t )|| + ||Au(t )|| ]2 )dt + (16)

4 'if 2\ + iio i[||Ax(t)| + ||Ax(s)||] jdsdt.

По аналогии с работой [5] можно показать, что

Ax(t)dt < L

i( f (x, x (x), u (x)) - f (x, x(x), u(x)) )d

x +

+

1

i[ K (s, x, x (x), u (x)) - K (s, x, x(x), u(x))] ds

dx

где L = const > 0 - некоторая постоянная.

Отсюда используя условие Липщица, после некоторых преобразований получаем

t

Ax(t) < Li||u(x)||dx, t eT.

(17)

В (17) Z2 = const > 0 - некоторая постоянная.

Пусть s - достаточно малое по абсолютной величине число, а 5u(t) e Rr, t e [t0, tj ] - произвольная кусочно-непрерывная и ограниченная r-мерная вектор-функция. Тогда специальное приращение допустимого управления u(t) можно определить по формуле

Au (t ) = s5u(t), t e T. (18)

Через Axe (t) обозначим специальное приращение траектории x(t), отвечающее приращению (18) управления u (t).

Из оценки (17) следует, что

||Axs(t)||< Ьъ |S, t eT, (19)

где L = const > 0 - некоторая постоянная.

Принимая во внимания формулы (18) и (19), с помощью задачи (6)-(7) доказывается, что

Axe (t) = s 5x(t) + o(s; t), t eT. (20)

Здесь 5x(?) (вариация траектории x(t)) является решением уравнения в вариациях

dx

du

5 x(t0) = 0.

(21) (22)

Принимая во внимания формулу (18) и разложение (20), из формулы приращения функционала (4) получаем справедливость разложения

. дVх (г1)) . . 5х • (г1) ^2(1)) 5х (г1) +

Л ч о/ ч 1 dH'(t,x(t),u(t),w(t))„ ,,, s2 S(u + Aue) - S(u) = -s I-v w w TV "Su(t)dt + —

• du 2

T0

ti ЧГ si-T^,.

+!!

dx2

Sx ^t)d2F(t, x(t), ^ bx(t) + 2Sx (t)d2F(t,s *),x(s) bx(s) +

da

da db

+ Sx '(s)

d2 F (t, s, x(t), x(s))

db2

Sx(s)

dsdt

fT!

Sx,(t)d2H(t,x(t),u(t),y(t)) sx(t) + 2Su'(t)d2H(t,x(t),u(t), V(t)) Sx(t)

dx du dx

t)+

+ 5u' (t)

d2 H (t, x(t), u(t), у (t))

du2

Su (t)

(23)

dt + o (s2).

Из разложения (23) получаем, что первая и вторая вариации функционала (4) имеют соответственно следующий вид:

ч

S1S(u: Su) = -J

dH \t, x(t), u(t), у (t))

du

ti ti

Su (t )dt,

(24)

S2S(u : Su) = Sx'(t )d ф(x|tl)) Sx(t ) + J!

dx2

Sx'(t)

d2 F (t, s, x(t), x(s))

da2

Sx(t)

+ 2Sx(t) d2F(tx(t^x(s)) Sx(s) + Sx(s) d2F(t,s:x(t^x(s)) Sx(s)

1

-J

da db db

З2тт/. „/-4 . ^4 ...^44

dsdt -

Sx '(t )dH (t,x(t ),u(t), y(t)) Sx (t) + 2Su '(t )dH (t,x(t),u (t), y(t)) Sx (t)

w dx v ' du dx v '

t) +

+ Su' (t)

d2 H (t, x(t), u(t), y(t))

du2

Su (t)

(25)

3. Необходимые условия оптимальности

В силу открытости области управления из (24) следует, что вдоль оптимального управления

} дн ,(г, х(г^(г), у(г)) §и (г уг = 0.

Отсюда в силу произвольности Ъи(г) е Яг, г е [г0,^] следует

Теорема 1. Для оптимальности допустимого управления и (г) необходимо, чтобы соотношение

дН (в, х(в), и(в), у(6))=0 (26)

du

выполнялось для всех 9е[г0, г1).

Здесь 9е[г0, г1) - произвольная точка непрерывности управления и(г). Соотношение (26) является аналогом уравнения Эйлера для рассматриваемой задачи. Каждое допустимое управление и(г) являющееся решением уравнения Эйлера, следуя, например, [8], назовем классической экстремалью.

Число классических экстремалей может быть достаточно большим (см., напр.: [8]). Поэтому надо иметь необходимые условия оптимальности второго порядка, позволяющие сузить множество классических экстремалей, подозрительных на оптимальность.

Поскольку вдоль оптимального управления вторая вариация функционала качества должна быть неотрицательной, то, учитывая формулу (25), получаем, что для оптимальности классической экстремали необходимо, чтобы для всех Ъи(г) е Яг, г е [г0, ^ ], выполнялось неравенство

Ъх'(г )

а 2ф( х (г,))

ах2

Ъх (г )+||

г0

Ъх )а 2 Р(г,у, х(), х(у)) ) +

а а2

+2Ъх ^)а2Р(г,у,х(г),х(у)) ад + Ъх '(5)а2Р(г,у, х(г),х(у)) ад'

аа аь

аь

СзСг -

1 I

5х' (г )а 2 Н (г,х(г ),2и(г), у(г)) 5х (г) + 2Ъи '(г )а 2 Н (г,х(г),и (г), У(г)) 5х (г)

W ах2 W V ' аи ах V '

г) +

+ 5и'(г)

а2 Н (г, х(г), и(г), у(г))

аи2

Ъи (г)

(27)

Сг > 0.

Неравенство (27) является неявным необходимым условием оптимальности второго порядка. Но из него можно получить конструктивно проверяемые необходимые условия оптимальности второго порядка.

Запишем представление решения уравнения в вариациях (21)-(22). По формуле Коши (см., напр.: [10]) имеем

а/(х,х(х),и(х)) ^^ \ Г^^ \ аК(у,х,х(х),и(х))

5 х(г) = | Р (г, х)-

аи

Ъи(х)С х +1 IР (г, 5 )

аи

Ъи(х)С х.

(28)

Здесь Р(г, х) - (п х п) матричная функция, являющаяся решением матричного интегро-дифферен-

циального уравнения

а/(х, х(х), и(х))_ ^ ^аК(5, х, х(х), и(х))

х)=-Р („ ^ ах

X

с начальным условием Р(г, г) = Е, где Е - (п х п) единичная матрица. Введя обозначение

а/(х, х(х),и(х)) Г , Ч аК(5, х, х(х),и(х))

б(г,х) = Р(г,х)а (х^и(х)) +!Р(г,5)-

аи

бы

формулу (28) запишем в виде:

Ъ х(г) = i е (г, х)5ы(х)С х.

(29)

Используя представление (29), займемся преобразованием отдельных слагаемых в неравенстве (27). По схеме из [11] имеем

Ъх' ( г )

а 2ф( х (Г,))

ах2

Ъх (г,) = I }ъы '(г) б' (г,, х)

а2 ф( х (г,))

аг2

б (г, 5)Ъи (г)с^сх,

(30)

4 4

ЯЪ* '(г)

а2Р(г, 5, х(г), х(5))

аа2

Ъх(г =

4 4 4

ШЪы ,(а)

I е,(г,а)а2Р(г,х(г),х(5)) б(г,р)сг

шах(а,р)

г г

ЦЪх '(г)

¿0 ^0

аа2

а2 Р (г, 5, х(г), х(5))

аааь

Ъи (р)СаС рС^,

Ъх(5)СС =

4 4 11

¿1 ¿1 2

Цъы '(а) б' (г, а)аР (г х(5)) 6 ( 5,Р) СС

а р

аааь

Ъи (р) С аСр,

(31)

ti ti

!JSx 4s)

ti ti

- J J Su '(а)

ti ti

JJ Q' ( ^ а)

а p t, t.

d2 F (t, s, x(t), x(s)) dbda

d2 F (t, s, x(t), x(s)) dbdab

Sx(t)dsdt =

Q (t,p) dsdt

Su (p) d аdp,

JJSx '(s)

d2 F (t, s, x(t), x(s))

ti ti

= JJSm '(а)

t0 t0

to to ti ti

db2

Sx(s)dsdt =

J J Q'(s, а)

t0 тах(а,р) t

d2 F (t, s, x(t), x(s))

db2

Q ( s, P) dtds

Su (p)d аdp,

(32)

J Sx xt)d H(t, mm,y(t)) Sx (t) dt=

1 1

■ JJ5u '(а)

J Q '(t, а)

тах(а ,p) ti

d2 H (t, x(t), u(t), у (t))

dx2

Q (t, P) dt

Su (p)d аdp,

(33)

J §u ^)d H(t,x(t)u(t) у(t)) Sx(t) ^ = J dudx

j

J Su ,(l)d 2 H (t,x(t), u(t), у(t)) q (t, а)su (T) d,

dudx

dt.

(34)

Введем обозначение

K (а,р) = Q' (t„ а)

d2ф(x(ti))

dx2

Q (ti,P) + J

J Q '(t, а)

тах(а,р)

n

-J

J Q'(t, а)

d2F (t, s, x(t), x(s))

dadb

Q (s,P) ds

dt-J

Jq '( s, а)

d2 F (t, s, x(t), x(s))

da2

d2F (t, s, x(t), x(s)) dbda

Q (t,P) dt

Q (t, P) ds

ds -

dt +

+

J Q '(s, а)

тах(а,р)

d2 F (t, s, x(t), x(s)) 5b2

Q (s, P) dt

1

ds + J Q '(t, а)

тах(а,р)

d2 H (t, x(t), u(t), у(р)

dx2

Q (x, p) dt.

С учетом введенных обозначений и тождеств (30)-(34) неравенство (27) представляется в виде:

ч ч к

JJSu '(а) K (а, p^p^dp +2 J

J Su, (t)d2H(t, ^^у(t)) Q (t, x)Su (x) dx

n

+Jsu'(t)

%

d2 H (t, x(t), u(t), у (t))

du2

Su (t)dt < 0.

(35)

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Для оптимальности классической экстремали и (г) необходимо, чтобы неравенство (35) выполнялось для всех 5м(г) е Яг, г е [г0, г ].

Как видно, в отличие от неравенства (27) неравенство (35) носит конструктивный характер. Из него, используя произвольность допустимой вариации 5и (г), можно получить более легко проверяемые необходимые условия оптимальности второго порядка. Одним из них является аналог условия Лежандра-Клебша [4, 5]

Теорема 3 (аналог условия Лежандра-Клебша). Для оптимальности классической экстремали и(г) необходимо, чтобы неравенство

p

p

а

а

0 10

д2н(г, х(г), и (г), у (г))

ди2

выполнялось для всех V е Яг и 9е[г0, г1) . Здесь ве[г0, г1 ) - произвольная точка непрерывности управления и(г).

Отметим, что в некоторых случаях аналог условия Лежандра-Клебша (36) может вырождаться, выполняясь как тождественное равенство (см., напр.: [12]).

Определение. Классическую экстремаль и(г) назовем особым, в классическом смысле, управлением, если для всех V е Яг и 9е [г0, г1)

,д2 н (9, х(в), и(в), у(9))_

du2

-v = 0.

Из неравенства (35) следует теорема.

Теорема 4. Для оптимальности особого, в классическом смысле, управления и(г) необходимо, чтобы неравенство

д2 н (в, х(в), и (в), у(9))^

K (0,0)-

v < 0 (37)

dudx

Ч У

выполнялось для всех v е Rr и 0e[to, tj).

Доказательство. Пусть u(t) особое, в классическом смысле, оптимальное управление.

Допустимую вариацию управления u(t) определим следующим образом:

. . fv, t е [0,0 + s), Su (t) = •! L У (38)

eW [0, t е [t0,^ ] \ [0,0 + s).

Здесь v е Rr - произвольный вектор, а s > 0 - произвольное достаточно малое число.

Принимая во внимания формулу (38), в неравенстве (35) после некоторых преобразований получим, что

( я2цуа wawm >

s2

' K (0,0) v + v•d2 H (0, rn,u(0), у(0)) v] + o (s2)< 0.

v dudx ;

2

Разделяя обе части этого неравенства на е и переходя к пределу при е ^ 0, получим неравенство (37). Теорема доказана.

Заметим, что неравенство (37) является аналогом условия оптимальности Габасова-Кирил-ловой, полученного ими в [12] другим способом для задачи оптимального управления, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением.

Заключение

В работе при предположении открытости области управления вычислены первая и вторая вариации функционала качества. Доказано необходимое условие оптимальности первого порядка в форме аналога уравнения Эйлера. Из условия неотрицательности второй вариации критерия качества вдоль оптимального управления получены конструктивно проверяемые необходимые условия оптимальности второго порядка, позволяющие сузить множество классических экстремалей, подозрительных на оптимальность.

Из общего результата получено легко проверяемое необходимое условие оптимальности, являющееся аналогом условия Лежандра-Клебша.

Изучен случай вырождения аналога условия Лежандра-Клебша (классический особый случай) и доказано необходимое условие оптимальности особых, в классическом смысле, управлений.

Список источников

1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления М. : Либроком, 2011. 272 с.

2. Ведякова А.О., Миланович Е.В., Слита О.В., Тергычный-Даури О.В. Методы оптимального управления. СПб. : Универ-

ситет ИТМО, 2011. 219 с.

3. Лутманов С.В., Остапенко Е.Н. Оптимальное управление динамическими объектами. Пермь : Изд-во ПГУ, 2022. 163 с.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М. : Физматлит, 2005. 432 с.

5. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Альсевич В.В. Методы оптимизации. Минск : Четыре четверти, 2011, 472 с.

6. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М. : Наука, 1975. 528 с.

7. Нагиева И.Ф., Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности особых управлений типа Моисеева // Проблемы

управления и информатики. 2006. № 5. C. 52-63.

8. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М. : Либроком, 2011. 256 с.

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Физматлит, 2004. 752 с.

10. Ведь Ю.А., Пахыров З. Об ограниченности и устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1969. №11. C. 1050-1061.

11. Мансимов К.Б. Особые управления в системах с запаздыванием. Баку : ЭЛМ, 1999. 176 с.

12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. К теории необходимых условий оптимальности высокого порядка // Дифференциальные уравнения. 1970. № 4. C. 964-970.

References

1. Gabasov, R. & Kirillova, F.M. (2011) Printsip maksimuma v teorii optimal'nogo upravleniya [The maximum principle in the theory

of optimal control. Moscow: Librokom.

2. Vedyakova, A.O., Milanovich, E.V., Slita, O.V. & Tertychny-Dauri, O.V. (2011) Metody optimal'nogo upravleniya [Methods of

optimal control]. St. Petersburg: St. Petersburg State University of Information Technologies, Mechanics and Optics.

3. Lutmanov, S.V. & Ostapenko, E.N. (2022) Optimal'noe upravlenie dinamicheskimi ob"ektami [Optimal control of dynamic objects].

Perm: PSU.

4. Alekseev, V.M., Tikhomirov, V.M. & Fomin, S.V. (2005) Optimal'noe upravlenie [Optimal control]. Moscow: Fizmatlit.

5. Gabasov, R., Kirillova, F.M. & Alsevich, V.V. (2011)Metody optimizatsii [Optimization Methods]. Minsk: Chetyre chetverti.

6. Moiseev, N.N. (1975) Elementy teorii optimal'nykh sistem [Elements of the Theory of Optimal Systems]. Moscow: Nauka.

7. Nagieva, I.F. & Mansimov K.B. (2006) Necessary conditions for the optimality of special controls of the Moiseev type. Problemy

upravleniya i informatiki - Problems of Control and Informatics. 5. pp. 52-63.

8. Gabasov, R.F. & Kirillova, F.M. (2011) Osobye optimal'nye upravleniya [Singular Optimal Controls]. Moscow: Librokom.

9. Kolmogorov, A.N. & Fomin, S.V. (2004) Elementy teoriifunktsiy ifunktsional'nogo analiza [Elements of the theory of functions

and functional analysis]. Moscow: Fizmat.

10. Ved', Yu.A. & Pakhyrov, Z. (1969) Ob ogranichennosti i ustoychivosti resheniy integro-differentsial'nykh uravneniy s zapaz-dyvayushchim argumentom [On boundedness and stability of solutions of integro-differential equations with retarded argument]. Differentsial'nye uravneniya. 11. pp. 1050-1061.

11. Mansimov, K.B. (1999) Osobye upravleniya v sistemakh s zapazdyvaniem [Singular controls in systems with delay]. Baku: ELM.

12. Gabasov, R. & Kirillova, F.M. (1970) K teorii neobkhodimykh usloviy optimal'nosti vysokogo poryadka [On the theory of high order necessary optimality conditions]. Differentsial'nye uravneniya. 4. pp. 964-970.

Информация об авторах:

Мансимов Камиль Байрамали оглы - профессор, доктор физико-математических наук, заведующий лабораторией «Методы управления в сложных динамических системах» Института систем управления Министерства науки и образования Азербайджана (Баку, Азербайджан); заведующий кафедрой «Математическая кибернетика» Бакинского государственного университета (Баку, Азербайджан), E-mail: kamilbmansimov@gmail.com

Нагиева Илаха Фирдовис кызы - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института систем управления Министерства науки и образования Азербайджана (Баку, Азербайджан); E-mail: ilaha_nagiyeva@gmail.com

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the authors:

Mansimov Kamil B. (Professor, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Laboratory "Control Methods in Complex Dynamic Systems" of the Institute of Control Systems of the Ministry of Science and Education of Azerbaijan (Baku, Azerbaijan); Head Department of Mathematical Cybernetics, Baku State University (Baku, Azerbaijan), E-mail: kamilbmansimov@gmail.com Nagiyeva Ilaha F. (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher at the Institute of Control Systems of the Ministry of Science and Education of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan); E-mail: ilaha_nagiyeva@gmail.com

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию 28.03.2023; принята к публикации 04.09.2023 Received 28.03.2023; accepted for publication 04.09.2023