Аналог принципа максимума Понтрягина и линеаризованные необходимые условия оптимальности в одной нелинейной задаче управления системой Гурса–Дарбу с переменной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2023 • Математика. Механика. Информатика • Вып. 4(63)

Научная статья УДК 517.977.56

DOI: 10.17072/1993-0550-2023-4-36-51

Аналог принципа максимума Понтрягина и линеаризованные необходимые условия оптимальности в одной нелинейной задаче управления системой Гурса-Дарбу с переменной структурой

Камил Байрамали оглы Мансимов1, Шабнам Шакир кызы Сулейманова2

1Бакинский государственный университет, Баку, Азербайджан 1,2Институт систем управления НАН Азербайджана, Баку, Азербайджан 1 kamilbmansimov @gmail. com 2suleymanovasebnem.85@gmail.com

Аннотация. Рассматривается одна двухэтапная задача оптимального управления, описываемая системами гиперболических уравнений второго порядка с краевыми условиями Гурса. Построена формула приращения первого порядка функционала качества, позволяющая доказать необходимое условие оптимальности типа принципа максимума Л.С. Понтрягина. В случае выпуклости областей управления доказано линеаризованное условие максимума. Приведен аналог дифференциального условия максимума. При предположении открытости областей управления установлен аналог классического уравнения Эйлера. Ключевые слова: система Гурса-Дарбу; краевые условия Гурса; формула приращения; необходимое условие оптимальности; принцип максимума Понтрягина; вариация функционала; аналог уравнения Эйлера; функционал качества

Для цитирования: Мансимов К. Б., Сулейманова Ш. Ш. Аналог принципа максимума Понтрягина и линеаризованные необходимые условия оптимальности в одной нелинейной задаче управления системой Гурса-Дарбу с переменной структурой // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2023. Вып. 4(63). С. 36-51. DOI: 10.17072/1993-0550-2023-4-36-51.

Статья поступила в редакцию 13.07.2023; одобрена после рецензирования 10.10.2023; принята к публикации 28.11.2023.

Research article

Pontryagin's Maximum Principle Analog and Linearized Necessary Conditions of Optimality in One Nonlinear Control Problem of a Gurs-Darboux System With a Variable Structure

Kamil B. Mansimov1, Shabnam Sh. Suleymanova2

1Baku State University, Baku, Azerbaijan

1,2Institute of control system of Azerbaijan National academy of sciences, Baku, Azerbaijan

1kamilbmansimov@gmail.com

2suleymanovasebnem.85@gmail.com

Abstract. One two-stage optimal control problem is considered, which is described by systems of second-order hyperbolic equations with Goursat boundary conditions. The formula of the first order increment of the functional is constructed which allows is to prove the necessary optimality condition of the type maximum principle L.S. Pontryagin. In the case of convexity of control domains a linearized integral maximum condition is proved. An analogue of the differential maximum condition is given. Assuming the openness of the control domains an analogue of the Euler equations is established.

Эта работа О 2023 Мансимов К.Б., Сулейманова Ш.Ш. распространяется под лицензией СС BY 4.0. Чтобы просмотреть копию этой лицензии, посетите http://creativecommons.Org/licenses/by/4.0/

Keywords: Goursat-Darboux system; Goursat boundary conditions; increment formula; necessary optimality condition; Pontryagin's maximum principle; variation of the functional; analogue of the Euler equation; quality functional

For citation: Mansimov K. B., Suleymanova Sh. Sh. Pontryagin's Maximum Principle Analog and Linearized Necessary Conditions of Optimality in One Nonlinear Control Problem of a Gurs-Darboux System With a Variable Structure. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2023;4(63):36-51. (In Russ.). DOI: 10.17072/1993-0550-2023-4-36-51.

The article was submitted 13.07.2023; approved after reviewing 10.10.2023; accepted for publication 28.11.2023.

Введение

Начиная с работы [1], в дальнейшем, в работах [2-8] и др., получен ряд необходимых условий оптимальности для задач оптимального управления, описываемых гиперболическими уравнениями второго порядка с краевыми условиями Гурса.

В предлагаемой же работе исследуется одна задача оптимального управления с переменной структурой, описываемая краевыми задачами Гурса-Дарбу.

Установлен ряд необходимых условий оптимальности первого порядка.

Заметим, что ряд задач оптимального управления с переменной структурой (иногда их называют ступенчатыми задачами оптимального управления), описываемый обыкновенными дифференциальными уравнениями исследованы в работах [9-12] и др.

1. Постановка задачи

Предположим, что = [1(-1, X [х0, х1], I = 1,2, заданные прямоугольники, (ТьХд, 1 = т,(Ь0<Т1<-<Тк< Ь^хо <Хх< • <Хк <хг ), (в0&), I = 1,к, (р! <в!< • <вк< Ь2,х0 <&< • <

< хг) заданные точки, и1 с Яг, и2 с Я4 заданные компактные подмножества, и1(Ь, х),и2(Ь,х) измеримые г и ^-мерные соответственно, вектор-функции управляющих воздействий, удовлетворяющие ограничениям

и1(Ь, х)еи1 с Яг, (ь, х) Е (1)

и2 (Ь, х) Еи2 с (ь, х)ЕЭ2. (2)

Совокупность (и1(1,х),и2(1,х)) управляющих функций и1 (Ь, х), и.2 (Ь, х) с вышеприведенными свойствами, назовем допустимым управлением.

Предположим, что управляемый двух-этапный процесс описывается системами нелинейных гиперболических уравнений Дарбу:

^Х = к(1, х, г, г<-,гх, щ), (Ь, х) Е (3)

Угх = ¡2 (£, х, У, уг, ух, и2), (Ь, х) Е Э2 (4) с краевыми условиями Гурса:

г(Ь0,х) = а(х),х Е [х0,х1\, г(1,х0) = Ь1(1),1Е[10,11], (5) а(х0) = Ь1(р0),

у(Ь1,х) = Вг(Ь1,х),х Е [х0,х1\, у(Ь,Хо) = Ь2(Ь),Ь Е [11,12]. Вг(Ь1,х0) = Ь2(Ь). (6)

Здесь а(х), Ь¡(Ь), Ь = 1,2 — заданные абсолютно-непрерывные «-мерные вектор-функции, В — заданная (п X п) постоянная матрица, /1 (Ь, х, г, гг, гх, и1),

/2(£,х,у,у1-,ух,и2) — заданные п -мерные вектор-функции, непрерывные по совокупности переменных вместе с частными производными по (г, гг, гх), (у, уг, ух) соответственно.

Предполагается, что каждой паре (щ(Ь, х),и.2(1,х)^ допустимых управляющих функций и1 (Ь, х), и.2 (Ь, х) соответствует единственное абсолютно-непрерывное решение (в смысле [4-6]) (г(Ь,х),у(Ь,х)^ краевой задачи (3)-(6).

Считая (pl(Zl,Z2, ■■■,Zk),P2(Уl,У2, — ,Ук) заданными непрерывно-дифференцируемыми скалярными функциями, рассмотрим задачу нахождения минимального значения многоточечного функционала

Б(щ,и2)

= ф1(г(Т1,Х1),г(Т2,Х2).....г(Тк,Хк)) +

+Ф2 (У(91, Ъ), У(в2, Ы.....У(9к, Ы). (7)

при ограничениях (1)-(6).

Допустимое управление, доставляющее минимальное значение функционалу (7), при ограничениях (1)-(6) назовем оптимальным управлением, а соответствующий процесс (и1(1,х),и2(1,х),г(1,х),у(1,х)) — оптимальным процессом.

2. Вспомогательные построения

Считая (и! (Ь, х), и2 (Ь, х), г(Ъ, х), у(Ь, х)), (Ь, х~), и2 (Ь, х~), х~), у(Ь, х}) допустимыми процессами введем обозначения щ (Ь, х) = щ (Ь, х) + Ащ (Ь, х), I = 1,2, г(Ь, х) = = г(Ь, х) + Аг(Ь, х~), у(Ь, х) = = у(Ь,х) + А у(ь,х) и запишем выражение функционала качества

АБ(и1,и2) = 5(й1,и2) — Б(и1,и2) =

= [ф1(г(Т1, Х1), ¿(Т2, Х2).....г(Тк, Хк))

^(ТМ^СГМ.....г(Тк,Хк))] +

+ [<Р2( У(в1, &), у(в2, .....У(0к, &)

—<Р2(у(в1, Ы, У(в2, Ы.....У(вк, &))]. (8)

Из введенных обозначений следует, что приращение (Аг(Ь, х), Ау(Ь, х)) состояния (г(Ь,х),у(Ь,хУ) является решением краевой задачи

А^гх = ^(^,х,г(Ь,х),г1:(Ь,х),гх(Ь,х),й1(Ь,х)') —^ (ь, х, г(Ь, х~), гг (Ь, х~), гх(Ь, х~), и1 (Ь, х)), (9) Аг(Ь0,х) = 0,х е [хо.х^], Аг(Ь, х0) = 0, Ь е [¿о, Ь], (10)

АУ1Х =

= /2(*,х,у(*,х), У&,х), Ух(*,х),й2(Ьх)) — —/2({, х, у(Ь, х),Уг(ь х), ух(Ь, х), и2&,х)), (11)

Ау(Ь1,х) = ВАг(Ь1,х),х е [х0,х1\,

Ау(Ь,Хо) = 0,1 е [11,12]. (12)

Считая ^1(Ь,х),1 = 1,2 пока произвольными «-мерными вектор-функциями, введем функции (аналоги функции Гамильтона-Понтрягина)

Н1 (Ь, х, г, ги гх,и1,тр1) = = (Ь, х, г, ги гх, щ),

Н2(1,х,у,уиух,и2,-ф2) =

= 1Ф2!2(±,Х,У,УиУх,и2).

Для простоты дальнейших изложений введем обозначения типа

Р1 = (г,г^гхУ,р2 = (у,у^ухУ, Аи.Н1[1:,х,рь-ф = = Н{ х, рь щ, — х, рь щ, \р{),

дН(,х,рьиь-ф{) дН1[1,х,ри-ф1]

9Р1

9Р1

АЩ[ 1,х,р1,ф1] = = Щ (Ь, х, рь щ, — (Ь, х, рь щ, ф{), Ащ№,х] = Ащ^(Ьх,р1(!;,х),щ(!;,х)).

Здесь и в дальнейшем (') штрих означает для векторов скалярное произведение, а для матриц - операцию транспонирования.

Учитывая введенные в рассмотрение функции Гамильтона-Понтрягина из тождеств (9), (11) получим, что

£1 Х1

I I тр'1(1,х)Аг1:х(1,х)(1х(И =

-0 х0

£1 Х1

= 11 АН1[ Ь,х,р1,^1]йх(И, (13)

£о х0

£2 Х1

тр2(1,х')Ау1Х(1,х')(х(И =

£1 хо

£2 Х1

= I I ЛНЛ.х.рьМ**. (14)

£1 хо

Учитывая введенные обозначения (13), (14), формула приращения (8) функционала качества (7) записывается в виде

АБ(и1,и2) = 5(й1,й2) — Б(и1,и2) =

= [ <р1 (¿( Т1, Х1), 2(Т2, Х2).....¿(Тк, Хк))

—<Р1(2( Т1,Х1),г(Т2,Х2).....г(Тк,Хк))] +

+ [<Р2 ( У(01, &), У(В2, Ь).....У(вк,

<р2(у(01, Ы, У (02, ?2).....у(9к, &))] +

£1 Х1

+

I I 'ф'1^,х)Аг1:х(Ь,х)(1х(И

¿0 Х0 £1 Х1

— I I [А^11н1(1,х,р1,и1,^1) + ¿0 Х0

+Н1 ( Ь, х, рг, й1, тр-у) — —Н1( Ь, х, р1,;й1,'ф1)](х(И + £2 Х1

| |^2(t,x)Аytx(t,x)dxdt —

+

£1 хо £2 Х1

I I [Ай2Н2^,Х,Р2,и2,-ф2) +

£1 хо

+Н2( Ь,Х,р2,и2,$2) —

Н2&, X, Р2,й2,'Ф2)](Х(1.

(15)

Применяя формулу Тейлора, приращение (15) критерия качества преобразуется к виду

1=1

АБ(и1,и2) = д(Р'1 (2(Т1, Х1), 2(Т2, Х2).....2(Тк, Хк))

X

Аг( Т1,Х1) + 01Г^\А2(ТьХд

+

I

1=1

д<р'2(у(в1,Ы,у(е2,Ь).....у(9к,^))

ду[

X

X

Ау(е0ы + 02(1ые1,т) +

х1

+

11 ш.

х)Аг1х(Ь, х)йхсИ —

¿0 Х0 Х1

I I Аи1Н1(1,х,р1,и1,'ф1)(1х(И

£1 Х1

¿0 Х0

¿0 Х0 £1 Х1

—и

дА^Н'^х, р1,и1,ф1) др1

дН'1(Ь,х, р1,и1,'ф1)

Ар1(Ь, х)йхсИ

д р1

¿0 Х0

Х1 /к

Ар1(Ь, х)йхсИ

¿1 Х1 / к \ I I 0311\\Ар1(1,х)\\МхсИ +

^ х0 Х^1 £2 Х1

+

1 1 №,Х-)АУ<х(Ь,Х)<шЬ —

£1 х0 £2 Х1

I I Аи2Н2(1,Х,р2,и2,-ф2)(1х(И

£1 х0

дАйНО:, х, р2,П2,'ф2) др2

дН2&,Х,р2,и2,$2)

Ар2(Ь, х)йхсИ

д р2

Ар2(Ь, х)йхсИ —

л

Агс(Ь,х) = I Аг{3(1,з)(15,

х0

Агх(Ь,х) = I Аггх(т,х)с1т, (17)

0

£ *

Ау«,Х) = ВАг(,1,Х) + I I ^Л^^

£1 х0

,*)=1

Аг ¡-¡¡(Ь, з)с1з,

х0

Аух( Ь,х) = ВАгх(Ь1,х) +

1

Учитывая тождество (17), и применяя теорему Фубини, из (18) получим, что

tl X

Ау(Ь, х) = I I ВАггз(т,5)й5йт +

£2 Х1

—и

£1 х0

£2 Х1

—и

£1 х0

12 Х1 / к \ — I I оА1\\Ар2(1,х)\\ихсИ. (16)

Ч х0 Х^1 /

Здесь и в дальнейшем, \\а\\ есть норма вектора а = (а1,а2,...,ап)' , определяемая формулой \\а\\ = ЕП^а^, а о(а) — есть величина более высокого порядка, чем а.

Принимая во внимания краевые условия (10), (12), можно убедиться в справедливости тождеств

£ X

Аг(Ь,х) = I I Агтз(т,5)(15^,

£0 х0

£0 х0 £ *

+ | ^у^т^^^, (19)

£1 х0

1

Аух(Ь,х) = I ВАг(х(т,х)(1т +

0

+ I Аутх(т,х)ат. (20)

1

Предположим, что а1(Ь,х) - характеристическая функция области [Т(] X [х0,ХД, ^(1,х) - характеристическая функция области [^дД X [х0,1;1], ау((х) - характеристическая функция отрезка [х0,&]. Тогда Аг(Т(,Х() и Ау(с учетом (17), (20), могут быть представлены в виде

¿1 Х1

Аг(Т0Х{) =

= I I а[(Ь,х)Аг1:х(Ь,х)йх(И, (21)

£1 Х1

£0 х0

Ау(0ьЫ= I I п(х)ВАг{ж&,х№М +

с0 х0

С2 Х1

+ I I р1(1,х)Ау1х(:,х)ах(И. (22)

£1 х0

Далее на основе тождеств (17)-(20), и теоремы Фубини получаем справедливость соотношений

£2 Х1 / ^2 Х1

+

£1 Х1

дН'1(1,х,р1,и1,тр1)

дг

Аг( 1,х)(х(И =

£о х0 £1 / £1

дН'1(т, б, р1, и1, ,ф1) дг

йяйт ) X

^ 0 Хо X

X Аггх(Ь, х)йх(И . (23)

£1 Х1

дН'1(1,х,р1,и1,1р1) дгг

Аг1:( 1,х~)(х(И =

£0 х0

£1 /

I

дН'1(1,5, р1,и1,'ф1)

дг,

йз I X

£0 х0 \х

X Аг1-х(1,х)(х(И,

ч х1

(24)

II

дН'1(1, х, р1,и1,'ф1) дгг

Агх( 1,х)(х(И =

дН'1(т, х, р1,и1,ф1)

дгу.

(т I X

I

X

£0 х0

= и(1

10 *0 V

X Аг¡-х(1, х)(х(И,

д(р1 (г(Т1, Х1), г(Т2, Х{).....г(Тк, Хк))

дг{

£1 Х1 к

Аг(Т0Х{)= I |Iai(t,x)x

^ х0 1 = 1

д<р\(г(Т1, Х1), г(Т2, Х2).....2(Тк, Хк))

дг:

(25)

X

=1

X

X

X Аг1:х(Ь, х)хМ.

(26)

2 Л1 / <-2 иш

11 Х0 х

в

'дН2(т,3, Р2,и2,-ф2) ду

X

£2 Х1

X Аг ¡-х(1, х)(х(И,

(27)

£1 х0

дН' 2(Ь,Х,р2,и2,^2)

дУг

Ау{( 1,х)(х(И =

^2 Х1 / Х1

I

¿1 Х0 \Х

дН2[Ь, 5, Р2,-ф2]

дуг

(5 I X

21 II

£1 х0

X Аугх(Ь, х)(хсИ . (28)

дН'2^,Х, Р2,и2,-ф2)

дух

■Аух( Ь,х~)(1х(И =

^2 Х1 / ^2

I

¿1 Х0

дН2(т,Х, Р2,П2,-ф2)

дух

(Т I X'

+

X Ау1-х(Ь, х)(хМ + £1 Х1 / ^2

дН2(т,Х, Р2,и2,-ф2)

I

В'

£0 х0

дУх

(Т I X

xАztx(t,x),

(29)

I

=1

д<Р2(у(в1,?1),У(в2,?2).....У(вк,^))

£2 Х1 к их

Ч х0 1 = 1

дУ1

X Ау(в0&) = д<Р2(у(в1,Ы.....У(6к,Ы)

дУ1

X

X

£2 Х1

дН'2(Ь, X, Р2,П2,-ф2)

¿1 х0 £2 Х1 / £2 Х1

-и(и

С1 Х0 х

ду

Ау(Ь, х~)(х(И =

дН2(т,3, Р2,и2,-ф2) ду

I X

X Ау1Х(1,х)(х(И+

X х~)Аугх(1,х~)(х(И

^ Х1

+ I >- (х)д(р2(у(01,?1).....у(9к,%к))

1 = 1 ^ Х0 ^1

X ВАггх(1,х)(х(И. (30)

Теперь, учитывая тождества (29)-(30) в формуле приращения (16), и группируя подобные члены, получим, что

^1 Х1 к

АБ(и1,и2) = I I I аI (Ь, х) X

^ х0 ^1 = 1

^д<Р1(г(Т1,Х1).....г(Тк,Хк))

дг:

£1 Х1

11 я™

^ х0 и = 1

X

X

д(р'2(у(91,%1).....У(9к

иШ

X]

I

ду1

дН'1(т, б, р1, и1, р^ дг

^0 X0 X

Х1

дН'1(Ь, б, р1,и1,р1)

д

йз

1

—I

дН'1(т, х, р1, и1, р^ д

йт + р(, х)В' X

X

д<Р2(у(в1,Ы,у(в2,Ы.....у(ек,Ы)

£2 Х1

£1 х0

дУх

о1дН2(Т,5,р2,и2,р2) , ,

в ---йзйт

ду

2

I

В

гдН2(т,Х, р2,П2,р2)

дух

ват

X

+

£1 х0

I

=1

X Аг1:х(Ь, х)йхйЬ +

д<Р2(у(01,Ы.....У(вк,Ы)

ду{

X

XPi(t,x)

£2 Х1 II

В

£ X

гдН2(т,3, р2,П2,р2) ду

Х1

+

I

х

дН2&, 5, р2,Щ,р2) дУг

йз +

1

гдН2(т,Х, р2,П2,р2) дУх

X Ау1Х(Ь, х)йхсИ —

йт

X

£1 Х1

— II Ац1Н1(ь,х,р1,и1,р1)ах(а —

£0 х0 £1 Х1

£0 х0

дАй11Н,1(р, х, р1,и1,р1) др1

X Ар1(Ь, х)йхсИ —

X

£2 Х1

Ай Н2(1,х,р2,и2,р2)йхсИ

£1 х0

£2 Х1

£1 х0

дАП2Н2(1,Х,р2,и2,р2)

др2

X

X Ар2(Ь, х)йхсИ + +01 \Аг(Т1,Х1)\) +

+02(1 ^ Ь)Ч —

=1

£1 Х1

03(\\Ар1(Ь, х)\\)йхсИ

£0 х0 £2 Х1

04(\\Ар2(1,х)\\)йхсИ. (31)

£1 х0

Предположим, что вектор-функции р(,х),1 — 1,2 являются решениями двумерных интегральных уравнений с частными интегралами вида

йзйт + +

=1 £1 Х1

II

р1(Р,х) -

д<р1(г(Г1,Х1).....г(Тк,Хк))

д

а^ (Ь, х) +

дН1 (т, 5, р1 (т, б), и1 (т, б), р1 (т, б))

дг

г х

+

Х1

дН1 (ь, б, р1 (Ь, б), и1 (Ь, б}, р1 (Ь, б))

+ I ........;; 1 Г1 ' аБ +

) дгг

+

1

I

дН1 (т, х, р1 (т, х), и1 (т, х), р1 (т, х))

д

йт

— IУ1 (Х)В =1

,д<Р2(у(в1,Ы.....У(вк,^к))

дУ1

+

+ цв

X

1дН2\т,Б, р2,р2] ду

йэйт +

I

+ I В

„ дН2\т,3, р2,р2] дУх

йт, (32)

к

х

1

*2 Х1 к

X

£2 Х1

2

i=l

д<Р2Ыв1,Ы.....ytfk,^))

dyt

xfc(t,x) + dH2\T,S, Р2,-Ф21

12 X1

X

2

ff

t X

Xi f

+

+ I В

dy

dH2\t,S, Р2,-ф21

dyt

dsdr +

ds +

f

itdH2\r,s, Р2,-фт\ дух

dr.

--f f A^Ct^uM^t dAUiH\(t, x, p1,u1,\p1)

to X0 i Xi

0 X0

2 Xi

дР1

X Api(t, x)dxdt

- f f AU2H2(t,x,p2,U2,^2)dxdt -

i X0

2 Xi

-ff

i X0

dAU2H2(.t, x, Р2,Щ,-ф2) дР2

X

X Ap2(t,x)dxdt +

+0i ( y\\Az(Ti,Xi)W ) +

31 (T"AZ( T{"

+02(TWy(ei,^i)W

i Xi

-f f03("Ap1(t,x)")dxdt+

0 X0

o4("Ap2(t, x)")dxdt.

(34)

i X0

Для вывода необходимого условия оптимальности с помощью формулы приращения (34) требуется оценка остаточного члена с помощью оценок для норм приращений состояний и их частных производных.

Для УАр1( Ь, х)|| справедливы оценки [13] при сделанных условиях гладкости на правую часть уравнения (3):

\\Az(t,x)" <

i Xi

(33 <Lif f\\AUifi[t,x]\\dxdt,

(35)

0 X0

Существование и единственность измеримых и ограниченных решений (32), (33) можно доказать известными (см., напр., [4]) методами.

Таким образом, из (31) следует, что, если ^I(Ь,х),1 = 1,2 являются решениями сопряженной системы (32), (33), то

АБ(и1,и2)

£1 Х1

<

i Xi

"Azt(t,x)" <

f f \\AUlfi[t,x]\\dxdt +

Xi

f \\AUifi[t,x]\\dxdt

0 X0

X0

(36)

"Azx(t,x)" <

< L1

i Xi

f f \\AUlfi[t,x]\\dxdt +

0 X0

i

+ f\\AUlfi[t,x]\\dxdt

(37)

где Li — const > 0 некоторая постоянная. Найдем оценки для "Ap2(t , x)\ \. Из (11), переходя к эквивалентному интегральному уравнению, получим, что

Ay( t,x) — BAz(ti,x) +

X

+

r,s,p2(T,s),U2(r,s)) -

i X0

- f2(r,s,p2(r,s),u2(t,s)^dsdr. (38)

Из (38) получаем, что

Ayx( t,x) — BAZx(h,x) +

+ f (f2 (j, x, p2 (?, x), U2 (T, x))- dT

i

-f2(T,x,p2(T,x),U2(r,x)), (39)

x

2

i

0

Ayt (t, X) = J (f2 (t, S, V2 (t, s), U2 (t, S))

Xo

-f2(t,s,p2(t,s),U2(t,s))ds. (40) Из тождеств (38)-(40) получаем, что \\Ay(t,x)\\<L2[\\Az(ti,x)\\ +

X

+

T,S, P2(T,S),U2(T,S))

t1 Xo

f2(r,s, р2(т, s),u2(t, s))\dsdr +

X

+ J f\\p2(T,s)\\dsdT

1 X0

(41)

\\Ayt(t,x)\\ <

< L

,S,p2(t,s),U2(t,S)) -

X0

-f2(t, S, P2(t,s),U2(t,s))\\ds +

+

J \\P2(t,

)\ d

X0

\\Ayx(t,x)\\<L4[\\AZx(ti,x)\\ +

+ \\\ f2^,X,P2(T,X),U2(T,X))-

dr +

-f2(T,X, P2(T,X),U2(T,X))\

+

J\\P2(T,

x)\\dr

(42)

X

\\Ayt(t,x)\\<L6 J [\\Az(ti,s)\\]ds +

X0

+ \\f2( t,s,P2(t,s),U2(t,s))-

f2t,S,P2(t,S),U2(t,S)\\ +

X

X

+ JUzs(ti,sWs +

X0

+

T,S, P2(T,S),U2(T,S))

1 X0

f2(r, s, p2(t, s), u2(t, s)) \\dsdr. (44)

\\Ayx(t,x)\\ < L7[\\AZx(h,x)\\ +

+ Jf2(r,x,P2(r,x),U2(r,x))dr

1

- f2 (т, X, P2 (T, X), U2 (T, X))\ +

+

J\\Az(ti,

)\ d +

X

X0

+

T,S,P2(T,S),U2(T,S)) -

1 X0

- f2(r, s, P2 (t, s), щ(т, s))\\dsdr], (45)

где Lt = const > 0,i = 57 некоторые постоянные.

Эти оценки позволяют получить необходимое условие оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.

Считая (u1(t,x),u2(t,x)) оптимальным управлением, его специальное приращение определим по формуле

где Li = const > 0,i = 2,4 некоторые постоянные.

Далее, используя лемму Гронуолла-Беллмана (см., например, [14]) из неравенств (41), (42) после некоторых рассуждений получаем справедливость оценок:

\\Ay(t,x)\\ < L5[\\Az(ti,x)\\ +

X X

J\\Az(ti,sWs+ J\\Azs(ti,sms +

L(t,x; e) = ^

v1 - U1(t, x), (t, x) e D1(s),

X0

X

X0

+ J J[f2 (*, S, P2 (t, S), U2 (T, S)) -

1 X0

f2T, s, p2 (t, s), u2 (t, s)]dsdr,

(43)

\Ащ( t,x^) {о, (Ьх)Е01\01(е),

и2(Ь,х; е) - 0, (^х) Е И2, (46)

Здесь D1(£)-[в,в + £]x[^,^ + £], (в, %) Е [Ь0, t1) X [х0, х1) произвольная правильная точка (точка Лебега) (см., напр., [14]) управления и1^,х), Р1 Е и1 произвольный вектор, а £ > 0 произвольное достаточно малое число, такое, что в + £ < + £ < х1.

Принимая во внимания оценки (35), (37), (43), (45) и учитывая формулу (46), из (34), на основе теоремы о среднем получаем, что

—£2[Н1( в,?,р1(в,0,"1,р1(в,0) —

-Н1 (в, р1 (в, а и1 (в, о, р1 (в, о)] + 0(£2) > 0.

— I

X

X

1

Отсюда в силу произвольности £ > 0 следует неравенство

Hi(e,^,pi(e,o,vi,xPi(e,o)--Hi(e,^,pi(e,0,ui(e,0,^Pi(e,0) < 0.

Теперь специальное приращение оптимального управления (%( t,x),U2(t,x)) определим по формуле

' Aui(t,x;/i) — 0, (t,x) Е D2, (47)

I , „ ,Л _(V2-u2(t,x),(t,x) Е D2(H), Iu2(t,x;V) — { 0, (t,x) Е D2\D2(ji).

Здесь D2(pl) — [e,e+pl]x[^,^ + ¡], (в,()Е[ti,t2) X [x0,xi) произвольная правильная точка управления u2(t,x), V2 Е U2 произвольный вектор, а л > 0 произвольное достаточно малое число, такое, что в + л <

+ Л< xi.

При определении специального приращения управления (ui(t,x),u2(t,x)) формулой (47), учитывая оценки (43)-(45) из формулы приращения (34) получаем, что вдоль оптимального управления (%( t, x), u2(t, x))

-Л2[H2(e,^,p2(e,0,V2,iP2(e,0) H2 (в, f, p2 (в, О, u2 (в, О, Ыв,0)] + +0(л2) > 0.

Следовательно,

H2(e,f,p2(e,f),V2,Me,0)-H2 (e,t,p2(e,au2(e,a^2(e,o) < 0.

На основе полученных неравенств сформулируем доказанный результат.

Теорема 1. При сделанных предположениях, для оптимальности допустимого управления (ui (t, x), U2 (t, x)) необходимо, чтобы выполнялись соотношения

max Hi (в, pi (в, О, Vi, rPi (в, f)) —

V1EU1 4 '

— Hi (в, f, pi (в, О, ui (в, О, Vi (в, О) (48) для всех ( в, £) Е [t0, t-J X [x0, xi),

max H2 (в, t, p2 (в, О, V2, V2 (в, о) —

v2eu2 4 '

— H2 (в, p2 (в, О, u2 (в, О, V2 (в, О) (49)

для всех ( в, £) Е [t0, t-J X [x0, x-).

Линеаризованный принцип максимума

В этом пункте исследование задачи (1)-(7) продолжается при следующих дополнительных предположениях:

1) множества Ui, i — 1,2 выпуклы,

2) вектор-функции 1(Ь,х,р1,и1) и 2(1,х,р2,и2) непрерывны по совокупности аргументов вместе с частными производными по (р1,и1) и (Р2,щ) соответственно.

Приведем формулу приращения функционала качества (7), соответствующую допустимым управлениям (%( Ь,х),и.2(Ь,х)') и (й1( 1,х),й2(1,х)) (см. (15)):

АБ(и1,и2) =

= [ <р1(2( Т1,Х1),г(Т2,Х2).....г(Тк,Хк)) —

—(Р1(г( ТМ.грМ.....г(Тк,Хк))] +

+ [<Р2 (у(01, %1), у(в2, ы.....у(0к, &)) —

—<р2(у( 01, Ы, У (02, ^).....у(вк, &))] +

£1 Х1

+

f f Vi(t,x)AztX(t,x)dxdt-[Hi( t , x, pi, щ, Vi) +

to Xo

tl X1

+

to Xo

- Hi( t, x, pi,ui,Vi)]dxdt +

12 Xi

f f Vf2(t,x)AytX(t,x)dxdt

i Xo

2 Xi

f f [H2(t,x,p2,U2,V2)

i Xo

Н2(1,х,р2,и2,'ф2)\(х(И. (50)

Применяя формулу Тейлора к отдельным слагаемым в формуле (50), получаем, что

=i

AS(ui,u2) — dp\(z(Ti,Xi).....z(Tk,Xk))

dZi

XAz(Ti,Xi) +

X

k

V др2 (y( вг, Si).....y^k,^))

=i

dyi

X Ay(в0Ы +

X

i Xi

+

f f ifii(t,x)AztX(t,x)dxdt

i Xi

o Xo

dAUiH'i(t, x, pi,Ui,Vi)

+

д pi

o Xo

dAUiH'i(t, x, pi, Ui, Vi) д ui

Api( t,x) +

Aui( t, x)dxdt

+

t2 X1

+

dAU2H2(t, X, P2,U2,p2)

1 X1

OP2

AP2 (t,x) +

1 X0

dH2(t,x,P2,U2,ip2.) +----Au2( t,x)dxdt

OUn

+

<L2J J \\Au1(t,x)\\dxdt, (53) 0 X0

\At(t,x)\\ <

,*/)\\ ) +

1 X1

'1(1\\Аг( Ть.

к

1ь(9ит =1

— | | 05(\Арl(t,X)+АUl(t,X)\)dxdt —

с0 х0 £2 Х1

— 11 ъаым+ььыпъь*. т

£1 х0

Считая, что р(,х),1 — 1,2 являются решениями сопряженной системы (32), (33), то аналогично с доказательством формулы приращения (34) доказывается справедливость следующей формулы приращения функционала качества:

< L

0 X0 X1

X1

J J \\Aui(t,

x)\\dxdt

+ J \\Au1(t,x)\\dx

X0

(54)

1 X1

\\AzX(t,x)\\ < L2 J J \\Au1(t,x)\\dxdt +

0 X0

+

J \\Aui(t,

x)\\dt

(55)

Перейдем к оценке для \\Ау( Ь, х)\\ , \\Ауе( 1,Х)\\и\\Аух(1,Х)\\.

Из краевой задачи (11)-(12), переходя к эквивалентному интегральному уравнению и используя условие Липшица, получаем, что

\\Ау( 1,Х)\\<С1[\\Аг(11,Х)\\ +

X

1 X1

AS(u1,u2) = dH\(t, x, P1,u1,p1)

+

O U

0 X0

х AP1(t, x)dxdt -

x

2 X1

-JJ

1 X0

OH2(t,x,P2,U2,p2)

O U

Au2( t,x)dxdt +

+ o

,*/)\\ ) +

'i\^\AZ(Ti,

J J 0s(\\APi(t,x) + Aui(t,x)\\)dxdt-

a

o4(\\AP2(t,x) + Au2(t,x)\\)dxdt.(52)

1 X1

0 X0 2 X1

1 X0

Из оценок установленных, например, в [1], следует, что

\\Az(t,x)\\ <

J J\\Ay(T,s)\\ + \\AyT(T,s)\\] +

1 X0

+ \\Ays(r,s )\\ + \\Au2(t,s)\\dsdT, (56)

где С1 = const > 0 некоторое постоянное. Аналогично получаем, что \\Ayt( t,x)\\<C2i [\AU2(t,s)\ +

X0

+ \\Ay( t,s)\\ + + \Ayt( t,s)\\Ays( t,s )]ds, (57) \\Ayx(t,x)\\ < C3[\\AZx(ti,x)\\ +

+ \\Ay(T,x)\\\\AyT(T,x)\\ +

+ J\\Au2(r,x)\\ + \\Ayx(T,x)\\dT, (58)

1

где С2 = const > 0,С3 = const > 0 также некоторые постоянные.

Далее, ясно, что \\Ay(t,x)\\ <

< c4[\\az(ti,x)\\ + J\\AyT(T,x)\\dz,(59)

1

к

0

к

X

\\Ay(t,x)\\< J\\Ays(t,s)\\ds,

ds, (60)

X0

(С4 = const > 0).

Из (57)-(58) применяя лемму Гронуолла (см., например, [14]) соответственно, получим, что

\\Ayt(t,x)\\<C5

X

J \\AU2(t,

s)\\ ds +

X0

+

X

J [\\Ay(t,

s)\\ + \\Ays( t,s)\\]ds,

X0

+

\\Ayx( t,x)\\<Ce\\AZx(t1,x)\\

J [\\Ay(T,x)\\ + \\AyT(T,x)\\]dT

+

\\Ayt(t,x)\\<C7

X

J

\\AU2(t,s)\\ ds

X0

X

+

X0

J\Ays(t,s)\ds+ J J\\AyT(r,s)\\dsdT +

1 X0

X X0

(61)

<С

X

J [\\Az (ti,s)\\ + \\Au2(t,s)\ \]ds +

0

X

+ J\Ays( t,s )\\ds, (63)

X0

\\Ayx(t,x)\\ < Cw[\\AZx(ti,x)\\ +

Jt

+ I \\Au2(T,x)\\dT +

J\\AyT(T,

x)\\ dz

(64)

+ J\\Au2(T,x)\\dT, 0

где С5 = const > 0, С6 = const > 0 некоторые постоянные.

Из последних неравенств, используя соответственно оценки (59), (60), получим

(С9 = const > 0, С10 = const > 0 некоторые постоянные).

Усиливая эти неравенства (63), (64) друг с другом, а затем применяя к усиленным неравенствам лемму Вендорффа, аналогично будем иметь

\\Ayt(t,x)\\ <

<С

12

J\\Az (ti,s)\\[+\\Au2(t,s)\\]ds

+

X0

+ i \\Az,(ti,s)\\ ds +

X0 X

+ J J\\Au2(t,s)\\dsdr, (65)

1 X0

\\Ayx( t,x)\\<Ci3\\Az(ti,x)\\ +

+

J\\AU2(T,

x)\\dr +

\\Ayx(t,x)\\ < C8[Azx(h,x) +

+ J\\Au2(T,x)\\dT + J\\AyT(T,x)\\dT +

0 1 X

+ J J\\Ays(T,s)\\dsdT, (62)

1 X0

(С7 = const > 0, С8 = const > 0 некоторые постоянные).

Применяя к этим неравенствам лемму Вендорффа (см., например, [14]), будем иметь

\\Ayt(t,x)\\ <

(66)

X

+ J J\\Au2(r,s)\\dsdT +

1 X0

X

+ J J\\Az(t1,s)\dsdr.

1 X0

Далее, из (59) с учетом (65) получаем, что \\Ay(t,x)\\ <

X

< C11\\Az(t1,x) \ + J J \Az(t1,s)\dsdr +

1 X0

X

+ J J\\Au2(t,s)\\dsdr +

1 X0

1

1

1

X

X

X

+

I I ЦАг3(з)Ц(1зат. (67)

£1 х0

Используя оценки (65)-(67), с помощью специальных приращений управляющих функций получим необходимое условие оптимальности.

Предположим, что в () Аи2 (Ь, х) = 0 . Тогда из (52) получаем, что

Б(и1 + Аи1, у1) — 5(и1, и2) =

£1 Х1

o Xo

dH'i(t, x, pi,ui,Tpi)

д ui

X

X Api(t, x)dxdt +

+0i(T\\Az(Ti,

=i

^OW ) +

+ 0

=i

i Xi

f J ъаАъЬЦ + ^ыпхьа

o Xo

2 Xi

04(\\Ap2(t,x) +

i Xo

+Au2( t, x)W)dxdt.

(68)

Пусть л Е [0,1] произвольное число, Vi(t,x) Е Ui с Rr,(t,x) Е Di , произвольное допустимое управление. Тогда с учетом выпуклости множества Ui специальное приращение управляющей функции ui (t, x) можно определить по формуле

Aui(t,x; л) — ¡[Vi(t,x) -ui(t,x)]. (69)

Через Az(t,x;л) обозначим специальное приращение состояния ( , x) и y( , x), отвечающее приращению () управления. Из оценок (65)-(67) следует, что

\\Az( t,x-^)W<Ci^, (70)

\\Azt( t,x-^)W<Ci^, (71)

\\AZx( t,x-^)W<Ci^, (72)

где Ci4 — C0nst > 0 некоторая постоянная.

Принимая во внимания формулу (69) и оценки (70)-(72) из частичной формулы приращения (68), приходим к разложению

Б(и1 (Ь, х) + Аи1 (Ь, х; л), (Ь, х)) — -5(и1&,х),и2&,х)) =

i Xi

— - л

dH'i(t, x, pi,ui,Vi) д ui

X

£0 х0

X ( у1(Ь,х) — и1(1,х))(х(И + о (л). (73)

Пусть теперь V е [0,1] произвольное число, у2(^х) еи1 с Яг,(^х) е И1, произвольное допустимое управление. Специальное приращение управляющей функции и2(Ь,х) определим по формуле

Аи2(Ь, = V[у2 (Ь, х) — и2 (Ь, х)]. (74)

Через Ау(Ь, х; V) обозначим специальное приращение у(Ь,х). Ясно, что Аг(Ь, х^) = 0. Поэтому из оценок (65)-(67), учитывая (68), получаем, что

||Ау(Ь,х^)Ц < С^,(Ь,х)е02. ||Ауе( 1,х^)Ц < С1^,(1,х) е В2.

ЦАух( 1,х^)Ц < С1^,(1,х) е В2. (75)

Учитывая (74), (75) из (68), получаем справедливость разложения

5(и1 (Ь, х), и2(Ь, х) + Аи2 (Ь, х-^)) — —5(и1^,х),и2^,х)) =

2 Xi

— -v

dH'2(t,x, p2,U2,V2) д u

X

i Xo

X [р2(Ь, х) — и2(Ь, х~)](х(И + о (V). (76)

Предположим, что допустимое управление является оптимальным управлением в задаче (1)-(7). Тогда из разложений (73), (76) получаем справедливость неравенств

£1 Х1

л

dH'i(t, x, pi,ui,Vi) д u

X

o Xo

X [Vi(t,x) - ui(t,x)]dxdt - 0 (л) < 0, (77)

2 Xi

dH'2(t,x,p2,U2,\p2) д u

X

i Xo

X [v2(t,x) - u2(t,x)]dxdt + 0(v) < 0. (78)

Из неравенств (77), (78) в силу произвольности л Е [0,1] и v Е [0,1] получаем, что

k

v

дН'1(Ь,х, р1,и1,р1) дщ

X

£1 Х1

II .

£0 х0

X [р1(Ь,х) — и1(Ь,х)]йх(И < 0, (79)

£2 Х1

II

£1 х0

дН'2(Ь,Х, р2,и2,р2) ди7

X

X [р2(Ь,х) — и2(Ь, х)]йхй1 < 0. (80)

Сформулируем полученный результат.

Теорема 2. Если множества иI — 1,2 выпуклы, а 1,х,р1,щ), I — 1,2 имеют непрерывные частные производные по (р^щ), I — 1,2 соответственно, то для оптимальности допустимого управления (и1( 1,х),и2(1,х)) в задаче (1)-(7) необходимо, чтобы неравенства (79), (80) выполнялись для всех р1(Ь, х), х) соответственно.

Таким образом, доказано необходимое условие оптимальности в форме линеаризованного интегрального принципа максимума.

Непосредственным следствием теоремы является следующее утверждение.

Следствие. Пусть выполняются условия теоремы. Тогда для оптимальности допустимого управления (и1( 1,х),и2(1,х)) в рассматриваемой задаче необходимо выполнение соотношений

X

дН'1(Ь,х,р1,и1,р1) ди1

X [р1 (Ь, х) — и1(Ь,х)]<0 (81) для всех у1 Е и1, (в, £) Е [£0, Ь1) X [х0,х1),

дН'2(Ь,Х,р2,и2,р2~) ди2

X [у2(Ь,х) — и2(Ь,х)] < 0 (82)

для всех у2 Е и2, (в, £) Е [^ Ь2) X [х0, х1).

Полученное необходимое условие оптимальности является аналогом линеаризованного (дифференциального) [15] принципа максимума.

Необходимые условия оптимальности (79) и (81), (80) и (82) можно показать, что эквивалентны.

Проверка этих необходимый условий оптимальности легче, чем проверка условий оптимальности (79), (80).

Но они более слабы, чем аналог принципа максимума Понтрягина и получены при более жестких ограничениях на данные рассматриваемой задачи.

Аналог уравнения Эйлера

Предположим, что множества и^, I — 1,2 открыты, а Ь,х,р1,щ), I — 1,2 непрерывно-дифференцируемы по (р^щ}, Ь — 1,2 соответственно. Предположим, что £ произвольное, достаточно малое по абсолютной величине число, а 8и1(1,х) Е Яг,(Ь,х) Е И1 произвольная «-мерная измеримая и ограниченная вектор-функция (допустимая вариация управляющей функции).

Тогда специальное приращение управляющей функции и1(Ь,х) можно определить по формуле

Аи1( Ь,х;£) — £5и1(1,х). (83)

Пусть (Аг(Ь, х; е), Ау(Ь, х; £)) специальное приращение состояния (г(Ь,х),у(1,х)) , отвечающее приращению (83) управления и1(Ь, х).

Из оценок (65), (67) и формулу (83) следует, что \ Ар1 (£, х; г)\ \, \ \ Ар2 (Ь, х; г)\ \ имеют порядок малости /. Тогда учитывая формулу (83) из (68) получаем разложение

Б(и1 + £5и1,и2) — Б(и1,и2) —

£1 Х1

дН'1(Ь,х,р1,и1,р1) — — £ I I -;-X

(84)

ди1

£0 х0

X 5и1(1,х)йха + 0 (£).

Теперь предположим, что

Аи2( Ь,х;£) — £5и2(Ь,х). (85)

где, как и выше, также достаточно малое по абсолютной величине число, а 8и2(Ь,х) Е Яч,(Ь,х) Е й2 произвольная -мерная измеримая и ограниченная вектор-функция.

Пусть (Аг(Ь, х; е), Ау(Ь, х; г)) специальное приращение состояния (г(Ь,х),у(1,х)^ , отвечающее приращению (85) управления и2(Ь,х). Ясно, сто при этом \\Ар1(Ь,х; £)\\ — 0, а \\Ар2(Ь, х;г)\\ имеют порядок малости £, в силу оценок (65), (67). Тогда из формулы приращения (52) следует, что

5(и1, и2) — 5(и1, и2 + £8и2) —

£2 Х1

Г Г дН'2(Ь,Х,р2,и2,р2~) — —£] ] -=-X

£1 х0

ди7

X 8и2(:, х)йхМ + 0 (Е).

(86)

Из разложений (84), (86), что в силу открытости областей управления и^ I = 1,2 и основного результата вариационного исчисления следует, что если (и1( 1,х),и2(1,х)) оптимальное управление, то для всех Зщ^, х) е К,8и2(Ь,х) е К4 выполняются соотношения

£1 Х1

дН'1(Ь,х,р1,и1,,ф1)

ди1

£0 х0

X 5и1(1,х)(х(И = 0,

ь2 Х1

дН' 2(Ь,Х,р2,и2,-ф2~) дщ

£1 х0

X

(87)

X

X 8и2(1,х)(1х(И = 0. (88)

Соотношения (87), (88) являются неявными необходимыми условиями первого порядка. Но из них можно получить явно выраженную через параметры рассматриваемой задачи вариацию управления определяя специальным образом.

Имеет место

Теорема 3 (аналог уравнения Эйлера). Если множества и^, I = 1,2 открыты, то для оптимальности допустимого управления (и1 (Ь, х), и.2 (I, х)) необходимо выполнение соотношений

дН 1(Ь,х,р1,и1,,ф1) ди1

= 0

для всех ( в,%) е [Ь0,11) X [х0,х1), дН 2&,Х, Р2,и2,-ф2)

ди7

= 0

(89)

(90)

для всех (в, О е [£1, Ь2) X [х0, х1).

Соотношения (89), (90) являются аналогом уравнения Эйлера из классического вариационного исчисления для рассматриваемой задачи.

Заключение

В статье рассматривается задача оптимального управления с переменной структурой, описываемая в двух областях нелинейными системами гиперболических уравнений второго порядка с краевыми условиями Гурса, при предположении что функционал качества является многоточечным.

При развитии аналога метода приращений для рассматриваемой задачи введены сопряженные уравнения в форме двумерных ин-

тегральных уравнений типа Вольтерра с одномерными слагаемыми. Построена общая формула приращения критерия качества первого порядка, носящего конструктивный характер. Приведены оценки норм приращений состояний. Исследуя полученную формулу приращения на игольчатого типа вариациях (аналог вариации Макшейна) управления, доказан аналог принципа максимума Понтрягина. При предположении выпуклости областей управления и гладкости правых частей уравнений также по управляющим функций выведен аналог линеаризованного условия максимума.

В частности, приведено необходимое условие оптимальности в форме дифференциального условия максимума. В случае открытости областей управления установлен аналог классического уравнения Эйлера.

Список источников

1. Егоров А.И. Об оптимальном управлении процессами в некоторых системах с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1964. № 5. С. 613-623.

2. Ахмедов К.Т., Ахиев С.С. Необходимые условия оптимальности для некоторых задач теории оптимального управления // Докл. АН Азерб. ССР. 1972. № 5. С .12-16.

3. Ащепков Л.Т., Васильев О.В. Об оптимальности особых управлений в системах Гур-са-Дарбу // Журнал вычислительной математики и математической. физики. 1975. № 5. С. 1157-1167.

4. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу // Журнал вычислительной математики и математической. физики. 1972. № 1. С. 61-67.

5. Срочко В.А. Условия оптимальности типа максимума в системах Гурса-Дарбу // Сибирский математический журнал. 1984. №2. С. 56-65.

6. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления с распределенными системами. Ч. I. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1992. 110 с.

7. Мансимов К.Б. Условия оптимальности второго порядка системами Гурса-Дарбу при наличии ограничений // Дифференциальные уравнения. 1990. № 6. С. 954-965.

8. Мансимов К.Б. Интегральные необходимые условия оптимальности квазиособых управлений в системах Гурса-Дарбу // Автоматика и телемеханика. 1993. № 5. C. 116-122.

9. Арсенашвили А.И., Тадумадзе Т.А. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем с переменной структурой и непрерывными условиями преемственности // Тр. ИПМ. и М И.Н. Векуа. Тбилиси, 1988. Т. 27. С. 35-48.

10. Захаров Г.К. Оптимизация ступенчатых систем с управляемыми условиями перехода // Автоматика и телемеханика. 1993. № 6. С. 32-36.

11. Исмайлов Р.Р., Мансимов К.Б. Об условиях оптимальности в одной ступенчатой задаче управления // Журнал вычислительной математики и математической. физики. 2006. № 10. С. 158-170.

12. Никольский М.С. Об одной вариационной задаче с переменной структурой // Вестник МГУ, Серия Вычислительной математики и кибернетики. 1987. № 1. С. 31-41.

13. Васильев О.В., Срочко В.А., Трелецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения. М.: Наука, 1990. 151 с.

14. Новоженов М.М., Сумин В.И., Сумин М.И. Методы оптимального управления системами математической физики. Горький: Изд-во ГГУ, 1986. 87 с.

15. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. М.: Либроком, 2011. 272 с.

References

1. Yegorov A.I. Ob raspredelenii upravleniya protsessami v nekotorykh resursakh s raspre-delennymi parametrami. Avtomatika i telemekhanika. 1964;5:613-623. (In Russ.).

2. Akhmedov K.T., Akhiyev S.S. Neobkhodi-myye usloviya vodnykh resursov dlya nekotorykh zadach teorii ekonomicheskogo upravleniya. Dokl. AN Azerb. SSR. 1972;5:2-16. (In Russ.).

3. Ashchepkov L.T., Vasil'yev O.V. Ob isklyuchi-tel'nosti osobykh upravleniy v istochnikakh Gursa-Darbu. Zhurnal vychislitelnoiy ma-

tematiki i matemematicheskoiy fiziki. 1975;5:1157-1167. (In Russ.).

4. Plotnikov V.I., Sumin V.I. Optimizatsiya ob"yektov s raspredelennimi parametrami, opisyvayemymi infektsiyami Gursa-Darbu. Zhurnal vychislitelnoiy matematiki i matemematicheskoiy fiziki. 1972;1:61-67. (In Russ.).

5. Srochko V.A. Usloviya universal'nosti tipa maksimal'noy v rasteniyakh Gursa-Darbu. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal 1984;2:56-65. (In Russ.).

6. Sumin V.I. Vol'terrovy uravneniya v teorii up-ravleniya s raspredelennymi funktsional'nymi proyavleniyami. Ch. I. Nizhniy Novgorod: Izd-vo NNGU; 1992. 110 s. (In Russ.).

7. Mansimov K.B. Trebovaniya k srednemu tsvetu tsveta Gursa-Darbu pri nalichii ograni-cheniy. Differentsialnii uravneniya. 1990;6:954-965. (In Russ.).

8. Mansimov K.B. Integral'nyye ekvivalentnyye usloviya kislotnosti kvazisobstvennykh upravleniy v sistemakh Gursa-Darbu. Avtomatika i telemekhanika. 1993;5:116-122. (In Russ.).

9. Arsenashvili A.I., Tadumadze T.A. Ne-obkhodimyye usloviya potrebleniya dlya up-ravleniya sistemami s ukazaniyem struktury i nepreryvnymi usloviyami preyemstvennosti. Trudy IPM i M I.N. Vekua. Tbilisi, 1988;(1(27):35-48. (In Russ.).

10. Zakharov G.K. Optimizatsiya stupenchatykh sistem s upravleniyem dostupom. Avtomatika i telemekhanika. 1993;6:32-36. (In Russ.).

11. Ismaylov R.R., Mansimov K.B. Ob usloviyakh natsional'nosti v odnoy stupenchatoy zadache upravleniya. Zhurnal vychislitelnoiy ma-tematiki i matemematicheskoiy fiziki. 2006;10:158-170. (In Russ.).

12. Nikol'skiyM.S. Ob odnoy variatsionnoy zada-che s ustanovkoy stuktury. Vestnik MGU, Ser. vychislitelnoiy matematiki i kibernetiki. 1987;1:31-41. (In Russ.).

13. Vasil'yev O.V., Srochko V.A., Treletskiy V.A. Metody optimizatsii i ikh prilozheniya. M.: Nauka; 1990. 151 s. (In Russ.).

14. Novozhenov M.M., Sumin V.I., Sumin M.I. Metody obshcheprinyatogo upravleniya ma-tematicheskoy fizikoy. Gor'kiy: Izd-vo GGU; 1986. 87 s. (In Russ.).

15. Gabasov R., Kirillova F.M. maksimal'na-ya v teorii printsipov upravleniya. M.: Librokom; 2011. 272 s. (In Russ.).

Информация об авторах:

К. Б. Мансимов - доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математической кибернетики Бакинского государственного университета (1148, Азербайджан, г. Баку, ул. З. Халилова, 23), руководитель лаборатории "Управление в сложных динамических системах" Института систем управления Министерства науки и образования Азербайджана (1141, Азербайджан, г. Баку, ул. Б. Вагабзаде, 68), AuthorlD 247352;

Ш. Ш. Сулейманова - диссертант Института систем управления Министерства науки и образования Азербайджана (1141, Азербайджан, г. Баку, ул. Б. Вагабзаде, 68).

Information about the authors:

К. B. Mansimov - Doctor of Sciences (Physical and Mathematical), Professor, Head of the Mathematical Cybernetics Department, Baku State University (23, Z. Khalilov St., Baku, Azerbaijan, 1148 ), Head of the Laboratory "Control in Complex Dynamical Systems" of the Institute of Control Systems of the Ministry of Science and Education of Azerbaijan (68, B. Vagabzade St., Baku, Azerbaijan, 1141), AuthorlD 247352;

Sh. Sh. Suleymanova - dissertation candidate at the Institute of Control Systems of the Ministry of Science and Education of Azerbaijan (68, B. Vagabzade St., Baku, Azerbaijan, 1141).