Об одной задаче распознавания предфрактального графа Текст научной статьи по специальности «Математика»

личии соответствующей аппроксимации /аК (х) осуществляется проще сравнительно со случаем присутствия в нем делителя 1 .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Никонов А. И. О задачах определения компонентов - величин операционно-параметрических моделей // Успехи современного естествознания, 2004. № 8. С. 123-124.

2. Никонов А. И. Виды компонентов параметрических схем-моделей действия технических объектов // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: Техн. науки, 2005. Вып. 32. С. 63-68.

3. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов. М.: Наука, 1998. 232 с.

4. МатвеевН. М. Дифференциальные уравнения: Метод. пособие. Л.: ЛГУ, 1963. 416 с.

5. Бронштейн И. Н. Семендяев К. А. Справочник по математике. М.: Наука, 1981. 720 с.

6. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для вузов. М.: Наука, 1984. 432 с.

7. Брычков Ю. А., Маричев О. И., Прудников А. П. Таблицы неопределенных интегралов. М.: Наука, 1986. 192 с.

Поступила 23.08.2006 г.

УДК 519.1

И. Х. Найманова, А. М. Кочкаров

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ РАСПОЗНАВАНИЯ ПРЕДФРАКТАЛЬНОГО ГРАФА

Рассматривается задача распознавания предфрактального графа с непересекающимися старыми ребрами, при этом в качестве затравки выступает регулярный п—вершинный граф степени .5 = п - 2 .

Задача распознавания объектов и явлений является актуальной задачей искусственного интеллекта и многих задач в военной области, в связи с этим вызывает интерес ее постановка и исследование.

В данной работе рассматривается задача распознавания предфрактального графа (см. [1]) О = (¥,Е) с непересекающимися старыми ребрами, когда в качестве затравки

Н = (Ж,Q) выступает регулярный п -вершинный граф степени 5 = п — 2.

, | п(п — 2)

Пусть множество Q состоит из ц = |Q| = —^—- ребер. Найдем количество ребер данного предфрактального графа

/ \ / 2 1— п п(п — 2) п1 — 1

т (п, ц, Ь) = ц (1 + п + п +... + п ) =-2-----1. (1)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть граф О = (У,Е) является таким (п, 1) -графом, в котором старые ребра не пересекаются и его затравка Н = (Ж,Q) является однородным графом степени deg Н = п — 2. Тогда его множество вершин V разбивается на два подмножества Ух и Уг, где V составляют вершины, степень которых равна п — 1, а V2 составляют вершины, степень которых равна п — 2. При этом мощности этих множеств определяются соотношениями:

. . п (п — 2)( п1—1 — 1)

V, = ------^--------1, (2)

п—1 пі —1

К =-----Т + п — 1. (3)

п —1

Доказательство. По условию теоремы старые ребра в графе О не пересекаются. Это значит, что какая-либо из вершин V єV либо инцидентна одному старому ребру, либо не инци-

дентна ни одному из старых ребер. В первом случае — вершина инцидентна одному старому ребру и, в силу однородности Н = (Ж,Q), 5 ребрам затравки, т.е. степень этой вершины равна 5 +1. Во втором случае вершина V инцидентна только ребрам затравки и, следовательно, ее степень равна 5 . Таким образом, множество вершин V можно разбить на два подмножества V1 и V2, где V составляют вершины, степень которых равна 5 +1, а V2 составляют вершины, степень которых равна 5 .

Докажем теперь вторую часть теоремы.

Подмножество V составляют только те вершины, которые инцидентны старому ребру.

Используем формулу (1) для вычисления количества старых ребер т (, д,Ь — 1) = д

пЬ—1 — 1

і —1п —1

учитывая, что каждому старому ребру инцидентны две вершины, получим 1^1 = 2ц--------, т.е.

п —1

соотношение (2) доказано.

Подмножества V1 и V2 образуют разбиение множества V, тогда верно, что V2 = V \ V1, а

мощность | V, | = п1 — V |. Итак, формула (3) доказана. Теорема доказана.

Лемма 1. Пусть в предфрактальном графе О = (У, Е) две вершины vl и v2 принадлежат одной затравке Н = (Ж,Q) (vl, v2 є Ж) и имеют смежность с некоторой вершиной Vє V, тогда вершина v также принадлежит этой затравке Н.

Доказательство. Допустим, что vє V не является вершиной данной затравки Н = (Ж,Q), тогда она принадлежит другой затравке Н' = (№',Q'), т.е. ребра е = (vl,v) и е = (v2,v) являются старыми.

Заметим, что два старых ребра е = (v1, v) и е = (v2, v) не могут быть инцидентны по обеим вершинам одним и тем же затравкам в силу того, что кратных ребер в траектории предфрак-тального графа нет. Лемма доказана.

Для решения поставленной задачи распознавания предфрактального графа О = {У, Е) с непересекающимися старыми ребрами, когда затравка - регулярный граф степени п — 2, предлагается следующий алгоритм а1., состоящий из этапов р = 1, 2,..., Ь — 1, которые взаимнооднозначно соответствуют текущим графам О1, (I = 2,..., Ь -траектории). На входе этапа р рассматривается текущий граф О1, где I = Ь — р +1. Этап р выделяет в О1 затравки, состоящие из ребер ранга I. После чего, каждая из этих затравок стягивается в вершину. Полученный в результате текущий граф О1—1 представляется на вход этапа I — 1.

В процессе результативной реализации Ь — 1 этапов алгоритма а1 получаем последовательность О*, О*—1,..., О*. При этом считаем, что данный граф О , обозначаемый через ОІ, является предфрактальным каноническим графом тогда, когда последовательность имеет длину Ь . Причем, каждый представитель этой последовательности удовлетворяет необходимым условиям предфрактальности. Выполнение этих условий проверяется в результате реализации всех операций соответствующего этапа.

Опишем вычислительную схему первого этапа в случае, когда на его вход представлен исходный граф О = (V,Е).

Этап р = 1 начинает свою работу с проверки выполнения равенства |V] = п* . Если это равенство не выполняется, то алгоритм а1 заканчивает работу безрезультатно. В случае выполнения этого равенства в графе О выделяются множества V1, состоящего из вершин степени

5 = п — 1, и V2, состоящего из вершин степени 5 = п — 2 . Если разность V \ (V и V2) ^ в , то алгоритм заканчивает работу безрезультатно. В противном случае, V1 и V2 образуют разбиение множества V, и дальнейшая работа этапа р = 1 состоит из т0 шагов, где т0 число таких затравок, каждая из которых состоит из новых ребер.

Результатом каждого такого шага является выделенная в графе О очередная затравка. Процедуру выделения этой затравки обозначим через Ь .

и

Описание процедуры Ь • Выделяем во множестве V2 очередную неотмеченную вершину v1 , т.е. вершину, которая не принадлежит какой-либо уже выделенной затравке. Так как вершина v1 є V,, то она имеет степень п — 2 , т.е. смежна с п — 2 новыми вершинами своей затравки Н = (Ж,Q), которые обозначаем через ^, где к = 2,3,..., п — 1, и окрашиваем. В результате имеем п — 1 выделенных вершин п -вершинной затравки, т.е. непомеченной осталась всего

*

одна вершина. Рассмотрим теперь те вершины, которые смежны с выделенными vk (к = 2,3,..., п — 1), но неокрашены, и выделим среди них ту, которая будет смежной с п — 2 из уже окрашенных п —1 вершин. Согласно лемме 1, эта вершина также будет принадлежать этой затравке. Через Ж' обозначаем множество всех вершин, отмеченных процедурой / . Если

мощность |Ж= п, то выделяем и окрашиваем все ребра, у каждого из которых концы представляют собой вершины данного множества Ж'. Работа процедуры / завершается проверкой: образует ли множество выделенных таким образом вершин и ребер п -вершинный связный однородный граф степени 5 = п — 2 ? Если да, то шаг, включающий в себя описанную процедуру / , завершается результативно, и следует переход к следующему шагу первого этапа. В противном случае шаг считается безрезультатным, и алгоритм а1 прекращает свою работу.

Этап р = 1 завершается, когда в данном графе О = (¥,Е) все вершины множества V окажутся отмеченными.

По окончании первой части алгоритма а1 осуществляем проверку, все ли вершины исходного графа О оказались отмеченными? Если да, то первый этап алгоритма а1 заканчивает свою работу следующей процедурой. Исходный граф О обозначается через О* и представляется в качестве первого члена последовательности ОЬ, Оь—1,..., О1 . Каждая выделенная затравка графа О стягивается в одну вершину. Полученный в результате такого стягивания граф обозначается через О*—1. Далее, по отношению к нему реализуем очередной этап алгоритма.

Теорема 2. Всякий предфрактальный граф О = (V,Е) с попарно непересекающимися старыми ребрами и регулярной п-вершинной затравкой Н = (Ж,Q) степени 5 = п — 2 является распознаваемым алгоритмом а1.

Доказательство. Каждая новая затравка ранга 1 либо сохраняет инцидентность только с п — 2 старыми ребрами ранга Ь — 1, либо с п — 2 ребрами предыдущего ранга Ь — 1 и одному ребру ранга Ь — 1, Ь — 2,...1. В первом случае новая затравка имеет две вершины минимальной степени 5 = п — 2 в силу непересечения старых ребер. Во втором случае новая затравка имеет одну вершину степени 5 = п — 2 . Таким образом, доказано, что всякая новая затравка имеет хотя бы одну вершину минимальной степени п — 2 , а это обеспечивает распознавание каждой затравки. Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Емеличев В. А. и др. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990. 432 с.

Поступила 14.08.2006 г.