Алгоритмы распознавания предфрактальных графов с различными затравками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дагаев Александр Владимирович

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный » . .

E-mail: [email protected].

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: 88634371980.

Бойченко Михаил Михайлович E-mail: [email protected].

Тел.: 88634371980.

Бородянский Юрий Михайлович E-mail: [email protected].

.: 88634371787.

Кафедра системного анализа и телекоммуникаций; доцент.

Dagaev Aleksander Vladimirovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: 88634371980.

Boichenko Mixail Mixailovich

E-mail: [email protected].

Phone: 88634371980.

Borodyanskiy Juriy Mixaylovich

E-mail: E-mail: [email protected].

Phone: 88634371787.

The Department of System Analysis and Telecommunications; associate professor.

УДК 519.1

P.A. Кочкаров, И.Х. Утакаева

АЛГОРИТМЫ РАСПОЗНАВАНИЯ ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФОВ С РАЗЛИЧНЫМИ ЗАТРАВКАМИ

Рассматриваются задачи распознавания различных предфрактальных графов. Произведена математическая постановка, разработаны эффективные алгоритмы распознавания исследуемых предфрактальных графов.

Граф; алгоритм; распознавание.

R.A. Kochkarov, I.H. Utakaeva

ALGORITHMS OF RECOGNITION OF PREDFRACTAL GRAPHS WITH

VARIOUS PRIMING

Problems of recognition of various predfractal graphs are considered. Mathematical statement is made, effective algorithms of recognition of investigated predfractal graphs are developed.

Graph; algorithm; pattern recognition.

Распознавание образов - едва ли не самая распространенная задача, которую человеку приходится решать практически ежесекундно. Для этого человек использует огромные ресурсы своего мозга, включая одновременно около 10 млрд нейронов. Именно это дает возможность людям мгновенно узнавать друг друга, читать

тексты, водить автомобиль. Задача распознавания объектов и явлений является актуальной задачей искусственного интеллекта и многих задач в военной области. На промышленных предприятиях методы распознавания нашли применение при построении систем технической диагностики оборудования, разработке «интеллектуальных» роботов, в автоматизированных системах управления предприятиями. В сельском хозяйстве системы распознавания находят все большее распространение не только в процедурах технической диагностики техники, но и при создании современного технологического оборудования. Методы и алгоритмы распознавания все в большей степени становятся неотъемлемым элементом медицинской и

, , локационных систем наблюдения, систем ввода текстовой, графической и речевой информации в ЭВМ [1].

Распознавание представляет собой задачу преобразования входной информа-, ,

, , , какому классу относится распознаваемый образ, что позволяет формализовать по.

, , предложить их формулировки и возможные методы решения. Чтобы в полном объеме оценить все значение этой проблемы, достаточно сказать, что создание искусственного интеллекта - это построение распознающих систем, приближающихся по своим возможностям к возможностям человека в решении задач распо-[1].

Математической моделью многих задач распознавания является задача распознавания предфрактального графа [2].

Термином «затравка» условимся называть какой-либо связный П -вершинный граф H = (Ж, Q), с непомеченными, т.е. ненумерованными вершинами и Е Ж .

« », операцию «замещения вершины затравкой» (ЗВЗ). Суть операции ЗВЗ состоит в замещении на каждом шаге каждой вершины Ук (к = 1..п) еУ графа О = (У, Е)

п -вершинной затравкой Н , при этом для каждого ребра, инцидентного с Ук,

указанная вершина заменяется на некоторую вершину и из Ж .

Определим поэтапный процесс выполнения ЗВЗ. На этапе £ = 1 в данной затравке Н = (Ж, Q), нумеруем вершины и ребра, полученный граф обозначим через О1 = (1, Е1).

Пусть выполнены этапы £ = 1,2,...,I, и по завершению этапа I получен граф

О, = (У,, Е,), который называем предфроктальным (если I ^ ж , То речь будем

).

Пусть представлен в явном виде некоторый граф, обладающий признаками . -ются в ответе на вопросы:

1) является ли данный граф предфрактальным с определенной затравкой;

2) ,

построит процесс порождения предфрактального графа с определенной .

В дальнейшем будем использовать некоторые необходимые признаки пред-фрактальности графа О = (У, Е):

a) для мощности множества вершин |У| = N существует непустое множество пар п, Ь таких, что N = N(п, Ь) ;

b) для мощности множества ребер |Е| существует хотя бы одна пара п, Ь ,

удовлетворяющая равенству К1 = я(п, Ь);

c) множество ребер ранга Ь состоит из объединения множеств ребер затравок, появившихся в результате того, что каждая вершина ранга Ь — 1 графа была замещена затравкой.

В данной работе исследуются следующие задачи:

1. Пусть представлен в явном виде некоторый граф О = (У, Е), обладающий всеми необходимыми (но не являющимися достаточными) признаками предфрактального графа:

a) для мощности множества вершин |у| = N существует пара п, Ь таких, что N = п1;

b) для мощности множества ребер |Е| существует пара п, Ь , удовлетво-

|9| п (п — 2) пЬ — 1

ряющая равенству \АЬ\ = —---------------;

2 п — 1

c) множество вершин СОСТОИТ ИЗ двух подмножеств У и У2 , где У (У2) -

множество вершин V Е У степени £ = п —1 (степени £ = п — 2).

Излагается ответ на поставленный вопрос из области теории распознавания: является ли данный граф О = (У, Е) предфрактальным с непересекающимися «старыми» ребрами [3], образованным регулярной п -вершинной затравкой степени £ = п — 2, с помощью представленного ниже алгоритма.

Описанию алгоритма предпошлем лемму.

Лемма 1. Пусть в предфрактальном графе О = (У, Е) две вершины v1 и v2 принадлежат одной затравке Н = (Ж, Q) (v1, v2 Е Ж) и имеют смежность с некоторой вершиной V Е У, тогда v также принадлежит этой за.

Доказательство леммы осуществляется рассуждением от противного:

Действительно, существование в предфрактальном графе О = (У, Е) двух вершин v1 и v2, принадлежащих одной затравке Н = (Ж, Q) (^, v2 е Ж) И имеющих смежность с некоторой вершиной V Е У не своей затравки, означает, что в траектории предфрактального графа О = (У, Е) некоторый граф О, =((,, Е,) содержит кратные ребра, т.е. является мультиграфом, что противоречит определению графа. Тогда вершина vеУ также принадлежит этой затравке Н.

Алгоритм ах

Описание процедуры в- Во множестве У2 выделяется очередная неотмечен-

*

ная вершина v1 , т.е. вершина, которая не принадлежит какой-либо уже выделенной затравке. Вершина V1 Е У2 имеет степень п — 2, т.е. смежна с п — 2 новыми вершинами своей затравки Н = (Ж, Q), которые обозначаются через vk, где

к = 2, п — 1 и окрашиваются. В результате имеем п — 1 выделенных вершин п - , . . . -

рим теперь вершины V Е У, смежные с выделенными vk, к = 1, п — 1, но неокрашенные, и выделим среди них вершину Vn, которая будет иметь смежность с п — 2 из уже окрашенных п — 1 вершин. Согласно лемме 1, вершина Vn также будет принадлежать затравке Н = (, Q). Через Ж' обозначаем множество всех вершин, отмеченных процедурой в. Если мощность |Ж'| = п, то выделяем и окрашиваем все ребра, у каждого из которых концы представляют собой вершины данного множества Ж'. Работа процедуры в завершается проверкой: образует ли множество выделенных таким образом вершин и ребер п -вершинный связный однородный граф степени £ = п — 2. Если да, то шаг, включающий в себя описанную процедуру в, завершается результативно и следует переход к следующему шагу первого этапа. В противном случае, шаг считается безрезультатным и алгоритм а прекращает свою работу.

Опишем вычислительную схему первого этапа в случае, когда на его вход представлен исходный граф О = (У, Е).

Этап р = 1 начинает свою работу с проверки выполнения равенства |у| = пЬ. Если это равенство не выполняется, то алгоритм а! заканчивает работу с определенным результатом: «представленный граф О = (У, Е) не является предфрак-тальным с непересекающимися «старыми» ребрами, образованным регулярной п -вершинной затравкой степени £ = п — 2.

, О У1 ,

состоящее из вершин степени £ = п — 1, и У2, состоящее из вершин степени £ = п — 2. Если разность У \ ( и У2) Ф в, то алгоритм заканчивает работу безре-

. , У 1 У2 У ,

дальнейшая работа этапа р = 1 состоит из т0 шагов, где т0 - число таких затра-, .

Результатом каждого такого шага является выделенная в графе О очередная затравка. Процедуру выделения этой затравки обозначим через в.

Этап р = 1 завершается, когда в данном графе О = (У, Е) все вершины

У .

По окончании первой части алгоритма а! осуществляем проверку, все ли вершины исходного графа О оказались отмеченными. Если да, то первый этап алгоритма а! заканчивает свою работу следующей процедурой. Исходный граф

О обозначается через О* и представляется в качестве первого члена последовательности о** , О*—1,...,О*. Каждая выделенная затравка графа О стягивается в одну .

О*—1. Далее, по отношению к нему реализуем очередной этап алгоритма.

Последовательное применение алгоритма к своему предыдущему результату порождает последовательность графов О1 = (, Е1), I = , которая в случае ус-

пешной работы каждого применения алгоритма представляет собой траекторию, записанную в обратном порядке О*, О*-1,...,О1*.

Принципиальная распознаваемость предфрактального графа О = (V, Евытекает из конструктивного описания алгоритма. Естественный вопрос, возникающий после результативного процесса распознавания, состоит в следующем: если полученную последовательность О*, О*-1,...,О1* записать в обратном порядке, то имеет ли место совпадение этой записи с траекторией, которая нам не известна (иначе не стоял бы вопрос распознавания)? Ответ на этот вопрос можно считать положительным в том случае, когда при построении этой последовательности никогда не возникала альтернативность при выделении каждой затравки. Отсутствие альтернативности в указанном смысле будем называть термином «однозначность результатов работы» данного алгоритма распознавания.

Рассмотрим вопрос о вычислительной сложности алгоритма а1 и произведем

оценку трудоемкости алгоритма т(а1). В процессе реализации этапов алгоритма осуществляются следующие операции: определение степени вершины, выявление окрестности радиуса 1 для этой вершины, просмотр всех пар вершин графа на , . выполняются в пределах одной затравки, то верхняя оценка этапа не превосходит совокупного количества ребер, выделенных и отмеченных в процессе работы этапа. Отсюда, справедлива

Теорема 1. Всякий предфрактальный граф О* = (V*, ЕЬ ) с регулярной затравкой н = {ж, 0), Щ = п, deg ^ = п — 2, ^ еЩ распознается алгоритмом ОСх, если «старые» ребра не пересекаются, с вычислительной трудоемкостью алгоритма т(а1) < 0(е|ь) .

2. ,

О = (, Е), обладающий следующими необходимыми признаками

:

а) для мощности множества вершин |^| = N существует пара п, Ь такая, что

КІ =

п2 (п +1)2, при Ь - четном,

Ь+1 Ь-1

п 2 (п +1) 2 , при Ь - нечетном ;

Ь

Ь

Ь) для мощности множества ребер |Е| существует пара п, Ь , удовлетворяющая равенству

N=

I 2 (п + 1)2 - 1

( + q2п)------------------------,при Ь -четном,

п(п + 1) - 1

Ь-1 Ь-1

, ч п 2 (п +1)2 -1 ^ Т

( + q2п)-+ п 2 (п + 1) 2 q1 ,при Ь - нечетном,

п(п + 1) - 1

п(п + 1) (п + 1)(п + 2)

где а, =--------; а2 =------------.

2 2

с) множество вершин СОСТОИТ ИЗ двух подмножеств V И У2, где V (У2) - множество вершин V е У степени V = п +1 (степени V = п).

Здесь излагается ответ на поставленный вопрос: является ли представленный граф G = (У, Е) предфрактальным графом с непересекающимися ^^^ыми» ребрами, образованным двумя полными затравками I 1 = (Ж1,Q1) и / 2 = (Ж2,Q2), где мощности вершин |^| = п, |Ж2| = п +1. Процедура замещения вершины затравкой (ЗВЗ) [2] производится на нечетных номерах этапов Ь затравкой

I 1 = (Ж1, Q1) и затравкой I 2 = (Ж2, Q2) на четных номерах этапов.

Для распознавания предфрактального графа G = (У, Е) построен алгоритм а2.

Алгоритм а2

Процедуру выделения затравки Н1 = (Ж1,Q1)(H2 = (Ж2,Q2)) обозначим через Д( в2 ). , -

менять ту или иную процедуру: если длина траектории заданного предфрактального графа Ь - четная, то на последнем шаге было замещение затравкой Нг = (Ж1, Q1), поэтому на первом этапе следует воспользоваться процедурой Д, в противном случае - процедурой д. На последующих этапах процедуры будут .

Описание процедуры вх (выделение затравки Н1 = (Ж1,Q1))■ Выделяем во множестве У очередную неотмеченную вершину v1 е У [1,2]. Если v1 е У2, то deg v1 = п, т.е. v1 смежна с (п — 1) новыми вершинами своей затравки. Рассмотрим вершины, смежные с выделенной vk, к = 2, п +1, но неокрашенные, и , . 1, эти вершины также будут принадлежать затравке. В случае, когда V* е У1, то deg V* = п +1, т.е. смежна с (п — 1) новыми вершинами своей затравки. Рассмот-

* -г г\ г\

рим теперь вершины, смежные с выделенной vk, к = 2, п + 2, но неокрашенные,

и выделим среди них те, которые будут иметь смежность между собой, согласно лемме 1, эти вершины также будет принадлежать затравке. Через Ж' обозначаем множество всех вершин, отмеченных процедурой в1 . Если МОЩНОСТЬ Ж'| = п , то выделяем и окрашиваем все ребра, у каждого из которых концы представляют со-

Ь

бой вершины данного множества Ж'. Работа процедуры Д завершается проверкой: образует ли множество выделенных таким образом вершин и ребер п -вершинный полный граф. Если да, то шаг, включающий в себя описанную процедуру Д, завершается результативно, и следует переход к следующему шагу . , , а прекращает свою работу.

Описание процедуры в2 (выделение затравки Н2 = (Ж2,Q2)). Выделяем во множестве V очередную неотмеченную вершину v1 Е V. В случае, когда

V Е V2 , то ёед V* = п, т.е. У1 смежна с п новыми вершинами своей затравки, которые обозначаем через vk, где к = 2, п +1 и окрашиваем. Если же V Е V1, то ёе§V* = п +1, т.е. v1 смежна с п новыми вершинами своей затравки. Рас-

к

смотрим те вершины, которые смежны с выделенной vk, к = 2, п + 2, но неок, , . 1, .

Ж обозначаем множество всех вершин, отмеченных процедурой в2. Если мощность Ж 'I = п +1, то выделяем и окрашиваем все ребра, у каждого из которых концы представляют собой вершины данного множества Ж'. Работа процедуры в2 : -шин и ребер (п + 1)-вершинный полный граф. Если да, то шаг, включающий в себя описанную процедуру рг, завершается результативно, и следует переход к следующему шагу первого этапа. В противном случае, шаг считается безрезультатным, и алгоритм а1 прекращает свою работу.

Этап р = 1 начинает свою работу с проверки выполнения равенства

п 2 (п + 1)2, при Ь - четном ,

Ь+1 Ь-1

п 2 (п +1) 2 , при Ь - нечетном .

Если равенство не выполняется, то алгоритм а2 заканчивает работу безрезультатно. В противном случае, в графе О выделяются множества У1, состоящее из вершин степени п + 1, и У2, состоящее из вершин степени п . Если разность

V \ ( и У2) Ф в, то алгоритм заканчивает работу с отрицательным результатом, в том смысле, что данный граф не является предфрактальным графом с непересе-кающимися «старыми» ребрами, образованным двумя полными затравками

І 1 = №х,Q1) и I 2 = (Ж2,02), где мощности вершин |^| = п, \Ж2\ = п +1, в котором процедура замещения вершины затравкой (ЗВЗ) [2] производится на нечетных этапах затравкой I 1 = (Ж1, Q1), а на четных Ї 2 = (Ж2, Q2). В противном случае,

У и У2 образуют разбиение множества V , и дальнейшая работа этапа р = 1 состоит из т0 шагов, где т0 - число таких затравок, каждая из которых состоит из

новых ребер. Результатом каждого такого шага является выделенная в графе О

очередная затравка.

В случае результативной работы каждого из Ь -1 этапов в качестве последнего члена последовательности получим п -вершинный полный граф. Этот результат означает получение положительного ответа на вопрос: является ли представленный граф предфрактальным графом с непересекающимися «старыми» ребрами, образованным двумя полными затравками I 1 = (Ж1,Q1) и I 2 = (Ж2,Q2), где мощности вершин ^1 = п, |Ж2\ = п +1, где процедура замещения вершины затравкой (ЗВЗ) производится на нечетных этапах затравкой I х = (Ж1, Q1), а на четных

кает из конструктивного описания алгоритма. Если полученную последовательность О*, ОЬ-1,...,О1* записать в обратном порядке, то имеет ли место совпадение этой записи с траекторией? Ответ на этот вопрос можно считать положительным в

,

альтернативность при выделении каждой затравки.

Рассмотрим вопрос о вычислительной сложности алгоритма а2. В процессе

реализации этапов алгоритма а2 осуществляются следующие элементарные операции: определение степени вершины, выявление окрестности радиуса 1 для этой , ,

. -, , выделенных и отмеченных в процессе работы этапа. Отсюда справедлива

Теорема 2. Всякий предфрактальный граф ОЬ = (V*, ЕЬ), образованный двумя полными чередующимися затравками Н1 = (Ш1,Q1) и Н2 = (Ж2,Q2), распознается алгоритмом а2, если «старые» ребра не пересекаются с вычислительной трудоемкостью алгоритма т(а2 )< о(е|ь)-

3. Пусть задан в явном виде некоторый граф О = (У, Е), обладающий необходимыми признаками предфрактального графа:

а) для мощности множества вершин V = N существуют п, т , Ь такие, что

выте-

,при Ь - четном ;

Ь) ДЛЯ МОЩНОСТИ множества ребер |Е существуют п, т , Ь, удовлетво-:

т 2 п 2 , при Ь - нечетном ,

Ь +1 Ь -1

к

с) множество вершин СОСТОИТ ИЗ двух подмножеств V И У2, где У1(У2) -множество вершин V е V степени V = п +1 (степени deg V = п ). Представлен ответ на вопрос: является ли представленный граф О = (V, Е) предфрактальным графом О = (V, Е) с двумя полными затравками I х = (Ж1, Q1) и I 2 = (Ж2,Q2), где мощности множеств вершин |^1| = т и |^2| = п, в случае, когда смежность старых ребер не нарушается. Причем процедура ЗВЗ произведена на нечетных этапах затравкой I х = (Ж1,Q1), и I 2 = (Ж2^2) на четных.

Для распознавания описанного предфрактального графа О = (V, Е) разработан алгоритм а3.

Алгоритм а3

Процедура выделения затравки I 1 = (Ж1, Q1) и I 2 = (Ж2, Q2) обозначается ^(Тг) в случае, если длина траектории О = (V, Е) Ь - нечетная (четная), то на последнем шаге было замещение затравкой I 1 = (^1, Q1) (I 2 = (Ж2, Q2)). Следовательно, для предфрактального графа нечетного ранга Ь следует воспользоваться процедурой У\, в противном случае - процедурой у2. На последующих этапах процедуры будут чередоваться.

Описание процедуры (выделение затравки Нх = (Жг, Q1)). Во множе-

стве V выделяется очередная неотмеченная вершина V. Так как всякая «новая» затравка Нх = (Жг, Q1) имеет т — 1 вершину степени т — 1 и одну вершину, степень которой больше, чем т — 1, то Vv е V ^^шожны два случая:

1. degv = т — 1;

2. degv > т — 1.

В первом случае исходная вершина и смежные с ней т — 1 вершин объеди-

т(т — 1)

няют во множество . Далее окрашиваются все вершины , а также--------------------

ребер, концы которых принадлежат .

Во втором случае рассматриваемая вершина V имеет инциде нтность не только с (ш — 1) «новым» ребром, но и со «старыми» ребрами. Среди множества вершин, смежных с V, выделяются т — 1 вершин, степень которых т — 1. Исходную вершину V и выделенные т — 1 вершин степени т — 1 объединяют во мно-

Т17 т(т — 1)

жество "1. После чего окрашиваются вершины "1, а также ------------- ---- ребер,

"1 .

Работа процедуры Уг завершается проверкой: образует ли множество выделенных таким образом вершин и ребер ш-вершинный полный граф. Если да, то шаг, включающий в себя описанную процедуру Уг, завершается результативно, и следует переход к следующему шагу первого этапа. В противном случае, шаг счи-

,

ответом на поставленный вопрос распознавания: Является ли представленный

граф G = (, Е) предфрактальным графом G = (V, Е) с двумя полными затравками Ї 1 = (Ж,, Q1) и I 2 = (Ж2,02) , где МОЩНОСТИ множеств вершин 1^1 = т „ щ = п, в случае, когда смежность старых ребер не нарушается, где процедура ЗВЗ произведена на нечетных номерах этапов затравкой I , = (Ж1, Q1) и затравкой / 2 = (Ж2, Q2) на четных?»

Описание процедуры у2 (выделение затравки Н2 = (Ж2, Q2)). Во множестве

V выделяется очередная неотмеченная вершина V. Так как всякая «новая» затравка Н2 = (Ж2, Q2) имеет п -1 вершину степени п — 1 и одну вершину, степень которой больше п — 1, то Vv Є V возможны два случая:

1. degv = п — 1;

2. degv > п — 1.

В первом случае исходная вершина и смежные с ней п — 1 вершин объединяются во множество '2. Далее окрашиваются вершины '2, а также —1)

ребер, концы которых представляют собой вершины Ж2 .

Во втором случае, вершина V имеет инцидентность не только с п — 1 «новым» ребром, но и со «старыми» ребрами. Среди вершин, смежных с V, выделяют п — 1 вершин со степенью п — 1. Исходную вершину V и выделенные п — 1 вершины степени п — 1 объединяют во множество Ж2 . Далее окрашиваются вершины Ж2, а также п-(—1) ребер, концы которых представляют собой вершины

2

'2 .

Работа процедуры у2 завершается проверкой: образует ли множество выделенных таким образом вершин и ребер п -вершинный полный граф. Если да, то шаг, включающий в себя описанную процедуру у2, завершается результативно, и следует переход к следующему шагу первого этапа. В противном случае, шаг счи-

,

ответом на поставленный вопрос распознавания: Является ли представленный граф G = (V, Е) предфрактальным графом G = (V, Е) с двумя полными затравками I 1 = (Ж1, Q1) и I 2 = (Ж2, Q2), где мощности множеств вершин |ЖХ| = т и |Ж21 = п, в случае, когда смежность старых ребер не нарушается, где процедура ЗВЗ произведена на нечетных этапах затравкой I 1 = (Ж1, Q1), и I 2 = (Ж2, Q2) ?»

По окончании первой части описанных выше алгоритмов, осуществляется проверка: все ли вершины исходного графа оказались отмеченными. Если да, то первый этап алгоритмов заканчивает свою работу следующей процедурой. Исходный граф обозначается через G,L и представляется в качестве первого члена по-

G* /'"'Г * /~1 * т/»

Ь, GL —1,...,G1 . Каждая выделенная затравка стягивается в

вершину. Полученный в результате стягивания граф обозначается через GL—1.

, , .

В случае результативной работы каждого из L -1 этапов в качестве последнего члена последовательности получим m -вершинный полный граф. Этот результат означает получение положительного ответа на вопрос: является ли представленный граф предфрактальным графом с непересекающимися «старыми» ребрами, образованным двумя полными затравками I 1 = (W1,Q1) и I 2 = (W2,Q2), где мощности вершин W\ = m , |W2| = n, где процедура ЗВЗ производится на нечетных этапах затравкой I 1 = (W1, Q1) , а на четных I 2 = (W2, Q2).

Принципиальная распознаваемость исследуемого предфрактального графа G = (V, E) вытекает из конструктивного описания алгоритма а3 и однозначности результатов его работы.

Рассмотрим вопрос о вычислительной сложности алгоритма ОС3. В процессе реализации этапов алгоритма осуществляются следующие операции: определение , 1 , всех пар вершин графа на предмет смежности, выделение и окрашивание ребер. Так как эти операции выполняются в пределах одной затравки, то верхняя оценка этапа не превосходит совокупного количества ребер, выделенных и отмеченных в процессе работы этапа. Отсюда, справедлива

Теорема 3. Всякий предфрактальный граф GL = (VL, EL ) с двумя полными затравками распознается алгоритмом а3, где смежность старых ребер не нарушается с вычислительной трудоемкостью алгоритма т(а3) < o(e|L).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания. - М., 2004.

2. Емел ичев В А. и др. Лекции по теории графов. - М., 1990.

3. . . : . - -

ний Архыз, 1998.

4. . , . - ., 2004.

5. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. - М., 2005.

6. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М., 2002.

Кочкаров Расул Ахматович

Финансовая академия при правительстве РФ.

E-mail: [email protected] 125993, Москва, Ленинградский просп., 49.

Тел.: 88782202387.

Кафедра математического моделирования и динамических процессов; докторант. Утакаева Ирина Хайрлыевна

Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия.

E-mail: [email protected]

125993, Москва, Ленинградский просп., 49.

.: 88782202387.

Кафедра математики; ассистент.

Kochkarov Rasul Ahmatovich

Financial academy of Russian Federation.

E-mail: [email protected] 125993, Moscow, Leningrad Ave., 49.

Phone: 88782202387.

The Department of mathematical modeling and dynamic processes; candidate for a doctor’s.

Utakaeva Irina Hairlyevna

Karachai-Cherkess State technological academy.

E-mail: [email protected]

49, Leningrad Ave., Moscow, 125993, Russia.

Phone: 88782202387.

The Department of mathematic; assistant.

УДК 621.311.1.016.312

. . , . .

ОБ ОЦЕНКЕ КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРОЭНЕРГИИ

Анализ и сокращение потерь трехфазной электроэнергии.

Электроэнергия; анализ и сокращение потерь трехфазной электроэнергии.

B.A. Gusev, J.V. Pahomov ABOUT QUALITY OF ELECTRICAL ENERGY

Analysis and shorten of waste three-phase electrical energy.

Electrical energy; analysis and shorten of waste three-phase electrical energy.

В однофазной системе полная мощность W определяется с учетом действующего значения тока I, протекающего через нагрузку, и действующего значения напряжения U на её клеммах по

W=UI=(P2+Q2)1/2, (1)

где P и Q - активная и реактивная мощности нагрузки, при этом предполагается, U I .

W , U,

допустимо оценить по алгебраической сумме фазных мощностей WA, WB и Wc по

W.i=Wa+Wb+Wc=U(Ia+Ib+Ic). (2)

На практике для оценки потребления энергии применяется геометрическая полная мощность Wre0M, определяемая выражением

W2reoM=p2+Q2=(P A+P B+P C)2+(QA+QB+QC). (3)

Действительная же полная мощность Wa

^д=(и2 A+U2 B+U2 C)(I2A+I2B+I2C). (4)

Неоднозначность определения W в трехфазной искажающей системе, в част, U , UA, UB

UC , W G ( -

водимостью между проводами), выражаемой уравнением [1]

T

APu=(G/T)x ^ (ua+Ub+Uc) dt. (5)

0