Алгоритм распознавания предфрактального графа с двумя полными затравками, в случае пересечения старых ребер Текст научной статьи по специальности «Математика»

Мищенко Сергей Евгеньевич

E-mail: [email protected].

Профессор.

Mahov Denis Sergeevich

Rostov Military Institute of Rocket Armies.

E-mail: [email protected].

24/50, M. Nagibin av., Rostov-on-Don, 344038, Russia. Phone: +78632568965.

Postgraduate Student.

Mishchenko Sergey Evgenievich

E-mail: [email protected].

Professor.

УДК 519.1

И.Х. Утакаева, PA. Кочкаров

АЛГОРИТМ РАСПОЗНАВАНИЯ ПРЕДФРАКТАЛЬНОГО ГРАФА С ДВУМЯ ПОЛНЫМИ ЗАТРАВКАМИ, В СЛУЧАЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

СТАРЫХ РЕБЕР

Рассматривается задача распознавания предфрактального графа с двумя полными чередующимися затравками. Произведена математическая постановка, разработан эффективный алгоритм распознавания исследуемого предфрактального графа. Задача распознавания объектов и явлений является актуальной задачей искусственного интеллекта. Постановка проблемы распознавания позволяет определить последовательность задач, возникающих при разработке системы распознавания, предложить их формулировки и возможные методы решения.

Граф; алгоритм; распознавание.

I.H. Utakaeva, R.A. Kochkarov

ALGORITHM OF RECOGNITION OF PREDFRACTAL GRAPHS

WITH TWO FULL PRIMING

We consider the problem of recognition predfractal graph with two complete alternate primers. Produced a mathematical formulation, developed an effective algorithm for the recognition of the investigated predfractal graph. The problem of recognizing objects and phenomena is an important problem of artificial intelligence. Formulation of the problem of recognition to determine the sequence of tasks involved in the development of recognition systems, to offer their wording, and possible methods of solution.

Ggraph; algorithm; pattern recognition.

Одним из самых интересных свойств человеческого мозга является способность отвечать на бесконечное множество состояний внешней среды конечным .

высшей формы существования живой материи, выражающейся в способности к , . . , -

.

.

Проблема распознавания образов интересна как с прикладной, так и с принципиальной точки зрения. С прикладной точки зрения решение этой проблемы важно, прежде всего, потому, что оно открывает возможность автоматизировать

многие процессы, которые до сих пор связывали лишь с деятельностью живого мозга. Принципиальное значение проблемы тесно связано с вопросом, который возникает с развитием идей кибернетики: что может и что принципиально не может делать машина? В какой мере возможности машины могут быть приближены к возможностям живого мозга? В частности, может ли машина развить в себе способность перенять у человека умение производить определенные действия в зависимости от ситуаций, возникающих в окружающей среде? Пока стало ясно только то, что если человек может сначала сам осознать свое умение, а потом его описать. Если же человек обладает умением, но не может объяснить его, то остается только один путь передачи умения машине - обучение примерами.

Круг задач, которые могут решаться с помощью распознающих систем, чрез.

слуховых образов, но и задачи распознавания сложных процессов и явлений, воз, , -приятия или выборе оптимального управления технологическими, экономическими, транспортными или военными операциями. В каждой из таких задач анализируются некоторые явления, процессы, состояния внешнего мира, всюду далее называемые объектами наблюдения. Прежде чем начать анализ какого-либо объекта, нужно получить о нем определенную, каким-либо способом упорядоченную информацию. Такая информация представляет собой характеристику объектов, их отображение на множестве воспринимающих органов распознающей системы [1].

Математической моделью многих задач распознавания является задача распознавания предфрактального графа [2].

Пусть задан в явном виде некоторый граф О = (у,Б), обладающий необходимыми признаками предфрактального графа:

а) для мощности множества вершин |у| = N существуют п , т, L такие, что

ь+1 ь—1

т

при Ь - нечетном,

к к

2 л 2

т 2 п 2 при Ь —четном;

б) для мощности множества ребер |Б| существуют п, т, L, удовлетворяющие равенству

£

г(п —1)

тк+П +-

г(т — 1)

при к —нечетном,

£

—1)

к к . т п +■

г(п —1)

к+1 к т п

при Ь — четном;

в) множество вершин состоит из двух подмножеств у и У2, где у (У2) -множество вершин VеУ степени deg V = п + 1 (степени degV = п).

Представлен ответ на вопрос, является ли представленный граф О = (У, Б) предфрактальным графом О = (У, Б) с двумя полными затравками / 1 = (2^ и

I 2 = (^2,22), где мощности множеств вершин ^1 = т и |^2| = п, в случае, когда смежность старых ребер не нарушается. Причем, процедура ЗВЗ произведена на нечетных этапах затравкой / 1 = 21) и / 2 = (Ж2,22) на четных.

Ь—З

Ь—2

к=0

Для распознавания описанного предфрактального графа О = (V, Е) разработан алгоритм а3.

Алгоритм а3.

Процедура выделения затравки I 1 = (И1, Q1) и I 2 = (И, б2) обозначается

^ (/2). В случае, если длина траектории О = (V, Е) Ь - нечетная (четная), то на последнем шаге было замещение затравкой 1 1 = (И1, Q1) (I 2 = (И2, Q2)). Следовательно, для предфрактального графа нечетного ранга Ь следует воспользоваться процедурой у1, в противном случае процедурой у2 . На последующих этапах процедуры будут чередоваться.

Описание процедуры ^ (выделение затравки Н1 = (И1, Ql) )■ множестве V выделяется очередная неотмеченная вершина V . Так как всякая «новая» затравка Н1 = (И1, Q1) имеет т — 1 вершину степени т — 1 и одну вершину, степень которой больше, чем т — 1, то для Vv Є V возможны два случая:

1) degv = т — 1;

2) deg V > т — 1.

В первом случае исходная вершина и смежные с ней т — 1 вершин объе дній1 — 1

т

няют во множество W1. Далее окрашиваются все вершины W1, а также

1 2

ребер, концы которых принадлежат W1.

Во втором случае рассматриваемая вершина V имеет инцидентность не

только с (ш -1) «новым» ребром, но и со «старыми» ребрами. Среди множества

вершин, смежных с V , выделяются т — 1 вершин, степень которых т — 1. Исходную вершину V и выделенные т — 1 вершин степени т — 1 объединяют во

множество W. После чего окрашиваются вершины W1, а также т(п—^ ребер, 1 1 2

концы которых представляют собой вершины множества W1.

Работа процедуры У1 завершается проверкой: образует ли множество выде-

ш - . ,

шаг, включающий в себя описанную процедуру У1, завершается результативно, и следует переход к следующему шагу первого этапа. В противном случае, шаг счи-

,

ответом на поставленный вопрос распознавания: «Является ли представленный граф О = (У, Б) предфрактальным графом О = (У, Б) с двумя полными затравками I х = ^г, 20 И I 2 = ^2,22), ГДе мощности множеств вершин И = т и

|= п, в случае, когда смежность старых ребер не нарушается, где процедура ЗВЗ произведена на нечетных номерах этапов затравкой I х = ^г, 2г) и затравкой I 2 = (W2,22) на четных?»

Описание процедуры У2 (выделение затравки Н2 = ^2,22))- ^о множестве У выделяется очередная неотмеченная вершина V . Так как всякая «новая» затравка Н2 = ^2,22) имеет п — 1 вершину степени п — 1 и одну вершину, сте-

1) degv = п — 1;

2) deg V > п — 1.

В первом случае исходная вершина и смежные с ней п — 1 вершин объеди-

ребер, концы которых представляют собой вершины W2.

Во втором случае вершина V имеет инцидентность не только с п — 1 «новым» ребром, но и со «старыми» ребрами. Среди вершин, смежных с V , выделяют п — 1 вершин, со степенью п — 1. Исходную вершину V и выделенные п — 1 вершины степени п — 1 объединяют во множество W2. Далее окрашиваются вершины а также —1 ребер, концы которых представляют собой вершины

2

множества

Работа процедуры у2 завершается проверкой: образует ли множество выделенных таким образом вершин и ребер п-вершинный полный граф. Если да, то шаг, включающий в себя описанную процедуру у2 , завершается результативно, и следует переход к следующему шагу первого этапа. В противном случае, шаг счи-

,

ответом на поставленный вопрос распознавания: «Является ли представленный граф О = (У, Б) предфрактальным графом О = (У, Б) с двумя полными затравками 1 1 = (^1,21) и I 2 = ^2,22), где мощности множеств вершин = т и W2 \ = п, в случае, когда смежность старых ребер не нарушается, где процедура

ЗВЗ произведена на нечетных этапах затравкой 1 1 = , 21) и I 2 = ^2, 22)

на четных?»

По окончании первой части описанных выше алгоритмов осуществляется проверка: все ли вершины исходного графа оказались отмеченными. Если да, то первый этап алгоритмов заканчивает свою работу следующей процедурой. Исходный граф обозначается через о* и представляется в качестве первого члена

последовательности О*,ОЬ—1,...,Ох . Каждая выделенная затравка стягивается в вершину. Полученный в результате стягивания граф обозначается через О*—1. Далее по отношению к нему реализуется очередной этап алгоритма.

В случае результативной работы каждого из Ь — 1 этапов в качестве последнего члена последовательности получим т -вершинный полный граф. Этот результат означает получение положительного ответа на вопрос: является ли представленный граф предфрактальным графом с непересекающимися «старыми» ребрами, образованным двумя полными затравками I 1 = ^^^,21) и I 2 = ^2,22), где мощности вершин = т , ^2| = п, где процедура ЗВЗ производится на нечетных этапах затравкой I 1 = ^г, 2\), а на четных I 2 = ^2, 22).

пень которой больше п — 1, то для Vv е V возможны два случая:

няются во множество W2. Далее окрашиваются вершины

Принципиальная распознаваемость исследуемого предфрактального графа

G = (V, E) вытекает из конструктивного описания алгоритма О3 и однозначности

результатов его работы.

Рассмотрим вопрос о вычислительной сложности алгоритма О3. В процессе

реализации этапов алгоритма осуществляются следующие операции: определение степени вершины, выявление окрестности радиуса 1 для этой вершины, просмотр всех пар вершин графа на предмет смежности, выделение и окрашивание ребер. Так как эти операции выполняются в пределах одной затравки, то верхняя оценка этапа не превосходит совокупного количества ребер, выделенных и отмеченных в процессе работы этапа. Отсюда справедлива теорема. Всякий предфрактальный

граф Gl = (VL, El ) с двумя полными затравками распознается алгоритмом О3, где смежность старых ребер не нарушается, с вычислительной трудоемкостью алгоритма т{а3 )< 0(\E\L).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Горелик АЛ., Скрипкин В.А. Методы распознавания. - М., 2004.

2. Емел ичев В А. и др. Лекции по теории графов. - М., 1990.

3. . . : . - -

ний Архыз, 1998.

4. . , . - ., 2004.

5. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. - М., 2005.

6. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М., 2002.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор А.Р. Гайдук. Утакаева Ирина Хайрлыевна

Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия.

E-mail: [email protected].

369000, - , . , . , 36.

Тел.: 88782202387.

Кафедра математики; ассистент.

Кочкаров Расул Ахматович

Финансовая академия при правительстве РФ.

E-mail: [email protected].

125468, г. Москва, Ленинградский пр-т, 49.

.: 88782202387.

Кафедра математического моделирования и динамических процессов; докторант.

Utakaeva Irina Hairlyevna

Karachai-Cherkess State technological academy.

E-mail: [email protected].

36, Stavropol Street, Cherkessk, Karachaevo-Circassian Republic, 369000, Russia.

Phone: +78782202387.

The Department of Mathematics; Assistant.

Kochkarov Rasul Ahmatovich

Financial academy of Russian Federation.

E-mail: [email protected].

49, Leningrad Prospectus, Moscow, 125468, Russia.

Phone: +78782202387.

The Department of Mathematical Modeling and Dynamic Processes; Cand. for a Doctor's.