Об одной задаче оптимизации в стационарной популяционной модели логистического типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

issn 2079-3316 ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ № 5(23), 2014, с. 37-44 УДК 517.977.56, 517.977.57

М. В. Старицын

Об одной задаче оптимизации в стационарной популяционной модели логистического типа

Аннотация. Исследуется задача оптимального управления распределением биологического сообщества в зависимости от распределения пищевого ресурса заданного объема. Модель описывается нелинейным эллиптическим уравнением логистического типа с граничными условиями Дирихле. Установлено существование решения задачи. Основной результат работы составляет доказательство необходимых условий оптимальности.

Ключевые слова и фразы: эллиптические уравнения в частных производных, стационарные модели популяции, оптимальное управление, необходимые условия оптимальности.

Введение. Постановка задачи

Настоящая заметка посвящена одной проблеме математической биологии, представляющей собой модификацию стационарной популяционной модели [1]. Популяция (однородное биологическое сообщество), распределенная в некоторой области П согласно логистическому закону, описывается своей функцией плотности и = и(х). Закон изменения плотности формализуется в виде нелинейного уравнения эллиптического типа и содержит зависимость от концентрации некоторого пищевого ресурса т = т(х). Задача состоит в поиске компромисса между доходом от использования (добычи) популяции и затратами на распространение ресурса, общее количество которого фиксировано. В отличие от [1], где подобная задача исследовалась при граничных условиях типа Неймана, мы рассматриваем более сложный (и с содержательной точки зрения, более реалистичный) случай граничных условий типа Дирихле. В последнем модель допускает внешние воздействия на популяцию, сосредоточенные на границе ареала обитания.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, проект № 14-01-31254.

© М. В. Стлрицын, 2014

© Институт динлмики систем и теории управления СО РАН, 2014 © Программные системы: теория и приложения, 2014

Изучается два вопроса, стандартных для теории управления распределенными системами: существование оптимального решения и необходимые условия оптимальности заданного управления. Ряд близких результатов можно найти в работах [1—6].

Формально, проблема имеет следующий вид:

I = (и — Мт2)в,х ^ тах, ип

при ограничениях

—Дм = т(х)и — и2, х € О, и = 0, х € дО,

т € М,

{т € Ьж(О):0 < т(х) < а, т(х)(1х = £}.

■! П

Здесь функции т € М играют роль управляющих воздействий; О С К" — заданное открытое ограниченное связное множество; М, а и 6 — заданные положительные параметры, где а > уПу (|О| обозначает меру Лебега множества О в М"). Фазовая траектория и есть решение задачи Дирихле (1) в слабом смысле. Заметим, что при этом оказывается и € Н1 (О).

Укажем, при каких условиях управление т € М порождает разумное с содержательной точки зрения — положительное решение краевой задачи (1) [7,8]. Обозначим через А^ —Д — т) главное (наименьшее) собственное значение задачи

—Дм — ти = Хи, х € О, и = 0, х € дО.

Предложение 1. Пусть т € М задано. Задача Дирихле (1) имеет единственное положительное 'решение, если и только если Х1 = Х1 (—Д — т) < 0.

Обоснование этого утверждения стандартно и опирается на технику суб- и суперрешений (см., например, [7,8]).

Приведем уточненную постановку нашей вариационной задачи:

(1)

М = М(а,5) й

(Р) I(т) = (и[т\ — Мт2)в,х ^ тах

■! П

при условиях

т € М,

( и[т] есть решение (1), если т € М-, [ и[т] = 0, иначе.

Здесь

М- = М-(а, 6) := {т € М(а, 6) : Х^—А - т) < 0}.

1. Существование оптимального управления

Начнем изучение задачи (Р) с вопроса о существовании ее решения.

Утверждение 1. В задаче (Р) существует оптимальное управление.

Доказательство. Рассмотрим последовательность управлений {тп} С М, п € М, такую что

1п = I(тп) ^ вир I(т) = I* при п ^ <ж.

теМ

Заметим, что для любого т € М справедливо

1(т) < и(т)ё,х < а|П|. Jп

Из оценок

\\М\ы{п) < |Н|Ь»(П)|П|1/2 < а|П|1/2 Ут € М

следует, что последовательность {тп} равномерно ограничена в Ь2(П). Тогда существует подпоследовательность {тк} С {т„}, слабо сходящаяся в Ь2(П) к некоторой функции т*. Множество М, очевидно, выпукло и замкнуто в Ь2(П). Следовательно, оно замкнуто в слабой топологии, и т* € М.

Для каждого элемента выделенной выше подпоследовательности рассмотрим слабую формулировку соответствующей задачи Дирихле (1):

. / , Ч<р)<Ь = фЛх — и\^¿х €

(2) ^ .'п .'п .'п

ик € Н1(П).

Полагая ip = ui и учитывая, что ui > 0, имеем

llvUfcHia(n) = Г тк4dx - ( 4dx < f ткuldx <

Jo, Jo Jo

< ||miУь-(О) • hiHb(o) < a3^.

Это означает, что последовательности {ul} равномерно ограничена и, как следствие, слабо компактна в Н Тогда существует подпоследовательность {(us, ms)} С {(ui, mi)} такая, что последовательность {ms} имеет в L2 (И) слабый предел т*. При этом {ws} также сходится к некоторому и* € Н 1(П) слабо.

Покажем, что и* = и(т*). Для этого заметим, что сходимость us ^ и* в L2 (И) влечет

/ u2s<pdx ^ u*2<pdx, Jo Jo

для любого <р € Hq(&). Слабая сходимость us ^ и* в Н 1(0) предполагает, что Aus ^ Ди* в Н-1(И). Остается показать, что msus ^ т*и*. Поскольку вложение Hq(H) ^ L2(il) вполне непрерывно для любого И, из

/ ms(us — u*)ipdx JQ

< c\\us — u*\\L2(Q) ^ 0

следует

/ msusipdx = / msu*ipdx + ms(us — и*)ipdx ^ m*u*^dx. Jq Jq Jq Jq

Наконец, ввиду (2), имеем u(m*) = и*. Функционал I(■) полунепрерывен снизу в слабой топологии. Таким образом,

sup I(т) = lim I(ms) = lim / (us — Mm2s)dx <

тем s^TO s^m J Q

< i (и* — M(m*)2)dx = I(m*),

Q

т.е. m* — оптимальное управление. □

2. Необходимое условие оптимальности

Следующая теорема представляет собой основной результат работы и дает необходимые условия оптимальности для задачи (Р) в форме вариационного неравенства.

Теорема 1. Пусть т* € М- — оптимальное управление в задаче (Р), и* — соответствующее решение краевой задачи (1). Предположим,

Х1(—А — т* + 2и*) > 0. Тогда существует решение р сопряженной системы

—Ар = (т* — 2и*)р + 1, х € П, р = 0, х € дП,

и для всех т € М- справедливо неравенство

(3) / (ри* — 2Мт*)(т — т*)сЬ < 0.

п

Доказательство. Начнем с установления дифференцируемости по Гато целевого функционала. Пусть дано управление I € М-; а € М, а Н € Ь2(П) таково что

Н(х) € [—а,, а] п.в. П и / к(х)(1х = 0.

п

Заметим, что I + аЪ € М-. Обозначим и = и(1) и иа = и(1 + аН) соответствующие решения задачи Дирихле (1). Запишем приращение целевого функционала

7(г+аН)—7(г) = Г ^ ^ — М Г(1+аН)2 —12 Ь.

« ,/п а Jn а

Обозначив через и> € Н^(П) производную оператора т ^ и(т) по направлению Н в точке I, т.е.

(4) ^ ^ в Н1 (П) при а ^ 0.

а

Из сходимости

( -)-¿х = [ 21ЪАх + а ( Ъ2¿х ^ [ 21ЪАх при а ^ 0,

,/п а J п J п Jn

ввиду определения (4), получим I (I + аН) — I (I)

^ wdx — 2М Шйх.

пп

Используя предположение А1(— А — I) < 0, по аналогии с [2] можно показать, что и> есть решение задачи Дирихле

, , \ —Ат = (I — 2и)т + Ни, х € П,

() \ = 0, хедП.

а

Предположим, что Л1(-Д — I + 2и) > 0. Тогда существует решение р линейной краевой задачи

{

-Ар - (I - 2и)р =1, х е Q, р = 0, х е díl.

Далее, заметим, что

/ wdx = 1 ■ wdx = — Apwdx — (l — 2u)pwdx,

Jq Jq Jq Jq

и, учитывая (5),

— Apwdx = {Vp, Vw)dx = — pAwdx = Jq Jq Jq

= p(l — 2u)wdx + / phudx.

Jq Jq

В результате,

lim I(l + *h) — I(l) = Г — 2 hdx.

a JQ1

В силу свойств интеграла и регулярности функций I, и, и р, функционал h ^ Q(pu — 2Ml)hdx линеен и непрерывен. Следовательно, целевой функционал I дифференцируем по Гато в любой точке I € М — . При этом, производная Гато в точке I по направлению h дается формулой

(6) {I'(l),h) = i (ри — 2Ml)hdx.

Jq

Поскольку m* есть точка максимума I, справедливо

(7) {Г(т*),т — т*)< 0 Ут € М — .

Комбинируя (6) и (7), приходим к (3). □

Автор благодарит M. Delgado и A. Saurez (Институт математики университета г. Севилья, Испания) за предложенную постановку задачи и внимание к работе.

Список литературы

[1] W. Ding, H. Finotti, Y. Lou, Q. Ye. Optimal control of growth coefficient on a steady-state population model: Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2010. Vol. 11, p. 688-704. t 37, 38.

[2] A. Cañada, J. L. Gámez, J. A. Montero. Study of an optimal control problem for diffusive nonlinear elliptic equations of logistic type: SIAM J. Control Optim., 1998. Vol. 36(4), p. 1171-1189. t 38, 41.

[3] K. Kurata, J. Shi. Optimal spatial harvesting strategy and symmetry-breaking: Appl. Math. Optim., 2008. Vol. 58(1), p. 89-110. t 38.

[4] A. W. Leung, S. Stojanovic. Optimal control for elliptic Volterra-Lotka type equations: J. Math. Anal. Appl., 1993. Vol. 173, p. 603-619. t 38.

[5] A. W. Leung. Nonlinear systems of partial differential equations. Application to life and physical sciences: World Scientific Publishing, 2009. t 38.

[6] J. A. Montero. A uniqueness result for an optimal control problem on a diffusive elliptic Volterra-Lotka type equation: J. Math. Anal. Appl., 2000. Vol. 243, p. 13-31. t 38.

[7] H. Berestycki, P. L. Lions. Some applications of the method of super and subsolutions, Vol. 782. New York: Lecture Notes Math., Springer-Verlag, 1980.-16-42 p. t 38.

[8] D. Gilbarg, N. Trudinger. Elliptic partial differential equation of second order. Berlin: 2nd Ed., Springer-Verlag, 1983. t 38.

Рекомендовал к публикации д.т.н. В. И. Гурман

Об авторе:

Максим Владимирович Старицын

Старицын Максим Владимирович, м.н.с., Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, д. 134.

e-mail: [email protected]

Образец ссылки на эту публикацию:

М. В. Старицын. Об одной задаче оптимизации в стационарной популяционной модели логистического типа // Программные системы: теория и приложения: электрон. научн. журн. 2014. T. 5, № 5(23), с. 37-44.

URL http://psta.psiras.ru/read/psta2014_5_37-44.pdf

Maxim Staritsyn. On optimal control of a stationary populational model of a logistic type.

Abstract. We study optimal control problem for distribution of a biological population depending on distribution of nutrition of a given amount. The model is described by a nonlinear elliptic equation of logistic type with Dirichlet boundary conditions. The existence of an optimal solution is established. The main result is a proof of necessary optimality conditions. (In Russian).

Key Words and Phrases: elliptic partial differential equations, stationary populational models, optimal control, necessary optimality conditions.