CC BY
13Логнормальное распределение. Рассмотрим случай, когда убытки имеют логнормальное распределение с параметрами / и а, т.е. функция плотности вероятности распределения убытков представляется в виде
f (x) =
1
V2
па2 x
exp
(ln x — ц)2
2а2
Тогда 5о(0) = 1 — с-1 ехр{/ + а2/2}. Возьмем Л =1, с = 4, р = 4, 5 и параметры распределения / = 1, а = 0, 5. На рис. 2 показана зависимость оптимального уровня удержания Ь* (я) и оптимальной ширины полосы перестрахования М*(я) от € [0, 5].
Распределение Парето. Наконец, пусть убытки распределены по Парето с параметрами а и в, другими словами, пусть убытки Шг имеют плотность распределения
ава
/(ж) = --—777"ТТ, х > 0.
Ь*,М*
—b\s) —M*(s)
Рис. 3. Оптимальная стратегия в случае распределения Парето профессору Е. В. Булинской за постановку задачи и помощь в реализации идей. Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант № 10-01-00266.
(х + в)а+1'
В данном примере используем следующие значения параметров: в = 1 и а = 2, как и в случае экспоненциального распределения, выбираем Л = 1, с = 1, 5 и р = 1, 7. В точке з = 0 при отсутствии перестрахования имеем ¿0(5) = 1 — с-1(а — 1)-1. На рис. 3 показана оптимальная стратегия (Ь*(з),М*(5)) в описанной ситуации.
В заключение автор хотел бы выразить благодарность
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hipp C, Vogt M. Optimal dynamic XL reinsurance // ASTIN Bull. 2003. 33. 193-207.
2. Schmidli H. Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting // Research Report 403. Dept. Theor. Statis. Arhus University, 2000.
3. Bertsekas D., Shreve S.E. Stochastic optimal control: the discrete-time case. N.Y.: Academic Press, 1978.
4. Schal M. On piecewise deterministic Markov control processes: control of jumps and of risk processes in insurance // Insurance: Mathematics and Economics. 1998. 22. 75-91.
Поступила в редакцию 22.12.2010
УДК 519.216
ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ОБ ОПТИМАЛЬНОЙ ОСТАНОВКЕ, СВЯЗАННОЙ С АБСОЛЮТНЫМ МАКСИМУМОМ ПРОЦЕССА ЛЕВИ
С. С. Синельников1
Для процесса Леви X = (Xt)o<t<TO рассматривается момент в = inf{t^0: sups<t Xs = sups>0 Xs}. Исследуется оптимальное приближение момента в на основе информации, доступной на текущий момент. В качестве примера приводится процесс Леви, являющийся комбинацией броуновского движения со сносом и пуассоновского процесса.
Ключевые слова: момент абсолютного максимума, задача об оптимальной остановке, процесс Леви, задача Стефана.
For a Levy process X = (Xt)0<t<TO we consider the moment в = inf{t ^ 0: sups<t Xs = sups>o Xs}. We study an optimal approximation of the moment в using the information available
1 Синельников Сергей Сергеевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
at the moment. As an example we consider a Levy process which is a combination of a Brownian motion with a drift and a Poisson process.
Key words: moment of ultimate maximum, optimal stopping problem, Levy process, Stefan problem.
1. Постановка задачи. Пусть Xt — некоторый процесс Леви, определенный на бесконечном интервале [0, то). Рассматривается следующий непредсказуемый момент:
в = inf{t: supXs = supXs}.
s<t
s>0
Предположим, что этот момент конечен почти наверное. Для этого достаточно, чтобы выполнялось условие ЕХ\ < 0 (см., например, [1, теорема 7.2]). Требуется, наблюдая процесс XI, оптимально приблизить момент в на основе информации, доступной на текущий момент. В качестве критериев оптимальности приближения в данной работе рассматриваются условно-экстремальный, абсолютный и пространственный критерии.
Зафиксируем а € (0,1) и определим следующий класс моментов остановки:
MX (в) = {т G MX | P(т < в) < а},
где МХ — класс марковских моментов, порожденных рассматриваемым процессом. Под моментом, являющимся решением зад момент в* € М%(в), что
ляющимся решением задачи при использовании условно-экстремального критерия, мы понимаем такой з* € М^Х/
а \+ _
Б(в* - в)
inf Е(т - в)+,
Г емХ (в)
(1)
где a
+
a, a ^ 0; 0, a < 0.
Под моментом, являющимся решением задачи при использовании абсолютного критерия, мы понимаем такой момент в* € МХ, что
Е|в* - в\ = ^ Е|т - в\. (2)
т емх
Пусть 5 = йир^^о Х3 — абсолютный максимум процесса (который, вообще говоря, может и не достигаться), а р > 1 — некоторая постоянная. Под моментом, являющимся решением задачи при использовании пространственного критерия, мы понимаем такой момент в* € МХ, что
Е1Хв* - Slp = inf E|Xr - Slp.
г емх
(3)
Подобные задачи были рассмотрены для обычного броуновского движения в работах [2-6] и для броуновского движения со сносом в работах [7, 8].
2. Общий вид решения. Для решения задачи (1) рассмотрим так называемый байесовский критерий
Е[Р(т<в) + сЕ(т - в)+], (4)
т емх
где с > 0 — некоторая постоянная.
Введем процесс апостериорной вероятности щ = Р(в ^ Ь \ Тг), где — сигма-алгебра, порожденная данным процессом на отрезке [0,Ь]. Отметим, что условия байесовского и абсолютного критериев выражаются в терминах процесса (см., например, [6, 8]). Точнее говоря,
P(т <в) + сЕ(т - в)
+
Е
1 - пГ + с n(s)ds J 0
Е|т - в1 = Е
f (2ns - 1)ds
0
+ Ев.
Пусть С(г) = Р(5 < г), Бг = sups<tХ3. Тогда можно показать (как в лемме 2 из работы [8]), что = 0(Бг — Хг). Зафиксировав с, мы приходим к следующей задаче об оптимальной остановке для байесовского критерия:
W = inf Е
Г емх
-(1 - G(ST ~ Хт)) + Г G(Ss - Xs)ds с0
В случае абсолютного критерия мы имеем следующую задачу об оптимальной остановке:
V = И Е
т емх
Г (2С(53 — Хв) — 1)йв
о
(6)
Аналогично работе [7] можно получить, что критерий (3) может быть переписан в виде
Е(5 — Хт )р = Е^ (5т — Хт),
т
темх т емх
где Е(х) = хр +р /х°° гр 1(1 — С(г))йг. Тогда при использовании пространственного критерия мы приходим к следующей задаче об оптимальной остановке:
и = М Е^ (5т — Хт). (7)
т емх
Как известно (см., например, [9, гл. 6, предложение 1]), процесс 5г — Хг является марковским. Таким образом, задачи (5)-(7) суть стандартные задачи об оптимальной остановке. Согласно общей теории задач об оптимальной остановке марковских процессов (см. [10, 11]), решением в этих задачах будет первый момент попадания марковского процесса 5г — Хг в некоторое замкнутое подмножество фазового пространства, называемое множеством остановки. Поскольку фазовое пространство процесса представляет собой полуось [0, то), то интуитивно ясно, что множество остановки должно иметь вид полупрямой [а, +то), а > 0. Таким образом, общий вид решения в этих задачах следующий:
в* = М{Ь ^ 0: 5г — Хг ^ а},
где а — некоторая положительная постоянная. Для решения задач (5), (6) и (7) необходимо найти соответствующие константы а1(с), а2 и аз.
Известно, что решение задачи (1) выражается через решение задачи (4) (подробнее см. [6, 10]). Более того, ответом в задаче (1) служит первый момент выхода процесса 5г — Хг на уровень а1, являющийся корнем уравнения
1 — С(а{) = а. (8)
3. Схема решения при помощи задачи Стефана. Укажем общую схему решения задачи (6) через задачу Стефана. Аналогичная схема может быть применена к задачам (5) и (7). Общей теории решения задачи об оптимальной остановке с помощью задачи Стефана посвящена монография [11].
Для формулировки задачи Стефана необходимо "разрешить" процессу 5г — Хг начинаться в г ^ 0. Для этого введем марковский процесс Р2 = (г V 5г) — Хг, где а V Ь = тах(а, Ь), и будем решать задачу об оптимальной остановке для этого процесса. Таким образом,
V (г) = М Ех У ' темх 2
/ (2ОД) — 1)йз о
(9)
Пусть мера скачков процесса Хг удовлетворяет условию
/ V(йх) < то. (10)
¿\х\<1
В работе [12] было показано, что при выполнении условия (10) процесс Рг совпадает по распределению с марковским процессом являющимся решением некоторого стохастического дифференциального уравнения. Процесс имеет инфинитезимальный оператор А, действующий на функциях
/(Ж)е5([0,то]),£и|о=0, где 5 — пространство быстро убывающих функций (пространство Шварца), следующим образом:
Л/(у) = (у) + \<Т2/"{У) + /[/(У + х)~ /(У) " /'(уЩх)]и°(у, х).
т
Здесь у0(у,х) — мера, определенная для у ^ 0 и имеющая вид
{у(—йх), йх > —у;
1Х— у (—йх), йх = —у; 0, йх < —у.
Поскольку решением задачи об оптимальной остановке является первый момент выхода марковского процесса в некоторое подмножество фазового пространства, то, заменив в задаче (9) процесс на мы получим задачу об оптимальной остановке, имеющую то же решение. Для этой новой задачи об оптимальной остановке выпишем задачу Стефана. Будем искать функцию V* (г) из пространства Шварца 5, удовлетворяющую в области 0 ^ г < а уравнению AV* (г) = 1 — 2С(г), т.е. интегродифференциальному уравнению вида
-Мг) + + J [К (г + х) - - У1(гЩх)]и°(г, йх) = 1 - 2 ОД, 0 ^ г < а, (11)
и равную нулю в области г > а. Решение этого уравнения не единственно. Для решения этой задачи необходимо рассмотреть дополнительные условия. К ним могут относиться вполне очевидные условия V*(a) = 0 (условие мгновенной остановки) и У/(0) = 0 (условие нормального отражения). Кроме этого часто рассматривают условие гладкого, или непрерывного, склеивания в зависимости от характеристик самого процесса (см., например, [11]). Проверка того, что найденная функция в самом деле является решением исходной задачи, производится обычно с помощью средств стохастического анализа.
Как видно, решение уравнения (11) в общем случае представляется весьма сложной задачей. Кроме того, для ее решения необходимо знать функцию С(г) в явном виде, неизвестном для общего процесса Леви.
4. Пример. Применим описанную выше схему к конкретному процессу. Рассмотрим процесс XI = /Ь + аБ1 — г^, где Б1 — процесс броуновского движения, N — пуассоновский процесс интенсивности Л > 0, а а > 0 и г > 0 — некоторые постоянные. Потребуем также выполнения условия ЕХ1 < 0, т.е. с < гЛ. Триплет характеристик этого процесса относительно функции урезания Н(х) = х1{х = 0}, где
I — индикаторная функция, выразится как (/, а, Л5Г), где 5Г = < , ;
I 0,х = —г.
Процесс XI является спектрально отрицательным процессом Леви. Его экспонента Лапласа представляется как
а232
= -Ф(-гз) = ¡Л8 + —- + г\(е~3 - 1).
Согласно результату, полученному в работе [13], при выполнении условия Нш^^, ф'(5) > 0 имеем О(х) = Р(Б < х) = 1 — в-1Х, где 7 — наибольший положительный корень уравнения ф(з) = 0.
Таким образом, в нашем примере 7 — единственный (помимо нуля) корень уравнения
а232
¡Л8 н--— = г\{ 1 - е
Учитывая (8), мы получаем, что оптимальным моментом остановки для процесса XI в задаче (1) служит момент в* = ш!{Ь ^ 0: Бt — XI ^ а1}, где а1 — корень уравнения в-7®1 = а.
Задачу (2) будем решать с помощью задачи Стефана. В этом случае уравнение (11) запишется как
+ + + = 2е"^ - 1, 0 ^ г < а. (12)
Поскольку процесс XI содержит невырожденную диффузионную компоненту и граница множества остановки является вполне гладкой, мы можем рассчитывать на выполнение условия гладкого склеивания Vi(a) = 0 (подробнее см. [11, 14]). Наложив уже упомянутые ограничения К^(а) =0 и V«'(0) = 0, мы получаем задачу Стефана для отыскания функции V*(г).
Уравнение (12) представляет собой дифференциальное уравнение с опережающим аргументом. Заметим, что в области остановки В = [а, должно выполняться равенство V*(z) = 0. Для решения задачи предлагается воспользоваться следующим алгоритмом.
На первом шаге алгоритма мы предполагаем, что а € (0,г]. Тогда на отрезке [0,а] уравнение (12) запишется в виде
-сУ1(х) + \а2У1'(х) - АВД = 2е"^ - 1,
т.е. оно представляет собой обычное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решением является
иг(г) = егеа1 * + Ахеа2 * + в\ е-1* + ¿1, где С1, й1 — произвольные постоянные,
с + л/с2 + 2<т2А с-л/с2 + 2 а2Х 2 1 «1 — -о-' а2 "" -2-' Р1 ~ 1оо,-Г> "1 — Т-
сг аг ^<т272 + С7 - Л Л
Из условий и1(а) =0 и и1 (а) =0 можно найти постоянные С1 и , зависящие от неизвестной границы а. Затем проверяем выполнение условия У*(0) = 0, т.е. ищем число а € (0,г], такое, что имеет место равенство
с1 а1 + ^а2 — в17 = 0.
Если такое число а существует, то тем самым нами были найдены функция У* (я) = ^(я) на отрезке [0, а] и граница а, удовлетворяющие всем поставленным условиям. Если же такой постоянной а не существует, то предположение, что а € (0,г], было ошибочным, и мы переходим ко второму шагу алгоритма.
На втором шаге алгоритма мы предполагаем, что а € (г, 2г]. Тогда на отрезке [а — г, а] выполняется равенство У* (я) = ^(я). Аналогично первому шагу мы можем найти функцию У* (я) = ^(я) на отрезке [0,а — г]. Затем, как и на первом шаге, мы проверяем выполнение условия У*(0) = 0. В случае если существует число а € (г, 2г], при котором это условие выполняется, функция У* (я) представляет собой на отрезке [0,а] "склейку" функций ^(я) и и (я). Если же условие У/(0) =0 не выполняется, то мы переходим к третьему шагу алгоритма.
Несложно показать, что на шаге г функция и (я) будет представлять собой выражение вида
иг(х) = Лг-1(г)еа1 * + Бг-1(г)еа2 * + /Зг е-'* + 5г, (13)
где Лг(х) и Бг(г) — многочлены г-го порядка, связанные следующим образом:
2 2 А + = -Х^г + г)е°*г, В'&)02 + у В'/(г) = -А В^г + г)еа*г, (14)
Ло = С1, Бо = ,
где = а2а1 — /, А = а2а2 — /. При этом вг = г@1, ¿г = г$1, а свободные члены многочленов Лг-1 и Бг-1 находятся из условий
Пг(а — (г — 1)г) = ^(а — (г — 1)г), П[(а — (г — 1)г) = П[-1(а — (г — 1)г). (15)
Проверка того, требуется ли следующий шаг алгоритма, проводится с помощью условия (0) = 0, т.е. мы проверяем, найдется ли постоянная а € [(г — 1)г, гг), являющаяся корнем уравнения
4-1(0) + а1Лг-1(0) + Бг-1(0) + а2Бг-1(0) — г7в! = 0. (16)
Таким образом, мы получили рекуррентные соотношения на коэффициенты. Действуя по описанному алгоритму, мы найдем непрерывную гладкую функцию, удовлетворяющую задаче (12) с указанными начальными условиями. Однако следует отметить, что, хотя для итерационного алгоритма решения (13)— (16) требуется всего лишь решение систем обычных линейных уравнений, технически он представляется весьма громоздким.
Далее методами стохастического анализа необходимо убедиться, что У* (г) = У (я). В данном случае, так как процесс St — X является марковским, а найденная функция принадлежит классу С2 всюду, кроме точки а, где она принадлежит классу С1, можно воспользоваться формулой Ито (подробнее об этом приеме см. [10, гл. IV, § 3, теорема 5 и § 4, теорема 9] или [11, гл. IV, § 8]; см. также доказательство основного результата в [2]).
Применение этого алгоритма к задаче с параметрами ц = —1, а = 1, r = 0, 35, Л = 2 приводит нас к значению a ~ 0, 442. Такой же результат (с точностью до второго десятичного знака) получается при численном моделировании методами Монте-Карло2.
Задача (3) также решается с помощью задачи Стефана. Мы получаем
-cUi(z) + ^a2U'J(z) + Л(U*(z + r)~ U*{z)) =0, 0 ^ z < a, U (z) = F(z), z > a.
Добавив условия U*(a) = F(a), U'(a) = F'(a) и U'(0) = 0, мы приходим к задаче Стефана. Функция F(x) может быть найдена прямыми вычислениями. Дальнейший алгоритм решения аналогичен случаю абсолютного критерия.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kyprianou A.E. Introductory lectures on fluctuations of Levy processes with applications. Berlin: Springer-Verlag, 2006.
2. Graversen S.E., Peskir G, Shiryaev A.N. Stopping Brownian motion without anticipation as close as possible to its ultimate maximum // Теория вероятностей и ее примен. 2000. 45, № 1. 125-136.
3. Pedersen J.L. Optimal prediction of the ultimate maximum of Brownian motion // Stochastics and Stochastic Reports. 2003. 75, N 4. 205-219.
4. Shiryaev A.N. Quickest detection problems in the technical analysis of the financial data // Proc. Math. Finance Bachelier Congress. Paris 2000. Berlin: Springer-Verlag, 2002. 487-521.
5. Урусов М.А. Об одном свойстве момента достижения максимума броуновским движением и некоторых задачах оптимальной остановки // Теория вероятностей и ее примен. 2004. 49, № 1. 184-190.
6. Ширяев А.Н. Об условно-экстремальных задачах скорейшего обнаружения непредсказуемых моментов у наблюдаемого броуновского движения // Теория вероятностей и ее примен. 2008. 53, № 4. 751-768.
7. Toit J. du, Peskir G. Trap of complacency predicting the maximum // Ann. Appl. Probab. 2007. 35, N 1. 340-365.
8. Toit J. du, Peskir G. Predicting the time of the ultimate maximum of the Brownian motion with a drift // Proc. Math. Control Theory Finance. Lisbon 2007. Berlin: Springer-Verlag, 2008. 95-112.
9. Bertoin J. Levy processes. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.
10. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1976.
11. Peskir G, Shiryaev A.N. Optimal stopping and free-boundary problems. Basel: Birkhäuser, 2006.
12. Синельников С. С. О совместном распределении (sup X — X, sup X) для процесса Леви X // Успехи матем. наук. 2010. 65, № 6. 193-194.
13. Золотарев В.М. Момент первого прохождения уровня и поведение на бесконечности одного класса процессов с независимыми приращениями // Теория вероятностей и ее примен. 1964. 9, № 4. 724-733.
14. Alili L, Kyprianou A.E. Some remarks on first passage of Levy process, the American put and pasting principles // Ann. Appl. Probab. 2005. 15, N 3. 2062-2080.
Поступила в редакцию 26.11.2010
2Соответствующие коды, написанные в программе MatLab, могут быть предоставлены автором по запросу. 14 ВМУ, математика, механика, №4
