Задача о разладке для броуновского движения на отрезке в случае равномерно распределенного момента разладки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 519.244.5

ЗАДАЧА О РАЗЛАДКЕ ДЛЯ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ НА ОТРЕЗКЕ В СЛУЧАЕ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО

МОМЕНТА РАЗЛАДКИ

А. А. Сокко1

В работе исследуется задача скорейшего обнаружения разладки броуновского движения на отрезке. Предполагается, что неизвестный момент разладки имеет равномерное распределение на отрезке. В качестве критериев оптимальности рассматриваются абсолютный и байесовский критерии. Задача о разладке сводится к классической задаче об оптимальной остановке, в которой оптимальный момент остановки может быть получен как решение интегральных уравнений. Существование и единственность решения интегральных уравнений доказываются аналитически.

Ключевые слова: задача о разладке, задача об оптимальной остановке, скорейшее обнаружение, броуновское движение, непрерывное распределение.

The paper deals with the quickest detection of the disorder of a Brownian motion on a finite interval. The unknown moment of disorder is assumed to be uniformly distributed on the interval. The Bayesian and absolute criteria are used as optimality tests. The problem is reduced to a classic optimal stopping problem where the optimal stopping time may be obtained as a solution to integral equations. The existence and uniqueness of the solution of integral equations are proved analytically.

Key words: disorder problem, optimal stopping problem, quickest detection, Brownian motion, uniform distribution.

1. Введение. Задача о разладке для броуновского движения является задачей скорейшего обнаружения неизвестного момента разладки, когда происходит смена значения сноса броуновского движения. Скорейшее обнаружение состоит в поиске оптимального момента остановки, который был бы наиболее близок к неизвестному моменту разладки в условиях заданного критерия оптимальности.

В настоящее время задачи скорейшего обнаружения относятся к одной из наиболее активно развивающихся областей анализа стохастических динамических данных и находят широкое применение на практике. В частности, данные задачи возникают в сейсмологии, обработке речевых данных и изображений, биомедицине, финансах и т.д. (см. [1, 2]). Основные методы, используемые в теории оптимальных правил остановки и скорейшего обнаружения, могут быть найдены, например, в книгах [3] и [4].

В большинстве практических применений задач о скорейшем обнаружении заранее известно, что разладка произойдет к определенному моменту времени в будущем, поэтому задачи на конечном отрезке представляют больший интерес, чем их аналоги на неограниченном временном интервале. Однако задачи на конечном отрезке математически сложнее, вследствие чего до настоящего времени не были изучены в достаточной мере. Их исследование, как и в случае бесконечного временного интервала, может быть начато с простейших случайных процессов, таких, как броуновское движение или пуассоновский процесс, а затем полученные результаты могут быть адаптированы на более широкий класс случайных процессов.

Основной трудностью в решении задач о разладке на конечном отрезке является их двумерность. Согласно стандартному методу, задача сводится к задаче со свободной границей для параболического оператора и непрерывного марковского процесса. Как правило, полученная задача со свободной границей не имеет явного аналитического решения и решается численно для заданного набора параметров. В таких случаях необходимо аналитическое доказательство существования и единственности решения (см., например, [5]), что гарантирует справедливость численных результатов.

Данная работа организована следующим образом. В п. 2 формулируются постановка исследуемой задачи и основные результаты. Пункты 3 и 4 содержат сведение задачи о разладке к классической задаче об оптимальной остановке и доказательство основных результатов соответственно. Наконец, в п. 5 приводятся явные формулы одномерных распределений, которые необходимы для численного решения задачи.

1 Сокко Анастасия Александровна — студ. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: anastasiya.sokkoQyandex.ru.

2. Постановка задачи и основные результаты. Пусть на вероятностном пространстве (О, Т,Р), где (О, Т) — измеримое пространство с вероятностной мерой Р, заданы броуновское движение В = (Вг)о^г^т5 Во = 0, и наблюдаемый случайный процесс с непрерывными траекториями X = (Х^о^^т, где 0 <Т < ж. Известно, что для некоторых ц = 0 и а > 0 наблюдаемый процесс X допускает представление

йХг = ¡I(Ь ^ 6)(Ь + айВг, Хо = 0, (1)

где 6 = 6(ш) есть неизвестный момент разладки. Предполагается, что момент разладки 6 и броуновское движение В независимы, а 6 имеет равномерное распределение на отрезке [0, Т] с атомом в нуле, т.е.

Р(6 = 0)= п, п е [0,1);

^(ж) = Р(0 < х) = ТГ + (1 - тг)-, 0 < Ж < Т.

Как следует из представления (1), при Ь < 6 наблюдаемый процесс X совпадает с масштабированным броуновским движением аВ, а наступление разладки 6 соответствует появлению ненулевого сноса

Задача состоит в том, чтобы, основываясь только на наблюдениях за процессом X, наилучшим образом предсказать неизвестный момент наступления разладки 6. Пусть т — момент принятия решения о том, чтобы прекратить наблюдения или что произошла разладка. Обозначим через Т ^ = 0 ^

в ^ Ь) а-адгебру событий, порождаемых значениями Xs, в ^ а терез М[о,т] класс моментов остановки т(ш) е [0,Т] относительно фильтрации Тх. Поскольку для каждого Ь ^ 0 решение о том, чтобы прекратить наблюдения, зависит лишь от информации о процессе X до времени то оптимальный момент т принадлежит М[о,т]-

т

6

т

воги Р(т < 6) и средней величины задержки обнаружения Е(т — 6)+. Таким образом, задача сводится к отысканию функций цены V(п) и Ш(п) для абсолютного и байесовского критериев соответственно, где

V(п)= Ш Е|6 — т|,; (2)

т еМ[о,т ]

Ш(п) = М (Р(т < 6) + сЕ(т — 6)+) , с > 0, (3)

т еМ[о,т ]

а также оптимальных моментов остановки ту, т№ е М[о,т]) на которых V(п) и Ш(п) достигаются.

Напомним, что приведенная задача о разладке хорошо исследована для экспоненциально распреде-

6

и в [6] для абсолютного критериев оптимальности. Более близкая к рассматриваемой в данной работе задача на конечном отрезке Т < ж в байесовской постановке подробно разобрана в [5].

Определим отношение правдоподобия Ь = (Ь^о^^т, где = ¿(д»(У) • Известно (см. [7, 8]), что

Ь = ¿о = 1. (4)

Через Ф = (Фг)0^т, где

Г^и, (5)

1 ,)о ьи

обозначим статистику Ширяева-Робертса. В данных обозначениях справедливы следующие результаты.

(1) (2)

ту = И{0 ^ Ь ^ Т I Фг ^ д(Ь)} Граница д : [0,Т] ^ [0, ж) есть единственное непрерывное невозрастаю-щее решение интегральных уравнений

гт-г

/ /I II \ \

(1и = о, о < г < т, (6)

Ег,д(г)

-4>г+и + (1 - тг) ( 1 - Ц^ ] ] /(Ф4+и < д(1 + и))

о

такое, что д(Ь) ^ (1 — п)(1 — Ь/Т) при 0 ^ Ь ^ Т и д(Т) = 0

Теорема 2. Оптимальным моментом остановки в задаче (1) (3) является марковский момент т№ = т£{0 ^ Ь ^ Т | ^ д(Ь)}■ Граница д : [0,Т] ^ [0, те) есть единственное непрерывное невозраста-•ю'щее решение интегральных уравнений

rT-t

E

t,g(t)

-сФ4+„ + ) /(Ф4+„ < g(t + и))

du = 0, 0 < t < T,

(7)

•такое, что g(t) ^ при 0 ^ i ^ Т и д(Т) = ■

Замечание. Подынтегральные выражения в (6) и (7) могут быть записаны в явном виде:

г g(t+u)

Etg(t) [A(t + u, Фt+u)I(^t+u < g(t + u))] = / A(t + u, w)p(n, u, g(t),w)dw,

Jo

(8)

где 0 ^ и ^ Т — Ь, а плотность переходной вероятности р марковского процесса Ф задана в (28).

На рис. 1 и 2 представлено поведение граничной функции д(Ь) в случаях абсолютного и байесовского критериев соответственно.

Рис. 1. Граница g(t). Абсолютный критерий

Рис. 2. Граница g(t). Байесовский критерий

3. Сведение к классической задаче об оптимальной остановке. Введем на (О, Р) вероятностные меры где Р(в)(-) = Р(- 10 = в), 0 ^ в ^ Т. Тогда

Р(-) = nP(o)(-) +

(1 - п)

T

P(s) (-)ds,

Т0

а случайный процесс X удовлетворяет стохастическиму дифференциальному уравнению

(1Хг = ¡I(Ь ^ в)& + (Г(1Бг, Хо = 0,

по мере РМ, 0 ^ в ^ Т. Через Е(б;)(-) обозначим математическое ожидание по вероятностной мере рМ. Лемма 1. Для, любого момента остановки т € Л4[0,т] выполнены следующие утверждения:

1) Р(т<0) = (1-7г)Е(т>(1-1),

2) Е(0 — т)+ = (1 — п)

--Е^ I 2 Jo

1 - j;) du

3) Е(т - в)+ = E(T) f Фudu

o

Доказательство. 1) В силу независимости в и т имеем Р(т < в) = JT E(x)I(т < x)(IFq (x). Далее,

■х

x

поскольку {ш G О т(ш) < ж} = ^ О, | т(ш) ^ х — является ^-¿У-измеримым множеством

grl'i^i = 1 при х < т, то Р(т < 9) = /0ТЕ< x)dFg(x) = (1 - тг)Е(т) (1 - £) .

и

2) Достаточно рассмотреть разность Ев — Е(0 — т)+ и воспользоваться тем, что Ев = (1 — 7г)?'

гт rT Г rT

Ев - Е(в - т)+ = Е I(u < e)du = E(x) I(u < x)I(u < т)du Jo Jo [Jo

(fq (x) =

i'T Г fx 1 i'T T r

= E(T) I(u < т)du dFe(x) = E(T) I(u < т)dFe(x)du = (1 - n)E(T)

Jo [Jo \ Jo Ju Jo

1 - du.

о

3) При всех и ^ х выполнено = поэтому

т !-т !-т (Р(х)

Е(т-0)+ = Уо Е^{т-х)+йРв{х) = Уо I Е^г)^ =

/*т Г /»т г 1 гт Г пи т 1 гт

= Е(Т) / / -±1{и<^т)(1и (Шв{х)=ж^ / / -^(№в{х) (Ни = Е*-т) / □

Уо |_./х ] Уо [./о ] Уо

Лемма 2. Случайный процесс Ф = (Фг)о^г^т; заданный в (5), является решением стохастического дифференциального уравнения

£*Ф* = + (1 Фо = 7Г.

а2

Т

Доказательство. Следует воспользоваться представлением (4) и применить формулу Ито к (5). □ В силу леммы 1 мы можем свести исходные задачи (2), (3) к следующим задачам об оптимальной

Ф

V (п) =

(1 — п)

Т + У{ тг), У{ж)= Ы е(т)

т ем

[0,Т ]

фи-(1-7г)(1--

и

(и,

И^(тг) = (1 - тг) + Ж(тг), И^(тг) = М Е(т) [

т еМ[0,Т ] Jо

сФи

(1-уг) Т

(и.

(9) (10)

Так как в приведенных выражениях для и математические ожидания берутся по мере Р*-7^,

такой, что Р(т) (Xt = аВг) = 1, то далее будем опускать верхний индекс (Т) в записи математического

Ф

£*ф4 = ^ад +

аТ

Фо = п.

(11)

Ф

6

однородного марковского процесса выступает апостериорная вероятность пг = Р(6 ^ ЦТ^), Ь ^ 0. Следуя [9, гл. 9], можно показать, что в условиях данной работы = ф^^у-г), 0 ^ t ^ Т, является марковским, но неоднородным по времени процессом:

(пг = (1 — пг)

1 I2 2А , I / Ч пг

--оЩ + -Г7Г4(1 - 7Г7Г0 = 7Г.

а2 а2

Т-г

4. Доказательство существования и единственности решения. Поскольку задача (10) реша-

ется аналогично (9) и лишь с незначительными изменениями, приведем только доказательство теоремы 1.

4-1. Оптимальность ту и существование границы д. Будем решать(9) методом обратной индукции

(см., например, [4]). Согласно данному методу, необходимо рассмотреть обобщенную задачу об оптимальной остановке

V (Ь,х) = Ы Е,х

т еМ[о,т-г] Уо

Ф

г+и

— (1 — п) 1 —

£ + и Т

(и

(12)

для однородного двумерного марковского процесса (Ь, где Ег>х(-) — это математическое ожидание

по вероятностной мере Рг,х(•) = Р(- | Фг = х), 0 ^ Ь ^ Т, х ^ 0, & М[о,т-г] есть множество всех марковских моментов т относительно фильтрации (Т+и)о^и^т0 ^ т ^ Т — Ь.

Пусть Е = {(Ь,х) е [0,Т) х [0, ж)}. Из общей теории оптимальных правил остановки для марковских процессов (см. [3, 4]) следует, что пространство наблюдений Е распадается на области продолжения наблюдений С и остановки Б = Е \ С:

С = {(Ь, х) е [0, Т) х [0, ж) | V(Ь, х) < 0}, Б = {(Ь, х) е [0, Т) х [0, ж) | V(Ь, х) = 0},

а оптимальным моментом остановки ту в задаче (9) является первый момент попадания пары (Ь, Фг) в область остановки Б, т.е.

ту = М{0 < Ь < Т | (Ь, Ф г) е Б}.

о

Лемма 3. Существует отображение д : [0,Т] ^ [0, те), такое, что области продолжения наблюдений С и остановки О в задаче (9) могут быть представлены следующим образом:

C = {(t, x) е [0, T) х [0, те) | x < g(t)}, D = {(t, x) е [0, T) x [0, те) \ x ^ g(t)}.

(13)

Доказательство. Достаточно показать, что V(t,x1) ^ V(t,x2) для всех 0 ^ xi < x2 < те 0 ^ t ^ T.

Обозначим через Фг, г = 1, 2, процесс (Ф*+и, г)0<и<т_4, Ф*,г = хг, соответствующий функции цены V(Ь,хг). Поскольку Фг входит в V(Ь, Хг) только под знаком математического ожидания, можно без ограничения общности считать, что Ф1 и Ф2 заданы на одном вероятностном пространстве и являются решениями уравнения (11) с разными начальными условиями Х1 и Х2- В силу марковости Ф если Ф^д = Ф4+«,2 для некоторого в, 0 < в < Т — то равенство выполнено и для всех и € [в,Т — Ь]. Необходимая монотонность V(Ь,х) по х следует из монотонности подынтегральной функции в (12) по Ф. □

Согласно представлению (13), оптимальный момент остановки ту может быть записан как т= т£ {0 < Ь < Т | Ф^ ^ д(Ь)}- Следовательно, неизвестная функция V(Ь,х) является решением задачи Стефана со свободной границей:

/ж л df (1 - п) df ß2 2 d2f

f е C1,2 ([0, T) х [0, те));

(LV)(t, x) = -x + (1 - п) (1 - t/T), (t, x) e C; V(t, x) < 0, (t, x) e C, V(t, x) = 0, (t, x) e D; V (t,x)\x=g{t) =0, 0 < t<T;

(14)

(15)

(16)

dV_

dx

(t, x) \x=g(t) =0, 0 < t<T.

д

(¿) Отображение Ь ^ V(Ь, х) те убывает при 0 < Ь < Т. Следовательно, отображение Ь ^ д(Ь) не возрастает при 0 < Ь < Т.

(и) Рассмотрим пару (Ь,х) € Е, х < (1 — ^)(1 — Ь/Т). Пусть а — первый момент выхода случайного процесса (Ф£+и)о<и<т-и Ф* = х, го малой окрестности точки х. Тогда

E

t,x

Ф

t+u

- (1 - п) 1 -

t + u Т

du ра ах — (1 — тт) ( 1 — — ) а +

t

(1 - тт) а2 Т 2

При достаточно малых а, что достигается путем уменьшения окрестности точки x, правая часть этого выражения меньше нуля. Следовательно, все точки (t,x), x < (1 - п)(1 - t/T), принадлежат области продолжения наблюдений C, откуда g(t) ^ (1 - п)(1 - t/T) при 0 ^ t ^ T.

(iii) Отображение t — g(t) непрерывно отрава при всех t е [0,T). Действительно, зафиксируем произвольное t е [0, T) и рассмотрим последовательность tn ^ T,tn \ t, n — те. Так как g не возрастает, то существует правый предел g(t+) в точке t. Каждая пара точек (tn,g(tn)) принадлежит D, следовательно, их предел (t,g(t+)) лежит в замыкании области остановки D, откуда g(t+) ^ g(t). С другой стороны, в силу монотонности g(t) ^ g(tn) для всех n, и, переходя к пределу при n — те, получим обратное неравенство g(t) ^ g(t+).

(iv) Докажем непрерывность g. Пусть в некоторой точке t* е (0, T) функция g имеет разрыв, т.е. g(t*-) > g(t*) ^ (1 - п)(1 - t*/T) . Зафиксируем t', 0 ^ t' < t*, такое, что (1 - п)(1 - t'/T) < g(t*), и рассмотрим трапецию R е C с вершинами в (t',g(t')), (t*,g(t*-)), (t*,x') и (t',x'), где x' — произвольная точка из открытого интервала ((1 - п)(1 - t'/T),g(t*-)). Согласно общей теории задач об оптимальной остановке, функция V(t, x) е C1,2 в области продолжения наблюдений C. Применим к ней формулу Ньютона-Лейбница и воспользуемся условием (16):

гg(t) гg(t) q2V V(t, х) = J J -^-^(t,v)dvdu, (t,x) <E R.

(17)

Отображения t —> V(t, x), x —> V(t, x) не убывают, следовательно, ^(t,x) >0и x) ^ 0 при (t, x) G C. Поэтому в силу (14)

rfiV _ 2a2 dx2 {t,x) ~

ß2x2

w П dV. , (1 - п) dV . .

а

ß2

а

ü

для всех t' ^ t <t*, x' ^ x < g(t') и некоторого е > 0. Подставим полученное неравенство в (17):

rg(t') rg(t') ß2y а2 (g(t') _ x')2

V(t',x') = J/ J (L^{t,v)dvdu^-e^9^)2 X) . (18)

Так как Vag непрерывны, левая часть (18) при t' —> t* стремится к V(t*,x'), а правая — к ;

следовательно, V(t*,x') = —е2^ ^9\ Х ^ < 0. С другой стороны, пара (t*,x') принадлежит области остановки D, значит, У(t*,x') = 0. В силу полученного противоречия g(t* —) = g(t*), т.е. отображение t ^ g(t) непрерывно при всех t Е [0,T].

(v) В п. (ii) мы показали, что g(T) ^ 0. Равенство доказывается от противного. Необходимо рассмотреть точку x' Е (0,g(T)) и рассуждениями, аналогичными приведенным в (iv), прийти к противоречию: У (T, x') < 0, в то время как из условия задачи У (T, x) = 0 для любого x ^ 0.

(vi) Получим интегральные уравнения для границы g. Зафиксируем пару (t, x) Е [0, T) х [0, ж) и

У

У(t + s, Фt+S) = У(t, x) + f (LV)(t + u, Фt+u)/(Ъt+u = g(t + u))du + Ms, 0 < s < T — t,

J 0

где Ms = Jq Vx(t + и, ф g(t + u))dBt+u, 0 ^ s ^ T — t, мартингал по вероятностной

мере Pt,x. В силу (14) и (15) имеем (ЪУ)(t,x) = —x + (1 — ^)(1 — t/T) при x < g(t) и (LУ)(t,x) = 0 при x > g(t), поэтому

V(t + s, Ф4+,) = V(t, x) + jf (-Ф*+„ + (1 - тг) - ) /(Ф4+и < g(t + u))du + Ms (19)

для s из интервала [0, T — t]. Так как Et,xMs = 0 при 0 ^ s ^ T — t, У (T, x) = 0 при x ^ 0 и У (t, g(t)) = 0 при 0 ^ t ^ T, то, взяв математическое ожидание Et>fl(t) от (19) при s = T — t, получим требуемые уравнения (6).

4-2. Единственность границы g. Пусть h — непрерывное невозрастающее решение уравнений (6), такое, что h(t) ^ (1 — ^)(1 — t/T) и h(T) = 0. Введем вспомогательную функцию

Уh(t x) Г иh(t, x),x < h(t); У (t,x) 10, x ^ h(t),

где

rT-t

du, (t,x) E [0, T) x [0, ж).

Функция h является решением интегральных уравнений (6), поэтому функция Vh(t,x) непрерывна на [0,Т] х [0, <х>). Для доказательства теоремы 1 необходимо показать, что h = g и Vh = V, где g есть оптимальная граница из представления (13).

(i) Зафиксируем пару (t, x) Е [0,Т) х [0, го). Нетрудно проверить, что для Vh выполнены все необходимые условия формулы замены переменных из [10], поэтому

Vh(t + s, %+s) = Vh(t, x) + f'S(LVh)(t + u, ^t+u)I(Vt+u = h(t + u))du + Msh+

J 0

1 f s

+- A*V?(t + u, Уt^)I(Vt+u = h(t +u))dlt 0 ^s^T-t, (20)

2 J 0

где A^Vh(t + u,h(t + u)) = Vh(t + u,h(t + u)+) — Vh(t + u,h(t + u)-), l*h — локальное время процесса ^t+«)osi«siT-i на кривой h, = lim£^0 ^ Jq I [h(t + и) - e < 4>t+u < h(t + и) + e] ^Фt+udu

f S -

Mg = fg Vx(t + и, Ф4+ад)/(Ф4+ад ф h(t + u))^dBu, 0 ^-Si^T — t, мартингал по вероятностной мере P^.

(ii) Покажем, что при любом фиксированном t E [0, T) отображение x Vh(t, x) непрерывно дифференцируемо в точке h(t). По формуле замены переменных так как U^(t,x) непрерывна (следует из представления (27)), (LUh)(t,x) = —x + (1 — ^)(1 — t/T) при x < h(t) и (LUh)(t,x) = 0 при x > h(t), то

Uh(t + s, Ф4+,) = Uh(t, x) + £ + (1 - тг) (l - ) /(Ф4+и < h(t + u))du + Ns, (21)

где 0 ^ s ^ Т - t, Ns = fg Ux{t + и, 4>t+u)I(4>t+u ф h(t + u))^4>t+udBu, O^s^T-i, — мартингал по вероятностной мере Pt,x.

Рассмотрим момент остановки

ah = inf{0 < s < T - t \ Фt+S < h(t + s)}.

Поскольку функция h является решением уравений (6), то Uh(t, h(t)) = 0 при 0 ^ t ^ T. С другой стороны, Uh(T,x) = 0 при x ^ 0, поэтому Uh(t + ah, Ф^о-^) = 0 Взяв математическое ожидание Et,x от (21) при s = ah, получим

Uh(t, х) = Еt,xUh(t + ah, Фt+oh) + Ei;X jf k — (1 — тг) — ) /(Ф4+и < h(t + u))du.

В случае x ^ h(t) оба слагаемых в правой части равны нулю, значит, Uh(t, x) = 0 при всех (t, x), 0 ^ t ^ T, x ^ h(t), и

д д vxh(t,h(t)~) - = fa(uh(t>x) ~ = = °>

т.е. отображение x — Vh(t,x) е C1 в h(t), 0 ^ t <T.

(iii) Стандартные рассуждения показывают, что (LVh)(t,x) = -x + (1 - п)(1 - t/T) при (t,x) е Ch и (LVh)(t,x) = 0 при (t,x) е Dh, где Ch и Dh определены в (13) с заменой функции g на h. Поэтому,

Vxh h(t) Vh

следующим образом:

Vh(t + s, %+s) = Vh(t, х) + jf + (1 - тг) (l - ) /(Ф4+и < h(t + + Msfc (22)

/о

при 0 ^ s ^ T - t.

(1у) Для каждых (Ь,х) € [0,Т] х [0, те) выполнено Vh(t,x) ^ V(Ь,х). Действительно, рассмотрим момент остановки т^ = 1п1{0 < в < Т — Ь | ^ Н(Ь + в)} и возьмем математическое ожидание Е^Х от (22) при в = ть- Поскольку VН(Ь + ть, Фь+тк) = 0, то

Vh(t, х) = Et>x jT - (1 - тг) (l - Ц^) ) du

при (Ь,х) € [0,Т] х [0, те). Неравенство Vh(t,x) ^ V(Ь, х) следует из полученного представления для Vh и определения (24) функции V.

(у) Покажем теперь, что Н(Ь) < д(Ь) при 0 < Ь < Т. Рассмотрим пару (Ь, х), такую, что х > д(Ь) V Н(Ь), и момент остановки ад = ш!{0 < в < Т — Ь | < д(Ь + в)} Подставив ад в качестве в, возьмем

математическое ожидание Е^Х от (22):

га

Еt,xVh(t + (Tg, 4>t+<7g) = Vh{t, x) + Ei;X J^ ^-4>t+u + (1 - тг) ^ 1 - "-J^ ) ) /(Ф4+и < h{t + u))du.

t + u

Так как Vh(t,x) = 0 при х > Н(Ь), то

Е;,х Ун(Ь + (Тд, Ф4+Ст9) + ^ 9 (ф4+и - (1 - тг) - < Кг + и))йи

Аналогично, используя формулу (19), получим

Е;,х У(1 + ад,Ч>ь+од) + I 9 - (1 - тг) + «))£*«

Поскольку V+ ад, Фг+ад) ^ V(Ь + ад, Фг+ад), то, вычитая (24) из (23), имеем

о < -е4>л ^ 9 - (1 - тг) - ^ [/(Ф4+и < + и)) - /(ч>ь+и < + иШи

5 ВМУ, математика, механика, № 3

0. (23)

= -Et>x £9 (ф4+и - (1 - тг) - J /(Ф4+и < h(t + u))du. (25)

hg

отрезке интегрирования, следовательно, Vt+u ^ h(t + u) при 0 ^ u ^ ад. С другой стороны, Vt+u ^ g(t+u) при 0 ^ u ^ ад, поэтому h(t) ^ g(t) при всех 0 ^ t ^ T.

(vi) Покажем наконец, что h = g, Vh = V. От противного: пусть найдется 0 < t < T, такое, что h(t) < g(t). Рассмотрим точку x Е (h(t),g(t)) и момент остановки т* = inf{0 ^ s ^ T — t | Vt+S ^ g(t + s)}. Действуя аналогично п. (v) и используя то, что Vh(t + т*, Vt+r*) = V(t + т*, Vt+r*) = 0, получим

0 < EttX jf - (1 - тг) - ) [/(Ф4+и < h(t + и)) - /(Ф4+и < g(t + u))]du =

= -EttX jf 9 ^Ф4+и - (1 - тг) - ) /(Ф4+и > + (26)

Подынтегральная функция в правой части (26) неотрицательна. Значение Vt = x > h(t) при u = 0, следовательно, в силу непрерывности g и h правая часть неравенства (26) строго больше нуля. Противоречие. □ 5. Одномерные распределения случайного процесса Ф. Пусть случайный процесс Ф = (Vt)o<t<T удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (11) с начальным условием Фо = x. Введем обозначения из [5]:

I= aBt + pi, J^ = [ eaB +esds.

Jo

В данных обозначениях случайный процесс Ф допускает следующее представление:

т — I I „„ I (Л _Л Т о'

Ф4 = е"^ ^ + (1-тг (27)

Совместное распределение процессов It 'р ш Jt 'в известно (см. [10, 11])

P

Е dy, J?'13 Е dz\ = fав (i, y, z)dydz

r'it, V, *> = /<* > 0,^-Lj^p (g + (| + i) У - - ¿(1 + e»)) x

х I С08Ь(М)) 8'п1,(м) 8111 ""'■

Из представления (8) находим, что Р(Фг е (и) = р(п, Ь, х, и)(и, где

р(1г, I, х,и) = -^ ^ I (е-У (ж + < и) у, г^ dy =

Г°° в лИ ( Т \ Т = / --ЛиеУ-х})--М. (28)

V (1 — п) / (1 — п)

Автор признательна научному руководителю А. И. Ширяеву за полезные комментарии и поддержку при написании данной работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Carlstein Е., Millier H.G., Siegmund D. Change-point problems // IMS Lect. Notes Monogr. Ser. 23. Springer, 1994.

2. Shiryaev A.N. Quickest detection problems in the technical analysis of the financial data // Math. Finance Bachelier Congress. P.: Springer, 2000. 487-521.

3. Ширяев A.H. Стохастический последовательный анализ: Оптимальные правила остановки. 2-е изд., перераб. М.: Наука: Физматлит, 1976.

4. Peskir G., Shiryaev A.N. Optimal stopping and free-boundary problems. Basel: Birkhâuser, 2006.

5. Gapeev P.V., Peskir G. The Wiener disorder problem with finite horizon // Stochast. Process, and Appl. 2006. 116, N 12. 1770-1791.

6. Shiryaev A.N. A remark on the quickest detection problems // Statistics and Decisions. 2004. 22. 79-82.

7. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974.

8. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1, 2. М.: Фазис, 1998, 2004.

9. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические методы в теории принятия решений. М.: ФМОП .\IIUI.\K). 2011.

10. Peskir G. A-change-of-variable formula with local time on curves //J. Theor. Probab. 2005. 18, N 3. 499-535.

11. Yor M. On some exponential functional of Brownian motion // Adv. Appl. Probab. 1992. 24. 509-531.

Поступила в редакцию 14.03.2012

УДК 517.925+531.01

НОВЫЙ СЛУЧАЙ ПОЛНОЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ

К ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ

М. В. Шамолин1

В работе сообщается о результатах по исследованию уравнений движения динамически симметричного четырехмерного твердого тела, находящегося в некотором неконсервативном поле сил. Вид поля заимствован из динамики реальных двумерных и трехмерных твердых тел, взаимодействующих со средой, когда в системе присутствует неконсервативная пара сил, заставляющая центр масс тела двигаться прямолинейно и равномерно. Получен случай интегрируемости динамических уравнений движения тела в сопротивляющейся среде, заполняющей четырехмерное пространство, при наличии некоторой следящей силы.

Ключевые слова: четырехмерное твердое тело, динамические уравнения, трансцендентная интегрируемость.

The paper presents the results of study of the motion equations for a dynamically symmetric 4D-rigid body placed in a certain non-conservative field of forces. The form of the field is taken from the dynamics of actual 2D- and 3D-rigid bodies interacting with the medium in the case when the system contains a non-conservative pair of forces forcing the center of mass of a body to move rectilinearly and uniformly. A new case of integrability is obtained for dynamic equations of body motion in a resisting medium filling a four-dimensional space under presence of a tracking force.

Key words: 4D-rigid body, dynamic equations, integrability in terms of transcendental functions.

1. Четырехмерное тело в неконсервативном поле. Пусть четырехмерное твердое тело В массой m с гладкой трехмерной границей дВ движется в среде, заполняющей четырехмерную область евклидова пространства. При этом тензор инерции тела в некоторой связанной системе координат DX1X2X3Х4 имеет вид diag{/i, I2,I2,12} (так называемый случай (1-3)). Расстояние от точки N приложения неконсервативной силы S до точки D является функцией по крайней мере некоторого угла а между вектором v^ и осью симметрии тела Dxi: DN = Ri(a,...) (ср. с [1-3]). Сила S имеет величину

S = s(a)sgncos а ■ v2, |vD| = v,

где s — некоторая функция, характеризующая в системе как рассеяние, так и подкачку энергии [1, 2]. При этом функцию s определим следующим образом: s = s(a) = B cos a; B > 0.

2. Динамические уравнения. Пусть Q — тензор угловой скорости тела В, Q £ so(4). Его будем представлять в виде

/ 0 -ше -ш3\ 0 —ш4 ш2 —ш5 0 -ш1 \ Ш3 -Ш2 Ш1 0 J

(1)

1 Шамолин Максим Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф., вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ; e-mail:

shamolinQrambler.ru, shamolinQimec.msu.ru.