ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ КРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 21. Выпуск 1.

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-1-341-356

Об одной теореме о среднем значении кратных тригонометрических сумм

В. Н. Чубариков (г. Москва)

Чубариков Владимир Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, президент механико-математического факультета, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова (г. Москва). e-mail: chubarikl <§mech. math.msu.su

Аннотация

Доказана теорема о среднем для кратных тригонометрических сумм, обобщающая теорему Г. И. Архипова [12, 13]. Первая теорема подобного типа лежит в сердцевине метода И. М. Виноградова [2]. В работе найден вариант теоремы с "равноправными" длинами промежутков изменения переменных. Интересным приложением метода И. М. Виноградова являются оценки дзетовых сумм вида

Е

п<Р

Подобным приложением теоремы о среднем, доказанной нами, служат оценки сумм вида ^ ••• ^ (щ ...Пг + ку\ ^ rs(n)(n + kf, ^ (р + kf.

п<Рг п<Рг п<Р р<Р

Ключевые слова: теоремы о среднем И. М. Виноградова, Г. И. Архипова; многомерная функция делителей; простые числа; дзетовая сумма.

Библиография: 17 названий. Для цитирования:

В. П. Чубариков. Об одной теореме о среднем значении кратных тригонометрических сумм // Чебы-шевский сборник, 2020, т. 21, вып. 1, с. 341-356.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 1.

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-1-341-356

On a mean-value theorem for multiple trigonometric sums

V. N. Chubarikov

Chubarikov Vladimir Nikolaevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the Department of mathematical and computer methods of analysis, president of the mechanics and mathematics faculty of the M. V. Lomonosov Moscow State University. e-mail: chubarikl Qmech. math.msu.su

Abstract

A mean-value theorem for multiple trigonometric generalizing from the G. I. Arkhipov's theorem [12, 13] was proved. The first theorem of the similar type lies in the core of the I. M. Vinogradov's method [2]. In the paper the version of theorem with "similar" lengths of changing intervals of variables. Estimates of zeta-sums of the form

E

n<P

are the interesting application of the I.M.Vinogradov's method. The similar application of the mean-value theorem proving by us serve the estimate of sums of the form

^ ••• ^ (m ...nr + kf, ^ rs(n)(n + kf, ^ (p + k)u.

n<Px n<Pr n<P p<P

Keywords: the mean-value theorem of I. M. Vinigradov and G. I. Arkhipov, the multivariate divisor function, prime numbers, the zeta-sum.

Bibliography: 17 titles. For citation:

V. N. Chubarikov, 2020, "On a mean-value theorem for multiple trigonometric sums", Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 1, pp. 341-356.

1. Введение

В настоящей статье дано обобщение теоремы Г. И. Архнпова о среднем значении степени модуля кратной тригонометрической суммы [12]. Первая теорема о среднем, лежащая в основе метода тригонометрических сумм, найдена И. М. Виноградовым. Наиболее совершенное изложение её дано в монографии [2]. Ю. В. Линнику [7] принадлежит р-адический вариант доказательства этой теоремы, усовершенствованный впоследствии А. А. Карацубой, Н. М. Коробовым [10, 11], Г. И. Архиповым [13] и другими.

Интересное применение метода тригонометрических сумм найдено Д. Е. Литтлвудом [1] в теории дзета-функции Римана, что позволило уточнить остаток Валле-Пуссена в асимптотической формуле для числа простых, не превосходящих любой наперёд заданной границы. Основным моментом доказательства этого утверждения лежит оценка дзетовой суммы вида

5 = 5(Р; *)= £ п".

п<Р

Дальнейшие улучшения оценки дзетовой суммы связаны с применением метода И. М. Виноградова [5, 6, 3, 8].

Нами найдены оценки для любого целого к, отличного от нуля, подобных кратных тригонометрических сумм вида

^ ••• ^ (щ ...пг + к)и, ^ т8(п)(п + к)", ^ (р + к)и,

п<Рг п<Рг п<Р р<Р

где т8(п) — многомерная функция делителей числа п, выражающая число решений уравнения п1 ...п8 = п в натуральных числах п1,..., п8; а перемениая р пробегает последовательность всех простых чисел.

В качестве первого шага получения этих оценок дадим доказательство теоремы о среднем для многочленов от нескольких переменных заданной степени.

Пусть J = J(Р; п, к, г) обозначает число решений системы диофантовых уравнений вида

2к

^(-1)? ...Xч =0, 0 < ¿1 + ••• + и < п, ¿1,..., > 0, 3=1

где каждое неизвестное х^^, 1 < г < г, 1 < ] < 2к, принимает все целые значения от 1 до Pj, причём 1 < Р1 < Р2 < • • • < Рг < 2Р1, Р = (Р1,..., Рг), а величины п, к, г являются натуральными числами. Очевидно, что

,2к

3 = 3 (Р; п,к,г) = I ••• ! |ад|2

¿А,

где

рг рг

Я (А) = в(А; Р; п,к,г)=^ • • • Е ехр ^ (х1,Хг)},

Хг = 1

причём х = (х1,.. ., хг),

п п

/ (х) = / (жь. ..,хг) = Е • • • Е .. .,1т )Х1 ...Х1Г

^=0 и=0

¿1 + ..ЛГ <п

число коэффициентов многочлена /(х) равно т = (п+г), символ О обозначает куб размерности т следующего вида

о < а(г 1,..., и) < 1, о < г1,..., и, г1 +-----+ и <п,

буква А обозначает набор вещественных коэффициентов

а(Ь 1,..., ), 0 < Ь1, ..., , ¿1 + • • • + 1Г < п, многочлена ] (х1,... ,хг) степени п от г переменных Х1,..., хг, наконец,

п п

¿0 = ^ ••• ^ ¿а(г 1,..., и).

«1 =0 и = 0

¿1 +-----Vtr <п

Теорема. Пусть 3 < п, 2 < г, — натуральные числа, 0 < т — целое число, т = (п+г), т1 = , н пусть к > тт. Тогда для величины J = J(Р; п, к, г) имеем оценку

3 < 0(т)Р1гк-А{т),

п

где

Д(т) = т1(1 - (1 - 1/п)Т), Б(т) = (2ПГ(п + Г)кт-1)2к.

2. Леммы

Лемма 1. Пусть ц — простое число, То — число решении системы сравнений

2т

)х\\ . . ,Х'Г =

]Г(-1)^ х\) ...х^ = 0 (шсё д)

0=1

0 < ... + ••• + 1Г < п,т =

где каждая неизвестная хц пробегает значения из полной системы вычетов по модулю д. Тогда для величины То справедлива оценка

То < (п(п + 1))г-1)2шд2шг-ш+1, т = ^ + ^ .

Доказательство. Имеем

То =£ ••• £ ••• ]Г

а(0,...,0) = 1 а(гг,...,гг)=1 а(0,...,п) = 1

Е ••• Ее

Х\ =1 хг = 1

2тггРА(х

г )/Ч

2т

где

п п

РА(х1, ...,хг) = Е •"Е а(г1-.. .-1т )'

гг=о гг=о

^ +-----Нг <п

причём А — целочисленный набор а(Ь1,... ,ЬГ), 0 < ¿1,... ,ЬГ, ¿1 + • • • + < п. Произведём следующую замену переменных суммирования

Х1 = У1,

Х2 = У2 + Уг1+1,

_ (п+1)т-1

хг — Уг + У1 .

Поскольку в сумме для То перемениые х 1,..., хг пробегают полные системы вычетов по модулю ц, переменные у1,..., уг будут пробегать полные системы вычетов по модулю ц, и наоборот. Следовательно,

9 9 9

То =£ ••• £ ••• £ 1х

а(о,...,о)=1 а(г !,...,гг ) = 1 а(о,...,п)=1

х ^ • • • ^ра(у1,у2+у^+1,...,уг

У1 = 1 Уг = 1

Далее при р > 1 воспользуемся неравенством Гёльдера в виде

(Е ^ 1)р < (Е 1)р-1 Е \р.

)/ч

2т

При р = 2т получим

Е Е«

У1 = 1 Уг =1

2-къРа( У1,У2+У 1;+1,...,уТ+у(

("+1)г

)/ч

2т

<

< д(г-1)(2т-1) ^ ••• ^

У2 = 1 Уг = 1

-+1 -V+У(гп+1)Г-1 )/„

е2тггРА(У1,У2 +Ух+1,...,Уг +У(

У1 =1

2т

Отсюда находим

То < д(Г-1)(2^-1)и,

где

и

я я

-т

Е ••• Е ••• Е

a(0,...,0) = 1 a(t!,..., tr)=1 a(0,...,n) = 1

У2 = 1 Уг =1

я _ 1 2т

^ е21ггРА(у1,у2 + у?+1,...,Уг + У(1'1+1)Г )

У1 =1

Имеем

и = Е •• • ¿и (у 2,..., уг),

У2 = 1 Уг=1

где U (г/2,..., уг) равно числу решений следующей системы сравнений

2т ^

Т.(-1УуЪ (У2 + У1+Т .. \уг + Й+1Г-1) г - 0 (mod 1),

0 < ¿1,... Ь г, ¿1 + ••• + Ь г < п,

причём неизвестные 1 < 3 < 2т принимают значения го полной системы вычетов по модулю д. Заметим, что величина и * = и (у2,...,уг) те зависит от перем енных у2,...,уг, так как вме-

/ , п+1 , (п+1)г-1ч „ „

сте с решением (у1у2 + у г +,..., у г + у\ ^ ) предыдущей системы сравнении ее решением является у™+1,..., у("+1) ) , и наоборот. В этом легко убеждаемся, предположив, что х1,з, 1 < ъ < г, 1 < 3 < 2т, решение системы сравнений, тогда х^^ + а^, 1 < г < г, 1 < з < 2т, также будет решением системы сравнений. Действительно,

2т

J2(-1)j(x1,j + «1)41 .. . (xr,j + аг)tr = =1

= Е(-1)J Е • • £ Сг=

j=1 «1=0 v 1у Vr = 0 ^ г/

•it Cv1)«rV1 ... ft )<r-Vr h-Dx?, ...XVг, - 0 (modq).

V =0 V =0 1 г =1

Следовательно, положив («1, «2,... ,аг) = (0, — г/2,..., — уг), получим эквивалентную систему сравнений

2 т

¿(-1)*12(™+1)+ •+4г(»+1)Г-1 - 0 (mod q),

=1

0 < t1,t2,..., и, t1 +t2 +-----+ и <n.

t = t1 + t2(n + 1) +-----+ и (n +1)г-1, 0 < t1,..., U, t1 +-----+ U <n,

Принимается не более одного раза, то последнюю систему сравнений можно переписать в виде

2 т

Е(-1)'z] - 0 (mod q),t = t1 +12(n + 1) + • • • + tr(n + 1)г-1 3=1

0 < 11, г2,..., и, 1 < + г2 +-----+ и <п.

Количество сравнений в этой системе сравнений равно т — 1, где т = (™+г). Степени многочленов её не превосходят п(п + 1)г-1. Занумеруем числа Ь, представимые в виде

г = г1 + г 2(п +1) +-----+ и (п + 1)г-1,0 < г1,..., гг, 1 < г1 +-----+ гг <п,

в порядке возрастания 1 = < в2 < • • • < вт-1 = п(п + 1)г 1.

Таким образом, число решений и * рассматриваемой системы сравнений можно представить в виде

у = ^ £••• Е

ч

2тгг}в (¿)/ч

Е

1

2т

-1

Используя оценку А.Вейля, получим

и * < цт+1 + (п(п + 1)г — 1)2тдт < (п(п + 1))г-1)2тЧ,п

Отсюда находим

ч ч

и * = 1Г-1и * < (П(П + 1)) Г-1)2тЧт+Г, То < (п(п + 1))г-1)2т д2™-т+:

У2 = 1 Уг = 1

Лемма 1 доказана. □

Докажем несколько полезных тождеств.

Лемма 2. Пусть Ь1,...,Ьг — неотрицательные целые числа. Тогда имеем тождества

т* =т*(п, г)= ¿•••Е 1={ +-1);

«1=о и = о ^ '

^Н-----Н 4 г=п

П П [п + г\

т = т{п., Г.Г );

=о =о

t1^-----Н г г <п

»1 = Ш1 ^ 1 +•• )=М г — г-1

ь=о и=о ^ ' ^ ' '

t1Н-----Н и =п

П П , ч

. . , \ гп п + г \

*0=£"5>1 + ••• + ^) = 7+1{ г .

=о =о

^Н-----н г г<п

Доказательство. Рассмотрим при \г\ < 1 производящую функцию Т(г) для последовательности то. Имеем

^ / ж \ / ж \ 1

+ и ' ^ * ' * ' 1

ж ж ж / ж \ / ж \

Т(г) = £ т*(п, ф» = Е • • • Е *' = Е ^Ч Ч Е ^Ч

п=о и=о и = о \и=о ) =о )

(1 -

Следовательно,

г (г +1)... (г + п — 1) /п + г — 1Л

* *( ) 1 ^ 1 т = т (п, г) = —

п! ¿гп (1 — г)г

(п + г — 1\

V — 1 ).

Далее величина т = т(п, г) = ^ т* (к, г) равна числу решений уравнения + • • • + Ьг+1 = п в целых

к=о

неотрицательных числах Ь1,..., 1г+1, т.е.

/ ^ */ ^ (п + т = т(п, г) = т (п,г +1)^1 I.

Рассмотрим теперь при \г\ < 1 производящую функцию (2) постедовательности т\(п, г). Находим

ж ж ж

Р1(г) = £ тКп, г)хп = Е • • • Е (* 1 + •••+ ^)*Г =

п=о г1=о гг=о

ьВ1 =1 ь._ 1 =1

П!

z

1 у z _ z _ ( 1

Y—~z) Т(1 - z)r-1 = Т(1 - z)r+1 = Г V(1 - z)r+1 (1 - zy

Отсюда и из вида производящей функции F(z) имеем

( (п + г\ (п + г - 1 т1(п, r)=r г г- 1

Наконец, используя при 0 < к < п формулу для т**(к, г) и для т(к, г), имеем

^ (п + r + 1\ (п + Л rn f п + Л

т (п, г) = ^т*(к, 0=^ r + 1 ^ ^ у

Лемма доказана. □

Перейдём к формулировке и доказательству леммы о числе решений полной системы сравнений. Определение. Пусть задана матрица М, имеющая т = (п+г) строк и к > 1 столбцов,

М = ...х^) ,

где

0 <t i,..., tr ,t i +-----+ tr <п, 1 <j< к.

Набор векторов xi,..., xk, где xs = (х\..., xTjS), 1 < s < к, называют регулярным по модулю q, если ранг матрицы М, элементами которой являются вычеты х ^ ... х^ по простому модулю q, будет

к > т, т.

Лемма 3. Пусть р — простое число, Т — число решении системы сравнений

J2(-1)jXi,j . --xlj = 0 (mod рч)

3=1

о I,...,и, 1 <ги-----+ и <п,

где неизвестные , 1 < в < г, 1 < о < к, пробегают значения из полной системы вычетов по модулю рп, например, 0 < х3^ < рп, и пусть векторы х.^,] = 2,4,..., 2т, удовлетворяют условию

.

Тогда справедлива следующая оценка

Т < (п +1)2гтрА,А = 2гпт — т\, т = (П + Л, т1 = + гV

угу г + 1 у г )

Доказательство. Можно считать, что р > п, так как в противном случае решения системы сравнений, удовлетворяющие условию регулярности, отсутствуют.

Представим каждую неизвестную , 1 < в < г, 1 < ] < 2т, в виде

п-1

I

xs,j = ЕPlXs,3,h 0 < Xs,j,l < р,

1=0

и подставим эти выражения в систему сравнений.

,

2т

Y.(-1)jxb,0 ...х^,о = 0 (mod р),

3 = 1

0 < t1,..., tr, 1 < t1 +-----+ tr <п,

и неизвестные x2v,0 = (x1j2v,0,..., хГ}2v,0), 1 < v < т, удовлетворяют условию регулярности. Число

Т0 .

Т0 < (п(п + 1))г-1)2тр2тг-т+1, т = ^ + гу

)

Итак, неравенство для величины То даёт оценку сверху количества нулевых координат xsj,o, удовлетворяющих системе сравнений из условия леммы. Оценку числа других координат проведем по индукции по параметру v. При v = 0 такая оценка получена выше.

Далее первоначальную систему сравнений рассмотрим по модулю pl+1,1 < v < n. Положим

i

us,j,u = ^2 P^Xs,j,IJ, = Us,j,„-1 + pVXs,j,v ,u( S,j, 0) = x(s ,j, 0).

I=0

Имеем xs j = u(s,j, v) (mod ри+г). Следовательно, обязана выполняться система сравнений вида

2т

Y^-yub,» ■■■ut;,j,„ = 0 (mod pl+1), =1

0 <ttr ,v + 1 <t 1 +-----+ tr <n,

и неизвестные x2v,0 = (x\,2v,0,..., xr,2v,0), 1 <v<m, удовлетворяют условию регулярности по модулю р. Число решений этой системы сравнений обозначим через Ти.

Предположим, что справедлива оценка Т„_1. Зафиксируем любое решение us,j,l_1, 1 < s < г, 1 < j < 2m. Для этого фиксированного решения оценим величину Т(v). Поскольку

¿1 о,1 Г — „М „А _L

и1,3,и . . .иг,з,и = и1,],и-1 . . .иг,з,и-1 + У Фз (

где

г

Фо & 1,..., и ) = . . . иЛ-1-1 . . . и1Г,о,и-1хХ,3,^ Р),

Л=1

где при t л = 0 соответствующее слагаемое в последней сумме равно 0.

Отсюда приходим к системе сравнений с неизвестными , 1 < в < г, 1 < ] < 2т,

+ Р"Ф] (t 1, . . . , tr ),

2 т

£( —1УФз (t i,..., tr) = P_VY. (-I)jui,j,„-1 . ..u^-1 = X(t i, ..., tr) (mod p),

3=1 3=1

0 < t1,..., tr ,v + 1 < t1 +-----+ tr <n,

причём набор векторов u2j, l_1 = (u1,2j,l_1,... ,ur,2j,l_1), 1 < j < m, удовлетворяет условию регуляр-.

Т( )

подсистему войдут сравнения с условиями t1 > v + 1, t2 = • • • = tr = 0, во вторую те сравнения, для которых t1 + 12 > v + 1,12 = 0, t3 = • • • = tr = 0, и т.д., наконец, в r-ю подсистему включим сравнения с условиями t1 + • • • + tr > v + 1, tr = 0.

Пусть Rs(v + 1) обозначает число решений в целых числах неравенств v + 1 < t1 + • • • + ts < n, 0 < t1,..., ts. Тогда в первую подсистему войдут R1(v + 1) сравнений, во вторую — войдут R2(v +1) — R1(v + 1), и т.д., в r-ю войдут сравнения в количестве R (v + 1) — Rr_1(v + 1). Первая подсистема будет состоять из сравнений вида

2 т

^/( — 1)jxt11j0x1ji = X(t 1, 0,..., 0) (mod p),v + 1 < h < n,

3 = 1

с неизвестными x1,j,l, 1 < j < 2m, и с условием регулярности по модулю р, которое означает, что матрица её коэффициентов имеет максимальный ранг по модулю р. Последнее означает, что найдутся р = R1(v + 1) коэффициентов с номерами 1 < j1 < jp < 2m, таких, что определитель матрицы

x 1,31,0 ... x1,3p,0

xn xn

x1, ,0 . . . x1, p,0

не сравним с 0 то модулю р. Следовательно, первая подсистема сравнений имеет не более р2т_Й1 ( решений.

2т

Y,(-1)j Xi,j,0 ... х1'—ха^ = X' (t 1,..., ta, 0,..., 0) (mod p),v + 1 < h < п,

3 = 1

v+1 < t1 +-----+ t s <п, ts =0, 0 < t1,..., ts,

с неизвестными X1j<u, 1 < j < 2т, го полной системы по модулю вычетов р, и с условием регулярности по модулю р, т.е. с условием линейной независимости сравнений системы по модулю р. Как и раньше, получим, что число решений этой системы сравнений не превосходит pRs{v+1)-Rs-i{v+1).

г

Тv < р2т-R\ (v+1) ^ pRs(u+1)-Rs-i(u+1) = p2mr-Rr(v+1) s=2

Следовательно,

n—1 n

Т < ПТ» < (п(п + 1y-1)2mp2mm-R, R = ^R („).

v=0 u=1

R.

v=1 v=1 k=v k=1 v=1 k=1

n n / i \

Ev-^ , . Гп / п + Г\

■■■J2(t1 + ■■■+ ^ = 7+7 + )=т1.

tt =0 tr=0 v y

ti +-----+tr <n

□

Теперь докажем лемму о рекуррентном неравенстве.

Лемма 4. Пусть п > 2, г > 1,к > 2т, 1 < Р1 < • • • < Рг < 2Р1. Тогда существует такое число р из отрезка [Р1п, 2Р^/п], что

7 = 7(Р; п, к, г) < в1р2г{к-ш)+2тт-^ 3(д. п, к — т, г) + п2Р2кг-2к+2т-2,

т = ^(п + Г ),П1 = 2п27о < 2п2 (п + 1)2гт(к\ \в2 = 22пт+2пк(г-1)+1п2пк, г + 1 у г ) \т)

где д = ^1,..., ), = Рар-1 + 1,1 < 5 < г.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что (Р1 ...Рг)т1 > В2, поскольку в противном случае оценка величины 7 становится тривиальной. При этом условии на отрезке вида [Р1/п, 2Р 1/п1] находится то крайней мере п различных простых чисел ([14], гл.III, лемма 8, с.105-107). Пусть р1,...,рп обозначают любые п различных таких простых чисел, х^ = (х1,^,..., хг^). Представим 7 в виде

J

ее-Е

xi Хз X2fc-1

e2*i(f (xi) + f (Хз) + - + Г (X2k-i))

2

dQ,

где координаты векторов х^ = (х1^,..., хг^) принимают значения целых чисел, причём 1 < ха^ < Ра, 1 < < .

Наборы векторов х3,..., х2и-1} разобьём та два масса. Первый класс А будет состоять только из тех наборов, которые удовлетворяют условию регулярности по модулю р = р8 при некотором « , 1 < 8 < г. Определение регулярности набора векторов по простому модулю дано перед формулировкой леммы 3. Все остальные наборы отнесём ко второму классу В.

Пусть

А Х1 Хз Х2Ь-1

{х!,Хз,...,Х2Ь-1}еА

п

Сумма определяется аналогично. Тогда справедливо неравенство

Е+Е

<Л0 < 211 + 2 .ь,

где

Е

¿0, .2

Е

¿0.

Оценим . Класс А разобьём на п совокупностей А1,... ,Ап. Для всякого в, 1 < в < п, совокупность А8 будет состоять только из тех наборов векторов {х1, х3,..., х2к-1}, которые удовлетворяют условию регулярности по модулю р8, и те входят в совокупности А1,..., А8-1. По неравенству Коши имеем

. 1

1=

ЕЕ

8=1 Аа

0 < п . 1

1=

8=1

Е

¿0 < П.о,

где 30 обозначает ту совокупность Аг, для которой при 1 < в < п интеграл

Е

0

имеет наибольшее значение.

Рассмотрим те наборы {х1, х3,..., х2к-1}, которые удовлетворяют условию регулярности по модулю рь, причём первые т столбцов соответствующей матрицы М, отвечающей набору векторов {х1, хз,..., х2т-1}, являются линейно независимыми по модулю рь. Совокупность таких наборов векторов обозначим Аго. Поскольку все другие наборы векторов из совокупности Аг отличаются только

М,

.о <

п у

т

Е

¿0.

Преобразуем сумму

Е = {£••• Е }' Е ••• Е

Аь,0 Х1 Х2т-1 Х2т + 1 Х2к-1

т

модулю р = Рь.

Заметим, что для остальных г — т вектор ов Xj, ] = 2т + 1,..., 2к — 1, их координаты произ-

х

х j = у^ + рг^, где при 1 < в < г,2= 2т + 1,..., 2к — 1, их координаты пробегают целые значения от 1 до р, а, — от 0 до Р8р-1.

Применяя неравенство Гёльдера, найдем

| ЕI2 <

Х1 Х2т-1

ЕЕ

< р2г(к-т)-г

У 2

2

2( к-т)

{Е- Е}'

Х1 Х2т-1

Е

<

2( к-т)

Следовательно,

.о <

С У

т

р2г(к-т) тах

Е

2( к-т)

0.

2

П

2

2

П

П

П

П

2

П

2

П

2

2

Х2т-1

Отсюда при некотором у = у0 = (у1}0,..., уг,о) интеграл в левой части последнего неравенства представляет собой число решений следующей системы диофантовых уравнений

2т 2к

^( — 1УхЪ . ..х^ = Е ( — 1) (У10 +рг1,3У'1 . . . (Уг,0 +р*г,з УГ,

3=1 ]=2т+1

0 < tl, ..., Ь г, ^ + ••• + Ь г < п,

где неизвестные векторы х^ х3, ..., х2т-1, удовлетворяют условию регулярности по модулю р, а неизвестные , 1 < в < г,] = 2т + 1, 2т + 2,..., 2к пробегают все целые значения от 0 до Р8р-1.

— у0 .

Получим следующую систему уравнений

2т 2k

1) (xhj - У10У1 ... (xrJ - yrfi)tr = pti+^+tr E (-1)° zh ... %

3=1 j=2m+1

0 < t1, ... , t r, t1 + ■■■ + t r < п. Так как число J (Л) решений системы уравнений 2к

J2 (-1)j4j ... zlr,j =X(t 1,..., tr), (0 < t1,..., tr, t1 + ■■■+ tr <п),

j=2rn+1

не превосходит числа решений подобной системы уравнений при X(t 1,..., tr) = 0 для всех 0 < t1,..., tr, t1 + ■ ■ ■ + tr < п, то имеем

J (Л) < J (Q; п,к -т, г).

Т

2т

Y^(-1)j(Х1,з - УюУ1 ... (хг,з - уг,0)tr = 0 (mod р^+'"+tr),

3 = 1

0 < t1,..., t r, t1 + ■■■ + t r < п,

причём переменные x1,..., xr, удовлетворяют условию регулярности по модулю р и пробегают полные системы вычетов по модулю рп.

Т

J0 < (к) р2г(к-т)^ (Q; п, к -т, г),

т

2

J1 < п2 J0 <п2(п +1)2гт(к\ р2г(к-т)+2тгп-т1 J (Q; п, к -т, г).

т

Перейдём к оценке J2. Для любого 1 < s < п наборы векторов x^ x3,..., x2^-1, входящие в класс В, те являются регулярными по модулю ps. Следовательно, найдутся целые числа cs(t 1,..., tr), не все сравнимые с нулём по модулям ps, 1 < s < п, такие, что справедливы сравнения

п

^ ... tr =0ncs(t 1,..., tr )xt1]j ...х^ = 0 (mod ps), ti=0

il +-----+tr <n

j = 1, 3,..., 2 к - 1.

Отсюда имеем, что при фиксированном наборе cs(t 1,..., tr), t1 + ■ ■ ■ + tr < п, отличном от нулевого по модулю ps, число решений x^ x3,..., x2k- предыдущего сравнения не превосходпт (прг8-1)к. Число указанных наборов cs(t 1,..., tr), t1 + ■ ■ ■ +1r < п, те превосходит 2р~т-1, поскольку можно считать, что cs(0,..., 0) может принимать лишь два значения 0 или 1. Таким образом, количество всех возможных наборов x1(ps), x3(ps),..., x2k-(ps) вычетов по модулю ps те превосходит 2рт-1(пр8)к.

Итак, для всякого набора xi, x3,..., x2 к- из В и любого ps, 1 < s < п, найдётся xj(ps) такое, что

Xj = Xj(ps) (mod ps). Зафиксируем любой набор вычетов векторов

Xj(ps) = aPs, 1 < s < п, j = 1, 3,..., 2k — 1. Тогда по китайской теореме найдется единственный набор векторов a^ по модулю р1 .. .ps такой, что

Xj = a j (mod pi ... pn). Таким образом, число наборов векторов x1, x3, ... , x2к-1, входящие в класс В, не превосходит

п

U = П(2р?-1(прг)к) .

s = 1

Поскольку для любого 1 < s < п справедливо неравенство Ps < 2Р1/п

U < 2П+п(т-1) + кп(г-1)пПкркг-к+т-1

Так как модуль сравнения р\...рп те превосходит Р\, то соответствующие сравнения эквивалентны равенствам

x j = a j,j = 1, 3,..., 2k — 1. В U.

Следовательно,

j2 <u2 < 22пт+2пк(г-1)п2пкр2кг-2к+2т-2

Лемма 4 доказана. □

3. Доказательство теоремы

Проведем индукцию по параметру т > 0. Пусть т = 0. Тогда Д(т) = 0 и выполняется тривиальная оценка J < (Р1.. .Рг)2к.

Пусть, теперь, т = 1. Так как k > m, то, очевидно, имеем

J (P; п, к, г) < (Р1 ... Рг )2(k-m)J (P; п, m, г), Д(1) = mx/n = —Ц- (П + Г\=^—т.

г+1у г J Г + 1

Возьмём простое число q из отрезка [Рг, 2РГ ], 1 < Р1 < Р2 < • • • < Рг < 2Р1. Из леммы 1 находим J(P; п, т, г) < (п(п + 1)г-1)2тд2тг-т+1 < (п + ^тг ^р^шг-^1 <

< 42тг-т+1(п + 1)2тг (Р1 . . . Рг )2тР-т+1 < 42тг-т+1(п + 1)2тг (Р1 . .. Рг )2тр-А{1)^

Следовательно,

J (P; п, к, г) < D(1)(Pl...Pr. )2кР-А(1). k = m .

при т = I > 1. Докажем, что оно имеет место при т = I + 1. Применим лемму 4. Получим

J(P; п, m(l +1), г) < 2п2(п + 1)2™(m(l + 1Л р2гт+2тгп-т j(Q; щ ml, r)+

m

1) 2

m

+ 22пт+2пт( 1 + 1)(г-1)+1п2пт(1+1) р 2т(1 + 1)г-2т(1 + 1)+2т-2

где Р1/п < р < 2Р1/п, Qs = PsP-1 + 1.

J(Q; п, m , )

J(Q; п, ml, г) < D0(l)Q ... Qr)2mlQ-A(l).

Используя эту оценку и предыдущее неравенство, находим

7(Р; п, т(1 + 1), г) <Щ1 + Ш2,

где

■ = А(1 + 1)в0(1)р2гт1+2тгп-т1 (... С(г )2т1((-А(1) = А(1 + 1)В0(1)Н,

А(1 + 1)=2п2(п +1)2г^(т(1+1)\\

т

щ < 22пт+2пт(1 + 1)(г-1) + 1п2пт(1 + 1)Р2т(1+1)г-2т(1 + 1)+2т-2 2 - 1 .

Достаточно доказать, что Щ1 < 0, 5Ш0, Щ2 < 0, 5Ш0, где

Щ0 = В(1 + 1)(Р1... Рг)2ш(1+1)Р-А(1+1),П(1 +1) > П0(1 + 1).

■ 1 .

д = р2гш1+2шгп-т1 ((1 ... (г )2т1(-т = К0В,

г

д0 = р2шт-т1 +А(1) (Р1 Рг )2ш1р-А(1), В = 22тт ^ (1 + рР-1)2^ ,

8 = 1

где

(3 = Рар-1 + 1,1 < * < г; Р\/п <р< 2Р\/п; 1 <Р1 <Р2 <••• <РГ < 2Р1.

Преобразуем Д0. Находим

р2гпгп-т1 +^(1) < (2 р )2тг-(1-

Следовательно,

Так как

,2т™-т1 +А(1) < (2Р1 )2тг-^г (1-£) . К0 < 22тГ (Р1 . . . Рг )2^(1 + 1)р-А(1)-^ (1-* )

то

М1) + ^ (1 — ^' =т1 —шА 1 — ^' + т (1 — ^ г п п п п п

( 1 \1+1 = т1 —тЛ 1--1 =Д(/ + 1),

Е.0 < 22тг (Р1 . ..Рг )2ш(1+1)р-^(1+1)_

Оценим теперь величину В. Будем считать, что Р1 > (2т1 )2. В противном случае утверждение теоремы справедливо тривиально. Тогда, учитывая, что п > 3,1 > 2, получим

рР-1 < рР-1 < 2Ру-1 < 2(2т1 )2( --1) < (2тI)-1.

Таким образом, имеем

В < 2тгег < 2г(т+2). Собирая вместе оценки для Д0 и В, находим

Щ1 = ЩВ < Б0(1)А(1 + 1)2г(т+2)(Р1. ,.РГ )2т(1+1)р1-А(1+1),

Покажем, что

Б0(1)А(1 + 1)2г(т+2)) < 0,5В(1 + 1). Действительно, имеем цепочку неравенств

В(1 + 1) > В0(1 + 1) > 2Б0(1)А(1 + 1)2г(т+2),

В0(1) > 2В0(1 — 1)А(1)2г(т+2),

Бо(2) > 2Бо(1)А(2)2г(т+2).

Перемножая их, получим

„2г,2гт\1 ( (2т\ (т(1+1У

П(1 + 1) >Во(1) (2п222гт)1 2 21 г(т+2)+г

где

Бо(1) > 2п222г Поскольку из полиномиальной формулы Ньютона

(а,1 +----+ а,к)п = Е ' '' Е ~-...а

----а . . . а,

Ь!... и! 1 к

¿1 Ь к ¿1 +-----+ Ьк=п

следует неравенство

(т( 7 + 1))!

< (1+1)

(т!)1+1

получим

(т(1+1))! ^ п , лЛт{1 + 1)

(2т\ (т(1 + ^ _ (т(1 + 1))! < ^+1).

г\ (т(1+1)\ . . . т

\т) у т ) (т!)1+1 Следовательно, для Б(1 + 1) выполняется неравенство

+1

Б(1 +1) > Бо(1 + 1) > (2г(т+2)+1(п + 1)2тг(I + 1)2т) ,

т.е. Щ < 0, 5Що.

Перейдём теперь к оценке Ш2. № определения Ш2 имеем равенство

щ = А1 (1 + 1)р2тг(1+1)-2т(1 + 1)+2т-2

где

А1 (I + 1) = 22пт+2пт(1+1)(г -1)+1 п2пт(1+1)

Достаточно доказать, что Щ2 < 0, 5Що, т. е.

А (I + 1)р'2тг{1+1)-2т{1 + 1)+2т-2 < ^ (£ + 1)р Р )2т(1+1) р-2т{1 + 1)+2т-2 <

< 0, 5Б(1 + 1)(Р1... Рг )2т(1+1)р-^(+1).

Очевидно, что А1(1+1) < 0, 5Б(1+1). Утверждение будет доказано, если будет доказана справедливость неравенства

р-2т(1 + 1)+2т-2 , р-А(1+1)

Р1 < Р1 ,

т. е.

О—п)

+1

1 п т

т1 — тН 1-- < 2т1 + 2, т1 =

п 1 + 1

Из неравенства Бернулли получим

1 — — 1 У" < И1.

п п

> 1, > 2,

1 + 1 , г т(1+1) 21 г

т1—'— < 2т1 + 2,-^—< 2т1 + 2,-- > 1 >

п + 1 + 1 + 1

Теорема доказана.

4. Заключение

Найденная в работе теорема возникла в связи с приближением гладкой функции от нескольких переменных многочленом Тейлора, который представляет собой сумму форм различных степеней, являющихся дифференциалами данной функции. Здесь рассматривается случай, когда переменные "равноправны". Другими словами, длины промежутков изменения их имеют один и тот же порядок. Для оценок сумм, подобных дзетовой, нам понадобятся суммы с "неравноправными" длинами промежутков суммирования. Соответствующая теорема о среднем нами доказана и будет опубликована в ближайшее время.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Littlewood J. Е. Researches in the theory of Riemann ^-function // Proc. London Math. Soc.(2), 1922, Tom. 20, XXII-XXVIII.

2. Виноградов И. M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд., исправленное и дополненное — М.: Физматлит. 1980, 144 с.

3. Виноградов И. М. Новая оценка функции + it) // Изв. АН СССР, сер. матем., 1958, Том. 22, № 2, 161-164.

4. Виноградов И. М. К вопросу об оценке тригонометрических сумм // Изв. АН СССР, сер.матем., 1965, Том. 29, № 3, 493-504.

5. Чудаков Н. Г. О функциях С(я) и п(х) // Докл. АН СССР, 1938, Том. 21, 425-426.

6. TitchmarshE.C. On C(s) and п(х) // Quart. J. Math., 1938, Том. 9, 97-108.

7. ЛинникЮ.В. Новые оценки сумм Вейля // Докл. АН СССР, 1942, Том. 34, № 7.

8. Коробов Н. М., Оценки тригонометрических сумм и их приложения // Успехи матем. наук, 1958, Том. 13, № 4, 185-192.

9. WalfiszA. Weyische Exponentialsummen in der Neueren Zahlentheorie. — VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften: Berlin. 1963, S. 231.

10. Карацуба А. А., КоробовН. М. О теореме о среднем // Докл. АН СССР, 1963, Том. 149, № 2.

11. Карацуба А. А. Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР, сер.матем., 1966, Том. 30, № 1.

12. Архипов Г. И. Кратные тригонометрические суммы // Докл. АН СССР, 1974, Том. 219, № 5.

13. Архипов Г. И. Избранные труды. — Орёл: Изд-во Орловского ун-та, 2013, 464 с.

14. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987, 368 с.

15. ArkhipovG. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A. Trigonometric sums in number theory and analysis. De Gruyter expositions in mathematics; 39 — Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2004, pp. 554.

16. Чубариков В. H. Кратные тригонометрические суммы с простыми числами // Докл. АН СССР, 1984, Том. 278, № 2, 302-304.

17. Чубариков В. Н. Оценки кратных тригонометрических сумм с простыми числами // Изв. АН СССР, сер.матем., 1985, Том. 49, № 5, 1031-1067.

REFERENCES

vol. 20, XXII-XXVIII.

2. Vinogradov I. М., 1980, The method of trigonometric sums in the theory of numbers. 2nd Edition., correct, and supplement, Moscow: Fizmatlit. pp. 144.

(1 + )

vol. 22, № 2, 161-164.

4. Vinogradov I. М., 1965, "То the question on the estimation of trigonometric sums", Izvestija. AN SSSR, Ser.Mathem., vol. 29, № 3, 493-504.

5. ChudakovN. G., 1938, "On functions C(s) and n(x)", Doklady AN SSSR, vol. 21, 425-426.

6. TitchmarshE.C., 1938, "On C(s) md n(x)", Quart. J. Math., vol. 9, 97-108.

7. LinnikJ. V., 1942, "New estimation of Weyl's sums", Doklady AN SSSR, vol. 34, № 7.

8. KorobovN. M., 1958, "Estimations of trigonometric sums and their applications", Uspehi mathem. nauk, vol. 13, № 4, 185-192.

9. Walfisz A., 1963, "Weylsche Exponentialsummen in der Neueren Zahlentheorie", VEB Deutscher Verlag der WissenSchaften: Berlin, p. 231.

10. Karatsuba A. A., KorobovN. M. 1963, "On the mean-value theorem", Doklady AN SSSR, vol. 149, № 2.

11. Karatsuba A. A., 1966, "Mean-value theorem and complete trigonometric sums", Izvestija. AN SSSR, Ser.Mathem., vol. 30, № 1.

12. ArkhipovG. I., 1974, "Multiple trigonometric sums", Doklady AN SSSR, vol. 219, № 5.

13. ArkhipovG. I., 2013, Selected papers, Orjol: Publ.House of the Orjol University, pp. 464.

14. ArkhipovG. I., Karatsuba A. A., Chubarikov V. N., 1987, The theory of multiple trigonometric sums, Moscow.: Nauka. Fizmatlit. 368 c.

15. ArkhipovG. I., Chubarikov V. N., Karatsuba A. A., 2004, "Trigonometric sums in number theory and analysis. De Gruyter expositions in mathematics", 39 — Berlin, New York: Walter de Gruyter, pp. 554.

16. Chubarikov V.N., 1984, "Multiple trigonometric sums with primes", Doklady AN SSSR, vol. 278, № 2, 302-304.

17. Chubarikov V.N., 1985, "Estimates of multiple trigonometric sums with primes", Izvestija. AN SSSR, Ser.Matem., vol. 49, № 5, 1031-1067.

Получено 22.01.2020 г. Принято в печать 20.03.2020 г.