Об одной серии граф-многообразий рода 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ф. Г. КОРАБЛЕВ

ОБ ОДНОЙ СЕРИИ ГРАФ-МНОГООБРАЗИЙ РОДА 2

гообразий. Все многообразия из данной серии классифицируются, а также путем явного построения разбиения Хегора доказывается, что все они имеют род 2. Также вычисляются первые группы гомологий всех рассматриваемых многообразий.

Ключевые слова: граф-многообразие, разбиение Хегора, гомология.

1. Предварительные сведения

Напомним, что любое замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие можно представить в виде объединения М = V и Ш двух полных кренделей V и Ш так, что V П Ш = дV = дШ. Такое представление называется разбиением Хегора многообразия М. Родом разбиения называется род кренделей V и Ш. Родом многообразия называется наименьший род его разбиений Хегора.

Пусть В — ориентируемая или неориентируемая поверхность с краем, состоящим из к > 0 компонент, (рь^),... , (рп,5п) — пары взаимно простых чисел, где рг > 1, 1 ^ г ^ п. Напомним, что многообразие Зейферта М = (В; (р! ,5!),..., (рп,5п)) устроено следующим образом. Рассмотрим поверхность Во, полученную из поверхности В вырезанием п ^ 0 непересекающихся дисков. Обозначим через М0 прямое произведение В0 х Б1, если поверхность В0 ориентируема, и ориентируемое косое произведение В0хБ1, если поверхность В0 неориен-тируема. На каждом из к+п торов края дМ0 можно естественным образом ввести систему координат: в качестве параллели Аг, 1 ^ г ^ к + п, взять слой расслоения многообразия М0 на окружности, а в качестве меридиана — край какого-либо сечения этого расслоения. Опишем ориентации кривых и Аг. Выберем сначала какую-нибудь ориентацию многообразия М0. Если поверхность В0 ориентируема, то направления всех параллелей Аг выберем согласованными, а соответствующие меридианы ориентируем так, чтобы пара (^г,Аг) давала ориентацию г-го тора, индуцированную ориентацией многообразия М0. Если поверхность В0 неориентируема, то параллели Аг ориентируем произвольным независимым друг от друга образом, а соответствующие меридианы ориентируем так, чтобы пара (^г,Аг) также давала ориентацию г-го тора, индуцированную ориентацией многообразия М0.

Многообразие Зейферта М получено из многообразия М0 приклеиванием п полных торов к тем компонентам края дМ0, которые соответствуют дискам,

Работа поддержана РФФИ (грант 06-01-72014) и интеграционным проектом УрО РАН

В работе рассматривается бесконечная серия граф-многообразий, полученных склейкой двух многообразий Зейферта. Первое многообразие расслоено над диском с двумя особыми слоями типа (2, -1) и (2к + 1, к), где к ^ 1. Второе многообразие расслоено над листом Мебиуса с двумя особыми слоями типа (р\,Ц\), (_Р2,?2), где 0 < < р1. Склейка этих многообразий выполняется по гомеоморфизму,

и СО РАН.

вырезанным из поверхности В. Вклеивание каждого полного тора осуществляется по гомеоморфизму, переводящему меридиан полного тора в кривую типа (Рг,9г) на соответствующем торе края дМ0. Говорят, что многообразие М имеет в качестве базы поверхность В и п особых слоев типа (рі, ді),... , (рп, 9„).

Отметим, что если произвольное многообразие М задано в таком виде, т. е. указана база и параметры особых слоев, то на крае дМ возникает естественная система координат.

Определение 1. Замкнутое ориентируемое трехмерное многообразие М называется граф-многообразием, если оно не является многообразием Зейферта и его можно разбить системой непересекающихся торов на многообразия Зейферта.

Определение 2. Класс РМ — это множество граф-многообразий, полученных склейкой двух многообразий Зейферта. Первое многообразие расслоено над диском с двумя особыми слоями типа (2, — 1) и (2к + 1,к), где к ^ 1. Второе многообразие расслоено над листом Мебиуса с двумя особыми слоями типа (рі,9і), (р2,92), где 0 < д1 < р1. Склейка этих многообразий выполняется по гомеоморфизму, заданному матрицей [<^] = ^ ° ° ^ в естественных системах координат на краях многообразий. Другими словами, РМ = {(Д2; (2, —1), (2к + 1, к)) им (М2; (рі,9і), (^2,92))}, где к,рі,р2 ^ 1, ° < 9і < Рі и пары рі, 9і и р2, 92 взаимно просты.

Замечание 1. Запись Мі и а М2 означает, что многообразия Мі и М2 склеивают-

[а Ь \

ся по гомеоморфизму А: дМі ^ дМ2, заданному матрицей А = [А] = ( ^ )

в стандартных системах координат, введенных на краях дМі и дМ2, т. е. по гомеоморфизму, переводящему меридиан тора дМі в кривую типа (а, с) на торе дМ2, а параллель тора дМі в кривую типа (Ь, ^) на торе дМ2.

Определение 3. Пусть многообразие Н — полный крендель рода 2. Кольцо А С дН называется вертикальным, если оно допускает расслоение на отрезки, индуцированное естественным расслоением на отрезки кренделя Н как прямого произведения диска с двумя дырками на отрезок.

2. Классификация многообразий класса РМ Теорема 1. Все многообразия класса РМ различны.

Доказательство. Это является простым следствием общей теоремы классификации произвольных граф-многообразий [1]. В самом деле, пусть многообразия М = (Д2; (2, —1), (2к + 1, к)) (М2; (рі, 9і), (р2, 92)) и

М' = (Д2; (2, —1), (2к' + 1, к')) и^] (М2; (рі, 9і), (р'2, ^2)) гомеоморфны. Тогда под действием этого гомеоморфизма единственный несжимаемый тор в многообразии М должен переходить в единственный несжимаемый тор в многообразии М'. Несжимаемый тор в любом многообразии из класса РМ — это тор, разбивающий многообразие на многообразия Зейферта. Отсюда следует, что существует

гомеоморфизм Л: (Д2; (2, — 1), (2к + 1,к)) ^ (Д2; (2, — 1), (2к' + 1,к')), и существует гомеоморфизм Л2: (М2;(р1,51), (р2,52)) ^ (М2; (р!, 51), (р2,?2)). Так как каждое из рассматриваемых многообразий Зейферта имеет единственное расслоение Зейферта, то гомеоморфизмы Л1 и Л2 являются послойными.

Напомним, что если два многообразия Зейферта N = (В; (а1, в1), • • • , (ап,вп)) и N/ = (В'; (а! ,в!),---, (а^,в^)) послойно гомео-

морфны, то В = В', п = т, аг = а' для 1 ^ г ^ п, а параметры вг и в таковы, что от пар (аг, вг) к парам (а', вг) можно перейти с помощью последовательности преобразований:

1. Все параметры вг, 1 ^ г ^ п заменить на — вг. Это соответствует смене ориентации многообразия N и, следовательно, не меняет самого многообразия.

2. “Торговля слоями”: ... , (аг, вг),... , (аj, вj),... ^ ... , (аг, вг ±

аг),..., (аj ,вj Т аj),... Такое преобразование соответствует скручиванию вдоль послойного кольца и, следовательно, также не меняет многообразия.

Так как гомеоморфизмы Л1 и Л2 послойны, то к = к', р1 = р! и р2 = р'2. Кроме того, так как склейка происходит по одной и той же матрице [<^] и параметры

и таковы, что 0 < 51, ^1 < р1, то д1 = ^1, а следовательно, и д2 = ^2. П

3. Вычисление рода граф-многообразий из класса РМ

Теорема 2. Любое граф-многообразие из класса РМ имеет род 2.

Для доказательства этой теоремы нам потребуются две леммы.

Лемма 1. Многообразие М = (Д2; (2, — 1), (2к + 1,к)), к ^ 1, можно представить в виде объединения М = Qb и Qw двух многообразий (черного и белого) так, чтобы были выполнены следующие условия:

1. Каждое из многообразий Qb, Qw гомеоморфно прямому произведению диска с двумя дырками на отрезок и выходит на дМ по двум меридиональным кольцам (т. е. по кольцам типа (1, 0)).

2. Кольца из пересечений Qb П дМ, Qw П дМ являются вертикальными на дQb и дQw (см. определение 3).

3. Qb П Qw = дQb П дQw есть диск с тремя дырками.

Доказательство. Отметим заранее, что в дальнейшем А2 обозначает кольцо, К2 — бутылку Кляйна, N2 — диск с двумя дырками.

Сначала мы докажем, что многообразие М' = (А2; (2, —1)) можно разбить на два экземпляра Qb, QW многообразия N2 х I так, что каждый экземпляр выходит на один краевой тор д1М' многообразия М' по двум кольцам типа (1, 0), а на второй тор д2М' — по одному кольцу типа (2,1). Действительно, рассмотрим многообразие М1 = (Д2; (2, —1), (2,1)) = К2хI. Оно получается из прямого

произведения А2 х I отождествлением оснований А2 х {0,1} по гомеоморфизму с двумя неподвижными точками. Поэтому его можно разбить на два толстых кольца Аь = А2 х [0, 2] и Aw = А2 х [ 1, 1]. Каждое из этих колец выходит на край многообразия М1 по двум меридиональным кольцам. Заметим, что многообразие М' можно получить из многообразия М1 вырезанием трубчатой окрестности особого слоя типа (2,1). При этом вырезании толстые кольца Аь, Aw превращаются в многообразия Qb,QW нужного типа (рис. 1).

Рис. 1. Разбиение многообразия М' = (А2; (2, -1)) на два полных кренделя. Многообразие М' представлено как результат вырезания одного особого слоя из многообразия Мх = (^2; (2, -1), (2,1)) = К2хI. В свою очередь многообразие Мх представлено как результат склейки оснований цилиндра А2 х I по суперпозиции двух симметрий (указаны стрелки, которые должны совпадать при склейке) (см. [1])

Теперь мы вырежем из многообразия М трубчатую окрестность и особого слоя типа (2к + 1,к). Полученное многообразие можно отождествить с многообразием М' так, чтобы тор ди совпал с тором д2М'. Заметим, что меридиан т = (2,1) тора ди, рассматриваемого как тор в дМ', пересекает меридиан (2к + 1, к) тора и в одной точке. Поэтому можно считать, что т является параллелью полного тора и и что иП QЬ и иП QW есть состоящие из параллелей кольца. Присоединим полный тор и к полному кренделю QW. Поскольку приклеивание полного тора к любому многообразию по составленному из параллелей кольцу не меняет этого многообразия, то многообразие Qw = QW и и гомеоморфно многообразию N2 х I. Поэтому М = Qb и Qw, где Qb = QЬ. Поскольку пересечение дQb П дQW получается из поверхности дQb вырезанием двух колец дQb П дМ, то оно гомеоморфно диску с 3 дырками. □

Лемма 2. Результатом склейки полного кренделя Н = N2 х I и полного тора Т = А2 х I по паре колец, вертикальных на краях дН и дТ, по гомеоморфизму, при котором поверхность д(Н иТ) ориентируема, будет снова полный крендель рода 2 (рис. 2).

Доказательство. Для доказательства достаточно предъявить существенный диск, разрезающий многообразие Т и Н до полного тора. В качестве такого диска можно взять диск Д = а х I, где а — дуга, разрезающая поверхность N2 на два кольца. Каждое из этих колец таково, что оно содержит по одной компоненте края, соответствующей вертикальным кольцам, по которым осуществляется приклейка полного тора Т. Заметим, что этот диск Д разрезает крендель Н на два

Рис. 2. Приклеивание полного тора Т к полному кренделю Н по двум вертикальным кольцам, каждое из которых параллельно кривой Л, являющейся параллелью полного тора Т. Полный крендель Н представлен как прямое произведение N 2 х I, и — существенный диск, разрезающий крендель Н на два полных тора, а два из трех вертикальных кольца кренделя Н параллельны кривым Лх и Л2

полных тора. Тогда после этого разрезания останется полный тор Т, к которому по параллелям приклеены два полных тора, т. е. снова полный тор. □

и

Доказательство теоремы. Покажем, что произвольное многообразие вида М (Д2; (2, -1), (2к + 1, к)) им (М2; (рь 51), (р2, Ф2)), где рьр2, к ^ 1, 0 < ф1 < р пары р1, ф1 и р2, ф2 взаимно просты, имеет род 2.

Явно построим разбиение всего многообразия на два полных кренделя — черный и белый. Для этого мы сначала каждое из составляющих граф-многообразие многообразий Зейферта разобъем на два полных кренделя, а потом проверим, что при склейке многообразий Зейферта полные крендели склеятся в полные крендели.

Действительно, многообразие М2 = (М2;(р1,ф1), (р2,ф2)) разобъем на черный полный тор и1, содержащий особый слой (р1,ф1), и белый полный тор и2, содержащий особый слой (р2,ф2), с помощью двух существенных послойных колец. При этом тор дМ2 будет состоять из четырех колец: двух черных и двух белых. Многообразие М1 = (Д2; (2, -1), (2к + 1, к)) разобъем на два полных кренделя и точно так, как это описывалось в лемме 1.

Гомеоморфизм, заданный матрицей [<^] = ^ ^ 0 ^, приклеивает полный

тор и1 к полному кренделю по паре колец, которые являются вертикальными на крае д^ь. Приклейку этого полного тора и1 можно осуществить в два этапа. Сначала приклеить полный тор по паре колец, параллельных параллели, а затем сделать перестройку с параметрами (р1,ф1) вдоль осевой окружности этого тора. После приклейки полного тора по паре колец, составленных из параллелей, получим снова полный крендель рода 2 по лемме 2, а после перестройки вдоль осевой окружности приклеенного полного тора получим снова полный крендель рода 2, так как эта осевая окружность отрезается от всего многообразия и и1 существенным диском. Аналогичным образом объединение белых частей и и2

в многообразии М является полным кренделем рода 2. Таким образом, имеем разбиение рода 2 граф-многообразия М. □

Замечание 2. В статье [2] было получено явное описание структуры разбиения Хегора для произвольного многообразия Зейферта. На основе этого результата стало возможным вычисление рода произвольного многообразия Зейферта. До этого момента были известны только верхние оценки рода многообразий Зейфер-та, и лишь для некоторых серий многообразий Зейферта был известен их род. Аналогичный результат по описанию структуры разбиений Хегора для граф-многообразий был получен в статье [3], однако в ней рассматривались только те граф-многообразия, которые склеиваются из многообразий Зейферта, каждое из которых имеет ориентируемую базу. Многообразия из серии РМ не попадают под этот случай, и поэтому род рассматриваемых многообразий не мог быть вычислен, основываясь только на результатах статьи [3].

4. Первая группа гомологий многообразий из класса РМ Теорема 3. Пусть многообразие М € РМ и имеет вид

М = (д2; (2, -1) (2к + 1 к)) иМ (м2; (Ръ Ф1), (Р2, 92)), где к,р1,р2 ^ 1, 0 < ф1 < р1 и пары р1,ф1 и р2,ф2 взаимно просты. Тогда

Я^М) = ® ^ 4рх Р2 ,

d

{НОД (2р1 ,р1 + р2), если ф1,ф2 — нечетны;

НОД (2р1 ,р2), если ф1 — нечетно, ф2 — четно;

НОД (р1, 2р2), если ф1 — четно, ф2 —нечетно;

2 • НОД (р1 ,р2), если ф1,ф2 — четны.

В частности, |Н1(М)| = 4р1р2, и первая группа гомологий не зависит от величин ф1 и ф2, а зависит только от их четности.

Доказательство. Пусть М = М1 Ц^] М2, где М1 = (Д2; (2, -1), (2к + 1, к)), М2 = (М2; (р1, 91), (р2, 92)). Тогда

Н1(М1) = (с1, С2 | 2кс1 + (2к + 1)с2 = 0),

Н1(М2) = (аь Сз, С4, ^2 | Р1С3 + 91^2 = 0, Р2С4 + 92^2 = 0, 2^2 = 0).

По теореме Ван-Кампена, чтобы найти копредставление первой группы гомологий Н1(М), надо записать вместе порождающие и соотношения групп Н1(М1) и Н1(М2), а потом добавить еще два соотношения, в которых приравниваются выражения порождающих группы Н1 (М1 П М2) через порождающие группы Н1(М1) и группы Н1(М2). Меридиан тора дМ1 выражается как —с1 — с2, и он при склейке по матрице [<^] переходит в параллель тора дМ2, которая выражается как £2. Поэтому первое дополнительное соотношение будет — с1 — с2 = £2. Аналогично параллель тора дМ1 выражается как 2с1, и она переходит в меридиан

тора дМ2, который выражается как —с4 — с3 — 2а1? поэтому второе дополнительно соотношение будет 2с1 = —с4 — с3 — 2й1 . В итоге получим

#1(М) = (аь С1, С2, Сз| 2кс1 + (2к + 1)с2 = 0, ^С! + 91С2 — Р1С3 = 0,

2р2«1 + (2р2 + 92)С1 + 92С2 + Р2С3 = 0,

2с1 + 2С2 = 0).

Матрица этого копредставления имеет вид

/ 0 2^ 2& + 1 0 \

0 91 91 -Р1

2р2 2Р2 + 92 92 Р2

V 0 2 2 2 /

0 91 —Р1

Она преобразуется к матрице | 2р2 д2 р2 | . Здесь мы отбросили одну строку

0 2 0

и один столбец, которые целиком состоят из нулей, за исключением их общего

элемента, равного единице. Отметим, что |Н1(М)| = 4р1р2. Далее рассмотрим четыре случая.

1. Если 91 и 92 нечетны, то эта матрица преобразуется к виду

2Р2 Р1 + Р2

0 2 і ■ Будем вычитать из первой строки вторую и наоборот, пока не

( аіі ^1 .

получим матрицу вида ), где а11 и а21 — получившиеся в результате

\ а21 0

преобразований числа, ^1 = НОД (2р1,р1 + р2). По сути процедура очень схожа с вычислением наибольшего общего делителя чисел р1 + р2 и 2р1. Заметим, что оба числа а11 и а21 кратны 2р2. Далее, так как ^1|р1 + р2, то ^1|2р1 + 2р2, а поскольку ^1 |2р2, то ^1|2р2. Поэтому оба числа а11 и а21 кратны ^1. Следовательно,

Я^М) = ® ^4Р1Р2 .

2. Если 91 — нечетно, 92 — четно, то матрица копредставления первой группы гомологий преобразуется к виду ^ 2р2 р ^ . Аналогично предыдущему случаю она приводится к матрице ( Ьп ^.2 ), где оба числа Ь11 и Ь21 кратны 2р2,

\ Ь21 0 /

^2 = НОД (2р1,р2). Так как ^2|р2, то ^2|2р2, следовательно, Н1(М) = Zd2 ф Z4Р1Р2.

л2

3. Если 91 — четно, 92 — нечетно, то матрица копредставления первой

группы гомологий приводится к виду ^ ^ 2Р1 ^ . Аналогично предыдущим

случаям приводим ее к виду ( С11 V где оба числа с11 и с21 кратны 4р2,

\ С21 0 у

^3 = НОД (р1, 2р2). Так как ^3|2р2, то ^3|4р2, следовательно, Н1(М) = Zdз фZ4Р1Р2.

л3

4. Если 91 и о2 четны, то матрица копредставления первой группы гомологий 2 0 0

приводится к виду | 0 0 р1 | . Аналогично предыдущим случаям, преобра-

0 2р2 Р2

(2

зуя вторую и третью строки этой матрицы, приведем ее к виду 0

1°

где d4 = НОД (pi,p2). Следовательно, Hi(M) = Z2 Ф Zd4 Ф Z2Р1Р2 = Z2d4 Ф Z2Р1Р2.

^4 ^4

Последнее равенство справедливо в силу того, что из четности qi и q2 следует

нечетность pi и p2, и поэтому d4 взаимно просто с 2. □

Список литературы

1. Матвеев, С. В. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии / С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко. — М. : Изд-во МГУ, 1991.

2. Moriah, Y. Irreducible Heegaard splittings of Seifert fibered spaces are either vertical

or horizontal / Y. Moriah, J. Schultens // Topology. — 1998. — Vol. 37, № 5. — P. 1089—1112.

3. Schultens, J. Heegaard splittings of graph manifolds / J. Schultens // Geometry and Topology. — 2005. — Vol. 8. — P. 831—876.

00

d4 0

0 2pip2