CC BY
12
Серия «Математика»
2016. Т. 15. С. 92—107
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 519.71 ЫБО 06Е30
Об одной серии базисов
для множества булевых функций
И. К. Шаранхаев
Бурятский государственный университет
Аннотация. Рассматривается проблема сравнения булевых базисов. В данном случае базисы сравниваются по сложности представлений булевых функций термами (формулами). На множестве всех базисов вводится определенным образом частичный порядок, относительно которого получается структура классов эквивалентности базисов. Известно, что критерием эквивалентности двух базисов является взаимная бесповторная выразимость функций одного базиса через функции другого, а добавление к базису слабоповторной в нем функции позволяет не только расширить его, увеличивая возможности по реализации булевых функций термами, но и делает расширение минимальным, позволяя исследовать базисы по сложности представлений булевых функций термами. Таким образом, задача описания структуры классов эквивалентности базисов свелась к нахождению слабоповторных функций в конкретных базисах.
Базис {V, —, 0,1} является наибольшим элементом при этом частичном порядке, а класс эквивалентности этого базиса образует нулевой ярус структуры. Усилиями нескольких авторов были получены описание базисов первого яруса и частичное описание базисов второго. В этой статье дано описание слабоповторных булевых функций в одной базисе в терминах обобщенной однотипности, которое завершает описание базисов второго яруса.
Ключевые слова: булева функция, терм, бесповторная функция, слабоповторная функция, базис.
Настоящая работа посвящена проблеме сравнения базисов по сложности представлений булевых функций термами. Вначале дадим необходимые для понимания определения, все неопределяемые понятия можно найти, например, в [6].
Введение
Под базисом понимаем конечную полную систему булевых функций. Булева функция называется бесповторной в базисе В, если ее можно представить в этом базисе термом, в котором каждая переменная встречается не более одного раза. В противном случае, она называется повторной в В. Булева функция называется слабоповторной в базисе В, если ее любая остаточная подфункция является бесповторной, а сама она повторна в базисе В. Под сложностью Ь(Ф) терма Ф понимаем число всех вхождений переменных в Ф. Сложностью Ьв (/) булевой функции / в базисе В называется наименьшее значение Ь(Ф) при условии, что терм Ф в базисе В представляет функцию /.
При сравнении базисов по сложности представлений булевых функций термами на множестве всех базисов вводится частичный порядок: В1 < В2, если существует число с такое, что Ьв1 (/) < сЬв2(/) для любой булевой функции /, говорят В1 предшествует В2. Если В1 < В2 и В2 < В1, то базисы В1 и В2 называются эквивалентными. Если В1 < В2 и В2 < В1, то пишем В1 < В2 и говорим, что В1 строго предшествует В2. Также говорим, что В1 непосредственно предшествует В2, если В1 < В2 и не существует базиса В такого, что В1 < В < В2.
Таким образом, множество базисов разбито на классы эквивалентности. В [9] доказано, что в каждом классе базисов можно указать канонический вид класса, причем если базис В непосредственно предшествует базису В', то канонический вид В содержит на одну функцию больше, чем канонический вид В', а эта функция является слабоповторной в базисе каноническом для В'.
О. Б. Лупановым замечено (результат сформулирован в [8]), что базис Во = {V, •, —, 0,1} является наибольшим элементом при введенном порядке, то есть класс базисов, эквивалентных базису Во, самый «плохой» по сложности реализаций булевых функций термами. Эти базисы назовем базисами нулевого яруса. Отметим, что базис Во канонический для своего класса. Базисами к-го яруса (к > 0) называются все базисы, непосредственно предшествующие всем базисам (к — 1)-го яруса.
Функции / и д называются однотипными, если выполняется равенство / (х1, ...,хп) = д(х°1 ,...,х£), где (г1,...,гп) - некоторая перестановка чисел от 1 до п. Функции / и д называются обобщенно однотипными, если / однотипна с д или д. Очевидно, что на множестве булевых функций отношение обобщенной однотипности является отношением эквивалентности.
В работе [7] получено описание всех обобщенных типов функций, слабоповторных в базисе Во, а как следствие, канонических базисов первого яруса. Часть базисов второго яруса удалось описать в [1; 5; 10; 12; 13]. В данной работе приводится полное описание слабоповторных булевых функций в каноническом базисе еще одного класса эквивалентности базисов первого яруса, тем самым завершено описание базисов второго яруса. Отметим, что этот результат был анонсирован в [11].
1. Вспомогальные результаты
Булевы функции от 0, 1 и 2 переменных называются соответственно константными, унарными и бинарными. Бинарные функции, за исключением линейных функций x ф y и x ф y ф 1, называются элементарными.
Функция f (üj) называется разделимой, если возможно разбиение множества переменных ü на такие непересекающиеся множества ü и V, что ü = 0, |V| > 1 и найдутся функции g(ü,z) и h(V) такие, что f (ü,V) = g(ü,h(V)). При этом множество переменных V будем называть выделимым, а множество ü - основным. В противном случае f называется неразделимой.
Связь слабоповторных и неразделимых функций устанавливает следующая теорема, полученная Н.А. Перязевым [4].
Теорема 1. Булева функция f является неразделимой тогда и только тогда, когда она либо существенная элементарная, либо существует базис, в котором она слабоповторна.
Для определения того, является ли некоторое множество переменных выделимым или основным в f, используются следующие критерии.
Теорема 2. [3] 1) Множество переменных V функции f (ü,V) является выделимым тогда и только тогда, когда среди остаточных подфункций функции f по V найдется не более 2 различных.
2) Множество переменных ü функции f (ü, V) является основным тогда и только тогда, когда каждая остаточная подфункция функции f по ü равна либо константе, либо некоторой функции t(V), либо t(V).
Множество переменных V функций fi(ü ,V) и f2(ü,V) будем называть совместно выделимым, если имеются функции g1(ü,z), g2 (ü,z), h(V) такие, что f1(ü,V) = g1(ü,h(V)) и f2(ü,V) = g2(ü,h(V)).
Множество переменных ü функций fi(ü ,V) и f2(ü,V) будем называть совместно основным, если имеются функции g(ü,z), h1 (V), h2(V) такие, что f1(ü, V) = g(ü,h1(V)) и f2(ü,V) = g(üh(V)).
Теорема 3. [2] 1) Множество переменных V функции f (ü,V) является выделимым тогда и только тогда, когда имеется переменная y £ ü такая, что V совместно выделимо в f 0 и f£.
2) Множество переменных ü функции, f (ü, V) является основным тогда и только тогда, когда имеется переменная y £ V такая, что ü является совместно основным в f 0 и f
Базис B* будем называть приведенным для B, если каждая неразделимая и бесповторная в B функция содержится в B *. Для нахождения приведенного базиса B* необходимо проделать следующие шаги:
1) для каждой функции / £ В надо добавить к В все ее остаточные подфункции, получим В';
2) для каждой функции / £ В' добавим к В' все функции обобщенно однотипные с /, получим В'';
3) исключим из В'' все разделимые функции, получим В*.
Обозначим через В- наибольший из базисов В'" С В * такой, что
неразделимая функция д £ В не реализуется бесповторно в В'". Очевидно, что при введенном порядке базис В- непосредственно предшествует базису В. Функция д является слабоповторной в В-, так как для каждой остаточной функции д' = дЦ~ функция д не является бесповторной в В- и{д'}. Поэтому д' должна быть бесповторной в В-.
Все слабоповторные функции над Во описывает следующая
Теорема 4. [7] Система булевых функций
х1(х2 V х3) V х3х4,
х1(х2 V х3х4) V х5(х3 V х2х4),
х1(х2 V ... V хп) V х2 • ... • хп, п > 3,
х1(х2 V хз • ... • хп) V х2 • х3 • ... • Хп, п > 3,
х1 • ... • хп V х1 • ... • хп, п > 2,
является полной системой представителей классов эквивалентности по отношению обобщенной однотипности для булевых функций, слабоповторных в базисе В0.
Будем использовать следующий критерий бесповторности в Во, полученный Б. А. Субботовской [8].
Теорема 5. Функция / является бесповторной в базисе В0 тогда и только тогда, когда для всех д, где д = /, либо д - остаточная подфункция функции /, выполняется следующее свойство: для любой существенной переменной у функции д, среди остаточных функций д0 и д1 ровно одна имеет фиктивные переменные, которые являются существенными в д.
А. В. Кузнецовым [3] доказано, что представление булевой функции в виде бесповторной суперпозиции неразделимых функций является в некотором смысле единственным, т. е. при фиксации определенного порядка переменных, например по возрастанию индексов, при бесскобочной записи для ассоциативных функций, когда отрицание встречается только над переменными, получаем канонический вид для представления функции в виде бесповторной суперпозиции неразделимых булевых функций.
Представление функции бесповторным термом в Во будем называть нормальным, если отрицание встречается только над переменными. Из
результата Кузнецова нормальное представление функции единственно с точностью до коммутативности и ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции. Кроме того, если переменная y входит в нормальное представление f в степени т, то в нормальное представление любой остаточной подфункции функции f переменная y входит в степени т. Если U = {u\,..., Uk}, то (foil) = Ui ■ ... ■ Uk и (VU) = Ui V ... V Uk. Для функций, слабоповторных в небинарных базисах, К.Д. Кириченко [1; 2] были получены следующие результаты.
Теорема 6. Для любой функции f, слабоповторной в B и неслабопо-вторной в B— такой, что rang f > rang B* + 2 и rang g = rang B* = n, найдется обобщенно однотипная с ней функция h, которая может быть задана одним из следующих термов:
1) h(Ui,. ..,Uk ,xi,..., xn-k) = p((VUi) V ... V (VUk), (foUi),..., (&Uk), xi,..., xn-k), где p(l,yi,..., yn) = g(yh,.. .,yin);
2) h(xi,...,xk,xk+i,...,xk+n) =
= t(xi, . . .,xk ,g(xk+i, . . .,xk+n),s(xk+i, . . .,xk+n)), где функция t(xi,..., xk, zi, z2) такая, что для любого i < к переменная zi фиктивна в остаточной функции t°Xi, а z2 - в остаточной tX..
Лемма 1. Пусть функция g слабоповторна в B0 и для любой переменной y и константы т остаточная функция gTy является существенной. Если некоторая функция f повторна в B0 и бесповторна в B0 U{g}, и обе остаточные подфункции функции f по некоторой переменной бесповторны в B0, то эти остаточные подфункции являются существенными.
Лемма 2. Пусть f (xi,... ,xn) бесповторна в B0, f£ = t(xi,... ,xi—i, xi+i,...,xn) существенна и xj1,...,xjk - все фиктивные переменные функции f £. Тогда найдется набор констант Ti,...,Tk такой, что
f (xl, . .., xn) - xi t(xl, ..., xi—l, xi+i , ..., xn) V xi tX j, ,...,Xjk (xl, . ..,
xi+l, . .., xn) .
Через Бяв обозначим множество булевых функций, слабоповторных в B, но неслабоповторных в B—.
Лемма 3. Пусть функция f £ SB и f представляется в виде 2) теоремы 6, тогда rang f < 2rang B*.
В работе [10] доказаны следующие утверждения.
Лемма 4. Пусть функция g слабоповторна в B0. Тогда если некоторая функция f повторна в B0 и бесповторна в B0 U{g}, и обе остаточные подфункции функции f по некоторой переменной y бесповторны в B0, то эти остаточные подфункции, являются одновременно либо существенными, либо несущественными, причем фиктивные переменные у них различны.
Для функций, повторных в Во, но бесповторных в Во и {д}, где д равна х1(х2 V х3) V х3х4 или х1(х2 V х3х4) V х5(х3 V х2х4), нормальным представлением будем называть терм, в который каждая переменная входит не более одного раза и отрицание встречается только над переменными. Это определение корректно, так как легко проверить, что всегда можно избавиться от отрицания над функцией д.
Лемма 5. У всякой функции , бесповторной в В0 и{д}, где функция д = х1(х2 V хз) V х3х4 или д = х1(х2 V х3х4) V х5(х3 V х2х4), степени переменных в нормальном представлении остаточных функций ¡0 и
f 1 равны.
Лемма 6. Пусть функция д слабоповторна в базисе В0, функция -существенная бесповторная в В0 и{д}, и для некоторой переменной у и константы т остаточная функция ¡Т существенна и повторна в В0. Тогда если остаточная функция ¡Т бесповторна в В0, то она несущественна.
Лемма 7. Пусть функция д(х1,... ,хп) слабоповторна в базисе В0 и В = В0 и {д}. Если остаточная функция ¡Т = д{Н1,..., Нп), где Ь бесповторна в В0 для любого г, а остаточная функция = д(Н1, -1, а,Нз+1, ...,Нп), где а — некоторая константа, то бесповторна в В.
Лемма 8. Пусть функция д(х1,... ,хп) слабоповторна в базисе В0 и не является обобщенно однотипной с функцией г1 ® г2, и В = В0 и {д}. Если — существенная функция ранга п + 1 и для некоторой переменной у остаточная функция ¡Т обобщенно однотипна с д, то бесповторна в В тогда и только тогда, когда либо остаточная функция ¡Т является константой, либо существуют переменная г и константа а такие, что ¡Т = .
2. Описание слабоповторных функций
В этом разделе получено полное описание слабоповторных булевых функций в одном базисе.
Лемма 9. Для булевой функции д(х1 , ...,х4) = х1(х2 Vх3) Vх3х4 и базиса В = В0 и{д} функция слабоповторна в В и неслабоповторна в В0 тогда и только тогда, когда обобщенно однотипна с одной из следующих функций/. 1) х1д(х2,..., х1д(х3 ,х2 ,х5,х4), 2) х1д(х2,..., х1хзх5(х2 V х4), 3) х1д(х2, ...,х5) V х1 (х2хз V х4х5), 4) х1 д(х2, ...,х$) V х1хз(х2 V х4х5), 5) хх д(хз, ...,х6) V х1д(х2 хз , x4, x5, х6).
Доказательство. Достаточность. Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что все остаточные подфункции указанных функций являются бесповторными в В. Функции 1-4 типа повторны в В по лемме 8. Функция 5 типа повторна в В в силу следующих соображений: если функция ранга 7 бесповторна в В и по некоторой переменной имеет остаточную подфункцию х2д(х3,...,х6), то другая остаточная подфункция по этой переменной несущественна, что легко проверяется.
Необходимость. Функция д обладает следующими очевидными свойствами: 1) д(х1 ,х2,х3,х4)=д(х3,х4,х1,х2), 2) д(х1,х2,х3,х4)=д(х1,х4, Хз,Х2). Это означает, что всегда можем избавиться от отрицания над д, а обобщенная однотипность совпадает с однотипностью.
Выпишем все остаточные подфункции функции д(х1,... ,х4) по одной переменной: д°1 = х3х4; дХ1 = х2 V х3; д°2 = х3(х1 V х4); д^ = х1 V х3х4; дХ3 = х1х2; дХ3 = х1 V х4; д°4 = х1(х2 V х3); = х1х2 V х3.
Из вида остаточных подфункций функции д следует, что нормальное представление остаточных подфункций функции, обобщенно однотипной с д, записывается термами определенных видов. К примеру, если нулевая остаточная подфункция по некоторой переменной представима термом $1($2 V Ф3), то единичная - термом Ф1 V Ф2Ф3. Если известно нормальное бесповторное в Во представление одной остаточной подфункции по любой переменной, можно построить ровно две различные функции, однотипные с д, которые имеют такую остаточную подфункцию. Например, пусть / однотипна с д и /Т = х1(х2 V х3). Стоит задача расстановки переменных. В силу свойства 1 функции д фиксируем переменную у на второй позиции. Из вида остаточных подфункций функции д переменная х1 на третьей позиции. Так как х2 и х3 симметричны в остаточной функции /Т, получаем два варианта для /: д(х2,уТ,х1,х3) и д(х3,уТ,х1 ,х2).
Очевидно, что для любой /, слабоповторной в В и неслабоповтор-ной в Во, имеем гапд / > 4, так как она должна иметь остаточную подфункцию бесповторную в В, но повторную в Во. Поочередно будем искать слабоповторные функции ранга 5, ранга 6 и ранга большего 6.
Найдем слабоповторные функции ранга 5. Имеется существенная переменная у такая, что / Т = да(хI1 ,...,х%4). Тогда для функции Н(у,х1,... ,х4) = /а(уТ,ха11,... ,х%4) выполняется Щ = д(х1,... ,х4).
Для любых хк и а в ° все переменные входят без отрицаний,
поэтому в силу леммы 5 все переменные входят в Ь^ без отрицаний.
Для остаточной функции Ь1 нужно рассмотреть три случая: а) Ь1 = д(хг1,... ,х^4); Ь) Ь1 бесповторна в Во и не имеет фиктивных переменных; с) Ь1 бесповторна в Во и имеет фиктивные переменные.
а) Ь1у = д(х¿1,...,х¿4). Тогда Ь = уд(х1, ...,х4) V уд(х^ ,х¿2 х). Учитывая свойство 1 функции д, нужно проверить 11 функций такого вида. Непосредственной проверкой легко убедиться, что только функ-
ция Н = уд(х1,... ,х4) V уд(х2,х1,х4,х3) является слабоповторной в В. Это функция первого типа леммы.
Отметим, что в дальнейшем проверка функций на слабоповторность в В будет сводиться к нахождению остаточных подфункций, слабоповторных в Во и необобщенно однотипных с д, т. е. повторных в В. Так как это означает, что сами функции неслабоповторны в В.
Ь) Пусть Н = уд(х1,..., х5) V уЬ(х1,..., х5), где функция Ь - существенная бесповторная в Во. Выпишем следующие остаточные функции: Но = ухз(х1 V х4) V уЬоХ2, Н1 = у(х1 V хзх4) V уЬ1Х2, Н°Х4 = ух1(х2 V
хз) V угХ4, НХ4 = у(х1х2 V х3) V у£Х4.
Функция Ь бесповторна в Во, по теореме 5 для любой переменной х^, либо ЬХН = ЬХН, то есть х1 фиктивна в Ь, либо если ЬХН = ЬХ.., то одна и только одна из этих остаточных функций существенна.
Так как в Ь нет фиктивных переменных, то только одна из остаточных функций ЬоХ2 и ЬХ2 существенна, аналогичная ситуация с ЬХ4 и ЬХ4. Из предположения, что каждая из остаточных функций может быть существенна, рассмотрим все эти случаи и выясним, какой вид при этом они могут иметь.
Пусть остаточная ЬХ2 существенна. Остаточная НХ2 может быть, либо бесповторной в Во, либо однотипной с д. Если НХ2 бесповторна в Во, то по теореме 5 Ь°Х2 = х3(х1 Vх4). Если НХ2 однотипна с д, то Ь°Х2 = х1 Vх3х4, либо х4 V х1х3.
Пусть остаточная ЬХ2 существенна. Если НХ2 бесповторна в Во, то ЬХ2 = х1 V х3х4. Если НХ2 однотипна к д, то ЬХ2 = х3(х1 V х4), либо х4(х1 V х3).
Пусть остаточная ЬХ4 существенна. Если НХ4 бесповторна в Во, то по теореме 5 Ь°Х4 = х1(х2 V х3). Если НХ4 однотипна с д, то Ь°Х4 = х1х2 V х3, либо х1х3 V х2.
Пусть остаточная ЬХ4 существенна. Если НХ4 бесповторна в Во, то ЬХ4 = х1х2 V х3. Если НХ4 однотипна с д, то ЬХ4 = х1 (х2 V х3), либо х2(х1 V х3).
Известно, что функция Ь существенная бесповторная в Во от четырех переменных, и переменные входят в нормальное представление Ь без отрицаний.
Учитывая, что нормальное представление функции, бесповторной в Во, очень схоже с нормальным представлением существенной остаточной функции по любой существенной переменной, можно легко построить вид самой функции. К примеру, возьмем остаточную подфункцию ЬоХ2 = х3(х1 V х4). Очевидно, что Ь может быть равна одной из следующих функций: х2 V х3(х1 V х4), (х1 V х4)(х2 V х3), х3(х1 V х2 V х4). Так как известен вид существенной остаточной функции по х4, остаются функции (х1 V х4)(х2 V х3) и х2 V х3(х1 V х4).
После рассмотрения всех случаев имеются 6 возможных функций для х2х4(х1 V х3), х1х2 V х3х4, х2(х1 V х3х4), х2 V х4 V х1х3, (х1 V х4)(х2 V х3) и х2 V х3(х1 V х4).
Имеем следующие возможные слабоповторные функции Ь1 = уд(х1, ...,х4) V ух2х4(х1 V х3), Ь2 = уд(х1 ,...,х4) V у(хх V х3х4), Ь3 = уд(х1 ,...,х4 ) V ух2(х1 V х3х4), Ь4 = уд(х1,...,х4) V у(х2 V х4 V хх), Ь5 = уд(х1 ,...,х4 ) V у(х1 V х4)(х2 V х3), Ьб =уд(х1, . . .,х4 ) V у(х2 V х3(х_1 V х4)).
Легко заметить, что к1(у, х1,х4,х3,х2) = Ь4(у, х1,х2,х3,х4), Ь2(у, х1, Х4,Х3,Х2) =Ь5(у,х1,х2,х3,х4) и Ьб(у, Х3, Х2, Х1, Х4) =Ь3(у,х1,х2,х3 ,х4), а Ь1, Ь2, Ь3 - функции второго, третьего и четвертого типа леммы.
с) Пусть Ь = уд(х1,..., х5) V уЬ(х1,..., х5), где функция £ - несущественная бесповторная в Во. Этот случай рассматривается аналогично случаю Ь) и слабоповторных функций в В не дает.
На этом нахождение слабоповторных функций ранга 5 закончено.
Будем искать слабоповторные функции ранга 6. Пусть / слабоповторная в В и не слабоповторная в Во, тогда найдется переменная у и константа т такие, что либо /Т = (хакк • дк(хк.1 ,...,хк.4)), либо /Т = д(хк11,..., (хк • хкк)й,..., хк4). Следовательно, существует Ь обобщенно однотипная с / такая, что либо а) Щ = х1д(х2,... ,х5), либо Ь) Ьо = д(х1 х2,х3,х4,х5), либо с) Щ = д(х3,х1х2,х4,х5).
Обозначим через Ь(х1,..., х5) остаточную Ь1. Любая остаточная функция (Щ)%. не содержит отрицаний, тогда нормальное представление остаточной также не содержит отрицаний. В силу леммы 5 в нормальном представлении £ отсутствуют переменные с отрицаниями.
Пусть £ повторна в Во. Тогда она может быть представлена в одном из следующих видов:
1) р(г1,д(г2,..., г5)), где р — конъюнкция или дизъюнкция;
2) д(г1,..., гг-1, в(гк, ¿г), гг+1, . ..,г4), где в — конъюнкция или дизъюнкция;
3) д(х1,...,х4).
Подробно рассмотрим случай а) для Щ, случаи Ь) и с) рассматриваются аналогично и новых слабоповторных функций В не дают.
а) Пусть Щ = х1д(х2, ...,х5).
1) £ имеет вид р(г1,д(г2,...,г5)), где р - конъюнкция или дизъюнкция. Далее рассмотрим подслучаи: а) £ = х1д(хг1 ,...,хг4), б) £ = х1 V д(хг1 ,...,хг4), в) £ = х^д(хг1 ,...,хг4), где ху = х1, г) г = ху V д(х%1,..., х%4), где ху = х1.
а) Ь = ух1д(х2,... ,х5) V ух1д(хг1,... ,хг4). Значит Ь^1 = 0, то есть по теореме 2 функция Ь разделима, поэтому не является слабоповторной.
б) Ь = ух1д(х2,..., х5) V у(х1 V д(хг1, ...,хг4)). Переменные х3 и х5 должны находиться в Ь1 на позициях переменных, остаточные от которых существенны, иначе получим следующую ситуацию: пусть для
определенности остаточные по переменной х3 фиктивны, тогда (Щ)Х3 существенна и представляется термом вида х1 ■ Ф, а (Н^)Х3 имеет одну фиктивную переменную и представляется термом вида х1 V Ф. Но так как НХ3 бесповторна в Во, нетрудно заметить противоречие с леммой 2.
Итак, Н = ух1д(х2,...,х5) V у(х1 V д(хгг,х3,хг3,хъ)). Имеем 2 возможные функции Н1 = ух1д(х2 ,...,х5) V у(х1 V д(х2,х3,х4,х5)), Н2 = ух1д(х2,...,хъ) V у(х1 V д(х4,х3,х2,хъ)). Но по теореме 3 функция Н1 разделима, а остаточная Н2Х2Х3Х5 = ух1 х4 V у(х1 V х4) повторна в В.
в) Н = ух1д(х2,...,х5) V ухзд(хг1 ,...,хи), где хз = х1. Рассмотрим остаточную ЪХх. = уд(х^ ,...,хг4) V ух1дХ:. (х2,..., хъ). По лемме 6 х1д1.(х2,... ,хъ) несущественна, поэтому хз равна х2 или х4.
Теперь рассмотрим НХ1 = уд(х2,..., х5) VухздХ1 (х^,..., хг4). По лемме 6 хз дХ1 (х^1 ,...,хг4) несущественна, поэтому х1 находится в д(х^,..., х14) на позиции переменной, остаточные по которой фиктивны. Для определенности, из свойства 1 функции д, зафиксируем ее на третьей позиции. Также из леммы 8 следует, что хзд^ (х^1 ,...,х^4) является остаточной от д(х2,..., х5). Отсюда, имеем следующие возможные функции
Н1 = уд(х2, ...,х5) V ух2д(х3 , х5, x1, х4), Н2 = уд(х2, ...,х5) V ух2д(х4 , х5, x1, х3), Н3 = уд(х2, ...,х5) V ух4д(х2 , х3, x1, хъ), Н4 = уд(х2, ...,хъ) V ух4д(хъ , х3, x1, х2).
Но Н1ХзХ4Х5_ = ух1 Уx2, Н21Х3Х4Х5 = ух1 Уx2, Н31Х2Хз = ух1 Уx4,
Н4Х2Х3Х5 = ух1 V ух4 повторны в В.
г) Н = ух1д(х2, ...,хъ) V у(хз V д(х^,.. .,хг4)), где хз = хь
Рассмотрим остаточную НХj = уд(хг1,..., х^4)vyx1gХj (х2,..., х5). Эта
остаточная повторна в В по лемме 8, так как х1дХ. (х2,..., хъ) не может быть остаточной функции д(х^, ...,х^4).
2) Ь имеет вид д(г1,..., в(гь, г{), ,. ..,г4), где в — конъюнкция или дизъюнкция.
Пусть в — конъюнкция. Вначале рассмотрим случай, когда функция Н = ух1 д(х2, ...,хъ) V уд1(х1хг2 ,х^3 ,х^4 ), где д1 получается из д перестановкой переменных.
Рассмотрим остаточную НХ1 = уд(х2,...,х5) V уд1 (х12,х^3,х^). Она бесповторна в В, поэтому д(х2,..., х5) равна д1 (х^, хг3 ,х14 ,х^). Отсюда, имеем 2 возможные функции Н1 =ух1д(х2,..., хъ^уд(х1 х2,х3,х4, хъ), Н2 = ух1д(х2,..., хъ) Vуд(х1х4, хъ,х2,х3). Заметим, что Н1(у, х1,х2, х3,х4,х5) = Н2(у, х1,х4, хъ,х2,х3). А Н1 - функция пятого типа леммы.
Теперь рассмотрим случай, когда Н = ух1д(х2,..., хъ^уд1(х1 хг3, х14 , х15 ). Множество {х^2, х^3} совпадает с {х2,х4}, иначе нетрудно заметить противоречие с леммой 6. Далее рассмотрим остаточные НХ2 = уд1(х1,х4,х3 ,хъ) V ух1(х3 V х4) и НХ4 = уд1(х1,х2,х3,хъ) V ух1(х2 V хъ). Остаточная НХ2 бесповторна в В, поэтому из леммы 8 следует,
что д1(х1,х4,х3,х5) равна д(х1,х3,х4,х5) или д(х1 ,х4,х3,х5), но тогда д1 (х1,х2,х3,х5) равна д(х1,х3,х2,х5) или д(х1 ,х2,х3,х5). А это невозможно, так как по лемме 8 остаточная ЬХ4 будет повторна в В.
Пусть в - дизъюнкция. Тогда Ь = ух1 д(х2,... ,х5) V уд1(хг1 V хг2 ,хгз, хг4, хг5). Одна из переменных хг1 или хг2 неравна х1, для определенности пусть хг2, тогда рассмотрим остаточную ЬX. . Из вида остаточных
функции д легко заметить, что (Ь^. )о не может быть остаточной от
функции (Ь0х.2 )1, что противоречит лемме 8.
3) £ имеет вид д(г1, ...,г4). Тогда Ь = ух1д(х2,... уд(хг1 ,хг2 ,хг3, хг4). Отметим, что д(хг1 ,хг2,хгз,хг4) неравна д(х2, ...,х5), иначе Ь разделима по теореме 3. Отсюда следует, что х1 существенна в д(хг1, хг2, хгз, хг4). Обозначим фиктивную переменную через хк. Рассмотрев остаточную Ьх , из вида остаточных функции д заключаем, что она повторна в В, так как нетрудно заметить противоречие с леммой 8.
Пусть £ бесповторна в Во. Перебором всевозможных вариантов нетрудно показать, что слабоповторных функций в В не существует.
На этом нахождение слабоповторных функций ранга 6 закончено.
Теперь будем искать слабоповторные функции ранга большего, чем 6. По теореме 6 любая слабоповторная функция однотипна с функцией Ь одного из двух видов:
I) Ь(й1,... , йк, х1, ..., хп-к)—р((уй,1 ^..^^йк), (&й1), . .., (&йк ), х1,
..., хп-к), где р(1,уъ..., уП) = д(у%1,.. .,угп);
II) Ь(х1,..., хк ,хк+1,..., хк+п) = Кх1,..., хк ,д(хк+1, ..., хк+п), в(хк+1,...,хк+п)), где Ь(х1,...,хк,г1,г2) такая, что для любого г < к переменная ¿1 фиктивна в остаточной ЬХ., а ¿2 - в остаточной ЬХ..
Рассмотрим каждый из этих вариантов.
I) Ь(й1,... , йк, х1, ..., хп-к)—р((уй1 ^..^^йк), (&й1), . .., (&йк ), х1, ..., хп-к), где р(1,уъ ...,уп)= д(у%1,.. .,угп).
Подробно разберем случай к = 1, для к = 2,3,4 доказывается аналогично. Среди переменных й выделим переменную у и сделаем разложение по этой переменной, получим Ь(й, х1 ,х2,х3) = ур(1, &й, х1 ,х2, х3) V ур{Уй, 0,ж1,ж2,жз). _
Выпишем остаточную Щ =р(уй, 0, х\, х2, х3) = (Уй)р(0, О, Ж1, х2, Жз) V (Уй)р( 1, О, XI, Ж2, Жз) = (Уй)р( 1, О, XI, х2, Жз) V (\/и)1(х\,х2,х3).
Из свойства 1 функции д достаточно рассмотреть два случая:
1) Ь1 = р(1, &й, х1,х2,х3)= д(&й, х1,х2,х3), то есть р(1,0, х1 ,х2,х3) = х2х3;
2) Ь1 = р(1, &й, х1,х2,х3)=д(х1, &й, х2,х3), то есть р(1,0, х1 ,х2,х3) = х2(х1 V х3).
Рассмотрим первый случай, второй доказывается аналогично.
Пусть ку = р(Уй, 0,Ж1,Ж2,жз) = (уи)х2х3 V (\/и)1(х\,х2,х3). Из переменных й выберем переменную г, тогда й = й* и г. Учитывая, что
остаточная (Но)Ц~* = гх2х3 V гЬ(х1 ,х2,х3) должна быть бесповторна в В, для функции Ь возможны следующие варианты: а) константа, б) х2, в) х3, г) х2х3, д) ххх3, е) х1 V х2х3, ж) (х1 V х2)х3, з) х2(х1 V х3), к) Х\ У х2, л) Х\ У х3. Последовательно рассмотрим все варианты.
а) если £ = 1, то Щ = р(Уй, О, Х\, х2, х3) = х2х3 У (уи). Остаточные от НХ1 по у содержат переменные й в разных степенях. Противоречие лемме 5. Если Ь = 0, то Н = уд(&й,х1,х2,х3) V у^й)х2х3. Остаточная НХ2 = у(х3 V (&й)) V у^й)х3 = х3(у V (Vи)) V у(&й) повторна в В.
б) £ = х2. Тогда Щ = х2{х3 У {Уи)). Остаточные от по у содержат переменные и в разных степенях, что невозможно по лемме 5.
в) Ь = х3. Аналогично б).
г) Ь = х2х3. Тогда функция Н бесповторна в В по лемме 7.
д) Ь = х1х2х3. Тогда Но = х2х3(^й) V х1). Получаем функцию Н = уд(&й, х1,..., х4) V ух2х3(^й) V х1). Остаточная Н°Х1 Х2 = у((&й) V х3) V ух3{и)) повторна в В.
е) £ = Х\ У х2х3. Тогда Щ = х2х3 У Х\(уи). Остаточные от по у содержат переменные й в разных степенях. Противоречие лемме 5.
ж) £ = (х\ У х2)х3. Тогда Щ = х3{х2 У Х\(У и)). Остаточные от Ь}Х1 по у содержат переменные й в разных степенях. Противоречие лемме 5.
з) £ = х2{х\ У х3). Аналогично ж).
к) £ = х\ У х2. Тогда = д((Уй),х 1,х2,х3). Функция к разделима по теореме 3.
л) t = XI У х3. Тогда И,® = д((Уй),Х1,х3,х2). Остаточные от Ь}Х1 по у содержат переменные й в разных степенях. Противоречие лемме 5.
II) Н(у, х1,..., хк ,хк+1,..., хк+4) = Ь(у, х1,...,хк, д(хк+1,..., хк+4),
в(хк+1,...,хк+4)).
Выполнив разложение по переменной у, получаем Н = уЬ1(х1, ...,хк, д(хк+1,..., хк+4)) V уЬ2(х1, ...,хк, в(хк+1,..., хк+4)), где ^(хь ...,хк ,г) такая, что для всех г в остаточных Ь^.. фиктивна г, а Ь2(х1,...,хк, г) такая, что для всех г в остаточных ЬХ. фиктивна г.
Очевидно, что нормальное представление в не содержит отрицаний, и функции Ь1 и Ь2 различны, иначе Н не является слабоповторной по теореме 3. По лемме 3 функции ^ и Ь2 могут быть либо однотипными с д, либо бесповторными в Во.
Пусть одна из функций Ь1 и Ь2 однотипна к д, а другая бесповторна в Во. Тогда рассмотрев остаточную На, где ш и а такие, что да и ва существенны, а такие ш и а всегда найдутся, получим противоречие с леммой 6.
Пусть Ь1 и Ь2 однотипны к д. Рассмотрим остаточную На. Тогда остаточная (На= и(х1,...,хк,да), а (На^ = Ь2(х1,...,хк,ва), отсюда либо На повторна в В, либо ^ = ¿2, что невозможно, иначе Н разделима по теореме 3.
Итак, функции £1 и £2 бесповторны в Во. Возможны два варианта для функции в, когда она бесповторна в Во и однотипна к д.
Пусть функция в бесповторна в Во и существенна. Тогда рассмотрим
остаточную Ькк+1 = уи(х1 ,...,хк,дХск+1) V уЬ2(х1,...,хк,вХк+1), где а
такая, что вХк+1 существенна. Так как дкк+1 имеет одну фиктивную переменную, то Ькк+1 бесповторна в Во. Обозначим фиктивную переменную функции дкк+1 через хг. Рассмотрим остаточную Ькк+1ТХ1, причем т такая, что вХк+1 Тх. существенна. Имеем, что (Ькк+1 XX.^ и (Ькк+1 X.)1 существенны, бесповторны в Во и различны, то есть по лемме 4 Ькк+1XX. повторна в Во, что невозможно, так как Ькк+1 бесповторна в Во.
Пусть функция в бесповторна в Во и несущественна. Все переменные не могут быть фиктивны, иначе Ь бесповторна в В.
Рассмотрим случай, когда у функции в фиктивна только одна переменная. Из свойства 1 функции д достаточно рассмотреть случаи, когда фиктивны хк+1 и хк+2.
Пусть в в фиктивна хк+1. Рассмотрим функцию ЬХк+1 = у11(х1,..., хк ,Хk+зХk+4)V у£2(х1, ...,хк, в(хк+2,хк+3, хк+4)). Очевидно, что она бесповторна в Во. Затем рассмотрим следующую остаточную ЬХк+1 Хк+2 =
уг1(х1,...,хк ,хк+3хк+4) V у£2(х1,...,хк ,вкк+2 (хк+3 ,xk+4)), где вХк+2 су-
щественна. По лемме 4 ЬХк+1 кк+2 повторна в Во, что невозможно, так как ЬХк+1 бесповторна в Во.
Пусть в в фиктивна хк+2. Рассмотрим остаточную ЬХк+4 = у11(х1,...,
хк,дХХк+4) Vу£2(х1,... ,хк,вХк+4), где т такая, что вХк+4 имеет одну фиктивную переменную хк+2. Заметим, что дТк+4 существенна. Очевидно,
что ЬХк+4 бесповторна в Во. Но остаточная ЬХк+4Хк+2, где 6 такая, что дХк+4Хк+2 существенна, повторна в Во, противоречие.
Рассмотрим случай, когда у функции в фиктивны только две переменные. Докажем, что среди этих фиктивных переменных не может быть хк+2 и хк+4. От противного.
Пусть фиктивна хк+2. Рассмотрим остаточную ЬХк+2 = у£1(х1,...,
хк,дХ°к+2) yt2(xl,... ,хк,вХк+2). Она бесповторна в Во, так как дХк+2
существенна, а вХк+2 имеет одну фиктивную переменную, которую обозначим ее через ху. По лемме 4 остаточная ЬХк+2Х^, где т такая, что д°к+2ТХ. существенна, повторна в Во, что невозможно.
Случай, когда фиктивна хк+4 доказывается аналогично. Итак, фиктивными переменными в являются хк+1 и хк+3. Рассмотрим остаточную ЬаХк+2, где а такая, что в ваХк+2 фиктивными так и остались только хк+1 и хк+3. Очевидно, что ЬХк+2 бесповторна в Во. По теореме 5 найдутся т и 6 такие, что дкк+2Хк+1 Хк+3 существенна. Отсюда, по лемме 4 ЬХк+2Х+Хк+3 повторна в Во, что невозможно.
Рассмотрим случай, когда у функции в фиктивны только три переменные. Из свойства 1 функции д достаточно рассмотреть, когда существенны только хк+3 и хк+4.
Пусть в в существенна только хк+1. Остаточная НХк+1=уЬ1(х1, ...,хк, Xk+3Xk+4)VуЬ2(х1,... ,хк,хк+3) бесповторна в Во. Но НХк+1 Хк+4 по лемме 4 повторна в Во, противоречие.
Случай, когда в в существенна только хк+4, рассматривается аналогично.
Пусть в однотипна с д. Тогда Н = уЬ^хь.. .,хк,д(хк+1,.. .,хк+4)) V
,хк ,g(xik+1, . . . ,хгк+4)). Докажем, что ни одна из хгк+2 и Xik+4 неравна хк+1 или хк+3. От противного.
Пусть для определенности х^1к+2 равна хк+1. Рассмотрим остаточную НХк+1. Остаточная (НХк+1 ^ имеет одну фиктивную переменную, обозначим ее Xj, а (НХк+1 )1 существенна, то есть НХк+1 бесповторна в Во. Но НоХк+1 'ГХ., где т такая, что НХк+1 Хj существенна, повторна в Во, противоречие с бесповторностью НХк+1.
Отсюда следует, что Н = уЬ1 (х1,.. .,хк ,д(хк+1,.. .,хк+4)) V уЬ2(х1,..., хк,д(хк+1,хк+4,хк+3,хк+2)). Остаточная НХк+2Хк+1=уЬ(х1,.. .,хк,хк+3) \/уЬ(хь ... ,хк,хк+4\/хк+3) бесповторна в В0, но Ь°Хк+21Хк+1Хк+4 повторна в Во по лемме 4, противоречие. Лемма 9 доказана. □
Теорема 7. Система булевых функций
х1 (х2 V х3х4) V х5(х3 V х2х4),
х1 (х2 V ... V хп) V х2 ■ ... ■ хп, п > 3,
х1 (х2 V х3 ■ ... ■ хп) V х2 ■ х3 ■ ... ■ хп, п > 3,
х1 ■ ... ■ хп V х1 ■ ... ■ хп, п > 2,
х1 д(х2, ...,х5) V х1д(х3 ,х2, х5,х4),
Х1 д(х2, ...,х5) V х1х3х5(х2 V х4),
Х1 д(х2, ...,х5) V х1(х2х3 V х4х5),
Х1 д(х2, ...,х5) V х1х3(х2 V х4х5),
Х1 х2д(х3, ...,х6) V х1д(х2х3
, x4, x5, хб),
является полной системой представителей классов эквивалентности по отношению обобщенной однотипности для булевых функций, слабоповторных в Во и {д}, где д(х1,... ,х4) = х1(х2 V х3) V х3х4).
Доказательство. Следует из теоремы 4 и леммы 9. □
Список литературы
1. Кириченко К. Д. Слабоповторные булевы функции в некоторых предэлемен-тарных базисах / К. Д. Кириченко. - Иркутск : Иркут. ун-т, 2000. - 61 с. -(Дискретная математика и информатика ; вып. 13).
2. Кириченко К. Д. Слабоповторные булевы функции в небинарных базисах / К. Д. Кириченко. Иркутск : Иркут. ун-т, 2000. - 21 с. - (Дискретная математика и информатика ; вып. 14).
3. Кузнецов А. В. О бесповторных контактных схемах и бесповторных суперпозициях функций алгебры логики / А. В. Кузнецов // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1958. - Т. 51. - С. 186-225.
4. Перязев Н. А. Сложность представлений булевых функций формулами в немо-нолинейных базисах / Н. А. Перязев - Иркутск : Иркут. ун-т, 1995. — 15 с. -(Дискретная математика и информатика ; вып. 2).
5. Перязев Н. А. Слабоповторные булевы функции в бинарном базисе / Н. А. Перязев. - Иркутск : Иркут. ун-т, 1998. — 12 с. - (Дискретная математика и информатика ; вып. 4).
6. Перязев Н. А. Основы теории булевых функций / Н. А. Перязев. - М. : Физматлит, 1999. - 112 с.
7. Стеценко В. А. О предплохих базисах в Р2 / В. А. Стеценко // Мат. вопр. кибернетики. - 1992. - Вып. 4. - С. 139-177.
8. Субботовская Б. А. О сравнении базисов при реализации функций алгебры логики формулами / Б. А. Субботовская // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 149, №4. - С. 784-787.
9. Черухин Д. Ю. Алгоритмический критерий сравнения булевых базисов / Д. Ю. Черухин // Мат. вопр. кибернетики. - 1999. - Вып. 8. - С. 77-122.
10. Шаранхаев И. К. О слабоповторных булевых функциях в одном предэлемен-тарном базисе / И. К. Шаранхаев // Дискрет. анализ и исслед. операций. Сер.1. - 2003. - Т. 10, № 2 - С. 79-101.
11. Шаранхаев И. К. О булевых базисах второго яруса / И. К. Шаранхаев // Изв. вузов. Математика. - 2004. - №3. - С. 81-82.
12. Шаранхаев И. К. Слабоповторные булевы функции в предэлементарном немонотонном базисе порядка 3 / И. К. Шаранхаев // Вестн. Бурят. ун-та. Сер. 13. - 2005. - Вып. 2. - С. 61-71.
13. Шаранхаев И. К. О классификации базисов булевых функций / И. К. Шаранхаев // Вестн. Бурят. ун-та. Сер. 13 - 2006. - Вып. 3. - С. 61-67.
Шаранхаев Иван Константинович, кандидат физико-математических наук, доцент, Институт математики и информатики, Бурятский государственный университет, 670000, Улан-Удэ, ул. Смолина, 24а, тел.: (3012) 219757 (e-mail: [email protected])
I. K. Sharankhaev
On Some Series of Bases for the Set of Boolean Functions
Abstract. In this paper the problem of comparison of Boolean bases is considered. In our case the bases are compared on the complexity of Boolean functions representation by terms (formulas). The partial order is introduced on the set of all Boolean functions bases with respect to which a system of equivalence classes is obtained.It is known that the criterion for the equivalence for two bases is a reciprocal repetition-free expressiveness of functions of the one basis by the functions of the other, and the augmentation of a basis with a function weakly repetition-containing in it allows us not only to expand it, but makes this expansion minimal, making it possible to investigate the bases using the complexity of Boolean function representations with terms.Thus, the problem of
describing the equivalence classes of bases can be reduced to finding weakly repetition-containing functions in specific bases.
The basis {V, —, 0,1} is the largest element in this partial order and its equivalence class forms the null level of the structure. The description of bases of the first level and, partially, of the second level has been obtained by several authors. This article describes the weakly repetition-containing Boolean functions in the same basis, in terms of uniformity, which completes the characterization of bases of the second level.
Keywords: Boolean function, term, repetition-free function, weakly repetition-containing function, base.
References
1. Kirichenko K.D. Weakly Repetition-Containing Boolean Functions in Some Pre-Elementary Bases (in Russian). Irk. Univ. Ser.: Disk. Matem. i Informatika, 2000, vol. 13. 61 p.
2. Kirichenko K.D. Weakly Repetition-Containing Boolean Functions in Non-Binary Bases (in Russian). Irk. Univ. Ser.: Disk. Matem. i Informatika,2000, vol. 14. 21 p.
3. Kuznetsov A.V. On Repetition-Free Contact Circuits and Repetition-Free Superpositions of Logic Functions (in Russian). Trudi Mat. Instit. AN USSR, 1958, vol. 51, pp. 186-225.
4. Peryazev N.A. Complexity of Representations of Boolean Functions by Formulas in Non-Monolinear Bases (in Russian). Irk. Univ. Ser.: Disk. Matem. i Informatika, 1995, vol. 2. 15 p.
5. Peryazev N.A. Weakly Repetition-Containing Boolean Functions in Binary Base (in Russian). Irk. Univ. Ser.: Disk. Matem. i Informatika, 1998, vol. 4. 12 p.
6. Peryazev N.A. Elements of Theory of Boolean Functions (in Russian). Moscow, Fizmatlit, 1999. 112 p.
7. Stetsenko V. A. On Preworst Bases in P2 (in Russian). Mat. Voprosi Kibernet., 1992, vol. 4, pp. 139-177.
8. Subbotovskaya B. A. Comparison of Bases in Realization by Formulas of Logic Functions (in Russian). Dokl. Akad. Nauk USSR, 1963, vol. 4, pp. 478-481.
9. Cherukhin D. Yu. Algorithmic Criterion for Comparison of Boolean Bases (in Russian). Mat. Voprosi Kibernet., 1999, vol. 8, pp. 77-122.
10. Sharankhaev I. K. On Weakly Repetition-Containing Boolean Functions in Some Pre-Elementary Base (in Russian). Disret. Analiz i Issled. Oper. Ser. 1, 2003, vol. 10, no 2, pp. 79-101.
11. Sharankhaev I. K. On Boolean bases of the second level (in Russian). Izvest. Vuzov. Matem., 2004, no 3, pp. 81-82.
12. Sharankhaev I. K. Weakly Repetition-Containing Boolean Functions in Pre-Elementary Non-Monotone Base of Order 3 (in Russian). Vestnik Buryat. Univ. Ser. 13, 2005, vol. 2, pp. 61-71.
13. Sharankhaev I. K. On Classification of Bases of Boolean Functions (in Russian). Vestnik Buryat. Univ. Ser. 13, 2006, vol. 3, pp. 61-67.
Sharankhaev Ivan Konstantinovich, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Buryat State University, 24a, Smolin st., Ulan-Ude, 670000, tel.: (3012)219757 (e-mail: [email protected])
