О бесповторных булевых функциях в некоторых базисах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71

ББК 22.176

© И.К. Шаранхаев

Бурятский государственный университет, Улан-Удэ

О бесповторных булевых функциях в некоторых базисах

Изучается реализация булевых функций в классе формул. Доказаны необходимые и достаточные условия выразимости булевых функций бесповторными формулами в некоторых базисах.

Ключевые слова: булевы функции, бесповторные формулы.

© 1.К. Sharankhaev

Buryat State University, Ulan-Ude

On repetition-free Boolean functions in some bases

The realization of Boolean functions by formulas is studied. The necessary and sufficient conditions of representation of Boolean functions by repetition-free formulas in some bases are proved.

Key words: Boolean functions, repetition-free formulas.

Введение

Настоящая работа посвящена нахождению условий, равносильных бесповторности булевых функций в конечных полных множествах (базисах).

Дадим необходимые определения и обозначения, все неопределяемые понятия можно найти, например, в [1].

Формула Ф над базисом В называется бесповторной, если каждая переменная входит в нее не более одного раза.

Функция f называется бесповторной в базисе B, если существует бесповторная формула Ф над В, представляющая функцию f. В противном случае f называется повторной в B.

Функция, получаемая из f(xb...,xn) подстановкой вместо некоторой переменной xi константы о, называется остаточной и обозначается fO. Индуктивно это определение распространяется на подмножество переменных.

Назовем переменную xi функции f фиктивной, если f° = f1 , и существенной в

противном случае. Множество всех существенных переменных функции f обозначим через р f), а множество всех фиктивных переменных функции f через 8 (f).

Функция f называется слабоповторной в базисе B, если любая остаточная функция от функции f является бесповторной, а сама f повторш в базисе B. Через SB и PB обозначим множество всех слабоповторных и бесповторных функций в базисе B , соответственно.

Базис Bo={ v , • , -, 0, 1} называется элементарным, а базис Bo u {f}, гдеf слабоповторна в B0, называется предэлементарным.

Описание всех предэлементарных базисов следует из [2]. В работе [3] введены следующие обозначения для таких базисов:

B1,n=Bo u {g1, n}, где g1, n = xr...-xn v xn и n >2;

B2, n=Bo u {g2, n}, где g2, n = x1(x2 v... vxn) vx2 xn и n > 3;

B3, n=Bo u {g3, n}, где g3, n = x1(x2 vx3 •...• xn) vx2x3•...• xn и n >3;

B4=Bo u {g4}, где g4= x1(x2 v x3) v x3x4;

B5=Bo u {g5 }, где g5= x1(x2 v x3x4) v x5(x3 v x2x4).

В [3-1o] найдены условия, равносильные бесповторности булевых функций для базисов Bo, B1, 2, B2, n, B3, 3, B5, где n > 3. В данной статье получены необходимые и достаточные условия бесповторности булевых функций в базисах B4 и B1, n, где n - нечетное число, большее 1.

Будем говорить, что функции f и g связаны отношением <, и писать f < g, если для любого набора ~ выполняетсяf(~)<g(<~).

Функция / называется обобщенно монотонной по переменной х, если выполняется либо /X < /х1, либо /X У /х1. Для краткости записи обобщенную монотонность функции / по

переменной х будем обозначать так: / е Мх.

Функции / и g называются обобщенно однотипными, если

/ (XI,..., х) = g ” (х*,..., х°*), где (г\,..., 1п) - некоторая перестановка чисел от 1 до п . Очевидно, что на множестве всех

булевых функций отношение обобщенной однотипности является отношением эквивалентности.

Производной функции /(х^...,хп) по переменной х, называется функция:

/'= — = /0 © / 1 .

о X: ~\ ^ X: ^ X:

' '

Понятие производной функции по переменной распространяется индуктивно на множество переменных следующим образом:

Э

д/ =_

Эх , ...Эх,- Эх,-

:1 ^ ^

Функция называется нечетной, если число наборов, на которых функция равна 1, является нечетным, и четной в противном случае.

Множество булевых функций Р, содержащее тождественную функцию, называется наследственным, если для любой функции / е Р любая остаточная функция / ° е Р .

Множество булевых функций Р называется инвариантным, если для любых функций / (и, у), g (~) е Р , где и п ~ = 0, справедливо включение / (и, g (~)) е Р .

При доказательстве основных результатов будут использоваться следующие утверждения.

Предложение 1 [9]. Множество булевых функций Р является наследственным и инвариантным тогда и только тогда, когда Р есть множество всех бесповторных функций над некоторым базисом В .

Следствие 1. Если для наследственного и инвариантного множества булевых функций Р и базиса В верно, что В £ Р и БВ п Р = 0, то РВ = Р .

Таким образом, для доказательства того, что некоторое множество булевых функций Р совпадает с множеством всех бесповторных функций над некоторым базисом В , достаточно показать, что Р обладает свойствами наследственности и инвариантности, и проверить, что все слабоповторные в В функции не входят в Р .

Предложение 2 [11]. Следующая система булевых функций является полной системой представителей классов эквивалентности по отношению обобщенной однотипности для булевых функций, слабоповторных в предэлементарном базисе В4:

х1(х2 V хзх4) V х5(хз V х2х4);

х1(х2 V... V хк) V х2 хк, к > 3;

х1(х2 Vх3 •...• хк)Vх2х3•...• хк, к>3;

х1 •...• хкV х1 •...• хк, к>2;

х1 g(X2,. ,х 5) V х^(хз, х2, х5, х2); х1 g(X2,. ,х 5) V XlXзX5(X2VX4); х1 g(X2,. ,х 5) V X 1(х2хзVх^х 5);

х1 g(X2,. ,х 5) V XlXз(X2VX4X5);

X1X2g(Xз,.,X6) V х^(х2хз, X4, х5, х6).

—

^ Эх, ...Эх,

V :1 !»-1 J

2з8

Предложение 3 [12]. Следующая система булевых функций является полной системой представителей классов эквивалентности по отношению обобщенной однотипности для булевых функций, слабоповторных в предэлементарном базисе B1 n, где n - нечетное число, большее 1:

х1(х2 v x3) v x3x4;

Xi(X2 v Х3Х4) v Х5(хз v X2X4);

x1(x2 v... v xk) v x2 •...• xk, k > 3; x1(x2 vx3 •...• xk) vx2x3•...• xk, k>3;

x1 •...• xkv x1 •...• xk, k>2, k ^ n; x1 g(x2,...,xn+0 v xr...x+b

xi •... • xn-1 g (xn,. ,x2n-1) v xr... ^n-b x1 •. • xn g(xn+1,. ,x2n) v xr . ^x2n.

Основные результаты

В этом разделе доказаны необходимые и достаточные условия бесповторности булевых функций в базисах В4 и B1, n, где n - нечетное число, большее 1.

Функцию f будем называть 4 - нежесткой, если либо rang f < 2, либо для любого xe р f справедливо включение f е Mx выполняется одно из условий:

1) для некоторой константы 7 справедливы S f с S (f7) и S f = S (f7 ), причем если S (f7) \ S (/)={ у }, то не выполняется соотношение S f = S ( f° ) = S ( f1 );

2) S f с S (fx0), S f с S (f1) и найдется переменная ye р( f'x ), такая, что

S (f/) cS (((fx^y);

3) Sf cS(f').

Функцию f будем называть наследственно 4 - нежесткой, если сама f и все ее остаточные функции являются 4 - нежесткими.

Теорема 1. Булева функция f бесповторна в базисе В4, тогда и только тогда, когда она является наследственно 4 - нежесткой.

Доказательство. Для доказательства теоремы воспользуемся методом, основанным на предложении 1.

Обозначим через Р множество всех наследственно 4 - нежестких функций. Множество Р является наследственным по определению, покажем его инвариантность.

Пусть f (и, v) = g (и, h(v)), где g (и, у), h(v) е P. Если и =0 или I vi = 1, то функция f обобщенно однотипна с g или h, поэтому является наследственно 4 - нежесткой. Далее считаем, что и ^0 или I v I > 1.

1. Пусть x е v . Если для некоторой константы 7 справедливы S (h) с S (hах ) и S (h) =

S (hx), то выполняются S (f) с S (f7) и S (f) = S (f7 ). Причем если S (f7) \ S (f)={ у }, то S (h^) \ S (h)={ у } и не выполняется условие S (f) = S (fy0) = S (f1), так как неверно, что S (f = S (h0) = S (h\).

Пусть S (h) с S (h0) и S (h) с S (h\). Найдется переменная z такая, что выполняется S (h‘x) с S (((h'x)‘y), а значит S (f x) с S (((f'x )'z).

Пусть S (h) с S (hx). Так как справедливо fx = g (и, у) • hx(v), выполняется строгое включение Sf) сд(f/).

2. Пусть x e и . Если для некоторой константы 7 справедливы S (g) с S (g ах ) и S (g) = S (gax ) и при этом одновременно S ( f7) \ S (/)={у} (выполнение последнего условия

необязательно), тогда выполняется условие д (/) = д (/у0) = д (/у), так как неверно, что

д (в) = 8 (¿0) =8 (в]).

Пусть д (в) с д (в°) и д (в) с д (¿1х). Если найдется переменная г, отличная от у и

такая, что д (в'х) сд (((в'Х ), то д (/I) сд (((/Д). В противном случае выберем

произвольным образом г1 е V и рассмотрим (/'х)'ч = ( в'х)'у (й, у) • Ь!(Ъ). В силу того, что д (вХ) с д (((в %) справедливо д (/) сд (((/Х ^ ).

Пусть д (в) с д (вХ ). Ясно, что д (/) с д (/Х ).

Доказательство того, что / е Мх для любого х дословно совпадает с доказательством аналогичного свойства в работе [4] (см. теорему 4). Таким образом, доказана

инвариантность Р.

Теперь для наследственного инвариантного множества Р найдем порождающий его базис. Очевидно, что В4 £ Р. Проверим, что все слабоповторные функции в базисе В4 не принадлежат Р . Достаточно ограничиться проверкой функций из предложения 2, так как если свойство 4-нежесткости не выполняется для некоторой функции, то оно не выполняется и для всех обобщенно однотипных с ней функций.

а) /= хх(х2 V х3х4) V х5(х3 V х2х4). Тогда

/Х0 = ххх2 V х3х5, /Хх = (хх V х5)(х2 V х3), /Х = ХХ2х3Х5 V Хх2Х3х5.

70

' х4

Функции / 0 , / X , / [ существенны, поэтому /£ Р.

Ь) / = хх(х2 V... V хп) V х2 •...• хп, где п > 3.

п'

/»1 /./ — ~

хп •...• Х„ V хп •...• х„.

/ххХ = х2 •-• хп /х1= х2 V ... V хп /х

' хх — л2 ■ ■ • лп J хх — Л2 V ■ ■ ■ V лп, J хх — ^2 ■■■ лп у 2

Функции /°, /X , /х/ существенны, поэтому/£ Р.

с) / = х1(х2 V х3 •...• хп) V х2 • х3 •...• хп, где п > 3. Функция / £ Р , так как / £ Мх . ф / = х •... • хп V х •...• хп, где п > 2 . Аналогично с), функция / £ Р , так как / £ М . е) / = хв(х2,...,х5) Vхв(х3,х2,х5,х4). Тогда

/хх = в ^Х = в (х3 , х2 , х5 , х4 ), УхХ = © ХХх4х5-

Ситуация аналогична случаю Ь).

Г) / = хв(х2,...,х5) VхХх3х5(х2 Vх4). Тогда

Л0 = в/Х = х3х5(х2 V Х4), /х/ = х2х3х4х5 V х2х3х4Х5 V х2Х3х4х5 V хххх V х2Х3х4х5.

Функция / / является нечетной, а значит, существенной. Ситуация аналогична случаю Ь). Б) / = хв(х2,...,х5) V хХ(х2х3 V х4х5). Тогда

К = в^ — /Х = х2х3 V х4х5 , УхХ = Х2Х3Х4Х5-

Ситуация аналогична случаю Ь).

И) / = хв(х2,...,х5) V хХх3(х2 V х4х5). Тогда

/х° = в(Л2,...,Л5), /х1 = х3(х2 V х4х5), /X = Х2Х3Х4Х5 V Х2Х3Х4Х5 V Х2Х3Х4Х5.

Ситуация аналогична случаю Г).

1) / = х1х2 в (х3,...,х6) V х в (х2х3,х4,х5,х6). Тогда

Л0 = х2х3х4 V х2х3х5 , Лб = в ^ Х3^ ^

Отсюда следует, что д (/) с д (/“), д (/) = д (/6), д (/“) \ д (/)={х1> и д (/) = д (/“) = д ( / 1 ), что невозможно.

Таким образом, SB n P = 0 и В4 с P . Теорема 1 доказана.

Функцию f будем называть (1,n) - нежесткой, где n > 2, если либо rang f < 2, либо для любого xe р f) выполняется одно из условий 1, 2, 3:

1) 8f) = 8(fx0) и 8(f (fx1);

2) S (f) = 8 (fx1) и Я f) cS (fx0);

3) 8f) = 8(fx0) =8(f1), f £Mx и найдутся yi,^,jn-iep(fx) такие, что

С df1 S (fx7) cS d -4

^ oyi,..., Э;Уп_1 у

Функцию f будем называть наследственно (1,n) - нежесткой, если сама f и все ее остаточные функции являются (1,n) - нежесткими.

Теорема 2. Булева функция f бесповторна в базисе В1п, где n - нечетное число, большее 1, тогда и только тогда, когда она является наследственно (1,n-1) - нежесткой.

Доказательство. Для доказательства теоремы воспользуемся методом, основанным на предложении 1.

Обозначим через Pn-1 множество всех наследственно (1,n-1) - нежестких функций. Множество Pn-1 является наследственным по определению, покажем его инвариантность.

Пусть f (и, v) = g (и, h(v)), где g (и, у), h(v) e Pn-1. Если и =0 или I vi = 1, то функция f обобщенно однотипна с g или h, поэтому является наследственно (1,n-1) - нежесткой. Далее считаем, что и ^ 0 или I v I > 1.

3. Пусть xe v. Если выполняется одно из строгих включений S (h) c 8 (h °) или

S (h) С 8 (h\), то соответственно либо 8 f) С 8 (fx0), либо 8 f) С 8 (f1).

Пусть 8 (h) = 8 (h0) =8 (h1). Рассмотрим fx = gУ (и, y) • h*(v). Очевидно, что

существуют переменные x1,^,xn-2 e р( hx ) такие, что S (hx ) cS справедливо равенство:

df I / (v )

= gy(u, y)

dh

dx l,..., dx K_

. Так как

n—2 у

dx dx

илi ,..., алn—2

3h

dx dx

dx1,..., dxn—2

то 8 (/х)

л

дxl,..., dxn—

n—2 у

Докажем от противного, что / £ Мх. Пусть для определенности /х0 < /х1. Тогда при любых й, ~1, ~2 выполняется

в (~, Й(~1,0, й2 )) < в (~, Л(й1,1, й2 ))•

Так как Н£ Мх, для любого й имеют место неравенства

в (~,0) < в (~,1), в (~,0) > в (~,1).

Отсюда следует, что в0 = вУ, то есть переменная у фиктивна, что невозможно.

4. Пусть х е ~. В случае выполнения одного из строгих включений д (в) с д (в °) или д (в) с д (в1) справедливо ровно одно из строгих включений д (/) с д (/х0) или д (/)

сд ( /х1).

Пусть д (в) = д (в°) =д (в1). Рассмотрим /' = вХ (~,М~)). Если для в*(~, У)

Г дв Х ^

существуют x1,^,xn-2e р( gх(и,у)), отличные от у, такие, что 8 (gх)c 8

dx dx

dxi,..., dxn—

n—2 у

тогда справедливо 8 (/X )

д/Х

дх дх

ил 1,...,дх п_

В противном случае существуют

п_2 у

переменные у1,.,уп-3е р(вХ(~,у)), отличные от у такие, что справедливо

Ґ

Л

8(вX)с 8 д/X

дУі—дУп_зд£ дУі-дУп_здУ

Эу^.^ дУи_здУ у

дв X

. Выберем произвольно существенную г е ~ и рассмотрим

г ЭвХ ^

справедливо

д/X

к (~). В силу того, что 8 (вх) с 8

д/X

дУl,..., дУп_здУ у

дУі”-дУи_зд^ дУі---дУи_зд^

Докажем от противного, что / £ Мх. Пусть для определенности /х0 < /\. Тогда при любых ~1, ~2, ~ выполняется

в(Й^Л~2,^(~)) < в(~1,1,~2,М~)).

Отсюда следует, что при любых йй1 , йй2 выполняются неравенства

в (~1,0, ~2,0) < в (~1,1, ~2,0), в (~1,0, ~2,1) < в (~1,1, ~2,1).

Тогда ве Мх, получаем противоречие. Таким образом, инвариантность Рп-1 доказана. Осталось для наследственного инвариантного множества Рп-1 найти порождающий его базис. Очевидно, что В1, п £ Рп-1. Покажем, что все слабоповторные функции в базисе В1, п при нечетном п не принадлежат Рп-1. Достаточно ограничиться проверкой функций из предложения 2, так как если свойство (1,п-1) - нежесткости не выполняется для некоторой функции, то оно не выполняется и для всех обобщенно однотипных с ней функций.

b) /= х1(х2 V х3) V х3х4. Тогда

01 /х1= Х3Х4 /х1= Х2 V х3.

Обе эти остаточные функции имеют фиктивную переменную существенную в /, поэтому /£ Рп-1.

c) /= х1(х2 V х3х4) V х5(х3 V х2х4). Тогда

/Х4 = Х1Х2 V Х3Х5, /Х4 = (Х1 V Х5)(Х2 V Х3).

Функции /х0 , /X существенны и/е М ч , поэтому /£ Рп-1.

ё) /= х1(х2 V... VХк) Vх2 •...• хк, где к>3. Функция/£ Рп-1, так как / X , /Х существенны, а

/е М ^.

е) /= х1(х2Vх3 •...• хк)Vх2Х3 •...• Хк, где к>3. При к=3 /Х3=х2 и / 1=х1. Обе эти

остаточные функции имеют фиктивную переменную существенную в /, поэтому /£ Рп-1. При к>3 ситуация аналогична с).

Г) /= х1 •...• хкV Х1 •...• Хк, где к>2 и к ^ п. При к=2 функция /£ Рп-1, так как

/ Х0, /1 существенны и /Х/ =1. При к > 3

_с 0 — — _с 1 .с / — —

/х1=Х2 •.•х k, /х1= х2 •.• ХЬ /х1= х2 •.• хкV х2 •.• хк .

Легко заметить, что функции / Х°, /Х , /X существенны и найдутся ровно к-2

переменных

Ґ

8 (/') с 8

гі,...,гк-2

ч \

таких,

что

справедливо

строгое

включение

д/X

. Но к ^ п, поэтому/£ Рп-і.

^і — дЧ_2 у В) /= X £^2,. Дп+і) V X!-. ^п+і. Тогда

Л0 = g(x2,.,xn+1), /Х= • ^п+Ь /Х=^ -.-

п_1 '

Функции /х0, /Х , / X существенны и для любых г1,.,гп-2е р( /X ) не выполняется

строгое включение д ( / / ) с д

, поэтому /£ Рп-1.

дzl,..., Эг„_2 у

Ь) /=х1 •. • хп_1 в (Хп,. ,Х2п-1) V ХГ... •Х2п-1. Тогда

/Ц =Х •. • Хя_1 (Xn+lV.VX2n-l),

/Хп = Х1 • . • Хп_1 ( Хп+1 V. V Х2п_1 ) V Х1^ . • хп-Гхп+Г - • • • Х2п-Ь

ч

/п = ХГ...Х-Г Хп+Г-.-Хп-^ х1 •...• Хп_1 Х+Г-.-Хп-^ Х1 •...• Хп_ • Хп +1 •...• Х2п_1 . Остаточные функции / 0 и / 1 существенны. В силу того, что представление / / является совершенной дизъюнктивной нормальной формой, нетрудно заметить, что функция / / нечетная, то есть существенная. Очевидно, что производная нечетной

функции по любой переменной есть нечетная функция, поэтому имеем ситуацию, аналогичную Г).

1) /= X •... • хп в(Хп+1,. ,Х2п) V Хг . Х2п. Тогда

/Х1 = Х2 • . • Хп в(хп+Ь- • • ,х2п), /Х1 = Х2^. • х2n,

/Х1= Х-.^х2nV Х2 •.• Хп Х^1*.*х2nV Х2 •.• Хп ' Хп +1 ••••• Х2п .

Ситуация аналогична £).

Таким образом, 5^ п Рп_х = 0 и В1п £ Рп_х. Теорема 2 доказана.

Заключение

В настоящей работе описан в терминах остаточных функций класс булевых функций, бесповторных в некоторых предэлементарных базисах. Дальнейшим продвижением в этом направлении видится получение аналогичных результатов во всех предэлементарных базисах.

Литература

1. Перязев Н. А. Основы теории булевых функций. - М.: Физматлит, 1999. - 112 с.

2. Стеценко В. А. О предплохих базисах в Р2 // Математические вопросы кибернетики. - М.: Наука,

1992. - Вып.4. - С. 139-177.

3. Шаранхаев И. К. О бесповторных булевых функциях в предэлементарных монотонных базисах // Дискретная математика. - 2009. - Т. 21, вып.2. - С. 88-93.

4. Перязев Н. А., Шаранхаев И. К. Критерии бесповторности булевых функций в предэлементарных базисах ранга 3 // Дискретная математика. - 2005. - Т. 17, вып.2. - С. 127-138.

5. Субботовская Б. А. О сравнении базисов при реализации функций алгебры логики формулами // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 149, №4. - С. 784-787.

6. Гурвич В. А. Критерии бесповторности функций алгебры логики // Докл. АН СССР. - 1991. - Т. 318, №3. - С. 532-537.

7. Перязев Н. А. Реализация булевых функций бесповторными формулами в некоторых базисах // Алгебра, логика и приложения. - Иркутск, 1994. - С. 143-154.

8. Перязев Н. А. Реализация булевых функций бесповторными формулами // Дискретная математика. - 1995. - Т. 7, №3. - С. 61-68.

9. Кириченко К. Д. О критериях бесповторности булевых функций в различных базисах // Оптимизация, управление, интеллект. - Иркутск, 2000. - Вып. 4. - С. 93-101.

10.Шаранхаев И. К. О реализации булевых функций бесповторными формулами в одном базисе // Сибирский мат. журнал. - 2009. - Т. 50, №1. - С. 231-237.

11.Шаранхаев И. К. О булевых базисах второго яруса // Известия вузов. Математика. - 2004. - №3. -С. 81-82.

12. Кириченко К. Д. Слабоповторные булевые функции в некоторых предэлементарных базисах // Иркутский университет. Серия: Дискретная математика и информатика. - Иркутск, 2000. - Вып. 13. - 60 с.