CC BY
9
УДК 517.718.7
Д. В. Кафтан1
О ДЛИНЕ СЕРТИФИКАТА ПОВТОРНОСТИ В НЕКОТОРЫХ РАСШИРЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ БАЗИСАХ
Рассматривается следующая задача: требуется найти такой набор строк (сертификат), с помощью которого можно проверить повторность функций п переменных в заданном базисе. В работе получены нижние логарифмические оценки функции Шеннона длины сертификата для всех функций п переменных в базисах, состоящих из конъюнкции, дизъюнкции, отрицания и одной из монотонных функций Стеценко. Тем самым доказано, что единственным базисом, для которого длина сертификата повторности ограничена константой, является элементарный.
Ключевые слова: бесповторная функция, сертификат повторности, разнозначная матрица.
Будем использовать следующие определения [1]. Булева функция /(х\,..., хп), представимая (не представимая) формулой без повторения переменных (бесповторной формулой) в некотором базисе, называется бесповторной (повторной) в этом базисе. Множество п-мерных булевых наборов Б назовем сертификатом повторности функции / в базисе В, если для любой бесповторной в базисе В функции к существует набор («1,..., ап) € Б, такой, что /(«1,..., ап) ф ¡1(0/1,..., ап).
Преобразованиями обобщенной однотипности называются замена переменной или самой функции на ее отрицание и перестановка переменных. Функции, получаемые друг из друга конечным числом преобразований обобщенной однотипности, называются обобщенно-однотипными.
Двойственной функцией к функции /(х\,... ,хп) называется функция /(х\,...,хп). Самодвойственной называется функция, совпадающая с двойственной ей функцией.
Будем говорить, что функция /(х\,... ,хп) монотонно (антимонотонно) зависит от переменной Хг, если для любого набора значений остальных переменных а\,..., «¿-1, «¿+1; ■ ■ ■ ,схп выполняется следующее неравенство:
/(«1, . . . , «г_1, 0, «г+1, . . . , ап) < /(«1, • • • , «г-1, 1, «г+1,
(/(аь . . . , «г_1, О,
Функция /(ж1,... ,хп) называется поляризуемой, если она монотонна или антимонотонна по каждой из переменных, и неполяризуемой в противном случае. Вектором поляризации функции /(х\,... ,хп) называется набор (а\,...,ап), где а$ = 0, если /(х\,... ,хп) антимонотонна по ж*, и а^ = 1, если монотонна.
Длиной сертификата повторности назовем количество наборов в нем.
Функцией Шеннона [2] длины сертификата повторности функций в базисе В называется максимальная среди повторных в В функций п переменных длина кратчайшего сертификата повторности функции.
Строку или столбец из одних единиц (нулей) будем называть единичными (нулевыми). Обозначим через €-1 строку с одной единицей в г-ш позиции.
Будем называть наследственными базисы, которые содержат все подфункции каждой лежащей в них функции. Конечным называется базис, содержащий конечное число функций.
Далее рассматриваются только конечные наследственные базисы, содержащие немонотонную и нелинейную функции.
Повторная в базисе В функция называется слабоповторной, если любая ее подфункция бесповторна в этом базисе. В. А. Стеценко [3] получил все слабоповторные функции в элементарном базисе В0 = {&, V,-■}. С точностью до преобразований обобщенной однотипности они образуют следующие пять семейств:
= хг(х2 V х3х4 ...х3)У х2х3 ...х3, 5^3,
1 Факультет ВМК МГУ, асп., е-таП: blond.programmistQgmail.com
// = ххх2 ■ ■ -х8 V Ж1Ж2 • • -х8, /4 = ж1(ж2 V ... V х3) V Х2х3 .. ,х3, /4 = хг(х2 V ж3) V Ж3Ж4, /5 = Ж1(Ж2 V Ж3Ж4) V ж5(ж2ж3 V ж4).
Базисов, являющихся объединением _Во и одной слабоповторной в нем функции, всего пять видов — по числу семейств слабоповторных в Ва функций. Для доказательства повторности любой функции в элементарном базисе достаточно предъявить четыре или шесть наборов [4]. Известно, что для доказательства повторности функции п переменных в базисе, содержащем вдобавок к элементарному функцию //, в худшем случае требуется П(п®-1) наборов [5]. Также известно, что функция Шеннона длины сертификата повторности в базисе = {&, V,-!, /|} равна ©(п) [1]. В настоящей работе рассматриваются базисы В^ = В о и {/4}, М/, = В0 и {/4} и И= В0 и {/5}. Обозначим через Т^(п) функцию Шеннона длины сертификата повторности в базисе И*,. Т4(п) — в базисе И/1 и Т5(п) — в базисе Bf5. Покажем, что они имеют нижние логарифмические оценки.
Утверждение 1. Если длина сертификата повторности для функций из семейства при п ^ оо не ограничена константой в базисах В^, В^ и ни в одном из В*,. то Ва — единственный базис, в котором длина сертификата повторности любой функции ограничена константой.
Доказательство. Сертификатом повторности в базисах Т4(п), Т5(п) и для неполяризуемых слабоповторных функций являются любые 4 набора, на которых нарушается поляризуемость, так как все функции, бесповторные в В^, и поляризуемы. Количество поляризуемых слабоповторных в Ви, и В^ функций, отличных от функций вида конечно [6-8]. Поэтому сертификат повторности у них также ограничен константой. Остается невыясненным вопрос о наличии такой оценки для функций вида Если ее нет, то ее нет и у соответствующей функции Шеннона.
Любой базис, содержащий Ва и повторные в Ва функции, содержит хотя бы одну слабоповторную в Ва функцию. Функции /| и повторны в любом базисе, содержащем функции менее 5 переменных, в силу их неразложимости. Длина сертификата повторности функции монотонна по расширению базиса. Таким образом, если одно из этих семейств не имеет константной оценки длины сертификата повторности при п оо в базисе, содержащем вдобавок к Ва некоторую слабоповторную функцию, то длина сертификата повторности для этого семейства в любом базисе, содержащем эту функцию, также не будет ограничена константой. В [1, 5] показано, что в базисах, содержащих вдобавок к В0 функцию вида // или не будет ограничена длина сертификата повторности функций семейства при п ^ оо. Если длина сертификата повторности для функций из семейства при п оо не ограничена константой в базисах, содержащих вдобавок к В0 одну из монотонных слабоповторных в В0 функций, то длина сертификата повторности не ограничена константой ни в одном из базисов, содержащих Ва и хотя бы одну повторную в нем функцию. Следовательно, Ва — единственный базис, в котором длина сертификата повторности любой функции ограничена константой.
Утверждение 2. Если {а,1,...,а^} — сертификат повторности поляризуемой функции /(х\,... ,хп) в базисе В, то сертификатом повторности функции /(х\,... ,х„) также будет множество {«1, . . . , «/;}.
Доказательство. Допустим, это не так и существует бесповторная в В функция д, совпадающая с / на {«1,...,«/;}. Тогда бесповторная в В функция д совпадает с / на этих наборах, что противоречит тому, что {«1,..., а^} — сертификат повторности функции /.
Утверждение 3. У любой функции, бесповторной в В В ^ или В^, существует бесповторная формула с поднятыми отрицаниями.
Доказательство. Легко заметить, что
/4(Ж1,Ж2,ЖЗ,Ж4) = /4(ЖЗ,Ж2,Ж1,Ж4), /б(ж1, х2, х3, ж4, х5) = /5(хи х5, х3, х4, х2),
а /4 самодвойственная. Используя эти свойства и правила де Моргана, из любой бесповторной в В^,
или В'чт формулы можно получить бесповторную в соответствующем базисе формулу с поднятыми отрицаниями.
Утверждение 4. Если {а,1,...,а^} — сертификат повторности монотонной функции f{xl, ...,хп) в монотонном базисе В, где В — один из базисов Вг, \ В}ъ \ или В^ \ то сертификатом повторности функции вида /(х^1,... ,х°п) в базисе В' = В и будет любое множество наборов Б, удовлетворяющее следуют,им условиям: 1) оно содержит подмножество
{/01,... ,/3/г}, где Д получается из щ возведением ]-й компоненты в степень 2) для каждой переменной Хг множество Б содержит соседние по х^ наборы, на которых реализуется подфункция х^ или Хг.
Доказательство. Зафиксируем некоторое множество Б, удовлетворяющее условиям 1, 2. Допустим, что оно не является сертификатом повторности для функции /(х^1,..., х°п) в В' и существует бесповторная в В' функция д(х 1,... ,хп), совпадающая на Б с /(ж^1,..., х°п). Согласно условию 2, вектор поляризации нам известен. Покомпонентным возведением наборов Б в соответствующую степень, получим множество, содержащее {«1,... Функция д(ха11,..., х^п) монотонна, что видно по набо-
рам из условия 2, и бесповторна в В, так как в силу утверждения 3 из ее бесповторной в В' формулы можно получить формулу с поднятыми отрицаниями, которая в силу монотонности функции будет бесповторной в В формулой. Таким образом, получаем, что бесповторная в В функция д(хс[1,... ,х°п) совпадает на {«1,...с /(х\,..., хп), что противоречит условию.
Утверждение 5. При достаточно больших п верны неравенства
Т4(п) < 2п, Т5(п) < 2п, Т*п(п) < 2п.
Доказательство. Сертификатом повторности монотонной функции (ж1,...,хп) в базисах И/1 и И/: является множество наборов
5 = {еь 61 Ф е2, • • •, в! Ф еп, 1 Ф еь 1 Ф в! Ф е2,..., 1 Ф ег Ф еп},
содержащее 2п наборов, так как по нему легко устанавливается монотонность функции по каждому аргументу и оно содержит все верхние нули и нижние единицы функции. Произвольная функция семейства /4, зависящая от п переменных, имеет вид (ж^1,... ,х°п), так как самодвойственная. Для множества, полученного покомпонентным возведением наборов множества Б в степени а\,... ,ап, получается множество, удовлетворяющее условиям 1, 2 утверждения 4. Действительно, условие 1 выполнено по построению, а условие 2 следует из того факта, что множество Б для каждой переменной х^ содержит соседние наборы, на которых реализуются подфункции х^ или х%. Следовательно, для любой обобщенно-однотипной с функцией существует сертификат повторности длины 2п. Как было упомянуто выше, длина сертификата для остальных слабоповторных функций ограничена константой. Из этого следует линейная верхняя оценка 2п для Т4(п),Т5(п) и Т;вп при достаточно больших п.
Далее все логарифмы будем считать по основанию 2.
Функция является повторной в базисах В*п [6] (при п ф «), Bf4 |7] и И[8]. Докажем, что:
1) функцию нельзя отличить от всех функций, представимых бесповторными формулами над В*,.
предъявив менее |~к^(п — 1)] + 1 наборов;
2) функцию нельзя отличить от всех функций, представимых бесповторными формулами над _В/4,
предъявив менее |~к^(п — 1)] наборов;
3) функцию нельзя отличить от всех функций, представимых бесповторными формулами над .
предъявив менее |~к^(п — 1) — к^З] + 1 наборов.
Для этого используем подход, аналогичный методу разнозначных матриц [9]. Назовем (0,1)-матрицу размерности к х п матрицей нулей (матрицей единиц) функции /(х\,... ,хп), если строки матрицы различны и /(а\,..., агп) = 0 (/(а\,..., агп) = 1) для всех строк аг матрицы. Тогда будем говорить, что функция /(ж1,..., хп) равна нулю (единице) на этой матрице. Две матрицы с равным числом наборов назовем двойственными, если они состоят из попарно противоположных наборов. Будем говорить, что функция / совпадает с двойственной функцией на матрице М, если на М и двойственной ей матрице она равна противоположным значениям. Заметим, что такая функция не обязательно является самодвойственной.
Замечание 1. Отметим, что функция /4 совпадает с двойственной ей функцией на наборах (0000), (0001), (0100), (0101), (0010), (1000) и равна нулю на них.
Лемма 1. Пусть п ^ 4 и к < к^(п — 1). Тогда для произвольной матрицы М размерности (к — 1) х п с нулевым первым столбцом, не содержащей строк вида (0,1,..., 1), существует бесповторная в функция д(х 1,..., хп), такая, что д(0,1,..., 1) = 1, д( 1, 0,..., 0) = 0, а также равная нулю на матрице М и совпадающая на ней с двойственной функцией.
Доказательство. Базис индукции. Пусть 4 ^ п ^ 7. Тогда к ^ 2 и матрица М содержит не более одной строки. Так как матрица не содержит строк (0,1,..., 1), то искомой функцией будет некоторая переменная.
Индуктивный переход. Пусть п > 7 и для всех п' < п (где п' > 3) утверждение леммы выполнено. При к < log(п — 1) среди п — 1 последних столбцов М найдется три одинаковых столбца. Тогда возможны два случая.
1. Пусть эти столбцы состоят из одних единиц. Возьмем любую строку, содержащую хотя бы один нуль в столбцах х2,...,хп. Такая обязательно найдется, так как матрица не содержит строк (0,1,...,1). Обозначим через х2 столбец, в котором эта строка равна нулю, и хз, х4 — два единичных столбца. Построим матрицу М' из Л/. удалив столбцы х2, хз, х4 и строки, на которых f4(x2, 0, 0, 0) = f4(x2, 0,1, 0) = 0, т. е. все строки, где х2 = 0. Пусть п' — число столбцов матрицы М', а к' — количество строк. Тогда
п' = п- 3, п > 4; к' ^ к - 1 < log(n - 1) - 1 < log(n - 4) = log(n' - 1)
при п > 7. Матрица М' не содержит строк (0,1,..., 1). Следовательно, по предположению индукции существует бесповторная в Bf4 функция g'(yi,..., yn')i такая, что д'(0,1,... ,1) = 1, д'(1, 0,..., 0) = 0, а также равная нулю на матрице М' и совпадающая на ней с двойственной функцией. Рассмотрим функцию gi(xi,... ,хп) = f4(x2,xi,g'(x4,x5,.. ,,хп),х3):
<7i(0) 1,..., 1) = /4(1,0,1,0) = 1, 51(1,0,..., 0) = f4(0,1, о, 1) = о,
gi(0,x2, ...,хп) = /4(х2,0,0,0) = /4(х2,0,1,0) = 0
на строках матрицы М, на которых х2 = 0. Так как в М' по построению входят только те подстроки строк из М, в которых х2 = 1, а д' равна нулю на любом наборе из М', то
gi (0,1,х3, ...,хп)= д i(0,1,1,1,ж5, ...,хп) = /4(1, 0,0,0) = 0
для любого набора из М, в котором х2 = 1. Таким образом, функция д\(х\,..., хп) = 0 на любом наборе из М, и, согласно замечанию 1, совпадает на М с двойственной функцией. Следовательно, д\ является искомой.
2. Пусть найденные столбцы не являются единичными. Обозначим их через х2, х3, х4. Построим матрицу М' из матрицы М, удалив столбцы х2, х3, х4 и строки, на которых
/4(0, х2, 0, х3) = /4(0, х2,1, х3) = 0.
Если после удаления появились одинаковые строки, то оставляем в матрице только одну из них. Пусть п' — число столбцов матрицы М', а к' — количество строк. Тогда
п' = п- 3, п > 4; к' ^ к - 1 < log(n - 1) - 1 < log(n - 4) = log(n' - 1)
при п > 7. Матрица М' не содержит строк (0,1,..., 1). Следовательно, по предположению индукции существует бесповторная в Bf4 функция g'(yi,..., уп>), такая, что ^'(0,1,..., 1) = 1, д'(1, 0,..., 0) = 0, а также равная нулю на матрице М' и совпадающая на ней с двойственной функцией. Рассмотрим функцию д2(х i,... ,хп) = f4(xi,x2,g'(x4,x5,.. ,,хп),х3):
д2(0,1,..., 1) = /4(0,1,1,1) = 1, д2( 1, 0,..., 0) = /4( 1, 0, 0, 0) = 0,
д2(0, х2,..., хп) = /4(0, х2, 0, х3) = /4(0, х2,1, х3) = 0
на строках матрицы М, на которых х2 = х3 = 0. Так как в М' по построению входят только те подстроки строк из М, в которых х2 = х3 = 1, а д' равна нулю на любом наборе из М', то 52(0,1,1,1 , Ж5, • • • , Хп ) = /4(0,1,0,1) = 0 для любого набора из М, в котором х2 = х3 = 1. Таким образом, функция g2(xi,..., хп) = 0 на любом наборе из М, и, согласно замечанию 1, совпадает на М с двойственной функцией. Следовательно, д2 является искомой. Лемма доказана.
Замечание 2. Отметим, что функция /5 совпадает с двойственной ей функцией на наборах
(00000), (00001), (00010), (00100), (00101), (00110), (01000), (01001), (10100), (01100), (10010), (10000)
и равна нулю на них.
Лемма 2. Пусть п ^ 5 и к < log(n — 1) — log 3 + 1. Тогда для произвольной матрицы М размерности (к — 1) х п с нулевым первым столбцом, не содержащей строк вида (0,1,..., 1), существует бесповторная в Hj: функция д(х\,..., хп), такая, что д(0,1,..., 1) = 1, д( 1, 0,..., 0) = 0, а также равная нулю на М и совпадающая на ней с двойственной функцией.
Доказательство. Базис индукции. Пусть 5 ^ п ^ 8. Тогда к ^ 2 и матрица М содержит не более одной строки. Так как матрица не содержит строк (0,1,..., 1), то искомой функцией будет некоторая переменная.
Индуктивный переход. Пусть п ^ 9 и для всех п' < п (где п' > 4) утверждение леммы выполнено.
При к < log(п — 1) — log3 + 1 среди последних п — 1 столбцов М найдутся четыре одинаковых столбца. Обозначим их через х2, хз, Тогда возможны два случая.
1. Пусть эти столбцы состоят из одних единиц. Возьмем любой неединичный столбец. Обозначим его через х§. Построим матрицу М', удалив из М столбцы х2, хз, х§ и строки, на которых /б(0, Жб, хз, х2, 0) = /5(0, хв, хз, х2,1) = 0. Пусть п' — число столбцов матрицы М', а к' — количество строк. Тогда
п' = п — 4, п > 5; к' ^ к — 1 < log(n — 1) — log 3^2^ log(n — 5) — log 3 — 1 = log(n' — 1) — log 3 — 1
при n ^ 9. Матрица M' не содержит строк (0,1,..., 1). Следовательно, по предположению индукции существует бесповторная в Bf5 функция g'(yi,..., уп>), такая, что д'(0,1,..., 1) = 1, д'(1, 0,..., 0) = 0, а также равная нулю на матрице М' и совпадающая на ней с двойственной функцией. Любая строка из М в таком случае имеет вид (1,1,1,1, 0, a-j,..., ап) или (1,1,1,1,1, а7,..., ап). Тогда искомой функцией будет д3(х ь ...,хп) = fb(xi, ж6, х3, х2, д'(х4, х5, х7,.. .,хп)). Действительно,
5>3(0,1,1,1,1,0, а7, ...,«„) = /5(0,0,1,0,5>'(0,1, «7,.. .,«„)) = 0, 5з(0,1,1,1,1,1,«7, ...,ап) = /5( 0,1,1,0,5'(0,1, «7,.. .,«„)) = /5( 0,1,1,0,0) = 0,
5з(0,1,..., 1) = /5(0,1,1, 0, д'{0,1,1,..., 1)) = /5(0,1,1, 0,1) = 1,
5з(1,0,..., 0) = /5( 1,0,0,1, д'( 1,0,0,..., 0)) = /5( 1,0,0,1,0) = 0,
и 9з(х1, ■ ■ ■, х„) совпадает на М с двойственной функцией в силу замечания 2.
2. Пусть найденные столбцы неединичные. Построим матрицу М', удалив из М столбцы х2, хз,
ж5 и строки, на которых /б(жг, 0, хз, Х4, 0) = /б(жг, 0, хз, Х4,1) = 0. Аналогично предыдущему случаю существует бесповторная в В/5 функция д'(yi,... ,уп>), такая, что д'(0,1,..., 1) = 1, д'(1, 0,..., 0) = 0, а также равная нулю на матрице М' и совпадающая на ней с двойственной функцией. Любая строка из М в таком случае имеет вид (0, 0, 0, 0, «6,..., ап) или (1,1,1,1, а6,..., ап). Тогда искомой функцией является 54(^1,..., хп) = /б(жг, х,\, хз, д'(х5, x,q, ..., хп)). Действительно,
54(0,0,0,0,0, а6, ...,«„) = /5(0,0,1,0, д'(1, «6,.. .,«„)) = 0, 54(0,1,1,1,1, «6, ...,«„) = /5(1,0,0,1,д'(0,ае,.. .,«„)) = /5(1,0,0,1,0) = 0, 54(0,1,..., 1) = Ml, 0, 0,1, д'{0,1,..., 1)) = /5( 1, 0, 0,1,1) = 1,
54(1,0,..., 0) = /5(0,1,1,0, д'{ 1,0,..., 0)) = /5(0,1,1,0,0) = 0,
и 54(^1,..., хп) совпадает на М с двойственной функцией в силу замечания 2. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть п> s и к < log(n — 1) + 1. Тогда для произвольной матрицы М размерности (к — 1) х п с нулевым первым столбцом, не содержащей строк вида (0,1,..., 1), существует бесповторная в В'гП самодвойственная функция д(х\,..., хп), равная единице на наборе (0,1,..., 1) и нулю на матрице М.
Доказательство. Базис индукции. Пусть k ^ п < 2s. Так как п < 2s и к < log(п — 1) + 1, то к ^ s при s ^ 3. Выберем для каждой строки по одному столбцу из п — 1 последних столбцов с нулем в этой строке. Это возможно, так как М не содержит строк (0,1,..., 1). Обозначим эти столбцы через Xi1,...,Xit. Очевидно, t < к ^ s. Тогда /4(^1, ж^,... ,Xit,x:¡1,... ,Xjs_t), где ж^,..., x:¡s_t —любые оставшиеся столбцы, будет искомой функцией.
Индуктивный переход. Пусть п ^ 2s и для всякого п' < п (где п' > s) утверждение леммы выполнено.
Пусть в М всего t ^ s столбцов, содержащих нули. Если t < s, то добавим к ним произвольные s — t столбцов. Не ограничивая общности, допустим, что эти столбцы первые. Так как все строки в М различны и не равны (0,1,..., 1), то в любой строке найдется хотя бы два нуля в выбранных столбцах. Тогда ,xs) будет искомой функцией.
Пусть в М больше s столбцов, содержащих нули. Так как к < log(п — 1) + 1, а количество разных столбцов длины к — 1 равно 2fc_1 < п — 1, то среди п — 1 последних столбцов матрицы найдутся два
одинаковых столбца. Без ограничения общности пусть это будут столбцы х2 и Тогда возможны два случая.
1. Если эти столбцы состоят из одних единиц, то возьмем любой ненулевой и неединичный столбец. Так как строки различны, такой столбец существует. Пусть это будет столбец х4. Возьмем любые s — 4 столбца, отличные от уже выбранных столбцов. Не ограничивая общности, допустим, что это столбцы x5,...,xs. Построим матрицу М', удалив из М столбцы {х2,... ,xs} и строки, в которых хотя бы одна из переменных {ж4,... , ж8} равна нулю. Так как х4 неединичный, то найдется хотя бы одна такая строка. Пусть п' — число столбцов матрицы М', а к' — количество строк. Тогда
п' = п - s + 1, п ^ s + 1; к' ^к - 1 < log(n - 1) = log(n' + s - 1) < log(n' - 1) + 1
при n 2s. Матрица M' не содержит единичных строк. Тогда по предположению индукции существует бесповторная в В^ самодвойственная функция g'(yi, ■ ■ ■ ,,уп')-, такая, что д'(0,1,..., 1) = 1 и g'(yi, ■ ■ ■,уп') равна нулю на матрице М'. Тогда искомой функцией является
9b{x\i ■ ■ ■, хп) = /то(ж 1, Ж3,..., xs, д (х2, xs+i,..., хп)).
Действительно, в любой строке либо одна из переменных {жз,...,ж8} равна нулю, либо равна нулю функция д', и тогда функция д5 равна нулю на всех строках матрицы М и является самодвойственной. Также верно, что
//5(0.1, • • •, 1) = /4(0,1, • • •, !.//'((>. 1, • • •, 1)) = /4(0,1, • • •, 1,1) = 1.
2. Пусть найденные столбцы неединичные. Добавим к ним любые s — 3 столбца. Без ограничения общности пусть это будут столбцы xi,...,xs. Построим матрицу М', удалив из М столбцы {х2,..., ж8} и строки, на которых хотя бы одна из переменных {жз,..., ж8} равна нулю. Аналогично предыдущему случаю существует бесповторная в В^ самодвойственная функция g'(yi, ■ ■ ■,уп')-, такая, что д'(0,1,..., 1) = 1 и д'(0, у2,..., у„/) равна нулю на матрице М' и является самодвойственной. Тогда искомой функцией, так же как и в предыдущем случае, является д5. Лемма доказана.
Л е м м а 4. Пусть п ^ 4 и к < log(n^l). Тогда для произвольных к наборов функции х\,..., х„) существует бесповторная в /i/, функция g(х\,... ,жп), совпадающая с /^ на этих наборах.
Доказательство. Пусть А = {«i,...,«/;} — множество наборов функции f^(xi,...,хп). Рассмотрим два случая.
1. Множество А не содержит хотя бы одного из наборов (0,1,..., 1) или (1,0, ...,0). Тогда Шхъ ■ ■ ■ 1 хп ) на А совпадает с функцией ж!&(ж2 V ... V Хп) или Ж1 V x2Sz ... Szxn.
2. Множество А содержит оба набора — (0,1,..., 1) и (1, 0,..., 0). Построим множество А' из наборов множества А с нулем в первой позиции, кроме набора (0,1,..., 1), и наборов, противоположных наборам с единицей в первой позиции, кроме набора (1, 0,..., 0). Очевидно, что мощность множества А' не превосходит к — 1 и все его наборы имеют 0 в первой позиции. Составим матрицу М из наборов множества А'. Тогда, по лемме 1, существует бесповторная в BfA функция д(х\,... ,хп), равная нулю на наборе (0,1,..., 1), единице на наборе (1,0,..., 0), а также равная нулю на М и совпадающая на ней с двойственной функцией. Нетрудно заметить, что д равна нулю на всех наборах А, содержащих нуль в первой позиции, и единице на всех наборах, содержащих единицу в первой позиции, кроме наборов (0,1,..., 1) или (1,0,..., 0) соответственно. Таким образом, функция g(xi,..., хп) совпадает
) на наборах множества А. Лемма доказана. Лемма 5. Пусть п ^ 5 и к < log(n — 1) — log3 + 1. Тогда для произвольных к наборов функции Шхъ ■ ■ ■ 1 хп
) существует бесповторная в Hj: функция g(xi,... ,хп), совпадающая с /™ на этих
наборах.
Доказательство. Проведем доказательство аналогично лемме 4: построим матрицу М и, применив к ней лемму 2, получим искомую функцию.
Замечание 3. Если две самодвойственные функции совпадают на наборах {а1,... ,ап}, то они совпадают и на множестве наборов {а1,..., ап, а1,..., осп }. Для любого к функция /^ является самодвойственной.
Лемма 6. Пусть п > s и к < log(n — 1) + 1. Тогда для произвольных к наборов функции
fm(x 1' ' ' ' ' хп
) существует бесповторная в Вфункция g(xi,... ,хп), совпадающая с /™ на этих
наборах.
Доказательство. Проведем доказательство аналогично лемме 4: построим матрицу М и, применив к ней лемму 3 и замечание 3, получим искомую функцию.
Из леммы 4 следует
Теорема 1. Для функции Шеннона Т4(п) длины сертификата повторности в базисе {&, V, -i, /4} справедлива следующая ниэюняя оценка,'. (п) ^ log(n — 1).
Из леммы 5 следует
Теорема 2. Для функции Шеннона Т5(п) длины сертификата повторности в базисе {&, V, -i, /5} справедлива оценка снизу: Т5(п) ^ log(n — 1) — log3 + 1.
Из леммы 6 следует
Теорема 3. Для функции Шеннона T^(n) длины сертификата повторности в базисе {&, V, ~~Ь /то} пРи п > s справедлива оценка снизу: Т;^п{п) ^ log(n — 1) + 1.
Из теорем 1-3 и утверждения 1 следуют
Теорема 4. Базис BQ является единственным базисом, содержащим как нелинейные, так и немонотонные функции, в котором длина сертификата повторности ограничена сверху константой.
Теорема 5. Для любого базиса, содержащего вдобавок к BQ произвольную слабоповторную функцию, справедлива, начиная с некоторого п, следующая оценка функции Шеннона длины сертификата повторности: Т(п) ^ log(n — 1).
Вопрос о наличии более высоких нижних оценок функций Шеннона Т4(п), Т5(п) и длины
сертификата повторности для базисов В^, Bf4 и Bf5 остается открытым.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вороненко A.A. О функции Шеннона для длины сертификата повторности булевых функций в одном семействе базисов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2013. № 4. С. 45-47. (Voronenko A.A. On the Shannon function for read-many certificate length in one base family // Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 2013. 37. N 1. P. 26-27.)
2. Shannon C.E. A symbolic analysis of relay and switching circuits // Trans. AIEE. 1938. 57. P. 713-723.
3. Стеценко В. А. О предплохих базисах в Р? // Математические вопросы кибернетики. Вып. 4. М.: Физ-матлит, 1992. С. 139-177.
4. Вороненко А. А., Федорова В. С., Чистиков Д. В. Повторность булевых функций в элементарном базисе // Известия вузов. Математика. 2011. № 11. С. 72-77.
5. Chistikov D., Fedorova V., Voronenko A. Certificates of non-membership for classes of read-once functions // Fundamenta Informaticae. 2014. 132. N 1. P. 63-77.
6. ШаранхаевИ.К. О бесповторных булевых функциях в предэлементарных монотонных базисах // Дискретная математика. 2009. 21. № 2. С. 88-93.
7. ШаранхаевИ. К. О булевых базисах второго яруса // Известия вузов. Математика. 2004. № 3. С. 81-82.
8. ШаранхаевИ. К. О слабоповторных булевых функциях в одном предэлементарном базисе // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 1. 2003. 10. № 2. С. 79-101.
9. Вороненко А. А. О сложности доказательства повторности булевых функций в бинарном базисе // Прикладная дискретная математика. 2011. № 3(13). С. 12-16.
Поступила в редакцию 10.12.14
ON THE LENGTH OF READ-MANY CERTIFICATE OVER EXTENDED ELEMENTARY BASES Kaftan D. V.
We consider a problem how to find a read-many certificate for an arbitrary Boolean function / in a given basis. We prove logarithmic lower bounds for Shannon function of certificate length in any extended basis. So the elementary basis is the only one, having a constant upper bound for the certificate's length.
Keywords: read-once function, read-many certificate, matrix of various values.
