Об одной разностной схеме для моделирования кильватерных волн в плазме Текст научной статьи по специальности «Математика»

8. Нгуен Т.З., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых невырожденных гамильтонианов на изоэнергетической трехмерной сфере // Успехи матем. наук. 1990. 45, № 6. 91-111.

9. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые геодезические потоки на сфере, порожденные системами Горячева-Чаплыгина и Ковалевской в динамике твердого тела // Матем. заметки. 1994. 56, № 2. 139-142.

10. Bolsinov А. V., Fomenko А. Т. Application of classification theory for integrable Hamiltonian systems to geodesic flows on 2-sphere and 2-torus and to the description of the topological structure of momentum mapping near singular point //J. Math. Sci. 1996. 78, N 5. 542-555.

11. Болсинов А.В., Матвеев B.C., Фоменко А. Т. Двумерные римановы метрики с интегрируемым геодезическим потоком. Локальная и глобальная геометрия // Матем. сб. 1998. 189, № 10. 5-32.

12. Болсинов А.В., Козлов В.В., Фоменко А. Т. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случаев динамики твердого тела // Успехи матем. наук. 1995. 50, № 3 (303). 3-32.

Поступила в редакцию 24.06.2014

УДК 519.6

ОБ ОДНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЕ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ КИЛЬВАТЕРНЫХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ

А. А. Коник1, Е. В. Чижонков2

В статье приводится реализованная методом конечных разностей схема для решения системы нелинейных уравнений в частных производных, описывающей трехмерную аксиально-симметричную плазменную кильватерную волну; представлены результаты расчетов динамики кильватерной волны вплоть до опрокидывания.

Ключевые слова: метод конечных разностей, плазменная кильватерная волна, нелинейные уравнения в частных производных.

The article presents a scheme implemented by the finite difference method for solving a system of nonlinear partial differential equations describing a three-dimensional axial symmetric plasma wakefield. The results of calculations of dynamics of the wakefield until breaking are also obtained.

Key words: finite difference method, plasma wakefield, nonlinear partial differential equations.

Введение. Рассмотрим систему дифференциально-алгебраических уравнений с частными производными

F(x) = у, (1)

где х = х(р, г]) = (q,(p,ip,ry)T — вектор неизвестных, у = (0,0,0, |а|2/4) — заданная правая часть, F = = (/i, /2, /3, /4)71 — нелинейный оператор:

д^гф д^гф ^ Q C)Q 1

fl = q+d^+q<p' h = /з = -Q-2+-—P—-M+V+1+V1, и = 7-7^+2 1>2 + <?2] •

Здесь использовано обозначение А = -77- ( ртг ) для радиальной части оператора Лапласа.

pop \ ор)

Система (1) описывает в безразмерном виде распространение аксиально-симметричной кильватерной волны в холодной идеальной релятивистской электронной жидкости (плазме), инициированной лазерным импульсом с заданной амплитудой (так называемой огибающей)

Г р2 V2]

а(р,г]) = а*ехр|--^ - . (2)

1 Коник Анастасия Алексеевна — асп. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nastasya-konikQyandex .ru.

2 Чижонков Евгений Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chizhonkQmech.math.msu.su.

Параметры импульса а*, р*, фактически определяют геометрические размеры области, в которой рассматривается решение начально-краевой задачи для уравнений (1). Эти уравнения записаны в координатах, связанных с импульсом (см., например, [1]), поэтому интегрирование по переменной г] ведется в направлении ее убывания; центр импульса, считающийся неподвижным, зафиксирован в начале координат (р = г? = 0).

Уравнения (1), (2) рассматриваются в области П = {(р, т]) : 0 ^ р < ртах,г] < ??тах} , где величины ртах и г?тах определяют границу невозмущенной плазмы. Например, если кильватерная волна задается функцией вида (2), достаточно положить 4 ^ ртах/Р* ^ 4,5, 4 ^ г]та^ 4,5. Исходные уравнения (1) содержат частные производные, поэтому должны быть снабжены начальными и краевыми условиями:

при г] = г]тах задано состояние покоя (невозмущенная плазма)

дф

Я = <р = ф = — = 7 = 0 V 0 ^ р ^ ртах ;

ОТ]

при р = 0 заданы условия аксиальной симметрии

дю дф ¿К

= 1Ш1 р— = 1Ш1 р— = Ит р— = 0 V Г] ^ г?тах ; р->о г др р->о г др р->о ' др

при р = ртах задано условие невозмущения плазмы

д = (р = ф = 7 = 0 V Г/ ^ Г]тах •

(3)

(4)

(5)

Задача (1)^(5) обладает известной спецификой [2]: аксиально-симметричная кильватерная волна, возбуждаемая лазерным импульсом вида (2), рано или поздно опрокидывается. Система (1) записана в эйлеровых переменных, поэтому опрокидывание соответствует уходу в бесконечность возмущения электронной плотности N(p, rj) = <р + 7 + .

Изучим свойства оператора F в системе (1). Сначала разделим линейную и нелинейную составляющие так, что (1) преобразуется к виду

Здесь Fra = (/", f '2, f2)T """"""""' нелинейная часть:

F^x + Fra(x) = у, F = Fl + Fn .

Затем проведем первую факторизацию линейной части. Справедливо

Утверждение 1. Оператор Ег допускает представление в виде ¥1 = Ь К, где Ь — нижнетреугольный, а К — верхнет,реуголъны,й операторы:

L

0

1д_ д_

р др^дг] 0

0 о\ (lO

0 0 , R = 01

I 0

0 0(1

0 I) \0 0

д2

дрдг] А-/

чдг]2 0

0 0

\

+1)1-А

I J

Важным следствием утверждения является возможность придать уравнениям (1) более удобную форму

Кх = Ь-1(у-¥п(х)), (6)

которая вытекает из обратимости невырожденного матричного оператора Ь по явным формулам. Проведем вторую факторизацию линейной части задачи, т.е. оператора К. Справедливо Утверждение 2. Оператор К в (6) допускает, представление в виде

R = DR,

(7)

где D — диагональный, а R — верхнетреугольный операторы:

D

// 0 0 0\ 0/0 0 00/-АО

Voo 0 //

R =

дрдг] О/ А — / О

д2

оо^— + // \0 0 О IJ

Следует отметить, что обращение оператора D существенно опирается на решение краевой задачи вида

19/ Qu \ Qu

(/ - А)и = —— р— + и = g{p), lim р— = 0, -u(pmax) = 0 (8)

рор \ ар) /э—>о ар

с некоторой заданной функцией д(р), причем д(р) = 0 в (8) соответствует только тривиальное решение.

Факторизация (7) позволяет придать уравнениям (1) искомую форму:

Ex = D-lL~\y - Fra(x)) = у - Gra(x), (9)

где нелинейный оператор Gn = (gi, д2,9з, имеет вид

/ 19 9 \ 1

9i = q<f, 92 = -vi1, 9з = (1 - А)-1 i цуф - -—p—qtp + tpjj , д4 = -7ф + - [ф2 + q2] .

Разностная схема в линейном случае. Изложим алгоритм решения уравнений (9) в предположении малости нелинейных слагаемых.

Введем равномерную сетку по переменной г? так, что rf = rjmax + jr, j = 0,-1,-2,.... Решение уравнения Rx = у реализуется в три этапа:

I 12

1) вычисление 7J(p) = aJ(p) /4;

2) интегрирование задачи Коши для линейного уравнения -ф" + ф + 7 = 0, которое следует проводить по схеме

= ""'О-*<'>+ ум = о.

г г

(10)

основанной на сведении к двум уравнениям первого порядка, так как это существенно уменьшает влияние вычислительной погрешности;

3) вычисление при необходимости по явным формулам величин

Схема (10) эквивалентна стандартной схеме второго порядка точности относительно т.

Для завершения описания линейной схемы следует определить дискретизацию по переменной р: основная сетка рт = т/г, 0 ^ т ^ М, Мк = ртах; все функции, кроме q, определим в узлах основной сетки, а функцию q определим в смещенных на —0, 5 к узлах, что будем отмечать дробными по т индексами. Краевое условие q{0) = 0 V г]3 определим в виде ¿1/2 + З1/2 = ^ V ^ 0. Для радиальной части оператора Лапласа во внутреннем узле рт (0 < т < М) будем применять обычную аппроксимацию

А hf„

1 1

Рт

fm+1 fn

h Vm+l'2 h

Рт-1/2

fm jm—1 ~h

а на оси симметрии при ро = 0 — ее предел для четных функций А /о = —т (/1 — /о) ■

/г

Нелинейная разностная схема. Новая разностная схема, базирующаяся на соотношениях (9),(10), может быть представлена в виде

Rxj = yj - Gn(Zj),

(П)

где х-7 = р-*, грз, ■ Порядок аппроксимации по переменной т понижается до первого. Зато

все вычисления на шаге с номером j проводятся по явным формулам, за исключением однократного решения задачи вида (8).

Приведем алгоритм реализации предложенной схемы по шагам: 1) вычисление фт и <рЬг:

Фт Фт _ Т

- в^ =0 и? = Ф>1г ~ Агр3т

Ут и ) Ч"т

1 -Ф,

2) вычисление 7тш.

гуЗ —

1т

] Ч'пг

+

Ш2 + (С~1/2У^1/2)2

1 -ф\

3 '

т

3) вычисление правой части для задачи (8):

9т = ФтФт + </4 7т

1

д

р Т^УР

Рт Л' \ д'Г]

Р=Рт+1/2

д

Р=Рт-1/2,

4) решение сеточной задачи (8) определение вспомогательной функции ат: (I — А!г)ат = дт;

5) вычисление рт'-

Рт ~ Рт . ?' , / 7 I п

- + Тт + Фт + = 0;

Т

6) вычисление на сдвинутой сетке

Рт — Рт-1 Фт + Фт- \

1т-1/2+ ^ т«т-1/2 2

Все вычисления для временного слоя с номером j завершены.

+ С-1

0.

Рис. 1. Возмущенно плотности электронов Л^в при р = 0 и максимум по области П возмущения плотности электронов Мтах

Рис. 2. Радиальные распределения электронного импульса </ и градиента потенциала grad'0 в момент образования второго вне-осевого максимума электронной плотности

На рис. 1 представлена динамика возмущения плотности электронов при а,* = 0, 352, р* = 0, 6, Ртах = 2,7, и = 3,5, г?тах = 11, на рис. 2 изображены сечения по радиусу электронного импульса и градиента потенциала при тех же значениях параметров в момент образования второго внеоее-вого максимума плотности. Из рисунков следует, что предложенная схема позволяет производить моделирование как регулярной части кильватерной волны, так и ее нерегулярной части, т.е. вплоть

до опрокидывания. Результаты моделирования, полученные с помощью схемы (11), сравнивались с расчетами по методу конечных разностей, построенному ранее авторами в работе [3]. В регулярной части кильватерной волны, т.е. до формирования в решении первого внеосевого максимума электронной плотности, полученные обоими способами данные практически неразличимы. Основным преимуществом данной схемы является ее эффективность. Приведенный вариант рассчитывается на СКИФ МГУ "Чебышёв" на фиксированной сетке h = 1/3200, т = 1/64000 около двух часов, что превосходит примерно на порядок схему из [3]. Отсюда следует, что для численного исследования становятся доступными более сложные задачи, например связанные с учетом эффектов движения ионов или отличием скорости импульса от скорости света. Также представляется перспективным переход к пространственно-двумерным постановкам задач.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Andreev N.E., Chizhonkov E.V., Gorbunov L.M. Numerical modelling of the 3D nonlinear wakefield excited by a short laser pulse in a plasma channel // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1998. 13, N 1. 1-11.

2. Фролов A.A., Чижопков E.B. Опрокидывание кильватерной волны, возбуждаемой в разреженной плазме узким лазерным импульсом // Физика плазмы. 2011. 37, № 8. 711-728.

3. Chizhonkov E.V., Gorbunov L.M. Numerical modelling of ion dynamics in 3D nonlinear wakefield // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2001. 16, N 3. 235-246.

Поступила в редакцию 21.11.2014

УДК 519.765

О СЛОВАХ, ИЗБЕГАЮЩИХ КВАДРАТОВ С ОДНОЙ ВОЗМОЖНОЙ ОШИБКОЙ ЗАМЕЩЕНИЯ

Н. В. Котляров1

Статья посвящена некоторым вопросам, связанным с существованием периодических структур в словах из формальных языков. Рассматриваются квадраты, т.е. фрагменты вида хх, где х — произвольное слово, и квадраты с одной ошибкой — фрагменты вида ху, где слово х отличается от слова у на одну букву. Устанавливается существование сколь угодно длинных слов, не содержащих квадратов с длиной больше lo и квадратов с одной ошибкой и длиной больше 1\ в зависимости от натуральных чисел lo и 1\. Для всех возможных пар ¿i ^ /о найден минимальный алфавит, над которым можно построить такое слово.

Ключевые слова: последовательность Туэ, бесквадратные слова, словарная комбинаторика, ошибки замещения.

The paper is focused on some problems related to existence of periodic structures in words from formal languages. Squares, i.e. fragments of the form xx, where x is some word, and squares with one error, i.e. fragments of the form xy, where the word x is different from the word у by only one letter, are considered. We study the existence of arbitrarily long words not containing squares with the length exceeding lo and squares with one error and the length more than l\ depending on the natural numbers lo, h- For all possible pairs l\ > lo we find the minimal alphabeth such that there exists an arbitrarily long word with these properties over this alphabeth.

Key words: Thue sequence, square-free words, word combinatorics, mismatches.

Ставший уже классическим результат, связанный с квадратами, получен в работе А. Туэ [1], в которой установлено существование сколь угодно длинных бесквадратных слов над алфавитом из трех букв. С другой стороны, несложно проверить, что не существует бесквадратных слов над

1 Котляров Никита Владимирович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikita.kotlyarovQbk.ru.