К численному решению одной неустойчивой задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

50

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

3. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука, 1990.

4. Лашева М.И. Об алгебраических операциях на графах, сохраняющих степенную последовательность // Интел. системы. 2007. 11. 551-592.

5. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.

6. Ryser H.J. Combinatorial Mathematics. Rahway, N. J.: Mathematical Association of America, XIV, 1963.

Поступила в редакцию 01.02.2008

УДК 519.633.6

К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ОДНОЙ НЕУСТОЙЧИВОЙ ЗАДАЧИ

И. В. Федорова1, Е.В. Чижонков2

При моделировании кильватерных волн, возбуждаемых в плазме лазерным импульсом, групповая скорость импульса, как правило, меньше скорости света, в отличие от традиционного допущения об их совпадении. В настоящей работе показывается, что учет различия скоростей приводит к экспоненциальной неустойчивости модели. Дополнительно устанавливается равносильность рассматриваемой неустойчивой и вспомогательной устойчивой задач. Это свойство позволяет одновременно конструировать устойчивые численные алгоритмы их решения.

Ключевые слова: кильватерная волна, колебания плотности электронов, плазма, лазерный импульс, неустойчивая задача, численные алгоритмы, малый параметр.

While modelling nonlinear wakefield excited with a short laser pulse in a plasma channel, the pulse group speed is normally less than the speed of light, whereas they are usually considered to be equal. This paper shows that consideration of the speed difference leads to an exponential unstability of the model. It is also proved that this unstable problem is equivalent to a specific stable problem. This feature allows us to develop stable numerical schemes for their solution.

Key words: nonlinear wakefield, electron density oscillation, plasma channel, short laser pulse, unstable problem, numerical scheme, small parameter.

Рассмотрим в области О = {(р,т) : Я ^ р ^ 0, т ^ 0} задачу Коши для линейной системы уравнений

д2ф

дрдт д2ф 1 д

dq

( <927 d2q

£ \дрдт ^ дт2

дт2 р др

- Д±(ф - y)+Ф - Y = 0

(1)

относительно неизвестных функций ф(р, т) и q(p, т) с заданными граничными

дф(р,т)

др

= q(0,т) = ф(Е,т)= q(R^)=0 Ут ^ 0

р=0

и начальными условиями при т = 0, R ^ р ^ 0 :

ф(р, 0) = А(р),

дф(р, т)

дт

= В(р),

(2)

(3)

т=0

1 Федорова Инна Вячеславовна — соискатель каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Чижонков Евгений Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

q

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5

51

I П\ П( \ дд(р,т)

д(р, 0) = С(р),

дт

= П(р). (4)

т=0

Здесь предполагается, что начальные функции достаточно гладкие и удовлетворяют граничным условиям, .1 д ( д \

А± = — —— р—— — радиальная часть оператора Лапласа, 1 > е ^ 0 — параметр задачи; кроме того, рдр\ др)

система (1) имеет неоднородность, так как функция ч(р,т) определена специальным образом:

а2 Г 2 р2 2 (г — тс)2 1 7(р,г) = теХр|-7Г--— (5)

где а*,р*,тс,т* — некоторые заданные числа, причем р* ^ Я,т* ^ тс.

Данная постановка является модельной, но имеет ясный физический смысл. Распространяясь в плазме, ультракороткий лазерный импульс возбуждает сзади за собой кильватерную волну (колебания плотности электронов), свойства которой весьма актуальны для разработки ускорителей частиц [1]. Численному моделированию проблем в этой области посвящено значительное количество публикаций (см., например, обзор [2]), однако учесть в рамках гидродинамических моделей отличие групповой скорости импульса от скорости света (уд = с) пока не удалось никому. Настоящая работа позволяет установить причину такого положения дел, так как рассматриваемая задача есть следствие линеаризации более общей системы уравнений, описывающей лазерно-плазменные взаимодействия, которое получено в предположении небольшой мощности лазерного импульса (а* ^ 1 при фиксированных т* и р* в (5)). Отметим, что величина е = 1 — (уд/с)2 является индикатором задачи: ранее решались уравнения только при е = 0. Кроме того, при а* =0 все фоновые значения начальных функций в (3),(4) традиционно полагают равными нулю. Для наших же целей удобно считать, что они в общем случае не обязаны быть тривиальными, но их гладкость должна обеспечивать непрерывность всех функций и всех необходимых их производных, которые входят в уравнения (1).

Рассмотрим сначала общее решение однородной (т.е. при 7(р,т) = 0) задачи (1)—(4). Для этого представим решение в виде

ф(Р,т) = ^ фк(т)Ук(Р), д(Р,т) = £ дк(т)2к(Р), (6)

к=1 к=1

где Ук(р) = Щ | ■*> гк{р) = щ^хк)\ ^ к'к) ~~ системы функций, удовлетворяющие кра-

евым условиям (2); ,1о(Ь), ^(Ь) — функции Бесселя; Хк, к = 1, 2,... ,— нули ,1о(Ь). Такие разложения были использованы в работе [3] при построении проекционного алгоритма для моделирования трехмерных, аксиально-симметричных, нелинейных кильватерных волн в плазме при уд = с.

В силу полноты и ортонормированности каждой из систем [Ук}ГО=1, [^к}&=1 (при использовании скалярного произведения (и,и) = рпуйр и нормы ||и|| = (и,и)1/2) из (1) получаем для каждого фиксированного к уравнения относительно коэффициентов разложения (6):

Vк Фк + Чк = е(дк + Чк), Фк — щ чк + (к + 1)фк = 0, (7)

где Рк = Хк/Я, а штрих означает дифференцирование по переменной т. Характеристическое уравнение этой системы имеет вид

(Х2 + 1) [еХ2 — (1 — е)(1 + VI)] =0, откуда следуют выражения для общего решения (7):

фк (т) = £ И(1)д3 (т), Чк (т) = £ и(2 д3 (т),

где {д](т)}4=1 — фундаментальная система:

д1(т) = вт(т), д2(т) = соз(т), дз(т) = ехр(Ект), д4(т) = ехр(—Ект)

с коэффициентом в двух последних функциях Ек = [(1 — е)(1 + )/е\1/2, а И(г^, г = 1, 2, определяются из соответствующих разложений начальных функций (3),(4) в ряды вида (6). Имеет место

Теорема 1. Пусть в (1) е — фиксированное число из (0,1) и заданы два положительных числа: д — сколь угодно .малое, а О — сколь угодно большое. Тогда для любого заданного т > 0 найдутся достаточно гладкие начальные функции в (3), (4), удовлетворяющие условию шах{||А||, ||-В||, \\С||, ||^||} ^ д и такие, что для решения однородной системы (1)-(4) справедливо неравенство шах{||ф||, ЦдЦ} ^ О.

Это утверждение означает, что при е = 0 решение задачи (1)—(4) является экспоненциально неустойчивым, как в хорошо известном примере задачи Коши для уравнения Лапласа, и потому принципиально не может быть найдено численно. Однако у рассматриваемой задачи имеется специфическое свойство, которое позволяет избежать непосредственного интегрирования системы (1) для нахождения приближенного решения.

Рассмотрим устойчивый частный случай задачи (1)—(4) при е = 0, который требует дополнительного задания только условий (2),(3). Тогда из системы (1) получаем распадающуюся систему уравнений

д2ф „ д2ф

Справедлива

Лемма. Пусть фо(р,т), до(р,т) — достаточно гладкое решение неоднородной системы (8), (3) с заданной р,т), тогда функция до удовлетворяет в О равенству

д27 д2до

-до - -тгт- =

дрдт дт2

Далее устанавливается

Теорема 2. Пусть зафиксирована функция ч(р,т) вида (5) с тс ^ т*, найдено решение фо, qo задачи (8), (3) и определены начальные функции в (4) следующим образом:

С(р) = ?о(р, 0), D(p)=dgoM

дт

т=0

Тогда решение ф£, д£ задачи (1)-(4), соответствующее значению е = 0, тождественно совпадает с фо, до, т.е.

ф£(р, т) = фо(р, т), де(р, т) = до(р, т) У(р, т) е О.

Данное утверждение полезно снабдить двумя замечаниями. Во-первых, независимость решения от параметра е касается только системы уравнений (1), а не исходной, более общей системы уравнений, описывающей лазерно-плазменные взаимодействия. Дело в том, что уже после перехода от общего случая к линейной постановке (при а* <С 1) была сделана замена переменной вида т = Ь/\/1 — е, приводящая к анализируемому виду уравнений (1). Другими словами, зависимость от е присутствует в скрытой форме (в виде зависимости т от е и соответственно в неоднородности 7(р,т)) даже в решении фо, до, если последнее рассматривать в исходных независимых переменных р и Ь. Во-вторых, процедура выбора дополнительных начальных данных может показаться искусственной, так как требуется искать решение фо, до, а не ф£, д£. Однако с практической точки зрения этот момент совершенно не принципиален, поскольку сам физический процесс стартует с состояния полного покоя (все функции и производные в начальный момент времени полагаются равными нулю) в силу условия тс ^ т*.

Для численного решения более простой и одновременно устойчивой задачи (8),(3) выбор алгоритмов достаточно разнообразен. Однако, с нашей точки зрения, предпочтение следует отдать методам, описанным в [3], — проекционному (спектральному) методу типа Галеркина и алгоритму на основе метода конечных разностей, так как они допускают непосредственное обобщение на нелинейный случай. Отметим, что результаты настоящей работы уже позволяют перейти к конструированию при е = 0 алгоритмов решения нелинейных уравнений, причем на основе как теории возмущений, так и модифицированного метода Ньютона.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 09-01-00625).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Горбунов Л.М. Зачем нужны сверхмощные лазерные импульсы? // Природа. 2007. № 4. 11-20.

2. Esarey E, Sprangle P., Krall J., Ting A. Overview of plasma-based accelerator concept // IEEE Trans. Plasma Sci. 1996. 24. 252-288.

3. Chizhonkov E.V., Gorbunov L.M. Calculation of a 3D axial symmetric nonlinear wakefield // Rus. J. Numer. Anal. and Math. Modelling. 2007. 22, N 6. 531-541.

Поступила в редакцию 28.04.2008

УДК 512.643

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ КОММУТАТИВНЫХ МАТРИЧНЫХ ПОДАЛГЕБР МАКСИМАЛЬНОЙ ДЛИНЫ НАД ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОЛЕМ

О. В. Маркова 1

В работе получена характеризация коммутативных подалгебр длины n — 1 в алгебре матриц порядка n над произвольными полями в терминах порождающих элементов.

Ключевые слова: длины алгебр, коммутативные матричные алгебры, циклические матрицы.

A characterization of commutative subalgebras of length n — 1 in the full matrix algebra of order n over an arbitrary field is obtained in terms of generating elements.

Key words: lengths of algebras, commutative matrix algebras, nonderogatory matrices.

В работе Паза [1] установлено, что длина любой коммутативной подалгебры алгебры матриц порядка n над полем комплексных чисел C не больше n — 1. В [2] показано, что эта оценка справедлива для произвольного поля. Кроме того, в случае, когда основное поле является алгебраически замкнутым, охарактеризован класс подалгебр, для которых эта оценка достигается. В данной работе получена аналогичная характеризация для подалгебр над произвольными полями.

Пусть F — произвольное поле. Пусть даны конечномерная ассоциативная F-алгебра A с единицей 1a и конечная система порождающих этой алгебры S.

Обозначение 1. Обозначим через Li(S) линейную оболочку слов от элементов S длины, не превосходящей i. При этом 1a считаем словом длины 0 и заметим, что Lo(S) = F.

Приведем определения длины данной системы порождающих и длины всей алгебры (см., напри-меP, [3]).

Определение 1. Длиной конечной системы порождающих S для конечномерной алгебры A называется наименьшее неотрицательное целое число k, такое, что Ck (S) = A. Далее будем обозначать ее l(S).

Определение 2. Длиной алгебры A называется l(A) = max^ l(S), где максимум берется по всем конечным системам порождающих этой алгебры.

Пусть Mn(F) обозначает алгебру матриц порядка n над полем F, E — единичную матрицу.

Также нам потребуется следующий специальный класс матриц.

Определение 3. Пусть F — произвольное поле. Матрица C Е Mn(F) называется циклической, если

dimw((E, C, C2,..., Cn-1)) = n.

Для длины коммутативных матричных подалгебр справедлива следующая верхняя оценка.

Теорема 1 [2, теорема 6.1]. Пусть F — произвольное поле и A — коммутативная подалгебра в Mn(F). Тогда l(A) ^ n — 1.

Следующая лемма показывает точность оценки в теореме 1.

Лемма 1 [4, лемма 7.7]. Пусть F — произвольное поле и A — коммутативная подалгебра в Mn(F). Если существует циклическая матрица A eA, то A является подалгеброй, порожденной матрицей A, и l(A) = n — 1.

1 Маркова Ольга Викторовна — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].