О нетеровых симметриях уравнении Тоды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.957; 512.81

О НЕТЕРОВЫХ СИММЕТРИЯХ УРАВНЕНИЙ ТОДЫ

A.B. Киселев

(.кафедра математики) E-mail: arthemy@mccme.ru

Получено описание класса нетеровых симметрий двумеризованных уравнений "Годы, порожденного компонентами тензора энергии-импульса этих уравнений.

В данной работе рассматриваются геометрические свойства двумеризованных уравнений То-Ды ¿-Toda [11: именно, построено описание класса их нетеровых симметрий (рс, соответствующего компонентам Т, Т тензора энергии-импульса © = Т dx + Т dy для уравнений ¿^Toda > а также функциональной оболочке их дифференциальных следствий. Отправной точкой рассуждений служит работа [2], в которой изучалась взаимосвязь симметрий <р, нетеровых симметрий ipc и сохраняющихся токов г] для скалярного гиперболического уравнения Лиувилля иху = ехр(и); реализованная в указанной работе схема обобщена на многомерный случай г-компонентных уравнений Тоды, ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К, в общем случае не являющейся матрицей Картана [1] комплексной полупростой алгебры Ли.

Используемые ниже обозначения соответствуют работам [2-4]. Краткий обзор основных понятий из геометрии УрЧП [3] содержится в работе [5].

1. Пусть К = ||kij, 1 ^ i, j ^ г|| — невырожденная (г х г)-матрица, а К= ||fcÍJ|| — обратная к ней матрица. Двумеризованные гиперболические уравнения Тоды имеют вид

г

¿-Toda = {Fi = ulxy - ехр(^ kijU3) = 0, 1 < г < г j.

з=i

(1)

Пусть существует такой набор чисел {a¿ ф 0, 1 ^ г ^ г}, что построенная с его помощью матрица к = ||/%||, элементы которой равны к^ = щ ■ ку, симметрична: Kij = Kji. В частности, если g — это полупростая алгебра Ли ранга г, {щ, 1 ^ i ^ г} — система простых корней, К = ||fc¿¿ = 2(a¿,a¿) х х |ckj | "™2, 1 ^ i,j ^ г|| — матрица Картана алгебры д, то положим щ = |a¿|-2; тогда к^ = 2(a¿,a¿) х х • |скj|2 = Kji. Согласно [1], назовем такие

уравнения Тоды (1) ассоциированными с алгеброй Ли

Уравнения Тоды £Toda являются лагранжевы-ми в следующем смысле: рассмотрим действие

^Toda = / ¿Toda dx /\dу С ПЛОТНОСТЬЮ

J г г г

¿Toda = -^ К*Зихиу ~ Щ ' 6ХР ki3u3) ' i,j=1 i=1 j=l

тогда уравнения Эйлера-Лагранжа

Ви(£То&й) = к-Р = 0 (2)

эквивалентны уравнениям (1), если матрица к не вырождена.

Условимся, что в дальнейшем будем рассматривать любые структуры для уравнений (1) с точностью до дискретной симметрии х у.

Уравнения Тоды гамильтоновы относительно оператора Ах = к• Бу1 и гамильтониана Нтойа, =

= /Ятс^а &У С ПЛОТНОСТЬЮ

Нтойа = (д1дГойа' а = агехр(^ куи^.

и'х ¿=1 3=1

В самом деле,

их = Ах оЕ„(йМа), (3)

(см. также [4]). Легко проверить, что плотность гамильтониана Н всегда сохраняется на соответствующем гамильтоновом эволюционном уравнении й = А о Е(/ Д"с1уо1), поскольку гамильтоновы операторы коеоеопряжены: А* = —А; для уравнения (3) имеем

Г 1 Г

А/ = ^(Нтъйа) = А (2 X] КЧихи3х) >

г=1 ¿,,7=1

где Бх и Ву — полные производные Бх и Бу по х и у соответственно, ограниченные на £тск1а- Таким образом, при любой невырожденной симметризуемой матрице К уравнения Тоды (1) допускают по крайней мере один интеграл

^ г г

Т = — КуихиРх — щ • ихх', (4)

¿,.7=1 г=1

хорошо известно (см., напр., [4]), что обе компоненты Т и Т бесследового тензора энергии-импульса @ = Tdx + Tdy для лагранжевых уравнений (2) также имеют вид (4) с точностью до комплексного сопряжения. Введем обозначение Т^ =1)я(Т); очевидно, что Т является дифференциальным генератором подпространства Т с кег Ву, поскольку любая функция задает функционал (¿(х,Т, Тх,... ,Тц) е кет Бу. Отметим, что в случае г > 1 специальным выбором матрицы К можно

добиться того, что функциональная оболочка Т не будет исчерпывать все ядро кетВу; в работе [6] сформулирован критерий равенства сНткег Ву = 2 при г = 2. Согласно [7], для существования г нетривиальных независимых решений Ог уравнения £^(0) = 0 необходимо и достаточно, чтобы К была матрицей Картана полупростой алгебры Ли Уравнения Тоды, ассоциированные с точно интегрируемы [1]. Подчеркнем, однако, что в случае матрицы К общего положения интеграл (4) — единственный.

2. В дальнейшем будем отождествлять понятия производящих функций <р = *(<р1,.._., </) инфини-тезимальных симметрий Э9 = ^ а В(Т{ф1) ■ д/дига (здесь и%а = В(Т{и%)) дифференциальных уравнений с самими этими симметриями; иначе говоря, производящие функции показывают скорость й% = эволюции зависимых переменных и% вдоль «интегральных траекторий» полей Э9. Напомним, что поиск производящих функций <р инфинитезимальных симметрий произвольного уравнения £ = {Р = Е(£) = 0} состоит в решении уравнения Э^(-Р) = 0 на £ или, что то же самое в силу определения оператора линеаризации £, уравнения £р((р) =0 на £\ наоборот, уравнение Э¥,(£) = 0, которому удовлетворяют нете-ровы симметрии, следует решать без ограничения на соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа £.

Обозначим через А = |Дг = век"

тор конформных весов полей Тоды ехр(и) = = *(ехр(и1),..., ехр(г/)).

Утверждение 1. Преобразование переменных

х^Х(х), у^У(у), и{(х,у) ^ й* = и4(Х,У) + А* 1пХ'(х)У'(у)

(5)

является конечной конформной симметрией уравнений Тоды £то(1а •

Инфинитезимальная форма преобразований (5), соответствующих замене х Х(х), такова: <р = = Ш(/(ж)), где векторный дифференциальный оператор первого порядка □ имеет вид

□ = их + А • Вх

(6)

а / — произвольная гладкая функция.

Л е м м а _1. Имеет место соотношение £р о □ = = Вх о □ о Ву, и потому функции

1р = Ш(Ф(ж, О)) (7)

являются симметриями уравнений Тоды: <р е е Бут¿-тос1а при всякой Ф, зависящей от произвольного набора О интегралов Щ = В3Х{0,%) е е кег Ву.

Как было отмечено выше, О ~ Т, если матрица К — общего положения. Согласно [8], функции (7)_ исчерпывают множество решений уравнения £р((р) = 0 для системы (1): Бут¿-тос1а — {<£> = □(Ф(ж, О))тос1(ж <-> у)}. Отметим также, что любая конформная симметрия (5)

уравнений Тоды нетерова, т.е. сохраняет £тоаа. однако почти все решения <р вида (7) не являются нетеровыми симметриями уравнений (1).

3. Выясним, какие же из симметрий <р = = Ш(Ф(ж, Т)) е Бут¿-тос1а являются нетеровыми симметриями сре 6 Бут£тоаа уравнений Тоды. Итак, приступим к непосредственному решению уравнения Э¥,(£тоаа) = 0 относительно

Детальное рассмотрение некоторых алгебраических аспектов, связанных с уравнением (1) (технически — вычисление члена т0аа) в С-спектральной последовательности Виноградова, см. [3]), показывает, что следующие два условия эквивалентны:

Э¥,(£т0аа) = 0 Еи(Э¥,(£Тоаа)) = 0, т.е. плотность является полной дивергенцией, если и только если ее вариация равна нулю; этот вопрос не рассматривался в [2]. Далее, установим полезное свойство интеграла (4):

Лемма 2. Соотношение Е„(3¥,(£тоаа)) = 0 эквивалентно условию

(Ву(Т) ■ Ф(ж, Т,..., Тгп)) = 0,

где = □($), а полная производная Ву не ограничена на уравнение £тс«1а-

Доказательство леммы 2 заключается в многочисленном применении тождества = аг ■

Лемма 3. Старший порядок т производной Тт в наборе аргументов Ф четен-, т = 2ц, т. е. Ф = Ф (х,Т,...,Т2„).

Доказательство. Положим

Сг = ^¡-(Э¥,(£то(1а)) и обозначим производную В^ о В1 {и^) через иI

тогда получим дОг

дФ дТт

(к,1) ■

= 0,

^и(т+4,1)

откуда + (^1)т+2 = 0 и потому т четно. □

Лемма 4. Производные <Э2Ф/дТтдТ1 равны нулю при всех I, лежащих в диапазоне ц <1 ^пг.

Доказательство. Достаточно заметить, что производные дО{!ди\ш^, дО{!ди\шЛ_2, ..., дGi/дu■'m+Q равны нулю. □

Рассмотрим теперь производную д2Ф/дТ^дТ2^,. Она, вообще говоря, не равна нулю, что показывает Лемма 5. Тождество

ЕИ(-£>„(Т) • ЕТ(Р(х,Т,... ,ТА4))) =0

верно при любой функции Р.

Доказательство. В самом деле, имеем

Ву{Т) • ЕТ{Р) dx^dу= (Ву(Т),£{р*

(1)) =

Фг7 =

= (Э^(Г)Р(®,Т,...,ТД1>+<1Л7 =

= (£{Р(Ву(Т)), 1)

= {Ву(Р), 1) + е кег Еь

в приведенной выше формуле произведение {,) принимает значения в горизонтальных 2-формах ш = / ■ йх Айу, &ь = Хи ® А — горизонтальный дифференциал, <1^7 € кегЕ„ — некоторая точная форма, а все эволюционные дифференцирования, равно как и линеаризации, вычислены относительно переменной Т. □

Утверждение 2. Симметрия <р = □(Ф(ж,Т, ... ,Тт)) е кег^ является нетеровой симметрией уравнений Тоды (1) тогда и только тогда, когда, во-первых, т = 2/х, ц ^ О, и, во-вторых, функция Ф = Ет(Я(х,Т,... ,Тц)) е 1тЕу принадлежит образу оператора Эйлера относительно Т, где — произвольная гладкая функция.

Доказательство. Покажем по индукции, что Ф е 1т Еу. Рассмотрим такую функцию Р = Р(тп; ж, Т,..., Тц), для которой выполнено условие

дРР(т)/дТ% = (-1)1* -дФ/дТтп, (8)

и положим Ф = Ф^Е т(Р(т)), откуда дФ/дТт = 0. Тогда, согласно лемме 3, будет верно соотношение

Еи(£>„(Т)-Ф(а;,Т,...,Тго_2)) = 0.

Далее, используя лемму 4, выбирая Р{т) в соответствии с условием (8) и воспользовавшись леммой 5, мы понижаем по индукции порядок т = 2ц до нуля с шагом 2, получая в итоге

а» \

Утверждение доказано. □

Итак, мы получили описание класса нетеровых симметрий уравнений Тоды, соответствующих матрице К общего положения:

Теорема. Нетеровы симметрии сре уравнений Тоды (1), построенных по симметризуемой матрице К общего положения, имеют вид

рс = □ о Ет(<2(ж, Т)) тос1(ж <->• у),

где оператор □ определен в (6), Еу = = Х^г>о ° 9/дТг есть оператор Эйлера

относительно функционала Т, заданного равенством (4), Q — гладкая функция, а _Т — произвольный набор аргументов вида Т{ = D%X{T), i^O.

Замечание. В случае если матрица К удовлетворяет дополнительным ограничениям и потому существуют несколько независимых интегралов О1 = Т, О2,..., О9, 1 < q^r, соответствующие аналоги доказанной теоремы, содержащие более детальное описание структуры нетеровых симметрий уравнений Тоды, могут быть получены на основе аппарата производящих сечений законов сохранения [3]; мы предполагаем обсудить связанные с этим вопросы в отдельной работе.

Автор выражает благодарность A.M. Вербовец-кому, И. С. Красильщику и А. М. Овчинникову за полезные замечания. Работа выполнена при поддержке стипендией Правительства Российской Федерации и грантом INTAS YS 2001/2-33.

Литература

1. Лезнов А.Н., Савельев М.В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. М., 1985.

2. Sakovich S. Yu. 11 J. Phys. A. Math. Gen. 1994. 27. P. L125.

3. Бочаров A.B., Вербовецкий A.M., Виноградов A.M. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Под ред. A.M. Виноградова и И.С. Красильщика. М„ 1997.

4. Овчинников A.B. Системы Тоды, ассоциированные с алгебрами Ли, и W -алгебры в некоторых задачах математической физики: Дисс. к.ф.-м.н. Физ. факультет МГУ. М., 1996.

5. Киселев A.B. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2002. №6. С. 22.

6. Лезнов А.Н., Смирнов В.Г., Шабат A.B. // ТМФ. 1982. 51, № 1. С. 10.

7. Шабат A.B., Ямилов Р.И. // Препринт. Уфа, Башкир, филиал АН СССР. 1981.

8. Мешков А.Г. // ТМФ. 1985. 63, №3. С. 323.

Поступила в редакцию 12.09.2003

Ф Е'/-