О словах, избегающих квадратов с одной возможной ошибкой замещения Текст научной статьи по специальности «Математика»

до опрокидывания. Результаты моделирования, полученные с помощью схемы (11), сравнивались с расчетами по методу конечных разностей, построенному ранее авторами в работе [3]. В регулярной части кильватерной волны, т.е. до формирования в решении первого внеосевого максимума электронной плотности, полученные обоими способами данные практически неразличимы. Основным преимуществом данной схемы является ее эффективность. Приведенный вариант рассчитывается на СКИФ МГУ "Чебышёв" на фиксированной сетке h = 1/3200, т = 1/64000 около двух часов, что превосходит примерно на порядок схему из [3]. Отсюда следует, что для численного исследования становятся доступными более сложные задачи, например связанные с учетом эффектов движения ионов или отличием скорости импульса от скорости света. Также представляется перспективным переход к пространственно-двумерным постановкам задач.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Andreev N.E., Chizhonkov E.V., Gorbunov L.M. Numerical modelling of the 3D nonlinear wakefield excited by a short laser pulse in a plasma channel // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1998. 13, N 1. 1-11.

2. Фролов A.A., Чижопков E.B. Опрокидывание кильватерной волны, возбуждаемой в разреженной плазме узким лазерным импульсом // Физика плазмы. 2011. 37, № 8. 711-728.

3. Chizhonkov E.V., Gorbunov L.M. Numerical modelling of ion dynamics in 3D nonlinear wakefield // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2001. 16, N 3. 235-246.

Поступила в редакцию 21.11.2014

УДК 519.765

О СЛОВАХ, ИЗБЕГАЮЩИХ КВАДРАТОВ С ОДНОЙ ВОЗМОЖНОЙ ОШИБКОЙ ЗАМЕЩЕНИЯ

Н. В. Котляров1

Статья посвящена некоторым вопросам, связанным с существованием периодических структур в словах из формальных языков. Рассматриваются квадраты, т.е. фрагменты вида хх, где х — произвольное слово, и квадраты с одной ошибкой — фрагменты вида ху, где слово х отличается от слова у на одну букву. Устанавливается существование сколь угодно длинных слов, не содержащих квадратов с длиной больше lo и квадратов с одной ошибкой и длиной больше 1\ в зависимости от натуральных чисел lo и 1\. Для всех возможных пар ¿i ^ /о найден минимальный алфавит, над которым можно построить такое слово.

Ключевые слова: последовательность Туэ, бесквадратные слова, словарная комбинаторика, ошибки замещения.

The paper is focused on some problems related to existence of periodic structures in words from formal languages. Squares, i.e. fragments of the form xx, where x is some word, and squares with one error, i.e. fragments of the form xy, where the word x is different from the word у by only one letter, are considered. We study the existence of arbitrarily long words not containing squares with the length exceeding lo and squares with one error and the length more than l\ depending on the natural numbers lo, h- For all possible pairs l\ > lo we find the minimal alphabeth such that there exists an arbitrarily long word with these properties over this alphabeth.

Key words: Thue sequence, square-free words, word combinatorics, mismatches.

Ставший уже классическим результат, связанный с квадратами, получен в работе А. Туэ [1], в которой установлено существование сколь угодно длинных бесквадратных слов над алфавитом из трех букв. С другой стороны, несложно проверить, что не существует бесквадратных слов над

1 Котляров Никита Владимирович — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikita.kotlyarovQbk.ru.

алфавитом из двух букв. Поэтому из результатов Туэ следует, что алфавит из трех букв является минимальным алфавитом, над которым существуют сколь угодно длинные бесквадратные слова. В дальнейшем были получены различные альтернативные доказательства данного результата Туэ, одно из наиболее изящных представлено в монографии [2]. Естественным обобщением результата Туэ является его работа [3]. В настоящей работе рассматривается случай, когда в словах допускаются достаточно "маленькие" квадраты (в [4] доказано существование бесконечного слова над алфавитом из двух букв, которое содержит только три различных квадрата). Другие базовые результаты, касающиеся квадратов, получены в работах [5, 6].

Нетрудно заметить, что задача существования сколь угодно длинных слов, не содержащих фрагментов определенного типа, эквивалентна задаче существования над тем же алфавитом бесконечных слов, не содержащих данных фрагментов. Поэтому в работах, посвященных этой тематике, обычно рассматривается эквивалентная задача существования бесконечных слов.

Естественным обобщением задачи о существовании сколь угодно длинных бесквадратных слов является рассмотрение в качестве "запретных" фрагментов не только квадратов, но и квадратов с одной ошибкой замещения, т.е. фрагментов вида ху, где слово х отличается от слова у ровно на одну букву. По нашим сведениям, данная задача еще не рассматривалась в научной литературе. Отметим, что само слово длины 2 является либо квадратом, либо квадратом с одной ошибкой замещения, поэтому для данной задачи естественно вводить ограничения снизу как на длины "запретных" квадратов, так и на длины "запретных" квадратов с одной ошибкой замещения. Таким образом, в настоящей работе рассматривается следующая задача: для произвольных ограничений снизу на длину "запретных" квадратов и длину "запретных" квадратов с одной ошибкой замещения определить минимальную мощность алфавита, над которым существует бесконечное слово, не содержащее заданных данными ограничениями "запретных" фрагментов. Мы приводим полное решение поставленной задачи.

Введем некоторые определения. Пусть В = {cki, a¡2,..., ск^} — некоторый алфавит, элементы которого будем называть буквами. Словом над алфавитом В называется конечная последовательность х = ... щп, состоящая из букв алфавита В (при этом допускается слово из нуля букв, которое

называется пустым словом). Число п называется длиной слова х и обозначается через \х\. Букву c¿ik будем обозначать через х[к]. Множество всех слов над алфавитом В обозначается через В*. Фактором слова х будем называть произвольный фрагмент сцк ... a¿fc+¡ слова х, где к ^ 1, к +1 ^ п. Два фактора и и v некоторого слова будем называть эквивалентными, если они являются одним и тем же фрагментом этого слова (эквивалентность этих факторов будем обозначать через и ~ v). Заметим, что каждый фактор w ~ x[k, I + к] можно рассматривать как слово у = a¿fc ... otík+l (что можно записать как у = w). Если два фактора и и v равны одному и тому же слову, то будем записывать это как и = и.

Определим сверхслово, или бесконечное слово, как счетную последовательность букв алфавита оцх a¿2 .... Множество всех сверхслов над алфавитом В обозначается через Вш. Аналогично понятию фактора конечного слова вводится понятие фактора, бесконечного слова. Будем называть квадратом, фактор вида uv, где и = v. Периодом, квадрата w называется число |ги|/2. Пусть и и» - два слова одинаковой длины, которая больше либо равна к. Будем говорить, что и и v отличаются к буквами, если и[г] ф v[i] ровно для к значений г. Квадратом, с одной ошибкой будем называть фактор вида uv, где и отличается одной буквой от v. Периодом, квадрата w с одной ошибкой называется число

М/2.

Конечное или бесконечное слово х называется сильнобескубным, если оно не содержит фактора вида ииа, где и — некоторое слово, и[ 1] = а. В работе [3] доказано существование сколь угодно длинных сильнобескубных слов над двухбуквенным алфавитом, в частности приведен пример бесконечного сильнобескубного слова над двухбуквенным алфавитом. Это слово в литературе называется последовательностью Туэ или Туэ Морса (см. [2]). В дальнейшем последовательность Туэ будем обозначать через П.

Пусть ko,k\ — натуральные числа. Сформулируем свойство ) для (сверх)слова х следующим образом: "у (сверх)слова х нет факторов, являющихся квадратами с периодом больше ко". Сформулируем свойство (£*) для (сверх)слова х следующим образом: "у (сверх)слова х нет факторов, являющихся квадратами с одной ошибкой и периодом больше к{'\ В настоящей работе мы будем рассматривать естественный случай сверхслов, обладающих свойствами ) и (£*) для к\ ^ ко.

Укажем следующие очевидные свойства.

Утверждение 1. Если некоторое сверхслово обладает, свойствами (fc*) и, (*к*), то это сверхслово обладает, также свойствами (fc*) и, (£*) для любых k'Q ^ ko,k[ ^ ко-

Утверждение 2. Если для некоторых ко,к\ не существует, сверхслова, обладающего свойствами ) и (*к*), то для к'0 ^ ко,к[ ^ ко не существует сверхслова, обладающего свойствами

Обозначим через а(ко, к\) минимальный размер алфавита, над которым можно построить сверхслово, обладающее одновременно свойствами ) и (£*), к\ ^ ко. Найдем значение а(ко,к\) для любых ко,к\. Для этого мы будем строить сверхслова с требуемыми свойствами над заданным алфавитом А из Б букв следующим образом. Пусть В = {0,1}, д — отображение из В2 в А*, такое, что все образы д(00), (/(01), д(Ю) и д( 11) имеют одинаковую длину. Определим отображение из

Отметим, что отображение определено только для слов длины больше 1. Через Фй будем обозначать сверхслово Все сверхслова с требуемыми свойствами будут строиться как сверхслова Фй для некоторого специально подобранного д.

Пусть х — некоторое (сверх)слово над В, и ~ х[г,]\ — фактор х. Тогда фактор-образом ¡д{и) фактора и будем называть фактор V ~ 1'д(,%[ь.]\) (сверх)слова /й(ж). Пусть V — некоторый фактор /д(х). Будем называть фактор и в х фактор-прообразом фактора V, если V — фактор фактор-образа /д(и) и для любого и), являющегося фактором и, отличным от и, фактор и не есть фактор фактор-образа fg{w).

Теорема 1. Существует бесконечное слово над алфавитом из двух букв, которое обладает, з/ и \ 3 ) ■

Доказательство. Рассмотрим отображение д\: 00 н> 010010,01 н> 111000,10 н> 000111,11 н> 101101. Сначала убедимся, что ФЙ1 не содержит в качестве факторов квадратов с периодом ро < 17 или квадратов с одной ошибкой и периодом р\ < 17. Заметим, что длина фактор-прообразов таких факторов не превосходит 7. Поэтому нам достаточно проверить, что в П фактор-образ любого фактора длины 7 при отображении /Й1 не содержит таких факторов. Так как различных факторов П длины 7 конечное число, то, используя компьютерные вычисления, можно показать, что ФЙ1 не содержит в качестве факторов квадратов с периодом ро < 17 или квадратов с одной ошибкой и периодом р\ < 17. Затем доказывается, что ФЙ1 не содержит квадратов с периодом ро ^ 17. Для этого предполагаем обратное и приходим к выводу2, что последовательность П должна содержать фактор вида ахаха, где а — некоторая буква, х — некоторое слово. Получаем противоречие с тем, что О обладает свойством сильной бескубности. Аналогично доказывается отсутствие в ФЙ1 квадратов с одной ошибкой и периодом р\ ^ 17. Теорема доказана.

Следующие теоремы о существовании сверхслов с требуемыми свойствами доказываются аналогично.

Теорема 2. Существует бесконечное слово над алфавитом из двух букв, которое обладает, 2/ и V 4 ) ■

Из теорем 1, 2 в силу утверждения 1 можно вывести

Следствие 1. Если ко = 2, к\ ^ 4 или ко ^ 3, к\ ^ 3, то существует сверхслово над алфавитом из двух букв, которое обладает, свойствами ) и (£*).

С другой стороны, используя стандартную процедуру компьютерного поиска в глубину по дереву всех слов над алфавитом из двух букв, можно доказать следующие утверждения.

Теорема 3. Не существует сверхслова над алфавитом из двух букв, которое обладает, свойствами (2) и (*3*).

Теорема 4. Не существует сверхслова над алфавитом из двух букв, которое обладает, свойством .

Из теоремы 3 и утверждения 2 вытекает, что над алфавитом из двух букв не существует сверхслова, которое обладает свойствами (2) и (*2*). Из теоремы 4 и утверждения 2 получаем, что над алфавитом из двух букв не существует сверхслова, которое обладает свойством (*). Таким образом, получаем следующий критерий.

Теорема 5. Над алфавитом из двух букв существует сверхслово, которое обладает, свойствами ) и (£*), тогда и только тогда, когда ко = 2, к\ ^ 4 или ко ^ 3, к\ ^ 3.

Теорема 6. Существует сверхслово над алфавитом из трех букв, которое обладает, свойствами (д) и (*4*).

2 В силу ограничений на объем статьи мы опускаем детали доказательства.

В* и Вш в А* и Дш:

/д(ага2 ■ ..ап-1ап) = д(а1а2)д(а2аз). ..д(ап-1ап) ¡д(а1а2 • • •) = 9(.а1а2)д(а2а3)....

Теорема 7. Существует сверхслово над алфавитом из трех букв, которое обладает, свой-1/ и \ г) ■

Из теорем 6, 7 в силу утверждения 1 вытекает

Следствие 2. Если ко = 0; к\ ^ 4 или, ко ^ 1, к\ ^ 1, то существует сверхслово над алфавитном, из трех букв, которое обладает, свойствами (fc*) и, (£*).

С другой стороны, используя стандартную процедуру компьютерного поиска в глубину по дереву всех слов над алфавитом из трех букв, можно доказать следующее утверждение.

Теорема 8. Не существует сверхслова, над алфавитом из трех букв, которое обладает, свой,-

о) и \ 3 ) ■

Из теоремы 8 и утверждения 2 вытекает, что над алфавитом из трех букв не существует сверхслова, которое обладает свойствами (fc*) и (*к*), ко = 0, к\ ^ 3. Таким образом, получаем следующий критерий.

Теорема 9. Над алфавитом из трех букв существует сверхслово, которое обладает, свойствами (fc*) и, (*к*), тогда и, только тогда, когда ко = 0; к\ ^ 4 или ко ^ 1, к\ ^ 1.

Теорема 10. Существует бесконечное слово над алфавитом из четырех букв, которое обладает свойствами (д) и, (").

Таким образом, пользуясь теоремами 5, 9, 10, можно найти a(ko,k\) для любых ко, кг, а именно справедлива

Теорема 11. Имеют место следующие утверждения:

1) если ко = 0 и к\ < 4, то а(ко, кг) = 4;

2) если, ко = 0 и, к\ > 3; или, ко = 1 и, к\ любое, или ко = 2 и к\ < 4, то а(ко, к\) = 3;

3) если, ко = 2 и, к\ > 3 или, ко > 2 и, к\ любое, то а(ко, к\) = 2;

Полученные результаты представлены табл. 1-3. В табл. 1 и табл. 2 для каждой ячейки, соответствующей паре к\,ко, к\ ^ ко, указана максимальная длина слова над двухбуквенным и трехбуквенным алфавитами соответственно, которое обладает свойствами ) и (£*) (в случае, если существует сверхслово, обладающее данными свойствами, указано значение оо). В табл. 3 для каждой ячейки, соответствующей паре к\,ко, к\ ^ ко, указан минимальный размер алфавита, над которым можно построить сверхслово, обладающее одновременно свойствами (fc*) и (£*). Случаи к\ > ко, соответствующие пустым ячейкам, в работе не рассматривались. Многоточие означает, что каждые столбец и строка могут быть дозаполнены последним символом, указанным в соответствующих столбце и строке.

Таблица!

ко ki

0 1 2 3

1 3 6

2 3 11 16

3 3 11 152 оо

4 3 12 оо оо

5 3 15 оо оо

6 3 18 оо оо

Таблица2

ТаблицаЗ

ко кг

0 1 2

1 5 оо

2 11 оо оо

3 47 оо оо

4 оо оо оо

ко кг

0 1 2 3

1 4 3

2 4 3 3

3 4 3 3 2

4 3 3 2 2

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №14-01-00598, и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Thue А. Uber unendliche Zeichenreihen // Norske, Vid. Selsk. Skr. I, Mat. Nat. Kl. Khristiana. 1906. 7. 1-22.

2. Саломаа А. Жемчужины теории формальных языков. М.: Мир, 1986.

3. Thue А. Uber die gegenseitige Lage gleicher Teile gewisser Zeichenreihen // Norske, Vid. Selsk. Skr. I, Mat. Nat. Kl. Kristiania. 1912. 1. 1-67.

4. Fraenkel A.S., Simpson R.J. How many squares must a binary sequence contain? // Electr. J. Comb. 1995. 2. 12-16.

5. Crochemore М., Ilie L., Rytter W. Repetitions in strings: algorithms and combinatorics // Theor. Comput. Sci. 2009. 410, N 50. 5227-5235.

6. Crochemore M., Rytter W. Squares, cubes, and time-space efficient string searching // Algorithmica. 1995. 13, N 5. 405-425.

Поступила в редакцию 17.10.2014

УДК 510.25; 510.64

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗУЕМОСТЬ И БАЗИСНАЯ ЛОГИКА

А. Ю. Коновалов1

Определяется абсолютная арифметическая реализуемость предикатных формул. Доказывается, что интуиционистская логика не является корректной относительно этой семантики, тогда как базисная логика корректна.

Ключевые слова: конструктивная семантика, реализуемость, абсолютная реализуемость, формальная арифметика, арифметическая реализуемость, базисная логика, интуиционистская логика.

Absolute arithmetical realizability of predicate formulas is introduced. It is proved that the intuitionistic logic is not sound with this semantics, but the basic logic is sound.

Key words: constructive semantics, realizability, absolute realizability, formal arithmetic, arithmetical realizability, basic logic, intuitionistic logic.

Будем считать, что язык формальной арифметики LA содержит обозначения для всех примитивно-рекурсивных функций, а также константы для обозначения всех натуральных чисел. Атомарные формулы суть выражения вида t\ = t2, где t\ и t2 — термы. Более сложные формулы строятся по стандартным правилам при помощи логических связок A, V, —-i и кванторных символов 3, V.

Пусть фиксировано натуральное число п ^ 1. Униформизацией формулы Ф(х\,..., хп, у) языка LA, не содержащей параметров, отличных от х\,... ,хп,у, будем называть формулу

Ф(жь • • •, хп, у) A (Vz < у) -1ф(ж1,.. .,Xn,z),

которую обозначим Фи (х\,... ,хп,у). Каждая такая формула задает частичную функцию / : Nra —> N, где f(k\,..., кп) = к, если и только если N |= Ф^^ь ..., кп, к), т.е. формула Фи(к\,..., кп, к) истинна в стандартной интерпретации. Пусть фиксирована гёделева нумерация всех формул языка LA. Формулу с гёделевым номером к будем обозначать Ф&. Через ГФП будем обозначать гёделев номер формулы Ф. Если к — гёделев номер такой формулы LA, которая не содержит параметров, отличных от xi,..., хп, у, то посредством обозначим n-местную частичную функцию, задаваемую формулой Ф^ • Вместо <р\ будем писать Опираясь на лемму 19 в работе [1, §52], можно доказать, что композиция арифметических функций есть арифметическая функция, номер которой вычисляется примитивно-рекурсивно по номерам исходных функций. Также с помощью той же леммы устанавливается справедливость s — m — п-теоремы для предложенной нумерации арифметических функций.

Представляет интерес рассмотрение варианта конструктивной логики, основанной на понятии арифметической вычислимости. Понятие арифметической реализуемости для языка LA можно определить по аналогии с рекурсивной реализуемостью Клини [1, §82]. Однако нетрудно убедиться, что возникающая при этом семантика совпадает со стандартной классической семантикой языка LA. Поэтому более уместным представляется рассмотрение арифметической реализуемости сразу в контексте абсолютной реализуемости предикатных формул [2].

Предикатные формулы строятся из атомарных формул Т, 1 и P(vi,...,vn), где Р есть п-местная предикатная переменная; v\,... ,vn — предметные переменные. Наряду со стандартными

1 Коновалов Александр Юрьевич — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexandr.konovalQgmail.com.