CC BY
11
УДК 512.54
Вестник СибГАУ Том 17, № 2. С. 368-371
УЛУЧШЕНИЕ ОЦЕНКИ КОЛИЧЕСТВА 6-АПЕРИОДИЧЕСКИХ СЛОВ ФИКСИРОВАННОЙ ДЛИНЫ
В. И. Сенатов
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44
Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: [email protected]
У. Бернсайд поставил вопрос о локальной конечности групп, все элементы которых имеют конечные порядки. Отрицательный ответ был получен лишь в 1964 году Е. С. Голодом. Позднее С. В. Алешиным, Р. И. Григорчуком, В. И. Сущанским была предложена целая серия отрицательных примеров. Конечность свободной бернсайдовской группы периода n установлена в разное время для n = 2, n = 3 (У. Бернсайд), n = 4 (У. Бернсайд, И. Н. Санов), n = 6 (М. Холл). Доказательство бесконечности этой группы для нечетных показателей n > 4381 было дано в работе П. С. Новикова - С. И. Адяна (1967), а для нечетных n > 665 - в книге С. И. Адяна (1975). Более наглядный вариант доказательства для нечетных n > 1010 был предложен А. Ю. Ольшанским (1989). В связи с этими результатами рассматриваются множества апериодических слов. Под ¡-апериодическим словом понимают слово X, если в нем нет непустых подслое вида Y. Рассматривается вопрос о количестве 2-апериодических слов в двухбуквенном алфавите и как много 3-апериодических слов в этом алфавите. В монографии С. И. Адяна (1975) приведено доказательство С. Е. Аршона (1937) того, что в алфавите из двух букв существует бесконечное множество сколь угодно длинных 3-апериодических слов. В монографии А. Ю. Ольшанского (1989) доказана теорема о бесконечности множества 6-апериодических слов и получена оценка снизу количества таких слов любой данной длины. Наша задача получить более точную оценку для функции f(n) количества 6-апериодических слов длины n. Результаты могут найти применение при кодировании информации, использующейся в сеансах космической связи.
Ключевые слова: группа, периодическое слово, апериодическое слово, алфавит, локальная конечность.
Sibirskii Gosudarstvennyi Aerokosmicheskii Universitet imeni Akademika M. F. Reshetneva. Vestnik Vol. 17, No. 2, P. 368-371
IMPROVING OF ESTIMATE OF THE NUMBER
OF 6-APERIODIC WORDS OF FIXED LENGTH
V. I. Senashov
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation Siberian Federal University 79, Svobodniy Av., Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation E-mail: [email protected]
W. Burnside raised the issue of locally finiteness of groups, all elements of which have finite order. A negative answer was received only in 1964 by E. S. Golod. Later S. V. Aleshin, R. I. Hryhorczuk, V. I. Sushchanskii proposed series of negative examples. Finiteness of the free Burnside group of period n installed at different times for n = 2, n = 3 (W. Burnside), n = 4 (W. Burnside, I. N. Sanov), n = 6 (M. Hall). Proof of infinity of this group for odd n > 4381 was given by P. S. Novikov and S. I. Adian (1967), and for odd n > 665 in the book of S. I. Adian (1975). More intuitive version of the proof for odd n > 1010 was proposed by A. Yu. Olshansky (1989). In connection with these results we consider sets of aperiodic words. Under the l-aperiodic word understand the word X if in it there is no non-empty subwords of the form Y1. We consider the question about the number of 2-aperiodic words in a two-letter alphabet and how many 3-aperiodic words in this alphabet. In the monograph of S. I. Adian (1975) shows a proof of S. E. Arshon (1937) of the fact that in the two letters alphabet there is an infinite set of arbitrarily long 3-aperiodic words. In the book of A. Yu. Olshansky (1989) a theorem on the infinity of the set of 6-aperiodic words and obtained a lower bound function for the number of words of a given length was proved. Our aim is to get more accurate estimate for the function f (n) of the number of 6-aperiodic words of given length n. The results can be applied when encoding information is used in space communications.
Keywords: group, periodic word, aperiodic word, alphabet, local finiteness.
Введение. В 1902 г. Уильям Бернсайд поставил вопрос о локальной конечности групп, все элементы которых имеют конечные порядки [1]. Впоследствии этот вопрос приобрел статус проблемы Бернсайда о периодических группах. Отрицательный ответ на него был получен впервые лишь спустя 62 года, в 1964 г. Е. С. Голодом [2]. Позднее С. В. Алешиным (1972) [3], Р. И. Григорчуком (1980) [4], В. И. Сущанским (1979) [5] была предложена целая серия отрицательных примеров. Сам У. Бернсайд в своей статье 1902 г. [1] обратил особое внимание на вопрос о локальной конеч-
n 1
ности групп с тождественным соотношением х = 1.
Группа B(d,n) = F/F1, d > 1, которая получается факторизацией свободной группы F = F(d) с d-обра-зующими по нормальной подгруппе Fn, порожденной n-ми степенями всех элементов из F, называется сейчас свободной бернсайдовской группой показателя (или периода) п. Ее конечность установлена в разное время для п = 2 (тривиальный случай), п = 3 (У. Бернсайд), п = 4 (У. Бернсайд для d = 2; И. Н. Санов [6] для произвольного d), п = 6 (М. Холл [7]).
Доказательство бесконечности группы B(d,u), d > 2, для нечетных показателей п > 4381 было дано в работе П. С. Новикова - С. И. Адяна [8], а для нечетных п > 665 - в книге С. И. Адяна [9]. Гораздо более доступный и геометрически наглядный вариант доказательства для нечетных п > 1010 был предложен А. Ю. Ольшанским [10], который на основе усовершенствованного им геометрического метода построил для каждого достаточно большого простого числа p бесконечную ^-группу, все собственные подгруппы которой имеют порядок р. Это наиболее сильная форма отрицательного ответа на вопрос Бернсайда, означающая существование бесконечного множества конечно порожденных периодических групп с тождеством, сколь угодно далеких по своим свойствам от конечных.
В связи с этими результатами рассмотрим множества апериодических слов, которые могут быть как конечными, так и бесконечными. Автором был сделан доклад «Апериодические слова» в 2015 г. на конференции «Решетневские чтения» [11].
Основной результат. Под периодическим словом с периодом Н понимается любое подслово некоторой степени Нр, р > 0. В этом смысле ababa - периодическое слово с периодом ab или ba.
Под l-апериодическим словом понимают слово X, если в нем нет непустых подслов вида Y.
Рассмотрим вопрос, как много 2-апериодических слов в алфавите a, b и как много 3-апериодических слов в этом алфавите.
Выпишем в лексикографическом порядке все слова в алфавите a, b с условием, что любое подслово в таких словах не содержит подслов, являющихся вторыми степенями других слов.
Таких 2-апериодических слов всего шесть: a, ab, aba, b, ba, bab.
Теперь начнем выписывать в таком же порядке различные слова в алфавите a, b, в которых не встречается подслов, являющихся третьими степенями других слов:
а, аа, ааЬ, ааЬа, ааЬаа, ааЪааЪ, ааЪааЪа, ааЪааЪаа, ааЪааЪаЪ, ааЪааЪаЪа, ааЪааЪаЪаа, ааЪааЪаЪааЪ, ааЪааЪаЪааЪа, ааЪааЪаЪааЪаа, ааЪааЪаЪааЪааЪ,
ааЪааЪаЪааЪаЪЪ... По мере составления списка становится понятным, что таких 3-апериодических слов бесконечно много. В монографии С. И. Адяна [9] приведено доказательство С. Е. Аршона 1937 г. [12] того, что в алфавите из двух букв существует бесконечное множество сколь угодно длинных 3-апериодических слов. Тем самым подтверждается гипотеза о бесконечности множества слов в алфавите а, Ъ, в которых не встречается подслов, являющихся третьей степенью других слов.
В 1906 г. А. Туэ установил существование 3-апериодических слов произвольной длины в любом неоднобуквенном алфавите [13]. В работе [14] рассмотрена задача, являющаяся обобщением задачи о существовании сколь угодно длинных бесквадратных слов над алфавитом из трех букв.
В работе [15] была доказана теорема (доказательство близко к [16]) о бесконечности множества 6-апериодических слов и получена оценка снизу функции /(п) - количества таких слов длины и: в алфавите {а,Ъ} существует сколь угодно длинные 6-апериодические слова. Более того, число /(и) таких слов длины п больше, чем (3/2)и.
Наша задача получить более точную оценку для функции /(и) количества 6-апериодических слов длины п . Проведем рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 4.6 из [15], заранее не выставляя значение оценки, а будем искать ее в виде хп. При этом мы изменим доказательство из [15], чтобы получить более точную оценку множества 6-апериоди-ческих слов любой заданной длины. Тем самым мы докажем следующую теорему.
Теорема. В алфавите {а,Ъ} существует сколь угодно длинные 6-апериодические слова. Более того, число /(и) таких слов длины п больше, чем (х)и , для любого х из интервала (1,3219635; 1,9221753).
Доказательство. Докажем неравенство /(и +1) > > х • /(и) по индукции. Одновременно будем вводить ограничения на х. Сразу отметим очевидное неравенство: х > 1.
База индукции /(2) > х • /(1), где /(1) = 2, /(2) = 4. Для того, чтобы выполнялась база индукции 4 > х • 2, положим х < 2 .
Каждое 6-апериодическое слово длины и +1 есть результат приписывания справа одной из букв а или Ъ к 6-апериодическому слову длины и. Можно получить 2/и) слов X длины и + 1. Но некоторые из полученных слов могут содержать степени А6. Нужно оценить число подобных возможностей.
Может получиться лишь равенство вида X = УА6 , поскольку иначе уже начало длины и слова X длины и +1 содержит А6 . Для слов А длины 1 (всего два таких слова) имеется меньше чем 2/(и - 5) слов вида
X = УА6, где слово У 6-апериодично и |У| = и - 5 :
(........ааааа) а,
п-5
(„.,,,, ЪЪЪЪЪ) ъ.
п-5
Существует 4 слова А длины 2. Количество соответствующих слов вида X = УА6 длины п +1 меньше, чем 4/(п -11), где слово У 6-апериодично длины п -11:
(.......аа аа аа аа аа а) а,
п-11
(.......Ъа Ъа Ъа Ъа Ъа Ъ) а,
п-11
(.......аЪ аЪ аЪ аЪ аЪ а) Ъ,
п-11
(„.,,,, ЪЪ ЪЪ ЪЪ ЪЪ ЪЪ Ъ) Ъ.
п-11
Но такие слова, как начала первого и последнего слов, уже не содержатся в множестве 6-апериоди-ческих слов длины п , поэтому их надо убрать из этого списка. Таким образом, слов вида X = УА6 длины п +1 меньше, чем 2/(п -11), где У - 6-апериодичес-кое слово длины п -11.
Аналогично продолжая рассуждения, получаем: /(п +1) > 2/(п) - 2/(п - 5) --(4 - 2)/(п -11) - (8 - 2)/(п -17)...
Поскольку по предположению индукции /(п +1) > х • /(п), получается
/(п +1) > 2/(п) - (2(х)-5 /(п) + 22 (х)-11 /(п) + +23 (х)-17 / (п) +...) + (2( х)-11 / (п) + 2( х)-17 / (п) +...).
Вынося /(п) за скобки, получаем: /(п +1) > /(п)(2 -(2(х)-5 + 22(х)-11 + 23(х)-17 +...) +
+ (2( х) 11 + 2( х)-17...).
Обозначим второй сомножитель правой части за 5 и применим формулу для суммы членов геомет-
1-6
рическои прогрессии со знаменателем 2 • х для пер-
-6 -
вой суммы и со знаменателем х - для второй:
2 х ~5 х"п
5 = 2 + 2 .
1 - 2 х 1 - х
Неравенство /(п +1) > х • /(п) будет выполняться при 5 > х. Получаем:
0 -5 -11
п ~ 2х х
5 = 2--— + 2--— > х.
1 - 2 х 1 - х
Преобразуем данное неравенство:
4х-12 - 6х 6 + 2 - 2х-5 + 2х-11 + +2х-11 - 4х-17 - 2х-11 + 3х~5 - х Л
-6-6-> о,
(1 - 2 х ~6)(1 - х ~6)
-4х-17 + 4х-12 + 2х_11 - 6х~6 + х- х + 2
-6-6->
(1 - 2 х ~6)(1 - х "6)
Домножим на x числитель и знаменатель
(напомним, что 1 < x < 2 ):
2x17 - x18 + x12 - 6x11 + 2x6 + 4x5 - 4 (x6 - 2)(x6 -1) Получаем две системы неравенств:
1)
> 0.
2x17 - x18 + x12 - 6x11 + 2x6 + 4x5 - 4 > 0,
2)
[(x6 - 2)(x6 -1) > 0;
12x17 - x18 + x12 - 6x11 + 2x6 + 4x5 - 4 < 0,
(x6 - 2)(x6 -1) < 0.
Нас интересует решения этих систем в интервале (1; 2). Решение системы 1 можно приблизить интервалом (1,3219635; 1,9221753), причём этот интервал полностью содержится в решении системы. Решением системы 2 является интервал (1; .^2) . Нас интересует максимальное значение x, поэтому мы можем брать значения x из интервала (1,3219635; 1,9221753). Теорема доказана.
Заключение. Рассмотрено множество 6-апериоди-ческих слов и получена более точная, чем в работе [15], оценка для функции f (n) количества 6-апериодичес-ких слов длины n .
Благодарности. Работа выполнена при поддержке гранта Сибирского федерального университета (проект «Алгебро-логические структуры и комплексный анализ»).
Acknowledgment. This work was supported by the grant of the Siberian Federal University (Project "Algebra-logical structures and complex analysis").
Библиографические ссылки
1. Burnside W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups // Quart. J. Pure. Appl. Math. 1902. Vol. 33. P. 230-238.
2. Голод E. С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых группах // Изв. АН СССР Сер. мат. 1964. № 2 (28). С. 273-276.
3. Алешин С. В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Мат. заметки. 1972. № 3 (11). С. 319-328.
4. Григорчук Р. И. О проблеме Бернсайда о периодических группах // Функциональный анализ и его прил. 1980. № 1 (14). С. 53-54.
5. Сущанский В. И. Периодические ^-группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда // ДАН СССР. 1979. Т. 247. С. 557-560.
6. Санов И. Н. Решение проблемы Бернсайда для показателя 4 // Учен. зап. ЛГУ. 1940. Т. 55. С. 166-170.
7. Холл М. Теория групп. М. : ИЛ. 1962. 468 с.
8. Новиков П. С., Адян С. И. О коммутативных подгруппах и проблеме сопряженности в свободных периодических группах нечетного порядка // Изв. АН СССР, сер. мат. 1967. № 1 (32). С. 212-244.
9. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М. : Наука. 1975. 336 с.
10. Ольшанский А. Ю. Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка // Алгебра и логика. 1982. № 5 (21). С. 555-618.
11. Сенатов В. И. Апериодические слова // Решетневские чтения : материалы XIX Междунар. науч.-практ. конф., посвящ. 55-летию Сиб. гос. аэро-космич. ун-та им. акад. М. Ф. Решетнева (10-14 нояб. 2015, г. Красноярск) : в 2 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2015.
4. 2. С. 132-133.
12. Аршон С. Е. Доказательство существования n -значных бесконечных асимметричных последовательностей // Мат. сб. 1937. № 4 (2 (44)). С. 769-779.
13. Thue A. Uber unendliche Zeichenreih // Norcke Vid. Selsk. skr., I Mat. Nat. Kl. Christiania. 1906. Bd. 7.
5. 1-22.
14. Котляров H. В. О словах, избегающих квадраты с одной возможной ошибкой замещения // Ломо-носов-2014 : материалы Междунар. молодеж. науч. форума / отв. ред. А. И. Андреев, А. В. Андриянов, Е. А. Антипов. М. : МАКС Пресс, 2014.
15. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М. : Наука, 1989. 300 с.
16. Гуревич Г. А. Бесповторные последовательности // Квант. 1975. № 9. С. 7-11.
References
1. Burnside W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups. Quart. J. Pure. Appl. Math., 1902, Vol. 33, P. 230-238.
2. Golod E. S. [On nil-algebras and finitely approximable groups]. Izv. AN SSSR, Ser. mat., 1964, No. 2 (28), P. 273-276 (In Russ.).
3. Aleshin S. V. [Finite automats and the Burnside problem on periodic groups]. Mat. zametki, 1972, Vol. 11, No. 3, P. 319-328 (In Russ.).
4. Grigorchuk R. I. [On Burnside problem for periodic groups]. Funktsion. analiz i yego pril., 1980, No. 1(14), P. 53-54 (In Russ.).
5. Sushchanskii V. I. [Periodic district permutation groups and unlimited Burnside problem]. DAN SSSR, 1979, Vol. 247, P. 557-560 (In Russ.).
6. Sanov I. N. [Solving the problem of Burnside for exponent 4]. Uch. Zap. LSU, 1940, Vol. 55, P. 166-170 (In Russ.).
7. Hall M. Teoriya grupp [Group Theory]. Moscow, Inostrannaya literatura Publ., 1962, 468 p.
8. Novikov P. S., Adyan S. I. [On abelian subgroups and the conjugacy problem in free periodic groups of odd order]. Izv. AN SSSR, Ser. mat, 1967, No. 1(32), P. 212244 (In Russ.).
9. Adyan S. I. Problema Bernsayda i tozhdestva v gruppakh [Bernside Problem and Identities in Groups]. Moscow, Nauka Publ., 1975, 336 p.
10. Olshansky A. Yu. [Groups of limited period with subgroups of prime order]. Algebra i logika, 1982, No. 5(21), P. 555-618 (In Russ.).
11. Senashov V. I. [Aperiodic words]. Materialy XIX Mezhdunar. nauch.-prakt. Konf. "Reshetnevskiye chteniya" [Proceedings of XIX Intern. scientific and practical. conf. "Reshetnev Readings"] (10-14 Nov. 2015, Krasnoyarsk). Krasnoyarsk, SibSAU Publ., 2015, Part 2, P. 132-133 (In Russ.).
12. Arshon S. E. [Proof of existence of n -unit infinite asymmetric sequences]. Mat. sb., 1937, No. 4(2 (44)), P. 769-779 (In Russ.).
13. Thue A. Uber unendliche Zeichenreih. Norcke Vid. Selsk. skr., I Mat. Nat. Kl. Christiania, 1906, Bd. 7, P. 1-22.
14. Kotliarov N. V. [On the words, avoiding the squares with a possible error of substitution]. Materialy Mezhdunar. molodezhn. nauch. foruma "Lomonosov-2014" [Proceedings of the Intern. Youth Scientific Forum "Lomonosov-2014"]. Ed. A. I. Andreev, A. V. Andria-nov, E. A. Antipov. Moscow, MAX Press Publ., 2014 (In Russ.).
15. Olshansky A. Yu. Geometriya opredelyayushchikh sootnosheniy v gruppakh [Geometry of defining relations in groups]. Moscow, Nauka Publ., 1989, 448 p.
16. Gurevich G. A. [Nonrepetitive sequences]. Kvant, 1975, No. 9, P. 7-11 (In Russ.).
© Сенатов В. И., 2016
