Апериодические слова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения. 2017

УДК 519.45

АПЕРИОДИЧЕСКИЕ СЛОВА

В. И. Сенашов1, 2

1 Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

2Красноярский научный центр СО РАН Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 Е-mail: sen1112home@mail.ru

Приведен обзор результатов исследований по апериодическим словам. В 1902 году У. Бернсайд поставил вопрос о локальной конечности групп, в которых выполнено соотношение xn = 1. Первый отрицательный ответ на него был получен в 1968 г. в работах П. С. Новикова-С. И. Адяна. Конечность свободной бернсайдовской группы периода n установлена в разное время для n = 2, n = 3 (У. Бернсайд), n = 4 (У. Бернсайд; И. Н. Санов), n = 6 (М. Холл). Доказательство бесконечности этой группы, для нечетных показателей n > 4381 было дано в работах П. С. Новикова-С. И. Адяна (1968), а для нечетных n > 665 - в монографии С. И. Адяна (1975). В монографии А. Ю. Ольшанского (1989) установлена бесконечность множества 6-апериодических слов в двухбуквенном алфавите и получена оценка количества таких слов любой данной длины. Наша задача получить оценку для функции f (n) количества m-апериодических слов длины n в алфавите из двух букв.

Ключевые слова: группа, инволюция, условие конечности, слойная конечность, периодическая группа.

APERIODIC WORDS V. I. Senashov1, 2

1Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation 2Krasnoyarsk Science Centre SB RAS Institute of Computational Modelling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation Е-mail: sen1112home@mail.ru

In 1902 W. Burnside raised the issue of the local finiteness of groups in which the relation xn = 1 is satisfied. The first negative answer was received in 1968 in the articles by P. S. Novikov and S. I. Adian. The finiteness of the free Burnside group of period n was established for n = 2, n = 3 (W. Burnside), n = 4 (W. Burnside, I. N. Sanov), n = 6 (M. Hall). The proof of infinity of this group for odd n > 4381 was given in the articles by P. S. Novikov and S. I. Adian (1968), and for odd n > 665 in the monograph by S. I. Adian (1975). In S. I. Adian's monograph (1975) the method of S. E. Arshon (1937) was applied to prove that in the alphabet of two letters there exist infinite 3-aperiodic sequences. In the monograph by A. Yu. Ol'shanskii (1989) infinity of the set of 6-aperiodic words in the two-letter alphabet is established and an estimate is obtained for the number of such words of any given length. Our problem is to obtain an estimate for the function f(n) of the number of m -aperiodic words of length n in the alphabet of two letters.

Keywords: group, involution, finiteness condition, aperiodic words, layer-finiteness, periodic group.

Приводится обзор результатов исследований по апериодическим словам. В 1902 г. У. Бернсайд поставил вопрос о локальной конечности групп, в которых выполнено соотношение хп = 1 [1]. Впоследствии этот вопрос приобрел статус проблемы Бернсайда о периодических группах. Первый отрицательный ответ на него был получен в 1968 г. в работах П. С. Новикова-С. И. Адяна [2-4].

Группа В(С, п) = Р/Рп, d >1, которая получается факторизацией свободной группы Р = Р(С) с С образующими по нормальной подгруппе Р", порожденной п-ми степенями всех элементов из Р, называется сей-

час свободной бернсайдовской группой показателя (или периода) п. Ее конечность установлена в разное время для п = 2, п = 3 (У. Бернсайд), п = 4 (У. Бернсайд, И. Н. Санов), п = 6 (М. Холл).

Доказательство бесконечности свободной бернсайдовской группы для нечетных показателей п > 4381 было дано в работах П. С. Новикова-С. И. Адяна (1968), а для нечетных п > 665 - в монографии С. И. Адяна (1975) [5].

Гораздо более доступный и геометрически наглядный вариант доказательства для нечетных п > 1010 был предложен А. Ю. Ольшанским [8], который

Прикладная математика

на основе усовершенствованного им геометрического метода, построил для каждого достаточно большого простого числа p бесконечную /»-группу, все собственные подгруппы которой имеют порядок р. Это наиболее сильная форма отрицательного ответа на вопрос Бернсайда, означающая существование бесконечного множества конечно порожденных периодических групп с тождеством, сколь угодно далеких по своим свойствам от конечных.

В монографии С. И. Адана (1975) [5] применен способ С. Е. Аршона (1937) [10] для доказательства того, что в алфавите из двух букв существуют бесконечные 3-апериодические последовательности.

В монографии А. Ю. Ольшанского (1989) [8] установлена бесконечность множества 6-апериодических слов в двухбуквенном алфавите и получена оценка количества таких слов любой данной длины.

Автором был сделан доклад «Апериодические слова» в 2016 г. на XI Международной школе-конференции по теории групп, затем исследования по этому вопросу были продолжены в работе [7] была улучшена оценка А. Ю. Ольшанского из [8] количества 6-апериодических слов в двухбуквенном алфавите.

Наша задача получить оценку для функции f (n) количества m -апериодических слов длины n в алфавите из двух букв.

Библиографические ссылки

1. Burnside W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups // Quart. J. Pure. Appl. Math. 1902. Vol. 33. P. 230-238.

2. Новиков П. С., Адян С. И. O бесконечных периодических группах. I // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1968. № 1 (32). С. 212-244.

3. Новиков П. С., Адян С. И. O бесконечных периодических группах. II // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1968. Т. 32, № 2. С. 251-524.

4. Новиков П. С., Адян С. И. O бесконечных периодических группах. III // Изв. АН СССР, Сер. Мат. 1968. Т. 32, № 3. С. 709-731.

5. Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М. : Наука, 1975. 336 с.

6. Адян С. И. Проблема Бернсайда и связанные с ней вопросы // Успехи мат. наук. 2010. Т. 65, № 5 (395). С. 5-60.

7. Сенатов B. И. Улучшение оценки количества 6-апериодических слов фиксированной длины // Вестник СибГАУ. 2016. № 17 (23). С. 168-172.

8. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М. : Наука, 1989. 448 с.

9. Thue A. Uber unendliche Zeichenreihen // Norcke Vid. Selsk. skr., I Mat. Nat. Kl. Christiania. 1906. № 1 (7). P. 1-22.

10. Аршон С. Е. Доказательство существования n-значных бесконечных асимметричных последовательностей // Мат. сб. 1937. № 24 (44). С. 769-779.

References

1. Burnside W. [On an unsettled question in the theory of discontinuous groups]. Quart. J. Pure. Appl. Math. 1902, Vol. 33. P. 230-238.

2. Novikov P. S., Adyan S. I. [On infinite periodic groups. I]. Izv. Academy of Sciences of the USSR. Ser. Mat. 1968. № 1 (32). P. 212-244. (In Russ.)

3. Novikov P. S., Adyan S. I. [On infinite periodic groups. II]. Izv. Academy of Sciences of the USSR. Ser. Mat. 1968. № 2 (32). P. 251-524. (In Russ.)

4. Novikov P. S., Adyan S. I. [On infinite periodic groups. III]. Izv. Academy of Sciences of the USSR. Ser. Mat. 1968. № 3 (32). P. 709-731.

5. Adyan S. I. The problem of Burnside and identity in groups. Moscow : Nauka, 1975. 336 p.

6. Adyan S. I. [The Burnside problem and related questions]. Uspekhi Mat. Nauk. 2010. № 5 (65). P. 5-60. (In Russ.)

7. Senashov V. I. [Improved estimation of the number of 6-aperiodic words of a fixed length]. 2016. 17 (23). P. 168-172. (In Russ.)

8. Olshansky A. Yu. Geometry of defining relations in groups. Moscow : Nauka, 1989. 448 p.

9. Thue A. [Uber unendliche Zeichenreihen]. Norcke Vid. Selsk. skr., I Mat. Nat. Kl. Christiania. 1906. № 1 (7). P. 1-22.

10. Arshon S. E. [Proof of the existence of n -valued infinite asymmetric sequences]. Mat. Sb. 1937. 24 (44). P. 769-779. (In Russ.)

© Сенашов В. И., 2017