CC BY
31
УДК 517.948
ОБ ОДНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТЕПЛОВОЙ ДИАГНОСТИКИ
А.И. Сидикова
ABOUT ONE INVERSE OVERSPECIFIED PROBLEM OF THERMAL DIAGNOSTICS
A.I. Sidikova
Обобщенным методом проекционной регуляризации решена переопределенная обратная смешанная граничная задача для уравнения теплопроводности и получены точные по порядку оценки погрешности этого решения.
Ключевые слова: обратная задача, регуляризация, оценка погрешности, некорректная задача, преобразование Фурье.
The over specified inverse bounded problem for the heat conduction equation was solved by the generalized method of regularizing projection and the error estimate of this solution was obtained.
Keywords: inverse problem, regularization, error estimate, ill-posed problem, Fourier transformation.
Введение
Во многих отраслях техники встречаются процессы, связанные с нагреванием твердых тел потоками жидкости или газа. Особую роль при этом играет информация о температуре на поверхности этих тел.
Как правило, единственным способом определения этой температуры является решение граничных обратных задач для уравнений теплообмена в твердых телах по результатам измерений внутри этих тел. Во многих случаях возникает необходимость использования результатов измерений температуры в большем числе точек, чем это требуется для однозначного определения искомых характеристик. Переход к переопределенным постановкам обратных задач обычно позволяет получить более достоверные данные [1].
1. Постановка обратной задачи
Пусть тепловой процесс описывается уравне-
нием
du(x,t) д u(x,t)
О < х < 1, t > О,
(1)
о( дхг
решение и(х.[) которого определено и непрерывно в замкнутой полосе [0,1] х [0, оо) и удовле-
творяет следующим начальному и граничным условиям:
и(х, 0) = 0, 0 < х < 1; (2)
u(l,t) = h(t), t> 0 (3)
du(0,t)
дх
-ku(0,t) = 0, k> 0, t> 0,
(4)
где коэффициент к неизвестен,
hit) е С2[0,со), /г(0) = /г'(0) = 0 (5)
и существует ЧИСЛО 10 > 0 такое, что для любого
t>t0
h(t) = 0. (6) Рассмотрим множество Мг с Ь2 [0, оо), определяемое формулой
h{t) : hit) e Z2[0,co);
Mr =
(7)
| h2 it)dt +1 [h \t)f dt < r2
ko о
В дальнейшем будем предполагать, что искомая функция hit), используемая в (3), удовлетворяет условию
hit)eMr. (8)
* Работа поддержана грантом р_ урал_ а № 10-01-96000.
Сидикова Анна Ивановна - старший преподаватель Sidikova Anna Ivanovna - senior lecturer of the Computa-
кафедры вычислительной математики, Южно-Уральский tional mathematics department of South Ural State University;
государственный университет; [email protected] [email protected]
Предположим, что при /(| (I ) и g0 (I ) существует функция hо (I). удовлетворяющая условиям, сформулированным вьппе, такая, что при h(t) = h0(t) существует решение u(x,t) задачи (1)-(4), удовлетворяющее условиям:
и(хъ0 = М0 и u(x2’0 = g0(0,
о < х1 < х2 < 1, t> о,
(9)
но эти функции нам не известны, а вместо них даны некоторые функции /5 (I ) И gs (/) е /,2 [0, х) П /-1 [0, оо) и число 5 > О такие, что
(10)
Требуется, используя исходные данные задачи х1,х2, 8, г, /5(/) и определить прибли-
женное значение /?:: (/) и оценить его уклонение |/% -^о|^[Осю) от точного значения /г0(Х).
2. Сведение задачи (1), (2), (4) и (8)—(10) к задаче вычисления значений неограниченного оператора
Продолжим решение и(х,/) задачи (1)-(4) на отрицательную полуось, положив и(х,/) = 0 при / < 0.
Введем пространство Я = £2(-со,со) + /£2(-со,со) над полем комплексных чисел и оператор /' . отображающий пространство Я в Я и определяемый формулой
1 СО
^[/г^)] = .__ | /г(?)е-ш^, — оо < т < оо. (11)
Из теоремы Планшереля [2] следует, что оператор определяемый формулой (11), унитарен. Таким образом, (1) сведем к уравнению
д и(х,х)
йг2
= /хи(х,х), хє(0,1), — оо < х < оо, (12)
где и(х,т) =F[u(x,t)\.
u(Xl,0=f(0
и
u{x2,z) = g(x),
где f(T)=F[f(t)\, a g(x) =F[g(0].
Решение уравнения (12) имеет вид
[д (х)е№,/ї + ^ (х),-^, х > 0;
и(х,х) =
(1+/) ^ (1-0
Л2(х)е +52(х)/°х^, х<0,
(13)
(14)
(15)
где ц0 = -
л/2
Цо =-
л/2
а Д(х),^12(х),51(х)
и В2 (х) - произвольные функции. Из (12)—(15) следует, что
/г(х) =
g(x) sh Цо (1 - хх )л/х - 7 (х) sh Цо (1 - х2 )л/х
sh^i0(x2 -Х[)л/х
х>0;
g(x) sh цо (1 - хх ^ - 7(х) sh цо (1 - х2 )^/jx|
(16)
sh|o0(x2-x^^/jxf
х<0,
где Н(т) = І‘\Іі(І)\ и /г(х) = и(1,х) = Итм(х,х).
Таким образом, если оператор Г, действующий из пространства Я х Я в Я, определим формулой (16), где
ад = {(?і): (7і)єЯхЯ, Г[/(х)і(х)]єя} -
область определения оператора Г, то задача (12)-(14) сведется к задаче вычисления значений неограниченного оператора Т
Чт)=Г[/(т),£ (х)], -со<Х<со. (17)
Теперь покажем, что сужение оператора Т на подпространство Ь2 [-1,1] х Ь2 [-1,1], которое обозначим через 1 является ограниченным оператором, здесь Ь2[-1,1]- комплексное. Так как
|п/(т)і(т)]|| =2|| Г[/(х),І(х;
то оценим Пусть
ІІІ2І-1Д]
ПДт)і(т)]
2
Lj[0,1]
ДО
2
Lj[0,1]
12
І2[0Д]
g(0
L2[0,1]
<1. Тогда
Ish |а0 (1 — )Vx| +Is1i|j.0(1-x2)a/x|
< 2 sup J---------------- -!—!---- --------L. (18)
0STSl |sh|o0(x2-хх)л/х|
Так как
Ish^a-x^Vxl2
|sh M-o(x2 -лі)л/х| ch2 (1 - xx )л/х/ 2 - cos2 (1 - хх)л/х/ 2
sh2(x2 -хх)л/х/ 2
|sh (x0 (1-х2)л/т| |sh (x0 (x2 - Xj )Л|
< ch2 (1 - x2 )Vt/2 - cos2 (1 - x2)л/х72 sh2(x2 -хх)л/т/ 2 то из (18) следует, что
|И/(х),я(т)]|| <
II ІІІ2І0Д]
2
„ ch2 (1 - х, )у/т/2 - cos2 (1 - х, )у/т/2 < 2 sup —-—^___________________________1 --------+
0<т<1
sh2(x2 -х1)л/х/2
+2 sup
0<т<1
ch2 (1 - х2 )л/х/2 - cos2 (1 - х2 )л/х / 2
sh2(x2 -х1)-\/х/2
. (19)
Ввиду того, что
,2
ch2 (1 - хх )\Іт/2 - cos2 (1 - xx )л/х/ 2
T^-0
sh2(x2 -x1)'\/x/2
sh (1-х,)л/х/2 sin (1-х,)л/х/2 = lim——--------------------------1 -+ Inn——-1 -
sh (x2-х1)л/х/2 ^Osh (x2-x1)vx/2
x^-0
= 2
1- хх
х2-хх
(20)
то из (20) следует
сЬ2 (1 — х, )-\/ х / 2 — сое2 (1 — х, )-\/ х / 2
2І1ГП-------------^^_____________________ 1 ------+
Т^-0
sh2(x2 -х1)л/х/2
сЬ2(1-х7)л/х/2 -cos2(1-x7)Vx/2 +2 lim---- 2 v 2/v
Х^-0
sh2(x2 -х1)л/х/2
= 4
1-х,
+ 4
l2
1-Х
Таким образом, функция \|/(т). определяемая формулой
2сЬ2(1-х1)л/х/2 -cos2(1-x1)Vx/2 +
у(х) =
+ 2
sh2(x2 -х1)-\/х/2 ch2 (1 - х2 )-\/х / 2 - cos2 (1 - х2 )уіт/2
sh2(x2 -x1)Vx/2
0 <х < 1:
1-х,
л.2
+ 4
1-х,
л.2
х = 0,
непрерывна на отрезке [ОД] и потому существует число с, > 0 такое, что для любого т е [0,1]
|ч/(т)|< с\. (21)
Из (19)—(21) следует, что
<с,
(22)
и потому сужение оператора Т на пространство 12[-1,1]х12[-1,1] является ограниченным оператором. Теперь разобьем задачу (17) на две. Первая из них имеет вид -і ,
/г (х) = Т [/ (х),Я (х)] =
ё (фЬцоО-Хі)^-/
sh ц0 (х2 - X] )л/т
0 < т < 1;
v1
g (т) sh ц0 (1 - )д/рг| - / (^shnoG-X;)^
(23)
sh Ц0 (х2 “ X1 )-\/R
-1 < т < 0,
^1 ^ ^1 ^ где те [-1,1], / (х)=/(х) и £ (т) = «(т) при
те [-1,1].
Из соотношения (22) следует, что оператор Г1, определяемый формулой (23), ограничен и соответствующая задача
И {х) = Т1[/ (Х),£ (х)]; хе[-1,1], (24)
где /г (х) = /г(х) при те[-1,1], корректна.
Вторая задача является задачей вычисления значений неограниченного оператора Т2, определяемого формулой
»2 9 ^2 ~2 А (х) = Т [/ (Х),£ (х)] =
Я2 (-с) вЬ ц0 (1 - хх )л/х - /2 (х) вЬ ц0 (1 - х2 )л/х
sh|a0(x2 -х^л/х g (х) sh ц0 (1 - xt )Д - /2 (х) sh ц0 (1 - х2 )Д
х>1;
2
(25)
sh(J.0(x2 — хх)дДх[
х <-1.
^2 - -2 - а Л2
/ (« = /(«, Я ('0 = ) и /г(т) = /г (т) при
|т| > 1.
Обозначим через Мг множество из Я такое, что Мг и> |. Тогда с учетом (7),
~ |2
Мг =ІИ(т):И(т)єН, j(l + x2)|/f(x)| dx<
Из (8) следует, что /го (т) е Мг.
Так как задача (23) корректна, то в ней нет необходимости требовать выполнения условия
-—-2
/го (х) е Мг, а для задачи (25) через Мг обозначим сужение множества М г, определяемого формулой (26), на пространство
—2 . .
я = я1ия2,
где Ях = Ь2 [1, оо) + /Х2 [1, оо) ;
Я2 = Х2(-оо,-1]+/Х2[-1,оо), то есть
мі =мг Пя2.
(27)
Предположим, что точное значение /го (х) в
-—-2
задаче (25) принадлежит классу Мг. Для решения задачи (25) используем семейство операторов [3], определяемое формулой
т ^2 ~2
т1и (*),£ (X)] =
2
2
2
2
2
4
g (x) sh (j.0 (1 - xx )4% - 7(x) sh (j.0 (1 - x2 )л/х
sh ц0 (x2 - xx )л/х g (x) sh (x0 (1 - xj )>/jxf - 7 (x) sh (x0 (1 - x2 )A/jxf
sh M-0(x2 _хі)л/ т
(і8)
0, Ixl > a.
^2,a
Приближенное значение hs (x) задачи (25) определим формулой
'2, a
Лб (т) = 7^[/5(х);я5(х)]. (29)
Для выбора параметра регуляризации а = а(5) в формуле (29) рассмотрим оценку
^2,a ^2
hs ~h о
^2,a
<
2,a ^2,a hs, -ho
^2,a ^2
/?o -ho
где h0 (x) = ra[/0(x);g0(x)].
2
^2 ^2 і
f 8 ~ f 0 + 8s ~8о
<52.
(30)
(31)
= 05,
Так как из (29) и (31) следует, что
^ 2, а ^ 2, a
sup hs - ho
Ik2 -2II2 IU2 -2II2 2 /s~/o +£б_£о -5
то перейдем к оценке нормы оператора Т2, определяемого (28). Так как ||7^|| при те[1,а] совпадаете при те[-а,-1], то достаточно получить оценку нормы ||z^ I при т е [1,а].
Лемма 1
Если a > 1, то справедлива оценка
4
Г2 <
e(x2-xi) _е-(х2-х1)
(l-x^Va/2
Доказательство
Пусть
но (19), получаем
^2 і
/ (х) +
(х) <1. Тогда, аналогич-
W (T),g (X)]
„ ch(l -х, )л/х/2 <2 sup —----------1 ,_____(32)
1<т<а
sh(x2 -хх)л/х/2
Так как при т є [1, a]
ch(l - хх)л/хТ2 < e(1~Xl)'/^2,
а
sh(x2 - Xj )л/т / 2 >
то
g(x2-xi) _g-(*2-*l) і
2
ch(l - x, Woe/2 sup-------1—j^=<—--------- --- ---
l<x<a Sh(x2 - XX ) Є(Х2 ^> - e-(*l-X‘}
(1-Xlyfci2
следовательно, на основании (32)
\\т2 <
4
е(х2-хі) _Є-(Х2-Х!)
^(І-х^л/а/2
Тем самым лемма доказана.
Лемма 2
Существует число а0 > 1 такое, что для любого а > а0 справедлива оценка
И^2II ^ 1 ^(1-х?)Уа/2
II а 11“ 4 '
Доказательство
Пусть х0 е [1,а] и
(1- хі )-\/хо"| ^ЬцоО-х^л/х
__________^_ — m a v _!__________
■ = шах
(х2 - Х1 )^\ 1-%-а |sh Цо (х2 - Х1 )Л\
■. (33)
Тогда для любого достаточно большого значения п определим функции /и (х) = О и
~2
8п(т) =
О,
1 < X < Ха :
л/й, х0 - — < х < х0; п
О,
Таким образом,
х0 < х < ос.
min ;
тє[т0—,т0]
х0
(1 — хі )л/х |
max |sh|u,0(x2 — хх)л/х|
тфо-----До]
. (34)
Так как из непрерывности функции |shz| следует, что min | sh |u,0 (1 — )л/т|
тє[т0—,т0] n
max I sh ц0 (x2 - xx )-\/x| 1SxSa | sh Цд (x2 - xx )-\/x|
тє[т0—,x0]
при n —^ go, то из (33) и (34) следует, что
II 2II sh(І-х^л/тТЇ
71 > max-----------— >
1<т<а
ch(x2 - х1 )л/х/ 2
(1-Х!)л/ос72 _ -(l-xO-Joil
2e<-X2~Xl )V^/2
-(і-хО^Л
(35)
Учитывая, что
-> 0 при а —> со, и на
2^(х2-XI )л/оТ2
основании (35) получим существование числа а0 > 1 такого, что для любого а > а0
||г21| > ^ ..(I )У'/. 2
II а 11“ 4 '
Тем самым лемма доказана.
Пусть
" 2 "
СО
тогда
; (а) = sup j I
2
йо(х)
-2 —2 Jx : /zо (x) є Adr r, (36)
О
і
і
n
і
вир'
л2, а ^2
ко -/го
л 2 —2 1
/го еМг} = со(а).
(37)
Из (26) и (27) следует, что при условии
-2 —2 /го(т) еМг
1
+ т2)
-2
/го (х)
ёх<г .
Из (36) и (38) следует, что со2(а) = - Г
(38)
(39)
1 + а
Таким образом, из (30), (37), (39) и леммы 1 следует, что
л2,а
/г8 - /го
< -
л/ь
Г + спе
(1-х2)л/а72
(40)
ГДе С 2 —
е(*2-х0 _е~(.х2~х0
Параметр регуляризации а = а(8) в формуле (29) выберем из условия
с2 8
Тогда из (40) и (41) следует, что 2 г
-2,а(6) -2
//5 -ко
(41)
(42)
/1 + а (5)
Из теоремы, сформулированной в [3], леммы 2 следует, что оценка (42) является точной по порядку.
!-*1
Пусть ------> л/2е ^ . Тогда, ввиду того, что
с25
функция V 1 + а2е(1 А’' _ строго возрастая по а,
а-*1)
изменяется ОТ л/2е ^ ДО СО, существует единственное решение а(8) уравнения (41).
Для упрощения оценки (42) рассмотрим два уравнения:
Г
(43)
п-х^УаТг _
с25
е
го-х^л/а/г _
с25
(44)
Решение уравнений (43) и (44) обозначим через а1(8) и аг(8). Тогда из (41), (43) и (44) следует, что при достаточно малых значениях 8 справедливы соотношения
аг(8) < а(8) < а1(8). (45)
Из (43) и (44) следует, что
а! (8) =■
2
(1-хх)
-1п
2 Г с2 8
аг(8) = -
1
-!п
с28
2(1-* Г
а из (45), что
а(8) ~ 1п2 8 при 8 —» 0. (46)
Из (42) и (46) следует существование числа с3 >0 такого, что при достаточно малых значениях 8 справедливо неравенство
(47)
Л2,а(8) л2
Ы -/го
< с31п 2 8.
Из леммы 2 и (46) следует, что оценка (47) является точной по порядку, то есть существует число с4 > 0 такое, что при достаточно малых значениях 8
sup
2,а(5) -2
/г5 -ко
: ко е Мг
^2 ^2 2 ~2 ~2
f 8 ~/о + ~8о
< 82 > >с41п~2 8.
Далее решение задачи (23) обозначим через /гз(х):
А5(х) = Г1[/5(т),я5(т)]. (48)
Из (22) и (48) следует, что
(49)
1 -1 Ы (х) - ко (х)
< сх8,
где ко(х)=Т |/0(х).»0(т)|. Решение задачи (17) определим формулой
- -1 л2,а(8)
/гз (х) = кь{х) + кь {%).
(50)
Тогда из соотношений (47), (49) и (50) следует существование числа с5 > 0 такого, что
< с51п 2 8.
(51)
/гб(т)-/го(х)
Теперь рассмотрим
1 СО
Н (0 = К-1 [к (X)] = -= | к (т)е,х‘с1т. (52)
Окончательно решение /г5(/) обратной задачи (1), (2), (4), (9) определим формулой
. Г Ке[Аб(х)], 0 < / < со;
«б(0 = 1 [ 0, / < 0.
Из (52) и (53) следует, что |К(0-А)(0Ис5ЬГ2 8.
(53)
Заключение
Предложенный обобщенный метод проекционной регуляризации не связан технически со спектральной функцией оператора задачи и потому допускает постановку и решение некорректно поставленных задач в различных пространствах. Этот факт оказывается очень важным при решении
г
2
г
2
4
2
г
переопределенных обратных задач тепловой диагностики, так как такие задачи принципиально невозможно погрузить в одно пространство.
Литература
1. Алифанов, О.М. Экстремальные методы решения некорректных задач / О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, С.В. Румянцев. - М.: Наука, 1988.
2. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1972.
3. Танана, В.П. Об оптимальности по порядку одного метода вычисления значений неограниченного оператора и его приложения / В.П. Танана, А. И. Сидикова // Сиб. журн. индустр. матем. -2009 - Т. 12, № 3(39). - С. 125-135.
Поступила в редакцию 10 августа 2010 г.
