Об одной модели оптимального управления уравнением Осколкова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБ ОДНОЙ МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЕМ ОСКОЛКОВА

Н.А. Манакова

ON A MODEL OF OPTIMAL CONTROL OF THE OSKOLKOV EQUATION

N.A. Manakova

Найдены достаточные и необходимые условия существования оптимального управления решениями задачи Шоуолтера - Сидорова уравнения, моделирующего эволюцию давления вязкоупругой жидкости. Абстрактные результаты подтверждены численными экспериментами. Ключевые слова: уравнение Осколкова, уравнения соболевского типа, задача оптимального управления

Sufficient and nesessary conditions of the optimal control existence of solutions to the Showalter - Sidorov problem of the equation modeling evolution of the visco-elastic fluid pressure are found. Abstract results are confirmed by numerical experiments.

Keywords: the Oskolkov equation, Sobolev type equations, optimal control problem

Введение

Неклассическое уравнение

(A — Д)ж( = аАх — \х\р~2х + / (1)

моделирует эволюцию давления (х = x(s,t)) вязкоупругой жидкости, фильтрующейся в пористой среде [1]. Параметры A, a G М+ характеризуют упругость и вязкость жидкости, причем экспериментально было отмечено, что отрицательные значения параметра А не противоречат физическому смыслу модели [2]. Свободный член / = f{s,t) соответствует внешней нагрузке. В целом уравнение показывает зависимость давления вязкоупругой несжимаемой жидкости (например, высокопарафинового сорта нефти), фильтрующейся в пористом пласте, от внешней нагрузки (например, давления воды, нагнетаемой по скважинам в пласт).

Рассмотрим начально-краевую задачу

(А — A)(x(s,0) — so(s)) = 0, s € fi; (2)

x(s,t) = 0, (s,t) € dQ x (0,T) (3)

для уравнения (1) в цилиндре fi х (0, Т), где U С Мп - ограниченная область с границей dQ класса С°°. Нелокальные задачи для уравнения (1) изучались в [3] при А € М+. При А 6 I задача (1) - (3) изучалась в [4], в которой показано, что при всех А 6 1 фазовым пространством уравнения (1) является простое гладкое С'1-многообразие. Однако

эти результаты не очень удобны при численных расчетах, поэтому в данной статье мы воспользуемся иным подходом, основанным на методе Галеркина - Петрова - Фаэдо.

В подходящих функциональных пространствах X, 2) задача (2), (3) для уравнения (1) редуцируется к задаче Шоуолтера - Сидорова

— ж0) = 0 (4)

для полулинейного операторного уравнения соболевского типа

Ь х +М(х) = и. (5)

Нас интересует оптимальное управление

J(x,u) —ишп (6)

решениями задачи (4) - (6). Здесь J{x,u) - некоторый, специальным образом построенный, функционал штрафа; управление и € 11а^, где йаа - некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений Я. Таким образом, оптимальное управление решениями задачи (1) - (3) дает возможность минимизировать штрафные санкции при добыче нефти, выбрав внешнюю нагрузку таким образом, чтобы поддерживать необходимое давление жидкости в пласте. Линейная задача оптимального управления (т. е. оператор М : X —> 2) линен и непрерывен) рассматривалась в монографии [5, гл. 7]. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации (1) - (3), (6) впервые была рассмотрена в [6].

Статья организована следующим образом. В п. 1 доказано существование единственного решения задачи (4) для уравнения (5) методом Галеркина. С использованием идеологии [7], [8] находятся достаточные условия разрешимости задачи (4) - (6). Далее в п. 2 мы сводим задачу (2), (3) для уравнения (1) к задаче (4) для уравнения (5) и приводим необходимые условия экстремума для задачи (4) - (6) в терминах сопряженной задачи. В п. 3 представлены результаты работы программ, вычисляющих оптимальное управление для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации в случае п = 2,р = 2илир = 4.

1. Задача оптимального управления

Пусть И — ('Н', (•,•)) - вещественное сепарабельное гильбертово пространство,

отождествленное со своим сопряженным; (95,95*) - дуальная (относительно двойственности (•,•)) пара рефлексивных банаховых пространств, причем вложения

(7)

плотны и непрерывны. Пусть Ь 6 £(*8; 95*) - линейный, самосопряженный, неотрицательно определенный фредгольмов оператор, чей ортонормальный (в смысле 'Н) набор собственных векторов {<рк} образует базис в пространстве 03. Пусть далее М € Сг{95; 95*) - э-монотонный (т. е. (Му(у)х,х) > 0, Ух,у € 95 \ {0}) и р-коэрцитивный (т. е. (М(х),х) > См||ж||г и ||М(Ж)||* < С'м||ж||г) 1 при некоторых константах См,См € М+ и 1,р € [2, +оо),г 6 N и любом ж € 95, || • || и || • ||* - нормы в пространстве 95 и 95* соответственно) оператор [9].

Прежде всего сделаем ряд замечаний относительно терминологии. Отметим, что для гладких операторов М : 95 —> 95* из сильной монотонности следует й-монотонность, а из «-монотонности - строгая монотонность. Далее оператор М : 95 —> 95* назовем сильно коэрцитивным, если

(М(и + гЛ,г>) .. „

1нп ------гт-^----= +оо Уи е 95.

1мн°° N

Очевидно, что сильно коэрцитивный оператор коэрцитивен. Оказывается, что из р-коэрцитивности следует сильная коэрцитивность. Доказательства этих фактов можно найти в [9].

Рассмотрим задачу Шоуолтера - Сидорова

Дж(0) — х0) = 0 (8)

для полулинейного уравнения соболевского типа

І і +М(х) = /. (9)

В виду самосопряженности и фредгольмовости оператора Ь отождествим 95 Э кег Ь = сокег і с 95*. Очевидно, 95* = сокег Ь (В ітЬ. Обозначим через проектор вдоль сокег Ь на ітіи сделаем допущение

(I — С?)/ не зависит от і Є (О, Т). (10)

Тогда если х = ж(£),£ Є [0,Т] - решение уравнения (9), то оно с необходимостью лежит во множестве

[х ЕЪ : (I —Q)M(x) = (I —Q)f}, если кег£^{0};

95, если кег£ = {0}.

Система {<Рк} собственных векторов оператора Ь тотальна в 93, поэтому построим галеркинские приближения решения задачи (8), (9) в виде

т

хт({) = <*&(£)¥>*, т > сШткег-Ег,

*=1

где коэффициенты ак = а^), к = 1, определяются решением следующей задачи:

{1,х?,1рк) + (М{хт),1рк) = (/,(рк), (11)

(жт(0) -х0,щ) = 0, к = 1,...,т. (12)

Уравнения (11) представляют собой вырожденную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть 95т = зрап{</?1, </?2) • ••, Тт Е К+, Тт = Тт(хо).

Лемма 1. [9] При любых хо € 93 и т > сИт кег £ существует единственное решение

хт Е Сг(0,Тт;95т) задачи (И), (12).

Теорема 1. [9] При любых хо Е 93, Т Е К+, / € 1^(0,Т; 95*) таких, что выполнено (10), существует единственное решение х € £оо(0, Т;сонп Ь) П Ьр(0,Т;Ш) задачи (8), (9).

Фиксируем Т 6 М+. Построим пространство Я = {и £ Ьд(0,Т; 95*) : (I — (2)и(Ь) = 0, £ € (0, Т)}, р~1 + ц [ = 1, и определим в пространстве Я замкнутое и выпуклое множество Яа<г-Рассмотрим задачу оптимального управления (4) - (6), где функционал стоимости задается формулой

т т

J(x,u) = - J ||ж(г) - ^(*)||^ сИ + — у ||м(*)||^. <И, (13)

о о

— я<г(£) _ желаемое состояние.

Определение 1. Пару (х,й) Е £оо(0, Т;сот1Ь) П Ьр(0,Т]Ш) хЯа<г называют решением задачи (4) - (6), если J(x,v,) = т{ueudJ(x,u), и (х, й) удовлетворяет уравнению Ь х + М(х) = щ вектор й называют оптимальным управлением в задаче (4) - (6).

Теорема 2. [6] При любых жо € 95, Т Е М+ существует решение задачи (4), (5), (13).

2. Уравнение Осколкова

о

Редуцируем задачу (1) - (3) к задаче (4), (5). Для этого положим *8 =И/21, 'Н = £2 (все

функциональные пространства определены на области Г2). Заметим, что в силу теоремы

о

вложения Соболева Ьр непрерывно при п > 3 и 2 < р < 4/(п — 2) + 2. Положим

пространство 55* = Операторы Ь и М определим формулами:

(Lx, у) = J (А ху + VxVy)ds, п

{Мх, у) = J (aVxVy + \х\р 2xy)ds,

п

где х,у £ 05, (•, •) - скалярное произведение в L2. (Заметим, что всюду выполняется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам). Обозначим через {А*,} последовательность собственных значений однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа — Д в области Q, занумерованное по неубыванию с учетом их кратности.

Лемма 2. [6] (i) При всех А > —Ai оператор L самосопряжен, фредголъмов

и неотрицательно определен, причем ортонормальное семейство {ipk} его функций тотально в пространстве 55.

(п) При всех a G К+, п > 3, 2 < р < 4/(п — 2)+ 2 оператор М Е С*1 (55; 55*) s-монотонен и р-коэрцитивен.

Построим множество

971 = / 55, А > — А] ,

\ {ж G 55 : (М(х),(р\) = (y,<pi)}, А = -Аь

Из теоремы 1 и леммы 2 вытекает

Теорема 3. [6] Пусть А > —Ai, а £ Ж+ и п > 3, 2 < р < 4/(п — 2) + 2, тогда при любых жо € 55, Т € М+, / G Ь2(0,Т; 55*) таких, что выполнено (10), существует единственное решение х 6 Loo(0, T;coimL) flL2(0, Т;Ш) задачи (1) - (3).

Перейдем к рассмотрению задачи оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации. В цилиндре Q = х (О, Т) зададим функционал качества

т т

J(x,u) = \ j \\х- 2dH20i dt+ у J \\u\\2w-1{sl)dt, (14)

о w2{V) о

и выберем iiad С L2 (О, Т; W^1) - замкнутое, выпуклое множество, для элементов которого выполнено (I — Q)u(t) = 0. Из теоремы 2 и теоремы 3 непосредственно вытекает

Теорема 4. [6] Пусть А > —Ai, а Е К.+, п > 3, 2 < р < 4/(п — 2) + 2 тогда существует оптимальное управление в задаче (1) - (3), (14)-

Приведем теперь необходимые условия, которым удовлетворяет любое оптимальное управление и решениями задачи (1) - (3).

Теорема 5. [6] Пусть А > — Ai а Е R+, п > 3, 2 < р < 4/(п — 2) + 2, если и - оптимальное управление задачи (14), то существует вектор у Е £оо(0, Т; coim L) П Ьг(0, Т; 55) такой,

что

(А — А)#* — аАх + |ж|р~2ж = и,

(-А + А)у1 - аАу + (р - 1)\х\р~2у = (~Д)(ж(и) - гл), (в, *) 6 С},

ж(5,<) = у(в,£) = 0, (в,<) еШх (О,Г),

(А - Д)(ж(в,0) - жо(в)) = О, (-А + А)у(з,Т) = 0, в € О,

J(у + ЛГ(—Д)_1(«))(г; — и)йз<И > 0 \/г> £ иаа-

<0

3. Приложение

Рассмотрим уравнение Осколкова нелинейной фильтраци при п = 2

(А - Д)ж*(в1, з2, £) = аДж(в1,52, *)-

|ж(в1,в2,*)|р-2ж(в1,в2,<) +«(в1,в2,<)- (15)

Зададим область £1 = {(81,52) : 0 < в1 < 7Г, 0 < з2 < тт}. Рассмотрим начально-краевую задачу

(А - Д)(ж(5Ь 82,0) - ж0(з1,52)) = 0, (йь з2) Е (16)

ж(в1,32,*) = 0, (51,52,<) еапх (0,Т) (17)

для уравнения (15). Решение начально-краевой задачи (15) - (17) будем искать в виде галеркинской суммы

т т

жт0»1,в2,*) т > сИткег(А — Д), (18)

/=1 к=1

где {<ры} - множество всех решений краевой задачи на собственные значения

(А - Д)ж(вь «2) = 0, («1, «2) е Ф

ж(0,вг) = х(п,32) = ж(в1,0) = ж(в1,7г) = 0.

Хорошо известно, что эта спектральная задача разрешима для счетного набора

собственных чисел \ы, причем функции {еры} образуют ортонормальную с весом 47г-2

систему функций

7Г 7Г

4тг~2 ! J <РЫ(Рц(18Ф2 =< <РЫ,<Рц >= | д о о

1 = 1,к = г, I ^ 1,к ^

Легко подсчитать, что (ры = ц>ы{8ъ «2) = вт^х) зт(/в2), а Аы = —к2 — I2. В силу теоремы 3 для того, чтобы существовало единственное решение задачи (15) - (17), необходимо, чтобы А > -2.

Все вычисления производились в вычислительной среде Мар1е 9.0. Для того, чтобы были выполнены условия теоремы 4, возьмем, например, тп = 2, р = 2, А = —2, а =

3, и и(в1,в2,£) = «(£) 8т(2вх) 8т(2вг), чтобы (I — 0)и{з\, 82^) = 0, t Е (0, Т). Тогда,

умножив скалярно (15) на функции (ры, I = к — 1..2, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

®п(*) = О,

З І21 (*) + Юж2і(і) = О, З ®і2 (і) - 8жі2(і) = О,

. 6 Ж22 (І) + Ж22(і) = «(І).

(19)

Построим функционал стоимости (14), для этого зададим, например, я<|(51,а2) = 8т(в1) + 8ш(^2) и получим

Т ж ж

ООО

((ж(в!,82, І) - ^(в1,в2))в2)2№Мв2<Й+

Т ж ж

ООО

1

/

[-47ГЖи(*) + 27Г2Ж22(і) + ^7Г2(®12(*) + ®2і(*)) +

Ітг2ж|і(і) + 7Г2 + ^7Г2и(*)2]^.

(20)

Заметим, что (—Д)-1(8т(А;в1) зт(/в2)) = 8ш(Лв1)8т(/в2).

Для нахождения оптимального управления задачи (19), (20) с условиями Т — 1, жц(0) =

0, Х21 (0) = 2, Ж12(0) = 2, ж22(0) = 2, «(0) = 0, и(Т) = 1 (для определенности) была разработана программа, которая, опираясь на метод Ритца, ищет оптимальное управление в виде

N

, . (и(Т) — «(0))< ^ . .П7ГІ.

«(0) + ^ + 22 Сп 8Ш( —).

Г

П=1

Для задачи (15) - (17), (20) при N = 4 получим

м(ві,в2,і) = [і — 7,695362486 8Іп(7гі) — 3,674132956 8Іп(27гі)—

2,940115757 8Іп(37гі) — 1,9047656518Іп(47г<)] 8Іп(2зі) 8Іп(2в2).

Приведем необходимое условие существования оптимального управления при т = 2, р =

4, А = —2,а = 3, и «(ві,в2,і) = и(<)8Іп(28і)8Іп(282). Умножив скалярно (15) на функции <ры, к = 1..2, I = 1..2, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

§ж ц(і)(ж?2(і) + х%г(і)) + §ж21(^)жі2(і)ж22(і) + ^ж^(£)+

|®1і(І)*22(0 = °>

З Х2і (І) + |ж2і(і)(ж22(і) + Ж?!(І)) + §жц(і)жі2(і)ж22(£) + ^®2і(^) +

|ж2і(*)ж|2(і) + 9ж2і(<) = о,

з Хі2 (*) + |®12(<)(®22(*) + жи(*)) + §®1і(*)®2і(<)®22(<) + ШЖ12(*) +

(21)

і^і2(^)ж|1(і) - 9жХ2(і) = 0,

* о ;

\х22{і)х\1{і) = и{і).

6 І22 (і) + |ж22(і)(ж|2(«) + Ж^ОО) + §жіі(<)жі2(<)ж2і(і) + ^х\2(і) +

Построим сопряженную задачу к задаче (15) - (17) при р = 4 и получим

(—Л + Д)у*(в 1, ^2, <) - аАу(зг, з2, <) + Зж2^!, в2, *)у(з1, з2, *)

= (-Д)(ж(81,82,<) -^(в1,в2)),(в1,в2,*) € <2, (22)

у(в,<) = 0, <51,32,*) ЕдПх (О, Г),

(Л - Д)у(в,Т) = 0, (вьвг) € Г2. (23)

Умножив скалярно (22) на функции <ры, к = 1..2, I = 1..2, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

6 Ун (*) + |У\1^)(х\2{Ь) + Ж21(*)) + §(Я12(*)Ж22(*)У21(*) +

®21(*)®12(*)У22(*) + ®21(*)®22(*)У12(*) + ®и(*)®22(*)У22(*)) + |ж11(*)(ж21(*)у21<*) + Ж12(*)У12(*)) +

1^1^)уц(*) + I уи(*)ж|2(*) = 2(~4+*11(^,

18 У21 (*) + \х\2{г)у21{Ь) + §У21(*)(ж?1(*) + ж22(*))+

| {х\2 (*)жн (%22 (*) + аг12 (*)ж22 (*)уц (*)+

Х\\(*)ж22 (*)У12 (*) + ®21(<)®12(<)У12(<)) +

« !®21(<)(*11 (*)У11(*) + ®22 (*)У22 (*)) + 15У21(^)®21(*) = 5ж21(*), (24)

18 У12 (4) + |ж21(*)У12(*) + §У12(0(®11 (^) + ж22(*)) +

|(ж21 (*)жц(*)у22(*) + Ж21 (*)ж!2(*)у21 (*) +

®и(*)®22(*)У21(*) + Ж21(*)®22(*)Уи(*)) +

|ж12(*)(жц(*)у11(*) +ж22(*)у22(*)) + х§У12(*)ж12(*) = 5®12(<),

30 У22 (*) + |ж?1(£)у22(<) + !у22(*)(®12(*) + х21&)) +

|(жц(*)ж21(*)у12(*) + жп(г)ж22(*)уп(г)+

Жц (*)Ж12 (*)у21 (*) + ж21(*)ж12(%11(<)) +

|®22(*)(®12(*)У12<*) + ®21(*)У21(<)) + ИУ22(*)Ж22(*) = 8®22(*)-

По теореме 5, если «(51,з2,£) = и(€) вт(281) вт(252) - оптимальное управление, то решения систем (21), (24) должны удовлетворять следующему условию

т

/~~ + - и(Щ(И > 0

о

У«(в1,в2,*) = г?(£) вт(251) вт(252) £ Иа^.

Замечание 1. При помощи пакета Мар1е системы обыкновенных дифференциальных уравнений (21), (24) при условии жц(0) = х\х,х2\{$) = ж^ж^О) = ж^жггФ) = ж^2,уц(Т) = 0,у22(Г) = 0,уц(Т) = 0,у12(Г) = 0 разрешимы численно.

Автор выражает большую благодарность своему научному руководителю, проф. Г.А. Свиридюку за плодотворные дискуссии.

Литература

1. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С. Л. Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1991,- Т. 198.- С. 31 - 48.

2. Амфилохиев, В.Б. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений / В.Б. Амфилохиев, Я.И. Войткунский, Н.П. Мазаева // Тр. Лен. кораблестр. ин-та. - 1975. - Т. 96. - С. 3 - 9.

3. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для уравнений фильтрации неньютоновых жидкостей в пористых средах / А.П. Осколков, М.М. Ахматов, Р.Д. Щадиев // Зап. научн. сем. ЛОМИ. - 1991. - Т. 189. - С. 82 - 100.

4. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Изв. вузов. Математика.

- 2003. - № 9. - С. 36 - 41.

5. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov - Utrecht; Boston: VSP, 2003.

6. Манакова, H. А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Н.А. Манакова // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 438, № 9. -С. 1185 - 1192.

7. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе.

- М.: Наука, 1987.

8. Фурсиков, А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения / А.В. Фурсиков. - Новосибирск: Научная книга, 1999.

9. Свиридюк, Г.А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. - 1990. - № 2. - С. 55 - 61.

10. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе.

- М.: Мир, 1972.

Кафедра уравнений математической физики,

Южно-Уральский государственный университет [email protected]

Поступила в редакцию 22 сентября 2008 г.