Метод декомпозиции в задаче оптимального управления для полулинейных моделей соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

DOI: 10.14529/mmpl50212

МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

H.A. Манакова

В связи с большим количеством приложений на первый план выходит вопрос о численном решении задач оптимального управления. В случае нелинейного уравнения состояния поиск численного решения задачи оптимального управления значительно затрудняется. Одним из подходов к решению данной проблемы является метод декомпозиции. Этот метод позволяет линеаризовать исходное уравнение и весь феномен нелинейности перенести на функционал качества, что в значительной степени позволяет упростить численную схему нахождения приближенного решения задачи оптимального управления. В статье рассмотрен метод декомпозиции для задачи оптимального управления решениями полулинейной модели соболевского типа.

Ключевые слова: уравнения соболевского типа; оптимальное управление; метод декомпозиции.

Введение. Многие начально-краевые задачи для полулинейных уравнений в частных производных, неразрешенных относительно производной по времени, описывающие процессы, протекающие в механике, технике, производстве, в подходящих функциональных пространствах могут быть сведены к задаче Шоуолтера - Сидорова для полулинейного уравнения соболевского типа

k

L x +Mx + J2 Ni(x) = u, L(x(0) - xo) = 0. (1)

j=i

В работе [lj было показано, что рассмотрение условия Шоуолтера - Сидорова для уравнений соболевского типа позволяет уйти от феномена несуществования решения задачи Ко-ши при произвольных начальных данных и позволяет значительно упростить численные алгоритмы нахождения приближенных решений. Рассмотрим задачу оптимального управления решениями задачи (1)

J(x, u) ^ inf, u £ Uad. (2)

Здесь J(x, u) - некоторый, специальным образом построенный функционал качества; управление u £ Uad, где Uad - некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений U. Задача оптимального управления для линейного уравнения соболевского типа рассматривалась в монографии [2, гл. 7]. Задача оптимального управления для полулинейного уравнения соболевского типа рассматривалась в [3]. В случае нелинейного уравнения состояния поиск оптимального управления затрудняется. Одним из подходов к решению данной проблемы является метод декомпозиции [4]. Этот метод позволяет линеаризовать исходное уравнение и весь феномен нелинейности перенести на функционал, что в значительной степени упрощает численную схему нахождения приближенного решения задачи оптимального управления. В статье рассмотрен метод декомпозиции в задаче оптимального управления (2) для полулинейной модели соболевского типа (1).

1. Постановка задачи оптимального управления. Пусть H = (H; {■, •}) - вещественное сепарабельное гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным; (H, H*) и

(Bj, В*),] = 1,к,к € N - дуальные (относительно двойственности {■, ■)) пары рефлексивных банаховых пространств, причем вложения

Н ^ В ^ В ^П ^ ^ ... ^ В*к ^ Н* (3)

плотны и непрерывны, а вложение Н ^ П компактно. Пусть Ь € С(Н; Н*) - линейный, непрерывный, самосопряженный, неотрицательно определенный, фредгольмов оператор, чей ортонормальный (в смысле П) набор собственных векторов {фи} образует базис в пространстве Н, а М € С(Н; Н*) - линейный, непрерывный, симметричный, 2-коэрцитивный оператор. Пусть Nj € Сг(Bj; В*), г > 1,] = 1, к - в-монотонные и р^коэрцптпвные операторы, где pj > 2 и рк = тахpj, имеют симметричную производную Фреше.

j

Построим пространство И = Ь2(0, Т; Н*) и определим в пространстве И непустое замкнутое и выпуклое множество Иаа.. Рассмотрим задачу оптимального управления (1), (2), где функционал качества зададим формулой

т т

J(х, и) = а ! \\х(Ь) - га(Ь) \\в <Ь + в I \\п(Ь)\\Н <И, а + /3 = 1, (4)

о о

где га = га(1) - желаемое состояние. Введем в рассмотрение множество

ео1т Ь = {х € Н : {х,ф) = 0 Уф € кег Ь \ {0}}.

Построим пространство

dx

X = {x\ x € L^(0, T; coim L) П LPk(0, T; Bk),— € ¿2(0, T; coim L)}.

х€

X, удовлетворяющую условиям

I *(t)

0

dx k

dx

(L—,wj + {Mx,w} +Y. {Nj(x),w)

j=i

L(x(0) - xo) = 0, Vw € H, Уф € L2(0,T).

T

dt = f p(t) {u,w} dt . .

0

Теорема 1. При любых x0 € H,T € R+, u € L2(0, T; H*) существует единственное решение x € X задачи (1).

Доказательство теоремы аналогично приведенному в работе [3].

Определение 2. Пару (x, U) € X х назовем решением задачи оптимального управления (1), (2), если

J(x,U) = inf J(x,u),

(x,u)

где пары (x,u) € X х Uad удовлетворяют (1) в смысле опеределения 1; вектор-функцию U назовем оптимальным управлением в задаче (1), (2).

Замечание 1. Допустимым элементом задачи (1), (2) назовем пару (x,u) € X х Uad, удовлетворяющую задаче (1). Поскольку множество Uad = 0, то для люб ого u € Uad С U в силу теоремы 1 существует единственное решение x = x(u) задачи (1), поэтому условие существования допустимых элементов задачи (1), (2) выполнено.

I I Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming

& Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 2015, vol. 8, no. 2, pp. 133-137

Теорема 2. При любых х0 € Н, Т € М+ существует решение задачи (1), (2). Доказательство теоремы аналогично приведенному в работе [3].

2. Метод декомпозиции. Линеаризуем уравнение в (1) при помощи введения дополнительной переменной в уравнение состояния. Для этого определим х = х(и, у) = х(Ь, и, у) как

х

к

Ьх +Мх + £ N3 (у)= и, Ь(х(0) — хо)=0,

3=1 \ь)

и € Нол, у € ЬРк (0,Т; В к).

Построим пространство

йх

X = {х\ х € Ьо(0,Т; ео1ш Ь) П Ь2(0,Т; Н), ~г € Ь2(0,Т; сот Ь)}.

аЬ

Теорема 3. При любых х0 € Н, Т € М+, и € Нал, у € ЬРк(0,Т; Вк) задача (6) имеет, единственное слабо обобщенное решение х € Х\.

Доказательство. Перепишем задачу (6) в виде

Ь х +Мх = у, Ь(х(0) — хо) = 0, (7)

к

где у = и — ^ N3(у), у € Ь2(0,Т; Н*) П ЬЯк (0,Т; Вк). Тогда в силу теоремы 1 существует

3 = 1

единственное слабо обобщенное решение задачи (6) в смысле определения 1. □

Тогда задача оптимального управления (1), (2) с функционалом качества (4) эквива-

Л0ЫТЫЙ| 3с1Дс1Чв

.к

Ьх +Мх + N3(у) = и, х(и,у) = у, Ь(х(0) — х0) = 0,

3 = 1

и € Нал, У € Ьрк (0,Т; В к),

Т

](х,и,у)= в ■ а J \\х(Ь) — га(Ь)\\Вкк йЬ+ о

Т

+(1 — в) ■ аI \\у(Ь) — (Ь)\\Вкк йЬ + ^ \\и(Ь)\\2Н* йЬ ^ М, в € (0,1).

(8)

(9)

Т Т

\\и(Ь)\\Н* йЬ ^ оо В силу равенства х(и,у) = у функционал (9) эквивалентен функционалу (4).

Определение 3. Тройку (х,У,и) € х ЬРк (0,Т; В к) х назовем решением задачи оптимального управления (8), (9), если

](У,У,и) = И ](х,у,и),

(х,у,п)

где (х,и,у) удовлетворяет (8) в смысле определения 1.

Теорема 4. При любых х0 € Н, Т € М+ существует решение задачи (8), (9).

а

Доказательство. Из теоремы 1 вытекает, что оператор (Ь— + М) : Х\ ^ Ь2(0,Т; Н*) П

Ьдк (0, Т; Вк) есть гомеоморфизм. Поэтому функционал стоимости (4) можно записать в виде ](х, у, и) = ](у, и). Пусть {ит} С Нал, {ут} С ЬРк (0, Т; Вк) - последовательности такие, что

lim J(vm, um) = inf J(v, u),

тогда из (9) вытекает, что

\\um Hl2(0,T;H*) < COnst, \\vm\\Lpk (0,T;Bk) < COnst (10)

при всех m € N. Из (10) (переходя, если надо, к подпоследовательности) извлечем слабо сходящиеся последовательности:

um ^ U слабо в пространстве L2(0,T; H*), vm ^ V слабо в пространстве Lpk (0, T; Bk)■

В силу теоремы Мазура точка u € Uad ■ Обозначим за xm = x(vm, um) решение уравнения

к

L xm +Mxm

+ Е Nj (v m) — um■ (И)

j=l

Тогда в силу свойств операторов M, Nj получим

к

Mxm € L2(0,T; H*), N (vm) — J2 Nj (vm) € Lqk (0,T; Bk )■

j=i

Из (8) получим, что L Xm € L2(0, T; H*) П Lqk (0, T; B*). Введем в coim L норм у \x\2 — (Lx, x) ■ В силу принципа Куранта эта норма эквивалента норме, индуцированной из надпростран-ства H. Из уравнения (11) получим

\xm(t)\2 + Ci } \\xm(T)\\%dT < C2 f \\Um(T¿T + \xm(0)\2 < C3,

0 t ° (12) / \ xm (T)\2dT < C4, 0

где Ci — const > 0. Тогда в силу (10), (12) можно извлечь такие подпоследовательности, которые снова обозначим {xm}, {vm}, {um}, что

xm x * —слабо в L^(0, T; coimL),

xm — x — слабо bL2(0,T; H), Mxm — Mx — слабо в L2(0, T; H*). N (vm) — Ц ^^^o в Lqk (0,T; B*k )■ Перейдем к пределу в уравнении состояния (11) и получим

L x +Mx + ¡1 — U■

В силу (12) xm ограничены в L^(0,T;coim L) ПL2(0,T; H), xm ограничены в L2(0,T; coim L). Тогда в силу компактного вложения H ^ H получим, что последовательность xm сходится сильно и почти всюду в L2(0, T; H). 1.3 [5, с. 25] и получим 1 — N(%))■

Значит, переходя к пределу в уравнении состояния (11), получим

к

L x +Mx + Nj (v) — и. j=i

Следовательно, x — x(v,U) — v и liminf J(um,vm) > J(U, &)■ ^^етпт, (U,v) есть оптимальное управление в задаче (8), (9). □

| ;>Q Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming

& Computer Software (Bulletin SUSU MMCS), 2015, vol. 8, no. 2, pp. 133-137

Литература

1. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера - Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. - 2010. - Т. 3, № 1. - С. 104-125.

2. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. - Utrecht; Boston; Köln: VSP, 2003.

3. Манакова, H.A. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / H.A. Манакова // Дифференциальные уравнения. - 2007. - Т. 43, № 9. -С. 1185-1192.

4. Лионе, Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами / Ж.-Л. Лионе. -М.: Наука, 1987.

5. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. -М.: Мир, 1972.

Наталья Александровна Манакова, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Уравнения математической физики:», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected].

Поступила в редакцию 21 февраля 2015 г.

MSC 49J27, 47H05 DOI: 10.14529/mmpl50212

Method of Decomposition in the Optimal Control Problem for Semilinear Sobolev Type Models

N.A. Manakova, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, [email protected]

Due to the large number of applications the question of numerical solution of optimal control problems becomes very important. In the case of nonlinear state equations the search for optimal control is significantly difficult. One approach to the solution of this problem is the decomposition method. This method allows to linearize the original equation and to transfer the whole phenomenon of nonlinearity to the functional that greatly simplifies the numerical scheme for finding of approximate solution an optimal control problem. Keywords: Sobolev type equations; optimal control; decomposition method.

References

1. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. The Showalter - Sidorov Problem as a Phenomena of the Sobolev-Type Equations. The Bulletin of Irkutsk State University. Series: Mathematics, 2010, vol. 3, no. 1, pp. 104-125. (in Russian)

2. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators. Utrecht, Boston, Kôln, VSP, 2003.

3. Manakova N.A. Optimal Control Problem for the Oskolkov Nonlinear Filtration Equation. Differential Equations, 2007, vol. 43, no. 9, pp. 1213-1221.

4. Lions J.-L. Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles. Paris, Dunod, 1968.

5. Lions J.-L. Quelques mérthodes de resolution des problèmes aux limites non linéaires. Paris, Dunod, 1968.

Received February 21, 2015