Об одной кубической вариационной задаче Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988.38 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 4

ОБ ОДНОЙ КУБИЧЕСКОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ*

В. Н. Малозёмов, Г. Ш. Тамасян

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

В простейшей вариационной задаче стационарная кривая является непрерывно дифференцируемой функцией. Теорема Гильберта о дифференцируемости содержит условие, которое гарантирует наличие второй производной стационарной кривой. Желательно иметь простой пример, когда условие теоремы Гильберта не выполнено и стационарная кривая не является дважды дифференцируемой.

В этой заметке анализируется кубическая вариационная задача со следующими свойствами: функционал задачи не ограничен как сверху, так и снизу; существует стационарная кривая, которая получается с помощью склеивания двух экстремалей и в точке склеивания которой отсутствует вторая производная. Несмотря на неблагоприятную ситуацию, делается попытка применить к данной задаче метод наискорейшего спуска (в форме, предложенной В. Ф. Демьяновым). Выясняется, что при правильной регулировке шага метод сходится к стационарной кривой. Библиогр. 2 назв. Ил. 6. Табл. 1.

Ключевые слова: кубическая вариационная задача, стационарная кривая, метод наискорейшего спуска.

1. Кубическая вариационная задача. Рассмотрим кубическую вариационную задачу вида

. (х) := j О')3 + 24гх] ¿г ^ ех^, :(-!) = -1, х(1) = 1, х € С 1[-1,1].

(1)

Покажем, что для этой задачи существует стационарная кривая, которая, однако, не принадлежит пространству С2[-1,1]; при этом

М. (х) = —то, вир. (х) = то, (2)

где инфимум и супремум берутся по множеству всех допустимых кривых. Подынтегральную функцию обозначим буквой Г,

Г (г,х,х') = (х' )3 + 24гх.

Стационарной кривой называется решение уравнения Эйлера

0

х А х ' удовлетворяющее краевым условиям.

В данном случае приходим к нелинейной задаче:

х( — 1) = -1, х(1) = 1. (4)

* Работа выполнена при поддержке СПбГУ (грант №9.38.205.2014). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

Решение уравнения (3) будем искать в виде алгебраического полинома второй степени, поскольку его производная есть полином первой степени, квадрат производной — полином второй степени, дифференцирование которого снова приводит к полиному первой степени. Несложные вычисления показывают, что необходимо взять

где £ = ±1 и с — произвольная вещественная константа.

К сожалению, ни одна из кривых вида (5), которые называют экстремалями, не удовлетворяет краевым условиям (4). Стационарную кривую получим, склеивая две различные экстремали. Положим

Имеем x^ (t) = 2|t|. Ясно, что функция x* принадлежит пространству C 1[—1,1], но не принадлежит C2 [— 1,1]. Последний факт соответствует теореме Гильберта о диф-ференцируемости (см., например, [1, с. 111]), так как вторая производная F'X.,x, на функции xФ в точке t = 0 обращается в ноль.

Функция xФ удовлетворяет уравнению (3) и краевым условиям (4). По определению она является стационарной кривой для вариационной задачи (1).

2. Доказательство предельных соотношений (2). Введем параметрическое семейство допустимых кривых (рис. 1)

x(t) = £t2 + С,

(5)

при t £ [0,1], при t £ [— 1, 0].

(6)

при t £ [а,, 1],

где а £ ( — 1,1).

Рис. 1. График функции xa(t).

Рис. 2. График функции g(a) = J(xa) на интервале ( — 1, 1).

Вычислим значение . (ха). Имеем

,-а 2

(1+«)6

24 ^ ЬхайЬ = -4(а2 + 4а - 3). Значит, выполняется равенство

-1

(1 + а)2'

1 54

(1 - а)2

2 54

(1 + а)2 (1 - а)2

Отсюда очевидным образом следуют предельные соотношения (2) (рис. 2).

3. Метод наискорейшего спуска. Интересно, что получится, если применить метод наискорейшего спуска к решению задачи (1). Напомним описание этого метода [2].

Рассмотрим простейшую вариационную задачу

.(х) := / Г(г,х(г),х'(г)) ¿г ^ м,

■'а (7)

х(а) = А, х(Ь) = В, х € С 1[а, Ь].

Здесь функция Г(г, и, у) непрерывна вместе с дГ/дп и дГ/ду на множестве [а, Ь] х К х К. Решение будем искать в виде

х(г) = А + [ г(т) ¿т, (8)

а

где г € С [а, Ь]. В этом случае х' (г) = г (г) на [а, Ь] и х(а) = А. Перепишем задачу (7) в терминах функции г:

](г) = I Г(г,х,г) ¿г ^ М,

а ,ь (9)

) := А + г(г) ¿г - В = 0.

а

Как известно [2, с. 182], функционал / дифференцируем по Гато, причем его производная Гато в точке г имеет вид

= I -^-<1Т+-Тг-'

Направление наискорейшего спуска функционала ](г) при ограничении <р(г) = 0 вычисляется по формуле

а

где

1 гь

- (10)

Ь - а I п

и 1кСМ)|| = у/¡* д2{г, г) М.

Опишем алгоритм решения задачи (9), который мы будем использовать при расчетах. В качестве начального приближения берется произвольная функция хо € С [а, Ь], удовлетворяющая ограничению ^>(хо) = 0. По формуле (10) вычисляется я(г,хо). Если д(г,х0) = 0 на [а, Ь], то х0 — стационарная точка. Процесс заканчивается. Иначе переходим к построению XI.

Общая (к + 1 )-я итерация, перед началом которой имеются хи и ц(г,хи) ф 0, состоит из следующих шагов:

• находим направление спуска О и (г) = О(г, хи);

• вычисляем 7и > 0 как точку минимума функции —и(7) = ](хи + ^Он) на полуоси (0, +то);

• определяем хк+1 = хк + 7к О и.

Если д(г,хк+1) ф 0 на [а, Ь], то хи+1 —стационарная точка. Вычисления прекращаются. Иначе переходим к очередной итерации.

Отметим, что все точки последовательности хо,Х1,... удовлетворяют ограничению задачи (9). Функции вида (8)

хи (г)= А +[ хи (т) ¿т, к = 0,1,..., (11)

п

удовлетворяют ограничениям задачи (7) и образуют для нее минимизирующую последовательность.

4. Пример. Воспользуемся описанным алгоритмом для решения задачи (1), заменив в ней операцию «extr» на «тЬ>. Имеем а = -1, Ь =1, А = -1, В = 1, Г(г,п,у) = V3 + 24Ьп и

Q(t,х) = 12(1 - г2) + 3х2(г).

В качестве начального приближения возьмем функцию хо(г) = г. Ей соответствует хо(г) ф 1. Вычисляем

f (хо) = 18, Q(г,zо) = -12г2 + 15, = -А).

Далее получаем

^0(7) := /(-го + 1С0) = + з72 _ 8л/Ш7 + 18.

График этой функции изображен на рис. 3. Единственным положительным корнем функции —о(7) является

70 = ^ (у777- 21) и 0.725.

Для первого приближения г\ получаем представление

z1(t) := +7оСо(*) = +

Переходим к построению Х2. Вычисляем

/(¿1) = 3916.081, 29~^(504^4 - 432^2 + 407 + 11 л/777),

с = 3(29-^77) (ЗИ4 _ 3^2 + 3)_ 16у 809 —29\^777

Далее получаем

^1(7) := I(х1 + 7^1) и -0.34373 + 3.89372 - 0.9557 + 16.081.

График этой функции изображен на рис. 4.

Старший коэффициент полинома ^1(7) отрицательный, поэтому выполняется

М ^1(7) = — 00.

Т>0

Отсюда следует, что рассматриваемая кубическая вариационная задача (1) не имеет решения.

Можно ограничиться локальным минимумом функции Ф1, который достигается в точке 71 и 0.125, и положить Х2 = Х1 + 71^1. Если и в дальнейшем на этапе поиска величины шага спуска ограничиваться информацией о локальном минимуме, получим сходящуюся последовательность {хь}.

В таблице приведены результаты расчетов для первых пяти приближений. Напомним, что стационарная кривая х*(£) определяется формулой (6). При этом имеем х*(£) = 2|£|. Функции хь и хь связаны соотношением (11).

Результаты расчетов

к ||~* — II тах |.т»(4) — ,тг-(4)|

0 18 5.060 0.816 0.250

1 16.081 0.955 0.214 0.053

2 16.022 0.437 0.132 0.033

3 16.008 0.248 0.090 0.020

4 16.004 0.151 0.069 0.015

5 16.002 0.086 0.057 0.012

На рисунках 5 и 6 изображены графики функций гь и хь при к, равном 0, 1, 5, и графики предельных функций Функция Х5 имеет вид

х5(г) и 0.1922031 + 1.739081 г3 - 2.853252 г5 + 5.459985 г7 - 8.941935 г9 + + 12.372540 г11 - 14.610029 г13 + 14.640463 г15 - 12.266217г17 + + 8.470679 г19 - 4.748481 г21 + 2.121426 г23 - 0.736246 г25 +

+ 0.190414 г27 - 0.034208 г29 + 0.00 3 7 63 г31 - 0.000189 г33.

5. Проекция производной Гато на подпространство. В заключение отметим, что функция д(г, г) является ортогональной проекцией производной Гато Q(t,г) на подпространство пространства С [а, Ь], определяемое условием

[ г (г) А = 0. (12)

а

Это следует из приведенной ниже леммы.

Пусть го(г) —произвольная непрерывная на отрезке [а, Ь] функция. Рассмотрим экстремальную задачу: минимизировать функционал

Сь

/ [г(г) - го(г)]2 ¿г

а

по всем функциям г € С [а, Ь], удовлетворяющим ограничению (12). Лемма 1. Данная задача имеет единственное решение

г*(г) = го (г) - со, (13)

где с° = ¿Г /о сЫ-

620 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3 (61). 2016. Вып. 4

Доказательство. Для любой функции г, удовлетворяющей условию (12), в силу определения со имеем

/*Ь /*Ь

0 < / [г - (го - со)]2 ¿г = [(г - го) + со]2 ¿г =

а а

/• Ь /• Ь /• Ь /• Ь

= (г — го)2 ¿г — 2 госо ¿г + / с2 ¿г = / (г — го)2 ¿г — (Ь — а)с2.

а а а а

Значит, справедливо неравенство

, Ь

/ (г — го)2 ¿г ^ (Ь — а)с2.

а

Равенство достигается только при г = го — со. Лемма доказана. □

ДОБАВЛЕНИЕ 1

Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Это добавление навеяно леммой из п. 5.

Пусть в пространстве ¿2 [а, Ь] заданы функция хо и ортонормированная система {£1,... ,£п}. Рассмотрим экстремальную задачу: минимизировать

, Ь

/ [х — хо]2 ¿г

а

по всем функциям х из Ь2[а, Ь], удовлетворяющим условиям

[ х£к ¿г = 0, к £ 1: п. (14)

а

Теорема 1. Данная задача имеет единственное решение

п

х* = хо — си £к, к=1

где ск = /а хо£к ¿г —коэффициенты Фурье функции хо. Доказательство. Обозначим

п

Ро = ^2 си £к.

к=1

Имеем

Ь п Ь

хоро ¿г = ^2 си хо£к ¿г = ^2 ск, к=1 ^а к=1 ¡'Ь I- Ь п

/ Ро ¿г = ^2 ск сЭ £к ¿г = ^2 ск. 'а к,] = 1 •Уа к=1

(15)

Возьмем произвольную функцию х 6 Ь2[а,Ь], удовлетворяющую условиям (14). Для нее в силу (15) выполняется

ро ро

0 ^ [x - (xo - po)]2dt = / [(x - xo)+ po)]2dt = J a J a

f b f b f b f b n / [x — xo]2 dt - 2 xopo dt + / p2 dt = [x - xo]2 dt — c

</a </a </a J a _-i

= I [x - ! - I ' o I ^

k=1

Остается переписать полученное неравенство в виде

b

2

/ь n

[x - xo]2 dt ck

k=i

и отметить, что равенство имеет место только тогда, когда x = xo - po. Теорема доказана. □

ДОБАВЛЕНИЕ 2

Эквивалентные определения стационарной кривой. Напомним, что стационарной кривой для простейшей вариационной задачи (7) называется допустимая кривая, удовлетворяющая уравнению Эйлера. Можно дать эквивалентное определение стационарной кривой в терминах функции q(t,z) вида (10).

Теорема 2. Для того чтобы допустимая кривая x* задачи (7) была стационарной, необходимо и достаточно, чтобы для производной z* = x' выполнялось соотношение

q(t,z*) = 0 на [a,b]. (16)

Доказательство. Необходимость. Пусть допустимая кривая x* является стационарной кривой. Проинтегрировав уравнение Эйлера по отрезку [t, b], получим

J F' (t,x* (r), z* (т)) dr - F', (b,x*(b),z*(b)) + F', (t,x*(t), z*(t)) = 0

или

Q(t,z*) = const на [a, b].

Теперь тождество (16) следует из определения (10) функции q.

Достаточность. Пусть x* — допустимая кривая и z* = x'*. Тогда выполняется

x*(t) = A + / z*(r) dr.

a

Продифференцируем тождество (16). Получим

-F^t,x,{t),x'tXt)) + jtF^{t,x,{t),x't{t)) eO на [a,6].

Это означает, что x* удовлетворяет уравнению Эйлера. По условию x* удовлетворяет ограничениям задачи (7), так что кривая x* является стационарной.

Теорема доказана. ■

Замечание. В п. 3 основного текста мы неявно пользовались следующим утверждением: если функция z принадлежит C[a,b], удовлетворяет ограничению задачи (9) и q(t,z) = 0 на [a, b], то функция x вида (8) является стационарной кривой для задачи (7). Справедливость этого утверждения следует из теоремы 2, если учесть, что x удовлетворяет ограничениям задачи (7).

Литература

1. Коша А. Вариационное исчисление / А. Коша; пер. с венгер. Д. Валовича; под ред. Ш. А. Алимова. М.: Высшая школа, 1983. 279 с.

2. Демьянов В. Ф. Условия экстремума и вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 2005. 335 с.

Статья поступила в редакцию 13 апреля 2016 г. Сведения об авторах

Малозёмов Василий Николаевич —доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]

Тамасян Григорий Шаликович — кандидат физико-математических наук, доцент; [email protected]

ON A CUBIC VARIATIONAL PROBLEM

Vassili N. Malozemov, Grigoriy Sh. Tamasyan

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected], [email protected]

An extremal curve of the simplest variational problem is a continuously differentiable function. Hilbert's differentiability theorem provides a condition that guarantees the existence of the second derivative of an extremal curve. It is desirable to have a simple example in which the condition of Hilbert's theorem fails to hold true and an extremal curve is not twice differentiable.

In this paper, we analyse a cubic variational problem with the following properties. The functional of the problem is neither bounded from above nor bounded from below. There exists an extremal curve of this problem that is obtained by pasting together two different extremal curves, and that is not twice differentiable at the sewing point. Despite this unfavourable situation, an attempt to apply the method of steepest descent (in the form proposed by V. F. Demyanov) to this problem is made. It appears that the method converges to the extremal curve provided one chooses a suitable step size rule. Refs 2. Figs 6. Table 1.

Keywords: cubic variational problem, extremal curve, method of steepest descent. References

1. Kosa A., Calculus of variations (Vyssh. shkola, Moscow, 1983, 279 p.) [in Russian].

2. Demyanov V. F., Extremality conditions and variational problems (Vyssh. shkola, Moscow, 2005, 335 p.) [in Russian].

Для цитирования: Малозёмов В. Н., Тамасян Г. Ш. Об одной кубической вариационной задаче // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3(61). Вып. 4. С. 615-623. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.410

For citation: Malozemov V. N., Tamasyan G. S. On a cubic variational problem. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2016, vol. 3(61), issue 4, pp. 615623. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.410