Градиентные методы в вариационной задаче со свободными концами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2012. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 519.85 Г. Ш. Тамасян

ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ СО СВОБОДНЫМИ КОНЦАМИ*)

Введение. В [1] продемонстрирована эффективная техника применения негладкого анализа [2] и теории точных штрафных функций [1, 3] в решении различных задач вариационного исчисления [4, 5]. В данной работе представлены результаты использования указанного в [1] подхода к задаче со свободными (подвижными) концами [6-8]. Получены в «новой» форме необходимые условия экстремума, а на их основе построены численные алгоритмы (прямые методы) наискорейшего спуска (МНС) и метод сопряженных градиентов (направлений) (МСГ) [1, 4, 5]. Из них элементарным образом выводятся «естественные краевые» условия [6-8].

Постановка задачи со свободными концами. Пусть Т > 0 фиксировано. Через Р2 [0, Т] обозначим класс непрерывно-дифференцируемых на [0, Т] функций с кусочно-непрерывной и ограниченной на [0, Т] второй производной.

Начнем изучение данной проблемы со случая фиксированного правого конца. Пусть заданы х\, Х2 € К.

Задача. Среди кривых, принадлежащих классу Р2[0,Т], удовлетворяющих условиям х(Т) = Х1, х'(Т) = Х2 и имеющих левый конец на прямой, параллельной оси ординат Ь = 0, найти ту, которая доставляет экстремум функционалу

т

1 (х)=! т'х"('м *■ (1)

о

где функцию Р будем считать непрерывно-дифференцируемой по всем своим аргументам на К х К х К х [0 , Т].

Рассмотрим множество

П0 = { х € Р2[0, Т] | х(Т)= х1, х'(Т) = х2 }. (2)

Переформулируем поставленную выше задачу (1), (2). Обозначим через г(Ь) = х''(Ь), тогда

т т т

х'(Ь) = х2 — J г(т) йт, х(Ь) = х1 + (Ь — Т )х2 + J ^ г (у) йуйт. (3)

Тамасян Григорий Шаликович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 20. Научные направления: недифференцируемая оптимизация, негладкий анализ, вариационное исчисление, теория управления, вычислительная геометрия. E-mail: [email protected].

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 12-01-00752).

© Г. Ш. Тамасян, 2012

Введем функционал

T т

f (z) = J F (xi + (t - T )x2 + J J z(y) djdr,x2 - J z(t ) dr, z(t),t)dt.

mm эквивалентна задаче миними-

жШо

Несложно показать, что задача (1), (2) I(х)

зации функционала ](г) на всем пространстве Р[0, Т]. Здесь Р[0, Т] - множество кусочно-непрерывных, ограниченных на отрезке [0, Т] функций. Действительно, любой функции г € Р[0,Т] с помощью формул (3) сопоставляется функция х € По, т. е. удовлетворяющая ограничениям на правом конце х(Т) = х\, х'(Т) = х2.

Пусть ¿1, ¿2 € Р[0,Т]. На множестве Р[0,Т] введем в рассмотрение следующие метрики:

Pi(zi,z2)= max

te[0,T ]

t T

J j(zi(Y) - z2(7)) dYdr

00

P2(zi, z2)

max

te[0,T ]

J j(zi(Y) - z2(Y)) dYd

zi(t) - z2(t)

00

max

te[0,T ]

t

J(zi(Y) - z2(Y)) dY

+

+ sup

te[0,T ]

P3(zi,z2)= sup zi(t) - z2(t)

te[0,T ]

Между метриками pi, p2 и рз существует такая связь:

T 2

Pi(zi, z2) < P2(zi, z2) <

T2

1 + T +

2!

P3(zi,z2),

Таким образом, метрика рз мажорирует метрики р2 и р1, а метрика р2 - метрики р1 и рз. Отсюда следует, что метрики р2 и рз эквивалентны.

Пусть £ > 0. Если г* € Р[0, Т] - точка локального минимума функционала ] на множестве Р[0,Т], то справедливы включения

|z | P3(z, z*) < £

2 rpk

У —

^ k\

k=0

-i

j С |z 1 P2 (z, z*) < С |z 1 pi(z, z*) <

Отсюда заключаем, что точка локального минимума функции ] на множестве Р[0,Т] в метрике р1 является точкой локального минимума и в метрике р2, и в метрике рз. В силу эквивалентности метрик р2 и рз точка локального минимума ] в метрике р2 есть точка локального минимума и в метрике рз (справедливо и обратное). Теперь заметим, что если г* € Р[0, Т] - точка локального минимума функционала ] на множестве Р[0, Т] с метрикой р1, то функция х*(Ь) (3) принадлежит множеству По и является сильной экстремалью функционала I(х) на множестве По.

Если же z* G P [0, T] - это точка локального минимума функционала f на множестве P[0, T] с метрикой р2 или р3, то функция x* (t) (3) есть слабая экстремаль функционала I(x) на множестве По.

Пусть z G P[0, T] фиксировано, e > 0. Выберем произвольное v G P[0, T]. Положим

ze(t)= z (t) + ev(t).

Функция Aze(t) = ze(t) — z(t) = ev(t) называется классической вариацией кривой z. Используя классическую вариацию [1, 4, 5], получаем

т

f (ze) = f (z) + e J Q(t, z)v(t) dt + o(e, v), (4)

о

o(e, v)

где--> 0 равномерно по v при sup |v(t)| ^ 1,

e 1 te[0,T]

t t

0 0

здесь F (t) = F(x,x' ,x" ,t). Функционал f дифференцируем по Гато в точке z, и функция Q(t, z) является «градиентом» Гато функционала f в точке z.

Г т

Направление g(t, z) = —Q(t, z)/\\Q(t, z)||, где ||Q(t, z)\\2 = I Q2(t, z) dt - это направ-

0

ление наискорейшего спуска (в метрике L) функционала f в точке z.

Пусть z* G Z - точка локального минимума функционала f на множестве Z. Пусть e > 0, выберем v G P[0,T] и положим

ze(t) = z*(t)+ev(t).

Так как pi(ze, z*) -> 0 для всех г = 1, 3, то

е|°

fl{Zm)= liminf f(*\~fM <lîminffM-f(^ =liminîf(z*+£:]-f(z*\ Pi(z,zt)^0 Pi(z,z*) e|° Pi (z£,z*) e4° e\\v\\i

где \\v\i = pi(v, O).

Теорема 1 [1]. Для того чтобы z* G P[0,T] была точкой глобального или локального минимума функции f на множестве P[0,T] в метрике pi, необходимо, чтобы

sir \ г - г f (z) — f (z*) n = limmf ----— > 0.

Pi(z,zt)^0 Pi(z, z* ) Учитывая произвольность v G P[0,T] из (4) и теоремы 1 имеем

T

j Q(t, z*)v(t) dt > 0 Vv G P[0,T]. (5)

0

Это условие необходимо в любой из метрик pi, г = 1,3.

Теорема 2. Соотношение (5) эквивалентно следующему условию:

t

г дР*Н) i' дР*н) дР*(ь)

о о

Здесь Г * (Ь) = Р{х*,х'^ ,х'' . Условие (6) является интегральным уравнением Эйлера для задачи (1), (2). Дифференцируя дважды выражение (6), получим условие

+ 172^7Г=° VíeJD(xJ, (7)

дх ¿Ь дх' ¿Ь2 дх"

где Б(х'1) - множество точек непрерывности функции х"(Ь). Дифференциальное уравнение 4-го порядка (7) - это уравнение Эйлера-Пуассона.

Следствие 1. «Естественные краевые условия» на левом конце выводятся из необходимого условия (6). Первое условие получаем при Ь = 0:

dF (t)

dz

а второе - после дифференцирования по t при t = 0:

d dF(t) dF(t)

= 0, (8)

t=0

dt dz dx'

= 0. (9)

t=0

Метод наискорейшего спуска. Пусть z* G Z - точка минимума функционала f (z) на P[0,T], тогда Q(t,z*) = 0 для всех t G [0,T]. Точка z*, в которой выполнено условие (6), называется стационарной.

Итак, если точка z G P[0,T] не является стационарной точкой функционала f, то можно найти направление наискорейшего спуска функционала f в точке z. Таким образом, возникает естественная идея описать следующий МНС для определения стационарных точек, т. е. точек, удовлетворяющих условию (6).

Выберем произвольное z0 G P[0, T]. Пусть уже найдено zk G P[0, T]. Если выполнено условие (6), то точка zk является стационарной, и процесс прекращается.

Если же условие (6) не выполнено, то возьмем функцию Gk(t) = Q(t, zk) - градиент функционала f в точке zk.

Далее решается задача одномерной минимизации

min f (zk - ßGk) = f (zk - ßkGk).

Теперь положим zk+1 = zk - ßkGk. Имеем f (zk+1) < f (zk).

Далее продолжается аналогично. В результате построим последовательность точек {zk} С P[0,T]. Если эта последовательность конечна (состоит из конечного числа точек), то по построению последняя полученная точка стационарная. Если же последовательность {zk} содержит бесконечное количество точек, то, учитывая, что функция Q(t,z) непрерывна, как функция z, можно показать, что описанный метод схо-

r t

дится в следующем смысле: ||Q(t, zk)\\ ^ 0. Здесь ||Q||2 = I Q2 dt, следовательно,

0

Q(t, zk) ^ 0 в метрике L2. Вопрос о существовании предельных точек последовательности {zk} остается открытым.

Метод сопряженных градиентов (направлений). Пусть г°(г) - некоторое начальное приближение. Будем строить последовательность {гк(г)} по формулам

гк+1(1) = г к(г) - вкШк (г), к = 0,1,..., (10)

где

Шо(г) = Со (г), Шк (г) = Ск (г)+ук ш-1(г), к = 1,2,....

Величина в к может определяться так же, как и в МНС, а ук по формуле

о

7 к = —

1

j(Ok(t),Gk(t) - Gk-i(t))dt

1

j (Ck-i (t), Gk-i (t)} dt

Как показывает практика, на каждом этапе алгоритма с неизбежностью накапливаются погрешности. Это может привести к тому, что векторы Wk перестают указывать направление убывания функционала, и релаксация метода может нарушиться. Для борьбы с таким явлением МСГ время от времени обновляют, полагая в (10) Yk = 0, т. е. осуществляют градиентный спуск.

Задача (общий случай). Среди всех кривых x(t) класса P2[0,T], концы которых лежат на двух заданных вертикалях t = 0 и t = T, определить кривую, которая доставляет экстремум функционалу (1).

Обозначим через z(t) = x"(t) и положим, что

t t т

At) = xi +J z(r) dT x(t) = x0 + txi +JJ z(Y) dYdT

0 0 0

Таким образом, каждой функции x G P2[0,T] взаимнооднозначно сопоставляется элемент Z = [x0, x1, z] G Z, здесь Z = R x R x P[0, T].

Далее под нормой элемента Z = [x0,xi,z] G Z будем понимать

T

||Z||2 = x0 + xi + J z2(t) dt.

0

Введем функционал

t t т t

f (x0, xi,z)=JF (x0+txi 41z(Y) dYdT xi 4z(T) dT z(t) t)dt

0 0 0 0

Несложно показать, что задача I(x) —> min эквивалентна задаче минимизации

xeP 2[0,t ]

функционала f (z) на всем пространстве Z.

Пусть z G P[0, T], x0, xl G R фиксированы, e > 0. Выберем произвольные v G P[0, T], П, p G R. Положим

ze(t)= z (t) + ev(t),

хое = хо + £Ц, х\е = х\ + £р.

Используя вариации (11), находим ( Т

/(хое,х1е,гЕ) = /(£)+£< J Q(t,z)v(t) ¿Ь +

+ 'П [ ^ dt + /л

dF(t) +tdF(t)

dx'

dx

dt\ + q(e, v),

где F(t) = F(x,x',x",t), —'——- -> 0 равномерно no v при sup |v(t)| ^ 1;

e ei° te[0,T ]

dFb) J., , dF<yf) dz

Для данной проблемы можно сформулировать аналогичное утверждение теоремы 1 и получить следующее необходимое условие.

Теорема 3. Для того чтобы г* € Z была точкой глобального или локального минимума функции / на множестве Z, необходимо, чтобы

dF * (y) Г dF *(y) dF *(t)

dz

dF* (t) dx

dt = 0,

dF*{t) dF*{t)

dx' dx

dt = 0,

(12)

(13)

(14)

здесь Г*(Ь) = Г(х*, х'*,х'*,Ь).

Следствие 2. «Естественные краевые условия» выводятся из (12)-(14). Первое условие на правом конце получаем из (12) при Ь = Т:

dF (t)

dz

0,

t=T

а второе - после дифференцирования по Ь (12) при Ь = Т:

= 0.

d 8F(t) 8F(t)\ dt dz dx' )

t=T

Первое условие (8) на левом конце вытекает из (12) при Ь = 0 с учетом (14), а второе условие на левом конце (9) следует после дифференцирования по Ь (12) при Ь = 0 и из (13).

Заметим, что градиентом функционала ] в точке г является (

с(г,2)

дх

¿г

дР{1)

дх' дх

т

¿г

дх

\ г г

Направление д(г,Х2) = —0(г,Х)/\\0(г,Х)\\, где

. дР(7) , дР(г)

дх

№,г)\\2 =

дг (г)

дх

¿г I +

"¿ад +

дх'

дх

т , т

+

/(/ <->- г)

дх'

дх

дх

¿г I +

¿г,

0 \г

есть направление наискорейшего спуска функционала ] в точке г.

Пусть 2* € 2 - точка минимума функционала f (г) на 2, тогда \\С(г, г*)\\ = 0. Точка 2*, в которой выполнены условия (12)-(14) или \\С(г, 2*)\\ =0, называется стационарной.

Таким образом, если точка 2 € 2 не является стационарной точкой функционала f, то можно найти направление наискорейшего спуска функционала ] в точке 2. Как и в предыдущей задаче, можно описать МНС и МСГ для нахождения стационарных точек.

Пример. Исследуем на экстремум функционал

■к/ 4

I(х) = J (х2 - х2) ¿г

при условии на левом конце

х(0) = 1.

Точным решением данной задачи является функция х*(г) = сов(г) + вш(г), I(х*) = — 1. В табл. 1 приведены результаты расчетов при помощи МНС. В качестве начальной

Таблица 1. Результаты алгоритма МНС

к II& || \\х х || 1(хк) 11<Э(Як)Н

0 3.78298 1.696563 10.4326 6.087

1 0.451521 0.154978 -0.820146 0.803652

2 0.0598808 0.0267536 -0.99713 0.0965666

3 0.00731 0.002512 -0.9999527 0.013047

4 9.919 • КГ4 4.419 • КГ4 -0.9999992 0.0016

5 1.232 • Ю-4 4.2 • 10-Б -0.999999 2.199 • Ю-4

6 1.694 • КГБ 7.538 • КГ6 -0.99999999 2.739 • КГБ

2

2

точки выбрана х{Ь) = 1+54 ——. Вычисления проводились в математическом пакете Mathcad.

Так как в МСГ первый шаг аналогичен МНС, то в табл. 2 приведены результаты расчетов на втором и третьем шагах.

Таблица 2. Результаты алгоритма МСГ

к \\х -¿fell \\х || 1(хк) IIQ0*k)ll

2 6.52 • 10~л 8.3555 • 10~4 -0.99995813 0.012836

3 3.5894 • КГ6 6.45841 • Ю-6 -0.99999999 6.966 • 10-Б

Заключение. Результаты численных экспериментов показали эффективность использованных методов. МСГ более трудоемкий по сравнению с МНС, однако построенная минимизирующая последовательность имеет более высокую скорость сходимости. Остаются не решенными вопросы о скорости сходимости и существовании предельных точек построенных минимизирующих последовательностей.

Литература

1. Демьянов В. Ф. Условия экстремума и вариационные задачи. М.: Высшая школа, 2005. 335 с.

2. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 432 с.

3. Еремин И. И. Метод «штрафов» в выпуклом программировании // Докл. АН СССР. 1967. Т. 143, № 4. С. 748-751.

4. Demyanov V. F., Tamasyan G. Sh. Exact penalty functions in isoperimetric problems // Optimization. 2011. Vol. 60, Issue 1. P. 153-177.

5. Демьянов В. Ф., Тамасян Г. Ш. О прямых методах решения вариационных задач// Труды Ин-та математики и механики Уральск. отд. РАН. 2010. Т. 16, № 5. C. 36-47.

6. Гюнтер Н. М. Курс вариационного исчисления. М.: Гостехиздат, 1941. 308 с.

7. Смирнов В. И., Крылов В. И., Канторович Л. В. Вариационное исчисление. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1933. 204 с.

8. Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов. 2-е изд. / под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. М.: Изд-во Моск. гос. техн. ун-та им. Н. Э. Баумана, 2001. 488 с.

Статья рекомендована к печати проф. В. Ф. Демьяновым. Статья принята к печати 21 июня 2012 г.