Метод точных штрафов в вариационной задачес отклоняющимся аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.3 Г. Ш. Тамасян

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 2 (№9)

МЕТОД ТОЧНЫХ ШТРАФОВ В ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ1

В настоящей статье рассмотрена задача вариационного исчисления с ограничениями типа неравенств и дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом. Данная задача условной оптимизации сводится к безусловной задаче с помощью соответствующей функции точного штрафа (см. [1]). Основная особенность данной задачи — наличие среди ограничений дифференциальных связей со сложной структурой и строгих неравенств. Аппарат негладкого анализа был использован для получения необходимых условий экстремума. Утверждение пункта 6 данной статьи является обобщением необходимого условия Эйлера в интегральной форме. Следует отметить то, что эти условия экстремума вполне конструктивны при построении численных алгоритмов для нахождения экстремалей. Работа основана на результатах [1, 3-4] и представляет собой их непосредственное продолжение. Все утверждения в статье приведены без доказательства ввиду их громоздкости.

1. Постановка задачи.

Пусть Т > 0 фиксировано. Через С1[0,Т] обозначим класс непрерывно дифференцируемых на [0, Т] функций.

Пусть функции 1(у, у1, и, и1, ¿), Г (у, у1, и, и1, ¿) и их частные производные по у, у1, и и и1, непрерывны по всем своим аргументам на Д4 х [0,Т].

Зафиксируем уо € Д и у1 € Д, такие, что уо < у1. Положим ¿о = шш{0, уо}, ¿1 = тах{Т, У1} и введем множество функций

1{у(г),у'(г),и(г),и(у(г)),г) = 0, у'(*) > 0 V* € [0,Т], и(*) > 0 V* € [¿о,^] . (1)

Итак, мы изучаем задачу минимизации функционала (2) на множестве (1). Кривые [у(*),и(*)] € О будем называть допустимыми.

1 Данная работа осуществлена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

(проект РФФИ № 03-01-00668).

© Г. Ш. Тамасян, 2003

Предположим, что О = 0. Положим х = [у, и] и рассмотрим функционал

т

I(х) = I(у, и) = у Г(у(г),у'(г),и(г),и(у(г)),г) л.

(2)

о

2. Эквивалентная постановка задачи.

Переформулируем поставленную выше задачу. Пусть

у(*) = Уо + е21(т) ¿т, и(*) = е 4

t

«0+/ (т) йт = е 40

где ^1(4) € С[0, Т], ^2(4) € С[*о,*1], ио € Д, тогда имеем автоматическое выполнение следующих условий из (1):

у(0) = уо, у'(*) = е21(4) > 0 V* € [0,Т], и(*) > 0 V* € [io.ii].

Положим

2 = |[-гь,г2,мо] € С[0,Т],^2 € С[*о,¿1], ио € Д,

Т ¿1 4

/• /• «0+] ^2(т) ¿т

Уо + е21(4) = У1, /е 40 = 1,

«0 + /

уо + /е=.(т> .т,е=.(«,е 40

П

¿0

Н0 + /ег1(т) ¿т 4 0

«0+/ ^2 (т) ^т «0 + / 22 (т) ^т

(3)

где С [¿о, * 1] —множество непрерывных на [¿о, * 1] функций. Введем функционал

В0+/ег1(т) ¿т

т /4 4 0 \

Г Г . , ,, «0+/ ^2(т) ¿т «0+ / ^2(т) ¿т \

/(г)=/ Луо + е21(т) ¿т,е21(4),е 40 ,е 40 (4)

оо

оо

Положим

мад:= уо - У1 +1 е21(т) ¿т, (5)

о

/«0+/ 22 (т) ^т

е 40 - 1, (6)

40

В0 + /ег1(т) ¿т 4 * 0

«0+/ ^2 (т) ^т «0+ / 22 (т) ^т \

,^):= /|уо + / е21(т) ¿т,е21(4),е 40 ,е 40 . (7)

/ 4 4

«0+

^(М):= / уо + е21(т) ¿т,е21(4),е 40

о

Множество 2 можно представить в следующем виде:

2 = { г = [г1,г2,ио] € С[0, Т] х С[*о,*1] х Д | йо(Т,г) = 0,

^1(*о,*1,г) = 0, й2(М) = 0 V* € [0,Т]}.

Лемма 1. Задача

эквивалентна задаче

I(х) —> тш

хеп

/ (г) —>• тт

(8) (9)

(10)

в том смысле, что если х* = [у*,и*] € О —'решение задачи (9), то функция г* =

и* '(¿)

[^1(4), <г2(^), мо] = 1п(у* —^у? 1п(м*(^о)) является решением задачи (10).

И обратно, если г* € 2 доставляет минимум функции / на множестве 2, то

I * и

функция х* = уо + / eZl (т) ¿т, е

«0+/ Z* (т ) Йт-,

является решением задачи (9).

Доказательство, аналогично доказательству утверждения см. [1] гл. 4 стр. 93.

3. (см. [1] гл. 4 стр. 94). Рассмотрим задачу (10). На множестве и = С[0, Т] х С[*о, *1] х Д введем метрику р(г', г''), где г ' = [г]/(¿), г2'(¿), ио'], г'' = [г]/'(¿), г2''(*), ио'']. В качестве р можно взять, например, одну из следующих функций:

р1(г ', г'') = тах ге[о,т ]

г г

/ (г1'(т) - г1''(т)) ¿т + тах / (г2'(т) - г2''(т)) ¿т } *е[ес,«1] ]

+ |ио - ио |, (11)

Р2(г ',г'')^|г1'(¿) - + ^ |г2'(¿) - г2''(*)

рз(г', г'') = тах г1'(¿) - г1''(*) ге[о,т ]

+ тах

г2'(*) - г2''(*)

+

+ |ио' - ио''|, 1

¿1 - ¿о

(12)

ио' - ио''I (13)

Р4(г',г ' ') =

■ т ч

У (г1 '(¿) - г1''(¿))2 ^ + 1 (г2'(¿) - г2''(^)2 ^ + (ио' - ио'')2

-о 4о

Между р1 (г € 1:4) существует следующая связь:

Р1(г', г '') < Р2(г ', г'') < (¿1 - ¿о)рз(г', г ''),

(14)

(15)

Отметим, что множество 2, заданное соотношением (8), можно представить в эквивалентном виде

2 = { г =[г1,г2,ио] € и | ^(г) = 0 }, (16)

где

^(г) =

т

J ^2(4, г) А + ^2 (¿о, ¿1, г) + ^(Т, г)

^о, и задаются соответственно (5), (6) и (7). 68

г

2

2

Имеем,

у>(г) > 0 Vг € С[0,Т] х С[*о,*1] х Д. Из (15) следует, что если

у>(г) > арз(г, 2),

где а > 0, то

</Ф) > а Р2(г,Я) > а

¿1 — ¿о ¿1 — ¿о

Если же у>(г) > ар2(г,2), то у>(г) > ар1(г, 2).

4. Классическая вариация г.

Итак, мы рассматриваем задачу минимизации функционала /(г) (см. (4)) на множестве 2 С С[0,Т ] х С [¿о, ¿1] х Д = и, заданном соотношением (16).

Зафиксируем г € и. Выберем и зафиксируем произвольное V = [«1, «2, «о] € и и для £ > 0 положим

ге = ¿(¿) + = [¿1е,г2е,мое],

(18)

где

¿1£ = ¿1^) + £«1 (¿), ¿2е = г2^) + £«2^), Мое = «о + £«о.

Используя классическую вариацию (18) и производя выкладки, аналогичные тем, которые описаны в [3] или [4], получены утверждения пунктов 4.1-4.3 данной статьи.

4.1. Случай г € 2. В случае у>(г) > 0, т. е. г € 2, справедлива Теорема 1. Если г € 2, то функция у>(г) дифференцируема по Гато в точке г. Доказательство. Способ доказательства см. в [3, 4]. Ниже приведен лишь результат.

Положим

Ы?» / \ г -в / \ г -в - := и>о(2) € гС, --гт- := и>1(г) € К,

^2 (¿, г)

:= (¿,г) € С[0,Т].

Очевидно, ||эд(г) Введем

^(г) Г

/ (¿, г) Л + ^2(г)+ (г) ../о

1.

(¿) :=

I 1, если í € [0,Т], 10, если í € [0,Т],

^2 (¿) :=

I 1, если г € [¿о, 0) ¿о=0,

I 0, если £ € [¿о, 0) или ¿о = 0,

(19)

(20)

1, если í € [уо,у(Т)], 0, если t € [уо, у(Т)],

(¿) :=

1, если t € [¿о, уо) и ¿о=Уо, 0, если t € [¿о, Уо) или ¿о = уо.

(¿) :

Т1 = шах^^Т)}, где = тах{Т, у1}.

1, если 2 € [¿о, ¿1], 0, если t € [¿о, ¿1],

(21) (22)

2

Производя выкладки, аналогичные тем, которые описаны в [3] и [4], получим, что если г € 2, то функция у(г) —дифференцируема по Гато в точке г, т.е.

у' (г,-) = (С(г),у) = У С^г)-^) Л + £ С^г)-^) Л + Со (г)уо, (23)

где

С(г)= С^г^С^г^С^г) € С[0,Т] х С^,^] х Д,

Со(г) = Ш1(гП и(£) Л + / и^^, г) г0о

д/^) д/^)

ди

(*) + 7ГГ\иЫ*))

ди у

(24)

Л, (25)

С^г) =

д/(г)

г«о(-г) + и>2-г) +

+ у ^2 (т, г)

д/(т) д/(т)

+

ду ди у

ду

и у(т) г2 у(т)

¿т

ezl(г)

т

г

ди

/"Т д/(т) Г д/(т)

С2{г,г) = а1{г) I т2{т,х)-^-и{т)<1т+ а2{г) / го2(т, д,т +

( ) о

/" т д/(т)

+ а3(г) -ш2(т, г) и(у(т)) ¿т +

•/о(г) ди(у)

/а(г) диЫ

[т д/(т) )

+ <т4(г) J т2(т, ¿т + а5(г)т 1(г) у и(т) ¿т,

(26)

(27)

где ст^) определены в (20)-(22).

Точка С(г) € и может пониматься как «градиент» функции у(г) в точке г. 4.2. Случай г € 2. В случае у(г) = 0 (т. е. г € 2) справедлива Теорема 2. Если г € 2, то в точке г функция у дифференцируема по направлениям в смысле Дини. Более того, функция у(г) — субдифференцируема, т. е.

у' (г, V) = тах (А, -у),

(а,«) = У А (¿)-1 (¿) Л + У А2 (¿)-2 (¿) ^ + Ао-о,

(28)

ду(г) = <^ А = А^), А2(¿), А,

и

А^) =

дФ) Г

т0 + ! го2(т)

д/ т д/ т

+

и у(т) г2 у(т)

/"т д/ (т) /"т д/(т)

A2(t)=a1(t)J т2{т)-^-и{т) д,т + а2{Ь) ! т2{т)-^-и{т)д,т +

ду ди у

т д/(т)

о

¿т

ezl(г)

о

Гт дНт) , ,

+ а3(г) ад2(т)-^и(у(т))йт +

Лсо дЧу)

[т дНт) /•«!

+ 0-4^) J . . и(у{т)) ¿т + J и(т)с1т,

Ао = + / ^2 (¿)

о

ди(у)

ад = [ад2,адьадо] € ^ >, (29)

^ = < ад = [ад2, ад1, адо] адо € Д, ад1 € Д, ад2 € С[0, Т],

[ ад^ (¿) ^ + ад2 + "■•2 о 2 1

1.

(30)

Доказательство. Способ доказательства см. в [3, 4].

4.3 Вариация функционала /(г). Для функционала /(г) справедливо следующее представление:

1(гЕ) = /(г) + е£ ^^ ^е^Ч(т) ¿г +

+ д_ще

ду'

("о + £ «2 (г) йт ) +

дР(г)

ди{у)

«о + ^ «2(т)йт + г2(у^)) I е21(тЧ(т)Й1 = / (г)+ ^В(г),^ +о(£),

Л + о(£) =

(31)

где

(в(г),«) = ^ В^г)«^) Л + £ В(¿, г)«2^) ^ + Во(г)«о,

д^(т) д^(т)

ду дм(у)

¿т 1е21С4), (32)

Гт д^ (т) Гт д^ (т)

В2(г,г) = а1(г) J -^-и{т) <1т + ! дУи ' и(т) ¿т +

д^(т)

Во(г)

Л,

(33)

(34)

2

да =

о

о

с(£)

0,

^ ефо

а ст^) определены в (20)-(22).

5. Точная штрафная функция.

Вновь рассмотрим случай г € 2 .В пункте 4.1 было указано, что у — дифференцируема по Гато в точке г € 2, а соответствующий функции у «градиент» С^, г) (в пространстве и = С[0, Т] х С^о,Т1] х Д) задан соотношениями (24)-(27).

Из постановки задачи известно, что уо < у1 и Т > 0, поэтому возможны 63 варианта расположения на оси «времени» £ следующих точек: уо, 0, Т, у(Т), у1, а именно

1 вар. 3 вар. 5 вар.

уо < 0 = у(Т) <Т = уь 2 вар. уо < 0 = у(Т) = у1 <Т; 4 вар. 0 <уо = Т < у(Т) = у1; 6 вар.

уо < 0 = у(Т) < у1 < Т уо < у1 < 0 = у(Т) < Т уо = 0 < Т = у(Т) < у1

7вар. : уо = 0 < Т = у(Т) = уь 8 вар. : уо = 0 < у1 < Т = у(Т); ...

Для всех вариантов кроме первых восьми справедлива

Теорема 3. (ср. [3, 4]). Пусть Бг С и —открытое ограниченное множество (в метрике рг). Если выполнены условия

д/(¿, г)

ду

> 6о > 0 д/(¿, г)

д/(^;, г)

ду

> Ь1 > 0,

д/(¿, г)

ди

> Ь2 > 0,

ди(у)

то существуют а1 > 0 и а2 > 0, такие, что

> 63 > 0 V € [0,Т], Vг € Бг \

(35)

№)|| =

Ь(г)

I С2(¿, г) Л + I 1 С2(¿, г) Л + Со(г) о 1 г0 2 о

> а1 Vг € Бг \

вир |С2(¿, г)| + вир |С1 (¿, г)| + |Со(г)| > 02 Vг € Б \ ге[го,т1] ге[о,т]

(36)

(37)

Доказательство. Способ доказательства см. в [3, 4].

Будем говорить что выполнено условие 1), если существует I € [0,Т], такое, что

/(у®, у'(£),и(г),и(у(£)),г) = 0 Vz € Б \ Будем говорить что выполнено условие 2), если

(38)

д/ (0, г) д/(0,г) ,, д/(Т, г) д/(Т, г) _ , „ ^ ^

Будем говорить что выполнено условие 3), если существует 1 € [0, Т], такое, что

Для вариантов 1-8 справедливо следующее утверждение.

2

Теорема 4. Пусть имеет место (35) и выполнено: для вариантов 1-5 хотя бы одно из условий 1) или 3); для варианта 6 хотя бы одно из условий 1) или 2); для вариантов 7 и 8 условие 1). Тогда существуют а1 > 0 и а2 > 0, такие, что

пади =

I Л + I 1 С(г, г) ^ + Со(г)

Jo Jt0

> ах У г € \

6(г) = вир |С2(г,г)| + вир |Сх(г,г)| + |Со(г)| > а2 Уг € $ \ ее[«о,Т1] «е[о,т ]

(41)

(42)

Если выполнены условия теоремы 3 или теоремы 4, тогда справедливы следующие две теоремы (ср. [1, 3, 4] ).

Теорема 5. Если г* € 2 — точка локального минимума функционала / на множестве 2 (в метрике рг), то 'найдутся а > 0 и 6 > 0, такие, что в некоторой окрестности Вц(г*) = |г € V рг(г, г*) < ¿| точки г* функция ^ удовлетворяет условию

<^(г) = ^^О ад,г>1(г) ¿г + £ С2(г,г)«2(г) ¿г + Со(г)-о| =

= Ы (С(г),у) = -||С(г)|| < -а < 0 Уг € Вг(5(г*) \ 1Ы1 = 1 V /

(43)

Теорема 6. Пусть функция / липшицева на множестве = {г € V | <^>(г) < е} (в метрике рг). Если г* € 2 — точка локального минимума функции / на множестве 2 (в метрике рг), то найдется Л* < то, такое, что при Л > Л* точка г* является точкой локального минимума функционала Фа (г) = /(г) + Лу(г) на V (в той же метрике рг).

Доказательство, аналогично доказательству теоремы 2.1 (см. [1] гл. 4).

6. Необходимые условия экстремума. Используя результаты пунктов 4.2, 4.3 и

теоремы 6, имеем

ФаЫ = Фа(2)+ е

(В(г),у) + Л тах (А,-) V ) АедиЫ\ )

= ФА(г) + еФ'А(г) + о(е,у),

+ о(е, у) =

где

Ф'А(г) = тах (С,-),

сеЭФ(2)\ )

дФА(г)^ с = с (г),С2(г), Со € V

Сх(г) = Вх(г) + ЛА1 (г),

С2(г) = В2(г) + ЛА2(г), Со = Во + ЛАо, н = [н,ньно] €

(44)

2

Известно, что необходимым условием минимума для субдифференцируемой функции является

0 € дФА(г). (45)

Используя результаты пунктов 4.2, 4.3, теоремы 6, (44) и (45) справедливо следующее утверждение, являющееся обобщением необходимого условия Эйлера в интегральной форме:

Теорема 7. (ср.[3, 4]) Пусть г* = [г*, г*, и*] € 2. Предположим, что в некоторой окрестности Вг<5(г*) = {г | рг(г, г*) < 6} точки г* функция ^ удовлетворяет условию (43) и пусть функция / удовлетворяет условию Липшица в Вц(г*) в метрике рг. Для того чтобы г* € 2 являлась точкой глобального или локального минимума функционала (4) на множестве 2 в метрике рг, необходимо, чтобы нашлись константы Фо, Ф1 € Д и функция Ф2(г) € С[0,Т], удовлетворяющие следующим условиям:

^ (г, г*) ГТ Г ^ (г,г*) ^ (г,г*) Л

Л 1-^ ») \г1т +

где

•V

ди(у)

(г,

ду'

+

2^ ^^ + фЛи*{уЧт))4{уЧт)) ит = ош е [о,т], (46)

а1 (г)

ду ' ди(у)

•Т ^ (Т,2

(т)Йт + у Ф2(г) ^ 'и*(т)<1т

ди

+

+ ^(г)

Т

Т

ди

-и(т) ¿т + / ^(т)

д/(т,г*)

ди

и*(т) ¿т

+

+ стэ(г)

+ (г)

г*

^а'(е) ди(у) Т ^ (т, г

]-ч*(у*{т))<1т+ Г Ф2 {т)д1^\г1К*(у*{т))<1т

Л*(«) и у

Т

ди(у)

+

+ Ф1 £ и*(т) ¿т = 0 Уг € [го,г1],

+

-м (¿) +

ди

+ ^1 + / ^2(г)

ди

-и*(г)

<9и(у)

д/(г,

•(у* (г))

¿г +

<9и(у)

н(у*(г))

¿г = 0,

фо = ЛНо, ф1 = ЛН1 , Ф2(г) = Лн2(г).

(47)

(48)

(49)

Автор искренне признателен проф. Р. С1аппе881 за интересную и познавательную задачу, проф. В. Ф. Демьянову и проф. В. Н. Малоземову за помощь и полезные советы.

*

г

*

о

о

4=

г

и

о

Summary

Tamasyan G.Sh. An exact penalty method in a variational problem with delay.

А variational problem with inequality-type constraints satisfying a differential equation with delay is discussed. This constrained optimization problem is reduced (by means of exact penalization) to an unconstrained optimization problem. The problem under consideration is characterized by the presence of strict inequalities and complicated differential relations. Necessary optimality conditions are derived making use of Nonsmooth Analysis techniques. For practical considerations it is important to note that the optimality conditions are quite constructive and can be used for developing numerical algorithms.

Литература

1. Демьянов В.Ф. Условия экстремума и вариационные задачи. СПб., 2000. 136 с.

2. Демьянов В. Ф. Игольчатые вариации в негладких задачах вариационного исчисления // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1991. Вып.2 (8). С. 16-21.

3. Demyanov V.F. Constrained problems of Calculus of Variations via penalization technique // Variational inequalities. Ed. A. Maugeri. Kluwer, 2002. P. 109-136.

4. Demyanov V.F., Giannessi F. Variational problems with constraints involving higher-order derivatives // Variational inequalities. Ed. A. Maugeri. Kluwer 2002. P. 136-160.

5. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1976. 392 с.

6. Demyanov V.F., Di Pillo G., Facchinei F. Exact penalization via Dini and Hadamard conditional derivatives // Optimization Methods and Software. 1998. Vol 9. P. 19-36.

7. Demyanov V.F., Giannessi F., Karelin V.V. Optimal Control Problems via Exact Penalty Functions// J. of Global Optimiz. 1998. Vol. 12, N3. P. 215-223.

Статья поступила в редакцию 13 июня 2002 г.