Точные штрафы в многоточечной задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. l0. 2009. Вып. 4

УДК 539.3 В. В. Карелин

ТОЧНЫЕ ШТРАФЫ В МНОГОТОЧЕЧНОЙ ЗАДАЧЕ

ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Введение. В многоточечных задачах вводятся дополнительные условия на решения. Эти условия имеют вид уравнений, содержащих комбинации значений решения и его производных, взятых в нескольких точках траектории.

Фиксированный процесс в пространстве состояний описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

x = f (x,t),

(1)

где х = х(Ь] - неизвестная функция, подлежащая определению, £ € [0,Т]. Выберем на этом отрезке к точек ^ (г = 1, 2, ...,к). Будем рассматривать значения функции х(Ь) и ее производных до (п — 1)-го порядка включительно в указанных точках: х(и),х{")(и),... ,х(п (и), г = I, 2, ...,к. Образуем теперь уравнение, связывающие эти

величины:

Ф^і)^ )(tl), ...,x(n 1}(tl), ...,x(tk),x( }(tk), ...,x(n 1)(tk)) =

(2)

и поставим такую задачу: найти на отрезке [0,Т] решение х(і) уравнения (1), которое удовлетворяло бы поставленным условиям (2).

Получили задачу с условиями в к точках. Если к = 1 = 0), то мы будем иметь

дело с задачей Коши, определяемой уравнением (1) и условиями (2), которые в этом случае будут начальными. Если к = 2 = 0,Ї2 = Т), то задача (1), (2) в данном

случае называется граничной. Наконец, если среди к рассматриваемых точек будет т различных (2 ^ т ^ к), то задача (1), (2) в таком случае называется т-точечной (или многоточечной).

Постановка задачи. Рассмотрим функционал

I = ^(х(г, хо)) = (Ф(х(^), х( }(іі), х(п-1)(г1),х(гк), х(}(гк),х(п-1)(гк)) - ц)2

и х(ї,хо) - решение уравнений (1) с хо Є Ш.п.

Введем множество

здесь

p(z,xo)

О := {[z, xo] I z Є C[0, T],: p(z, xo) = 0},

J ^z(t) — f(xo + J z(t)dT,xo,t)^ dt

1/2

Карелин Владимир Витальевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математической теории моделирования систем управления факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 64. Научные направления: идентификация систем управления, недифференцируемая оптимизация. E-mail: [email protected].

© В. В. Карелин, 2009

Заметим, что р(г,хо) ^ 0 Уг,хо € Р[0,Т]. Если г, хо € О, то функция

х(Ь) = хо + г(т )в,т

о

удовлетворяет системе (1), и наоборот.

Таким образом, задача решения системы (1) для некоторого хо € Ш.п эквивалентна нахождению г € Р[0,Т] такого, что р(г,хо) = 0.

Пусть д := [и, д], где и € С[0, Т], д € К". Положим

\\д\\} ||и|| :=

(и(Ь))2йЬ

1/2

:= Vх?-

Пара д определяет направление (на множестве С[0, Т] х К"). Функция р в точке [г, хо] удовлетворяет неравенству р(г,хо) > 0 в направлении д. Теперь определим

<р'(г, х0;д) = Ит — [р(г + да, х0 + ад) - <р(г, ж0)].

а|0 а

Можно показать, что предел существует и конечен, т. е. верно следующее утверждение.

Лемма 1 [1]. Если р(г,хо) > 0 (т. е. [г,х0] € О), то функция р дифференцируема в окрестности точки [г, х0].

При этом

где

ЧР :

<11 = (ч^я),

^-1ти,(т) *’-/ (т^1)и,т

(3)

дх ) ’ У у дхо

г о

Так как (3) линейно по д, заключаем, что р дифференцируема около [г,хо] (на множестве С[0,Т] х К"). Более того, справедливо утверждение.

Лемма 2. Существует а > 0 такая, что

шт (ЧР, д) ^ —а < 0 У[г, хо] € О.

11з11=1

Доказательство. Докажем сначала, что

ЧР = 0.

(4)

(5)

В (5) «0» - нулевой элемент в пространстве С[0, Т] х К". Предположим, что это не так, тогда

■ш(ь) — !

№)

дх

ю(т)3,т = 0" УЬ € [0, Т],

о

*

т. е. 1м(Ь) = 0" УЬ € [0,Т], и мы получили противоречие. Допустим теперь, что (4)

неверно. Тогда существует последовательность [гк,х^] такая, что

[zk,x0] G ЧРк —— О,

где

VPk

f (д1к(т)\* f (9fk(t)\*

Wk{t) - I J wk{T)dT, - / (-7^— ) wk(t)dt

t 0 dfk(t) df(xk (t),xkk ,t) dfk(t) df (xk(t),xkk ,t)

dx

dx

dxt

0

dxt

0

t

xk(t) = xo + J zk(t)dr,

Wk (t) =

1

P(zk ,xo )

Zk(t) - f (xo + J zk(t)dT,x’k,t)^ .

Отметим, что

Из соотношения (6) следует, что

где

hk(t) = wk(t) — J wk{r)dT.

dx

Из выражений (8) и (9) вытекает, что ||wk|| — 0, а это противоречит (7). Теперь рассмотрим случай, когда p(z,xo) = 0. Укажем, что

T ( f I

p(z,xo)= max J I z(t) — f (xo + J z(t)dT,xo,t),v(t) I dt,

(6)

(7)

(8)

(9)

v (t)dt

o

1/2

Если p(z, xo) = 0, то h(t) = z(t) — f (xo + f z(t)dT, xo, t) = 0 Vt G [0, T].

o

Так как

t

z(t) + av(t) — f (xo + J(z(t) + av(T))dT, xo + aq, t) =

= h(t)

дШ,

dxo

+ o(a),

a

v

тогда (см. (6))

ір'(г,х0;д) = m.ax.^J J ^(т)3т - :1^1д ] Зі.

т)

дхо

(10)

Для (10) имеем

р(г, хо; д) = тах

||г;|| = 1

} (»тм‘) -} *т)*т) X-

/ШЧ тл’“

(11)

Из (10) и (11) следует

Лемма 3. Если р(г,хо) = 0, тогда функция р дифференцируема в направлении т. [хо,г] и даже субдифференцируема, т. в.

где

р'(г,хо; д)= тах (О, д),

ОЄд^(г,хо)

др(г,хо) = |О = У,ц*]|«* Є С[0,Т],д* Є Ш.п,«*(г) = Щ -

-] (^)* Чт)<1т,д* = -| (^У^№«єС[0,Т],||«|Кі|. (12)

г о '

Таким образом, наша многоточечная задача свелась к проблеме минимизации функционала

I(г,хо) = Р(хо + ! г(т)Зт),

(13)

подчиненного условиям

р(г,хо) = 0. Функционал I(г,хо) дифференцируем:

г

Г(г,х0;д) = Ит-

а|0 а

Р(хо + !(г(т)+ау(т))Зт) - ф(г,хо)

, у(і) ) Зі

дР(х(Ь)) дх

и его «градиент» (на множестве С[0,Т] х Ш,п) имеет вид

дР (х(і))

ЧФ(г,А)

і ^т

дх

Следуя работам [1-3], можно доказать такое утверждение:

(14)

Теорема. Если р липщицева на С[0, Т] хК", тогда найдется Ао ^ 0 такая, что для всех А ^ Ао множество минимумов функции ф на множестве О = {[г, хо]\р(г, хо) = 0} совпадает с множеством минимумов функции

ф\(г, хо) = I(г, хо) + Ар(г, хо)

на всем множестве С[0, Т] х К".

Отсюда получаем, что если [г*,х*] - точка минимума функции ф\(г,хо) (для А ^ Ао), то тогда р(г*, хо) =0 и ф содержит его минимальные значения на О около [г*, х*]. Это также означает. что функция

г

х*(Ь) = хо + У г*(т)йт

является решением дифференциальной системы уравнений

х(Ь) = / (х(Ь),х* ,Ь), х(0) = хо,

и функционал I(хо) имеет минимальное значение в точке х*.

Функция ф\(г,хо) субдифференцируема, и ее субдифференциал имеет вид

дфх (г*,х*о) = Чф(г*,х*) + Адр(г * ,х*),

где чФ определен формулой (14), а др - (12) (множество р(г*,х*) = 0). Необходимое условие оптимума

0 € дфх(г*,х*о).

Из него следует, что существует функция V € С[0,Т] такая, что ||г>|| ^ 1, и при этом

дР(х*{Ь))

дх

1

т — /

(д/(т) V дх

и(т )с!т

0" УЬ € [0, T],

(15)

где

о

д/(Ь) д/(х*(Ь), А* ,Ь) д/(Ь) д/(х*(Ь),х*о,Ь)

(16)

дх дх дхо дхо

Заменяя Аи(Ь) на и(Ь) в (15) и (16), получаем, что если х*(Ь) = х(Ь,хо) минимизирует (13), то существует вектор-функция и(Ь) € С[0,Т] такая, что

дР(х*(Ь))

дх

+ «(*) - I <т)йт = 0 Ше [0, Т\

(17)

(^г) = °”-

(18)

*

и

Если Р(х) дважды непрерывно дифференцируема, тогда (17) можно переписать в «дифференциальной» форме

Заключение. Таким образом, многоточечную задачу удалось свести к задаче оптимизации без ограничений, для которой найдены следующие условия оптимальности: если xo G IRn минимизирует функционал I(xk),k = 1,...,n, с системой дифференциальных уравнений (1) и дополнительными условиями (2), тогда функция

v(t) G C[0,T], определенная (19) и (20), удовлетворяет (18).

Литература

1. Demyanov V. F., Giannessi F., Karelin V. V. Optimal control problems via Exact Penalty Function // J. of Global Optimiz. 1998. Vol. 12, N 3. P. 215-223.

2. Di Pillo G., Grippo L. On the exactness of a class of Nondifferentiable Penalty functions // J. Optim.

Theory Appl. 1988. Vol. 57. P. 397-408.

3. Giannessi F., Niccolucci F. Connections between nonlinear and integer programming problem // Symposia Mathematica. 1976. Vol. XIX. P. 161-176.

(l9)

(20)

Статья принята к печати 28 мая 2009 г.