Об одной форме теоремы Хана - Банаха Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь-март, 2006, Том 8, Выпуск 1

УДК 517.98

ОБ ОДНОЙ ФОРМЕ ТЕОРЕМЫ ХАНА - БАНАХА1 Е. К. Басаева

Показано, что концепция S-выпуклости, введенная С. Саймонсом, покрывается понятием выпуклого оператора со значениями в предупорядоченном векторном пространстве, а теорема Хана —

Банаха — Лагранжа из [5] является частным случаем известных правил замены переменной в преобразовании Юнга — Фенхеля.

В настоящей заметке показано, что концепция S-выпуклости, введенная в работе С. Саймонса [5], покрывается хорошо известным (см., например, [1, 2]) понятием выпуклого оператора со значением в предупорядоченном векторном пространстве. Показано также, что теорема Хана — Банаха — Лагранжа из [5, Theorem 2.9] (или что тоже самое «новая теорема Хана — Банаха», приведенная в [3]) на самом деле новой не является, а является весьма частным случаем известных правил замены переменной в преобразовании Юнга — Фенхеля [2, 4.1.8].

1. Выпуклость и S-выпуклость

Пусть E — действительное векторное пространство, F — K-пространство. Напомним, что пространством Канторовича или K-пространством называют порядково полную векторную решетку. Придерживаемся терминологии и обозначений из [1, 2].

1.1. Пусть S : E ^ F — произвольный (всюду определенный) сублинейный оператор. Тогда для любых ei, e2 G E равносильны следующие условия:

(1) S(ei - e2) < 0;

(2) S(u + e1) ^ S(u + e2) для всех u G E;

(3) Tei ^ Te2 для любого T G dS.

< (1) ^ (2): Для любого u G E из (1) следует

S(u + ei) = S(u + ei + e2 - e2) ^ S(u + e2) + S(ei - e2) ^ S(u + e2).

(2) ^ (1): Положим в (2) u = -e2. Тогда S(ei - e2) < S(0) = 0.

(1) ^ (3): Для произвольного линейного оператора T G dS применяя (1), выводим T(ei) - T(e2) = T(ei - e2) < S(ei - e2) < 0, т. е. T(ei) < T(e2).

(3) ^ (1): Пусть выполнено (3), тогда T(ei - e2) ^ 0 для любого T G dS. Отсюда следует, что

sup T(ei - e2) = S(ei - e2) ^ 0. >

T eds

© 2006 Басаева Е. К.

1 Работа выполнена при поддержке Российского Фонда фундаментальных исследований, проект №06-01-00622.

1.2. Рассмотрим теперь понятие S-выпуклости введенное в работе С. Саймонса [5, Definition 2.7]. Возьмем произвольный сублинейный оператор S : E ^ F. Определим в E порядок , положив ei ^s e2, если ei,e2 G E удовлетворяют одному (а тогда и любому) их условий 1.1(1-3). Назовем оператор f : X ^ E* S-выпуклым,, если для любых xi, X2 G X и ai, ai > 0, ai + a2 = 1 выполняется

f (aixi + a2X2) ^s aif (xi) + a2f («2).

Из предложения 1.1 следует, что S и T возрастающие операторы относительно введенного порядка . Легко проверить, что ^s — предпорядок, согласованный со структурой векторного пространства E (= векторный предпорядок).

1.3. Заметим, что задание произвольного векторного предпорядка ^ в векторном пространстве E равносильно заданию положительного конуса E+:

ei ^ e2 ^^ e2 - ei G E+.

Во множестве всех векторных предпорядков (упорядоченном по включению), при которых S возрастает, предпорядок ^s является наибольшим.

< Действительно, S возрастает тогда и только тогда, когда его субдифференциал dS состоит из возрастающих (= положительных) линейных операторов. Для линейного положительного оператора T G dS справедливо включение T (E+) С F+. Таким образом

(V T G dS) E+ С T-i (F+) ^ E+ С р| T-i(F+).

T GdS

Из последнего включения видно, что конус K := Р|тegs T-i (F+), соответствующий введенному в [5] предпорядку ^s (см. 1.1 (3)) является наибольшим. >

Таким образом, мы показали, что понятие S-выпуклого оператора — есть частный случай выпуклого оператора и эти понятия совпадают, если в качестве предпорядка взять S-предпорядок ^s, определенный в 1.2.

2. Свертка Рокафеллара

Пусть X, X и Х2 — векторные пространства, а Е — предупорядоченное векторное пространство. Обозначим Е := Еи{+то} и Е := Еи {-то, Ог1И(Е) —ортоморфиз-

мы (операторы умножения) действующие из Е в Е, а 1е С Ог1И(Е) — тождественный оператор из Е в Е.

2.1. Будем говорить, что конусы К и К2 в векторном пространстве X находятся в алгебраическом общем положении, если К и К2 воспроизводят (алгебраически) некоторое подпространство Хо С X, т. е. Хо = К — К2 = К — К1 Непустые выпуклые множества С1,..., Сп находятся в алгебраическом общем положении, если в алгебраическом общем положении находятся их преобразования Хермандера Н(С1),..., Н(Сп). (Для выпуклого множества С по определению Н(С) := {(х,Ъ) € X х Ж+ : х € ¿С}, подробнее см., например, [1, 1.2.6].)

Принято говорить, что выпуклые операторы /1,...,/п : X ^ Е* находятся в алгебраическом общем положении, если в общем положении находятся их преобразования Хермандера Н(/1),...,Н(/п). Напомним, что преобразование Хермандера Н(/) : X х Ж ^ Е* выпуклого оператора / : X ^ Е* вводится формулой

Н(/):(х,Ъ) Л +/(Х/()' ^ ^ 0'

Iесли ъ ^ 0.

2.2. Рассмотрим выпуклые операторы /i : Xi xX ^ E* и /2 : X XX2 ^ E'. Оверткой Рокафеллара операторов /2 и /i называют оператор /2 A /i : Xi x X2 ^ E, вычисляемый по формуле

/2 A /i(xi,Ж2) := inf {/i(xi,x) + /2(ж, Ж2)}.

xex

2.3. Преобразование Юнга — Фенхеля /* : L(X, E) ^ E отображения / : X ^ E* определяем равенством (см. [2, 4.1.1]:

/*(T) = sup {Tx - /(ж) : ж G X} (T G L (X, E)).

Заметим, что супремум вычисляется в E.

2.4. (1) Если выпуклые операторы /i,..., /n : X ^ E* находятся в алгебраическом общем положении, то справедлива точная формула

(/i + ... + /n)* = /i* е... е

Точность этой формулы означает, что для любого T G dom((/i + ... + /n)*) существуют линейные операторы Tj G L(X, E) (i := 1,..., n) такие, что

T = Ti + ... + Tn

(/i + ... + /n)*(T) = /i* (Ti) + ... + /n(Tn).

(2) Если выпуклые операторы /1,..., /п : X ^ Е* находятся в алгебраическом общем положении, то справедлива точная формула

{п п Л

О /;)* : а; £ СгЛ(Е) +, = /Л . г=1 г=1 ]

Точность формулы означает, что для любого Т £ ёсш((/1 V ... V /п)*) существуют линейные операторы Т; £ ¿(X, Е) и положительные ортоморфизмы а; £ Orth(E) + (1 := 1,..., п) такие, что

а1 + ... + ап = /е , Т = Т1 + ... + Тп, (/1 V ... V /п)*(Т) = (од/1 )*(Т1) + ... + (ап/п)*(Тп).

2.5. Теорема (см. [2, 4.1.8]). Пусть X,Х1 и Х2 — векторные пространства, Е — К-пространство. Пусть, далее, /1 : Х1 х X ^ Е' и /2 : X х Х2 ^ Е' — выпуклые операторы, не равные тождественно Если множества epi(/l,X2) и epi(Xl,/2) находятся в алгебраическом общем положении, то справедлива точная формула

(/2 Д /1 )* = /| Д /1*,

т. е. для любой пары (Т1, Т2) £ ёсш((/1 Д/) *), существует линейный оператор Т : X ^ Е такой, что

(/2 Д /1) * (Т1, Т2) = /1* (Т1, Т) + /I (Т, Т2).

3. Некоторые следствия

В этом параграфе приведены некоторые следствия теоремы 2.5 для вычисления преобразования Юнга — Фенхеля композиции отображений (см. [2, 4.1.9]).

3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.5 и (0, 0) € ёош((/1 Д/2)*)). Тогда существует линейный оператор Т : X ^ Е такой, что

^ ^ V {/1(х1,х) + /2(х,х2)}

= т£ {/1(х1,х) — Тх} + т£ {/2 (х,х2) — Тх}.

(ж1,ж)бХ1хХ (ж,ж2)бХхХ2

3.2. Теорема. Пусть Е — предупорядоченное векторное пространство, Е — К-пространство, / : X ^ Е — выпуклый оператор и д : Е ^ Е — возрастающий выпуклый оператор. Если множества ер1(/) х Е и X х ер1(д) находятся в алгебраическом общем положении, то для любого Т € С (X, Е) имеет место точная формула

(д ◦ /Г (Т) = ^ { (А о /)* (Т) + д* (А) : А € С + (Е, Е) }.

Положив в теореме 3.2 Т = 0, получим, что существует линейный положительный оператор Ао € С +(Е, Е) такой, что

Н {(до / )х} = Н {(Ао о / )х} — {д(х) — Аох}.

ЖбЛ ЖбЛ ЖбЛ

3.3. Если выполнены все условия теоремы 3.2 и, кроме того, д := Б — сублинейный оператор, то для каждого Т € С^, Е) верна точная формула

(Б о /)*(Т) = 1М { (А о /)*(Т): А € дБ}.

3.4. Пусть / : X ^ Е — выпуклый оператор, Б : Е ^ Е — возрастающий сублинейный оператор и множества ер1(/) х Е, X х ер1(Б) находятся в алгебраическом общем положении. Тогда существует линейный положительный оператор Ао € дБ такой, что

(Б о /)х = (Ао о /)х.

ж^от(/) ж^от(/)

< По определению преобразования Юнга — Фенхеля для собственного выпуклого оператора д : X ^ Е имеем

д*(Т) := 8ир{Тх — д(х) : х € X} (Т € С^, Е)).

Тогда

д*(0) := 8ир{—д(х) : х € X} = — {д(х) : х € X} = — т£{д(х) : х € ёош(д)},

т. е.

т£{д(х) : х € ёош(д)} = —д*(0).

Далее, положим д := Б о /. Согласно теореме 2.9 существует Ао € дБ такой, что (Б о /)*(Т) = (Ао о /)*(Т) для каждого Т € С^, Е). Тем самым

(Б о /)х = —(Б о /)*(0) = —(Ао о /)*(0) = (Ао о /)х. >

ж^от(/) ж^от(/)

3.5. Покажем теперь, что теорема С. Саймонса [3, Theorem 1.5] (см. также [5, Theorem 2.9]) есть простое следствие теоремы 2.5.

Теорема. Пусть j : X ^ E* и k : X ^ F* — выпуклые операторы, C := dom(j) П dom(k) и S : E ^ F всюду определенный возрастающий сублинейный оператор. Тогда существует линейный положительный оператор L G dS такой, что

inf (S о j + k)x = inf (L о j + k)x.

жбС жбС

< Пусть F = R и C := dom(j) П dom(k). Применив предложение 3.4 к

f : x ^ E x F, f : x ^ (j(x),k(x)); S' : E x F ^ F, (u,v) ^ Su + v,

получаем требуемое. >

Литература

1. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения. Ч. 1.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2002.—viii+372 с.

2. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Субдифференциалы. Теория и приложения. Ч. 2.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2003.—viii+413 с.

3. Simons S. A new version of the Hahn-Banach theorem // Arch. Math.—2003.—V. 80.—P. 630-646.

4. Simons S. Hahn-Banach theorems and maximal monotonicity // In Variational analysis and applications / F. Giannessi and A. Maugeri, eds.—Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2004.

5. Simons S. The Hahn-Banach-Lagrange theorem. Preprint.

Статья поступила 27 февраля 2006 г.

Басаева Елена Казбековна, к. ф.-м. н. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН E-mail: [email protected]