Об одном виде автоколебаний колес шасси самолета Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И Том XVI 1985

№ 5

УДК 629.735.33.015.4 : 533.6.013.43 : 629.7.027.23—254

ОБ ОДНОМ ВИДЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ КОЛЕС ШАССИ

САМОЛЕТА

В. И. Гончаренко

Установлен механизм обратной связи, обусловливающий возникновение автоколебаний при торможении катящихся колес. Энергетически эти колебания, внешне проявляющиеся как шимми, объясняются изменением тормозных сил на пневматиках.

Построена модель обратной связи и дано качественное описание условий возникновения и характера неустойчивости. Исследованы условия возбуждения автоколебаний на примере одной из простейших моделей установки колес, на которой может реализоваться данный вид автоколебаний.

Автоколебания, возникающие при торможении катящихся колес шимми, отличаются от шимми тем, что подводимая в колебательную систему энергия зависит от определяемого боковым движением изменения тормозных моментов, реализуемых на колесах. Обратную связь образует дополнительный осциллятор: рабочая жидкость в трубопроводе, соединяющем тормоза колес, и упругие элементы тормозов. При определенных условиях обратная связь оказывается положительной. Ее эффективность существенно повышается при «резонансе». В этом случае возникают наиболее благоприятные условия для потери устойчивости.

Далее на основе математической модели обратной связи дано качественное описание условий возникновения и характера неустойчивости. Проведено также исследование условий появления неустойчивости на примере простейшей установки колес, на которой может реализоваться данный вид автоколебаний. Показано существенное для практики ухудшение устойчивости движения колес при возможных значениях параметров тормозной системы.

1. Качественное описание автоколебаний. Рассмотрим [1—3] известную колебательную систему — установку пневматических колес (рис. 1), катящихся по плоскости без скольжения, в которой не наблюдаются автоколебания шимми, например, за счет надлежащего выбора параметров ее подвески и, в частности, коэффициента демпфирования крутильных колебаний. Учтем тот факт, что колеса снабжены дисковыми тормозами обычной конструкции [4], а рабочая жидкость подана к ним под давлением по общей магистрали, разветвляющейся впоследствии к каждому тормозу.

Оказывается, что в такой конструкции возможны автоколебания, внешне проявляющиеся как шимми, но обусловленные изменением тормозных сил на пневматиках, т. е. при учете работы тормозов может увеличится коэффициент потребного демпфирования.

Считая невозмущенное движение колес по горизонтальной плоскости прямолинейным и равномерным со скоростью V вдоль продольной оси ОХ, а нагрузку, воспринимаемую колесами, постоянной, будем характеризовать возмущенное движение установки колес следующими координатами: 2 — смещением точки О, являющейся центром масс установки колес, в поперечном направлении вдоль оси 0 — углом поворота установки колес относительно вертикальной оси ОУ; б—деформацией пакета тормозных дисков правого и левого колес.

Деформация б обусловливает увеличение на АТ силы сцепления правого пневматика с поверхностью и уменьшение момента относительно вертикальной оси Му, действующего на подвеску колес от сил сцепления, если его отсчет производится в положительном направлении оси ОУ.

Покажем, что дополнительный осциллятор, образованный жидкостью в трубопроводе и упругими элементами тормозов — пакетами тормозных дисков, выполняет роль обратной связи, регулирующей поступление энергии в осциллятор по углу 0. Источником энергии в этом случае, как и для колебаний шимми, является энергия поступательного движения объекта.

Колебания жидкости в трубопроводе, соединяющем тормоза колес, возникают при боковом движении колес вследствие инерционности пакета тормозных дисков и сопровождаются пульсацией давления на концах трубопровода и изменением величины деформации пакета тормозных дисков.

Существенное повышение амплитуды колебаний этого осциллятора наблюдается при «резонансе», т. е. вблизи совпадения одной из собственных частот колебаний катящихся колес с собственной частотой колебаний жидкости в трубопроводе, соединяющем полости тормозов.

Рассмотрим случай, когда деформация тормозных дисков б «отстает» от бокового смещения колес г по фазе на я/2. Можно показать, что реализуемый на колесе тормозной момент при достаточном количестве пар трения в пакете тормозных дисков пропорционален величине деформации этого пакета. Поэтому тормозной момент на правом колесе

и соответственно сила сцепления этого пневматика с поверхностью качения также «отстает» от бокового смещения на угол я/2. А так как момент Му относительно вертикальной оси сил сцепления пневматиков с поверхностью меняется в противофазе с изменением этой силы на правом колесе, то значит момент Му, действующий на установку колес, «опережает» боковое смещение колес на угол я/2. Поэтому, если подвеска колес такова, что величины 0 и 2 отличаются по фазе менее чем на я/2, — а это означает что момент Му и угловая скорость 0 сдвинуты по фазе также менее чем на угол я/2, — в осциллятор по углу 0 будет подводиться энергия за счет изменения тормозных сил.

Таким образом, в рассматриваемом случае увеличивается значение потребного коэффициента демпфирования крутильных колебаний для предотвращения неустойчивости.

Отметим, что близость величин 0 и 2 по фазе не является чем-то необычным. Так, для абсолютно жесткой на изгиб стойки с положительным выносом колес величины 0 и 2 совпадают по фазе. Учет податливости стойки заметно не устраняет совпадения.

2. Математическая модель обратной связи. При описании осциллятора, образованного жидкостью в трубопроводе, соединяющем тормоза колес, и упругими пакетами тормозных дисков, будем считать жидкость несжимаемой.

В предположении, что длина трубопровода во много раз превосходит расстояние между тормозами колес, движение столба жидкости можно описать уравнением:

тж Д + /гж Д =- 2ps0,

где Д — смещение столба жидкости, тж — масса жидкости в трубопроводе, hm — коэффициент демпфирования, s0 — площадь столба жидкости, р — повышение (понижение) давления в гидравлической камере тормоза правого (левого) колеса.

Движение упругих пакетов тормозных дисков, которые, как можно показать, эквивалентно заменяются телами вдвое меньшей массы, за-демпфированными по положению и по скорости относительно корпуса тормоза, описывается уравнением:

(8 -(- г) + /tT S + сТ о == ps ,

где тт — масса упругого пакета тормозных дисков, hT — коэффициент демпфирования, ст — жесткость пакета тормозных дисков, s — суммарная площадь поршней тормозных цилиндров.

На основании этих двух уравнений заключаем, что

МЬ + НЬ + СЬ + mrz = 0 , (1)

поскольку Д = х8, где ЛГ = /ижх3 + тТ, Н — кж х2 + 2ЛТ, С = 2с„ X = s/s0.

Именно по той причине, что величина х может быть велика, незначительная масса жидкости в трубопроводе оказывает существенное действие.

Когда одна из частот катящихся колес такова, что Л18 -|- С 8 = О,

тогда 8^'—— z, т. е. деформация тормозного пакета о, а значит н

и сила сцепления правого колеса, отстает от бокового смещения z по фазе на угол тс/2. Поэтому в соответствии с вышеизложенным при „резонансе“ можно ожидать потерю устойчивости.

Предположим, что при „резонансе" неустойчивость качения колес во время торможения возникает в том случае, когда уси-Ъ тт

ление — =-77- превосходит некоторый предел, т. е. когда доста-

2 И

точно мала величина коэффициента демпфирования //<//*.

Демпфирующие эффекты в осцилляторе по 6 обусловлены в основном силами сухого трения пакета тормозных дисков в направляющих, которое будем считать кулоновым, и гидравлическим сопротивлением перетоку жидкости в трубопроводе.

При этом для оценок на основании метода энергетического баланса можно принять Я = а/Л + рЛ, где А — амплитуда колебаний, а величины аир неотрицательны и пропорциональны силе трения в направляющих тормоза и коэффициенту квадратичного сопротивления. Для Н = Н* получаются явные выражения для поверхности установившихся гармонических колебаний:

а = Я*Л-рЛ2> р = //„/Л — а/Л2.

На рис. 2 показаны сечения этой поверхности. Стрелками вдоль вертикальной оси характеризуются тенденции изменения амплитуд в каждой области.

В системе без кулонова трения (а=0) состояние равновесия неустойчиво, а без гидравлического сопротивления (р = 0) состояние равновесия асимптотически устойчиво «в малом» и неустойчиво при больших возмущениях.

При наличии гидравлического сопротивления (р=т^0) состояние равновесия асимптотически устойчиво в целом для сф>//^/4, а для 0<сф< Н\(4 устойчиво в малом и существует единственный устойчивый предельный цикл.

Таким образом, в области 0<сф< //*/4 имеется два предельных цикла: внутренний неустойчивый и внешний устойчивый, т. е. в этой области наблюдается механизм жесткого возникновения автоколебаний. В области аР> //2/4 система асимптотически устойчива в целом.

3. Исследование устойчивости по первому приближению. Рассмотрим одну из простейших моделей установки колес, на которой может реализовываться данный вид автоколебаний. В этой модели должны быть учтены движения колес в поперечном направлении и около вертикальной оси. Предположим, что осцилляторы по 0 и по г независимы и

связаны между собой только посредством линейных неголономных неоднородных относительно скоростей связей качения пневматиков, введенных М. В. Келдышем [1]. Тогда уравнения возмущенного движения запишем в следующем виде:

Уй -|- Н 6 + с 6= Ь ф —/8 ; тг + Аг + сг = а X + 70;

2 + X + К 6 + V = 0 ;

0 = а V X — |3 V <р ;

^l.z + 8-j-v8-^-e8 = 0, |1=т^0.

(2)

При анализе параметров этой системы оказалось, что величина тормозной силы Т крайне мала. Поэтому положим параметр Т тождественно равным нулю.

В этой системе первая пара уравнений характеризует поведение осцилляторов по 0 и по г, вторая пара уравнений представляет уравнения неголономных связей, накладываемых на пневматик при его качении по плоскости. В целом первые четыре уравнения описывают колебания шимми установки колес, но отличаются от известных [1—3] наличием дополнительного члена /б. Коэффициент связи I пропорционален «добротности» тормозов, характеризующей крутизну зависимости тормозного момента от подводимого давления. Последним, пятым уравнением этой системы является уравнение (1), описывающее осциллятор по б, который инерционно возбуждается массой пакета тормозных дисков.

Устойчивость этой системы зависит от параметров / и ц только в виде их произведения, поэтому в дальнейшем будем считать, что ц Е=1.

При / = О из уравнений выделяется независимая от б подсистема, описывающая явление шимми колес и которая однозначно определяет устойчивость всей системы. Если при / = 0 система устойчива, то при / = 0 может быть лишь колебательная неустойчивость, при |/|-*-оо в обязательном порядке наступает неустойчивость.

Исследование устойчивости системы дифференциальных уравнений (2) восьмого порядка проводилось по схеме Рауса. Параметры были выбраны близкими к реально существующим. Их безразмерные значения следующие:

/ = 0,5; Н— 0,075; 0,1; С = 1,5; т= 1;

А = 0,1; с = 1; У=2; г = 0,9;

а = 0,9; Ь =0,2; а = 4; ^ = 4;

V = 0,2; е = 4; /=0,05; 0,1; Г = 0,02.

Влияние параметра / на зависимость величины потребного коэффициента демпфирования Я от скорости движения V показано на рис. 3. Поскольку для подвески колес без специальных гасителей колебаний величина Я обычно не превышает 0,1 V1С (что составляет для выбранных параметров 0,0866), то с необходимостью следует вывод о существенности параметра / при анализе устойчивости данной механической системы.

Так как собственные частоты шимми и дополнительного осциллятора по б определяются в основном параметрами С и е, то представляет интерес выявить характер областей неустойчивости на плоскостях (V, С) и (V, г). На рис. 4 и 5 изображены эти области в зависимости от

Рис. 3

параметра V. Видно, что по мере увеличения демпфирования в осцилляторе по 6 области неустойчивости стягиваются в точку и исчезают. Их замкнутый вид свидетельствует о неустойчивости именно вблизи совпадения собственных частот.

На рис. 6 представлены области неустойчивости на плоскости (V, у) при разных значениях параметра С. В этом случае, как и прежде, размеры областей неустойчивости уменьшаются с ростом Я и уменьшением /. Следует отметить наличие замкнутых областей неустойчивости на плоскости «скорость — демпфирование». И если для незамкнутых областей, которые наблюдаются при больших значениях С, в предположениях раздела 3 область возникновения автоколебаний на плоскости «скорость — амплитуда» односвязна и выпукла, то для замкнутых областей неустойчивости при малых С область возникновения автоколебаний разбивается на две несвязные выпуклые части, расположенные одна под другой. Таким образом, в некотором интервале скоростей

имеется следующее разбиение фазового пространства: устойчивое невозмущенное движение, неустойчивый предельный цикл и устойчивый предельный цикл, неустойчивый предельный цикл и устойчивый предельный цикл. Иначе говоря, в этом интервале скоростей в зависимости от начальных условий могут существовать как невозмущенное движение, так и автоколебания либо меньшей, либо большей амплитуды.

ЛИТЕРАТУРА

1. Келдыш М. В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси. — Труды ЦАГИ, 1945, вып. 564.

2. Г оз дек В. С. Устойчивость качения сблокированных ориентирующихся колес шасси самолета. — Труды ЦАГИ, 1970, вып. 1196.

3. Гончаренко В. И. Постановка задачи шимми для колеса с трехстепенной подвеской и распространение на случай учета сухого трения в поворотном узле. — Депонированная рукопись. Per. № ДО 4513,

1981.

4. Зверев И. И., Кокон ин С. С. Проектирование авиационных колес и тормозных систем.— М.: Машиностроение, 1973.

Рукопись поступила 4/III 1984 г.