CC BY
25
УДК 517.929.21; 534.015; 529.4.017
ГРАНИЦЫ УСТОЙЧИВОСТИ ТЯГОВОГО ПРИВОДА ЛОКОМОТИВА В РЕЖИМЕ БУКСОВАНИЯ
© 2011 г. П.А. Коропец
Ростовский государственный университет Rostov State Transport
путей сообщения University
Рассматривается математическая модель тягового привода локомотива в режиме буксования. Анализируется устойчивость динамической модели в окрестности равновесного режима. Определены условия развития фрикционных автоколебаний. Построены зоны существования автоколебаний в области диссипативных параметров системы. Получено аналитическое выражение для расчета коэффициентов демпфирования, при котором система находится на границе устойчивости.
Ключевые слова: тяговый привод; динамическая система; математическая модель; демпфирование; фрикционные автоколебания; флаттер; устойчивость.
Mathematical model of the tractive drive of the locomotive in sliding mode is considered in article. Stability of dynamic model in area of balance mode is analyzed. The conditions of the development of friction autooscillations are certain. Zones of existence auto-oscillations in the field of dissipative parameters of system are built. Analytical expression for calculation coefficients of damping, under which system is found on border of stability, is received.
Keywords: tractive drive; dynamic system; mathematical model; dissipation; friction auto-oscillations; flatter; stability.
Режим буксования является одним из наиболее высоконагруженных режимов работы тягового привода. Буксование возникает тогда, когда тяговый момент оказывается больше момента сцепления колесной пары с рельсами. Потеря сцепления в контакте колес с рельсами приводит к резкому возрастанию скорости относительного скольжения колес.
Причиной динамических нагрузок в элементах привода при буксовании являются фрикционные автоколебания, которые могут иметь принципиально различную природу происхождения.
Автоколебания могут развиваться как за счет «отрицательного трения», обусловленного отрицательным углом наклона (zp) нисходящего участка харак-
теристики сцепления Mс - рис. 1 а [1, 2], так и по причине структурной неустойчивости динамической системы и возникновения в ней «фрикционного флаттера» даже при zp = 0 [3, 4].
В данной работе ставится задача на примере опорно-осевого привода I класса найти инженерный метод, позволяющий с помощью достаточно простых аналитических соотношений с удовлетворительной точностью вычислять демпфирование, при котором система находится на границе устойчивости при буксовании с высокими скоростями скольжения колес, когда в динамической системе возможен фрикционный флаттер.
Расчетная схема динамической модели опорно-осевого привода показана на рис. 1 б.
M „J M.
ср kp Ф*1
а б
Рис. 1. Взаимное расположение характеристик тягового момента Мт , момента сцепления Ыс (а) и расчетная схема привода в режимах буксования с различными равновесными угловыми скоростями скольжения ф (б)
Для буксования с высокими скоростями скольжения колесных пар характерным является то, что в равновесном режиме жесткость (тангенс угла наклона) характеристик момента сцепления и тягового момента имеют незначительную величину, которой можно пренебречь, принимая tgP = 0 и = 0 .
Рассмотрим модель привода с «защемленной» тележкой при отсутствии внешнего силового и кинематического возмущения, что вполне допустимо при малых скоростях движения, когда буксование наиболее вероятно.
Поведение модели привода в окрестности режима [ф„, М„ ] в динамических координатах описывается системой дифференциальных уравнений:
(mk + mo + m] )zk + (moLox + m]L]x + +(bp + bd + b1) zk + (cp + cd + c1) zk + +bdLd <Vd + cdLd 9d = 0;
[Jo + (u +1)2 J. + m0j}0 + m.L2, ]9d - }■ (1)
-u (u + 1) J j Фк + (moLox + mL jx ) z k +
+bdLdzk+cdLdzk + bdLd <?d+cdLld Фd =0
(Jk + u Jj )Фк - u (u + 1)J, <Pd = -AMC
где zk, фk, ф^ - линейная (вертикальная) координата колесной пары и угловые координаты колесной пары и корпуса тягового электродвигателя (ТЭД) соответственно; тк, т0, т] - масса колесной пары, массы
остова ТЭД и якоря ТЭД; Jk,J0,А ] - моменты инерции относительно оси вращения и центров тяжести колесной пары, остова ТЭД и якоря ТЭД; с1, Ь1, ср, Ьр, са, Ьа - приведенные к одной оси упругие
и диссипативные характеристики первой ступени рессорного подвешивания, пути и узла подвески ТЭД к раме тележки; L0, Lj - расстояние от оси колесной
пары до центра тяжести остова ТЭД и до оси вращения якоря ТЭД; L0x, Ljx - продольная координата
центра тяжести остова ТЭД и якоря ТЭД; Ld - продольная база подвешивания ТЭД к раме тележки; ДМс - динамическая составляющая момента сцепления, обусловленная изменением вертикальной нагрузки в контакте колес с рельсами при автоколебаниях.
Параметры рессорного подвешивания влияют главным образом на характеристики колебаний тележки, а она в принятой расчетной схеме зафиксирована. Жесткость и коэффициент демпфирования рессорного подвешивания обычно на 1 - 2 порядка меньше жесткости и коэффициента демпфирования пути. Поэтому их величинами можно пренебречь, принимая с1 = 0 и Ь1 = 0, и полагая, что вертикальные колебания колесной пары определяются только
упруго-диссипативными характеристиками пути ср и
V
Величина ДМ с в окрестности режима [ф„, М„ ] не зависит от угловой скорости скольжения фск и определяется из выражения
ДМ с = Кк уДР = ±Rk у (bpZp + CpZk), (2)
где Rk - радиус колеса; у - коэффициент трения, соответствующий режиму [ф„, М„ ]; ДР - динамическая составляющая вертикальной нагрузки в контакте колесной пары с рельсами.
Знак в выражении (2) выбирается в зависимости от направления момента сцепления, которое определяется направлением движения V : если направление движения соответствует указанному на рис. 1 (колесной парой вперед), то выбирается «минус»; при противоположном направлении - «плюс». В работе [4] показано, что автоколебания типа «флаттер» возникают при движении привода колесной парой назад.
С учетом выражения (2) последнее уравнение системы (1) для направления движения, при котором возможен флаттер, примет вид:
(Jk + и2 J] )фк - и (и +1) J] фd +
+^ У (bpzk + cpzk) = 0
отражая тем самым дополнительное (за счет фрикционного контакта) одностороннее влияние линейной координаты zk на угловую координату фk .
Главный определитель системы (1) имеет вид
Д =
где А1 = ткР + (Ьр + bd )р+ср + cd; °22 = Лр +
+Ь^р+cdL2d; °зз = Ар2; А2 = А1 = тфр2 + bpLdР+
+cdLd; Аз = А>2 =-] ; Аз =0; А1 = ^у (ЬрР+ср ); к к * 2 т* = т + то + т; тф = тКх + т^3х; = Ао +(и+1) А+
2 2 * * 2
+т^0 + т]Р]-; А= и (и +1) А; Ак = Jk + и А.
Из определителя (3) получим характеристическое уравнение, по корням которого рз можно судить об устойчивости динамической модели в заданной области изменения ее параметров.
Из трех пар корней характеристического уравнения одна пара корней равна нулю, что соответствует вращению крутильной системы привода с постоянной угловой скоростью. Отличные от нуля корни будут попарно комплексно-сопряженными вида Ро,2> = а^ ±, где ах - з-я собственная частота, а
а5 - коэффициент, определяющий темп затухания (если а < 0) или возрастания (если а > 0) амплитуды
Ai D12 D13
D21 D22 D23 , (3)
D31 D32 D33
колебаний с 5-й собственной частотой. Если а > 0, то система неустойчива, и в ней при сколь угодно малых отличных от нуля начальных условиях будут развиваться автоколебания.
Декремент колебаний с 5-й собственной частотой
„ а 5
определяется из выражения Л5 = 2л—- .
Исключим из рассмотрения форму движения, соответствующую вращению привода с постоянной скоростью, приведя определитель (3) путем линейных преобразований к виду
А =
Dil D12 D2i D22
(4)
где Dii = «iip2+(bp + bd)p+cp + cd; Di2 = ai2p2 + +(bdp+cd )Ld; D2i = a2i p2+(bdp+cd )Ld +ri(bpp+cp )Ld;
Dii = «22 p2 + (bdp+cd )Ld; «ii = m; «i2 = 4; «2i = «i2;
T *2
, т* т
an
'2 •• О _* ' ' » _* I -
Tk Jk Ld
, т* J1 ч J1 Rk
«22 = (J* --1-); i=4- v L- ■
Параметры рассматриваемой динамической модели приняты такими же, как в работе [4], и соответствуют реальным параметрам тягового привода электровоза ВЛ80. Тогда коэффициенты определителя (4) принимают значения: а11 = 7,650 [т];
а12 = а21 = 2,119 [тм]; а22 = 2,234[тм2]; сй = 104[кН/м]; Ld = 1,23 [м]; Як = 0,625 [м].
Параметр л зависит от коэффициента сцепления у и в данном случае может изменяться в пределах "Л = 0...0,2. Значение л = 0 (при у = 0) можно рассматривать исключительно теоретически. Значению Л = 0,2 соответствует у = 0,39.
Л
0,4 0,3 0,2 0,i 0
0
По данным из различных источников, вертикальная жесткость пути зависит от его конструкции (деревянные или железобетонные шпалы), технического состояния, сезона (зима, лето) и прочих факторов и может изменяться в широких пределах. В данном исследовании жесткость пути (на ось) принимается в качестве одного из варьируемых параметров с пределами изменения ср = (2...8)-104[кН/м], что соответствует пути с «просевшими» шпалами.
Исследование системы с главным определителем (4) операторными методами позволяет построить зависимости логарифмического декремента Л 5 (ср, л)
и собственных частот ю5 (ср, л) от варьируемых параметров ср и л.
Результаты расчетов при Ьр = 0 и Ьа = 0 приведены на рис. 2.
Как следует из рис. 2, при отсутствии демпфирования в области, соответствующей неустойчивому состоянию системы, происходит «слияние» поверхностей ее собственных частот (ю1 = ю2 - рис. 2 б).
Демпфирование в упругих связях системы изменяет характеристики автоколебаний [1, 3, 5].
На рис. 3 представлены результаты расчета характеристик для системы с демпфированием.
При введении демпфирования Ьр и bd происходит изменение формы поверхности Л(ср, л) и «погружение» ее в область отрицательных значений Л. Собственные частоты имеют общую линию (соприкосновения или пересечения), на которой также выполняется условие ю1 = ю2. Характерной особенностью при этом является тот факт, что линия пересечения частот соответствует жесткостям ср , при которых
поверхность Л(ср, л) имеет локальные максимумы.
20000 30000
ra,c-i i20 1 i00 1 80 60
0
0,20 80000
0,05
20000 30000 40000 50000 60000 °Д5 ' 70000
0,20 80000
б
Рис. 2. Зависимости Л(ср,л) и ю(ср,л) при Ьр = 0 и Ьл = 0
а
Задав определенное значение параметру ц, например "л = 0,1, и принимая значение ср таким, при котором поверхность Л(ср, ц) имеет максимум, например ср = 4 -104 кН/м , построим поверхность логарифмического декремента колебаний в функции параметров демпфирования Л(Ьр, Ь11). Результат расчета показан на рис. 4.
На рис. 4 линия пересечения поверхности Л(Ьр, Ьс1) с плоскостью нулевого уровня является
границей, разделяющей зоны устойчивости и неустойчивости системы для заданных параметров ц и
ср . Однако полученный графическим путем результат
можно считать скорее качественным, чем количественным. Более точный результат может быть найден путем построения линии равного уровня (в данном случае - нулевого) в пространстве диссипативных
параметров системы, что требует разработки специализированных алгоритмов, в которых предусматривается перебор большого количества вариантов с оценкой устойчивости системы на каждом шаге.
Исследование динамических систем, в которых возможно развитие фрикционного флаттера, указывает на ряд характерных особенностей, позволяющих при некоторых допущениях существенно упростить выбор диссипативных параметров, обеспечивающих устойчивость этих систем.
При заданном значении параметра ц на поверхности Л(ср, ц) можно выделить кривую, имеющую максимум при значении жесткости ср, соответствующем равенству собственных частот системы. При введении в систему демпфирования этот максимум смещается в область отрицательных значений Л и на границе устойчивости равен нулю.
Л
0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3
0
0,05 0,10
0,15
70000
ю,с
70000
а б
Рис. 3. Зависимости Л(ср,ц) и ю(ср,ц) при Ьр = 30кНс/м и Ьл = 30кНс/м
Л
0,2 0 -0,2 -0,4
Система неустойчива
100
100 80 60 40 20
1 \ \ .4 \ \ \ \ ч ч ч ч ч Ч ч ч ч
ч ч ч ч ч ч \ ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч
N N Ч \ Ч ч \ ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч
I ч Ч ч ч ч ч Ч Ч ч \ Ч Ч Ч Ч Ч Ч Ч ч Ч Ч Ч
Ч N N ч ч ч s Ч s ч ч ч ч ч
\ Ч Ч ч \ Система устойчива \ ч ч
\ \ \ \ ч
V Ч \ ч ч
Ч Ч Ч ч ч ч
V Ч ч ч \ ч ч
\ N Ч \ Ч ч \ ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч
N ч \ \ \ ч ч ч ч ч
Ч ч ч ч Ч N ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч
V Ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч
Ч ч ч ч ч Ч Ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч
1 ч N Ч Ч Ч Ч ч Ч ч Ч ч ч ч ч
\ Ч Ч ч ч Ч N ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч
\ V \ \ Ч \ ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч
\ Ч J ч ч ч \ ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч
t- \ ч ч ч ч ч
\ \| \ ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч ч
ч Ч ч ч ч ч ч
0 /20 40 60 80 100 Граница устойчивости
б
Рис. 4. Зоны устойчивости системы в плоскости ее диссипативных параметров (ц = 0,1; сл = 10 кН/м)
0
а
Пусть характеристический полином системы четвертого порядка имеет корни qks =а ь + юк5, где к = 1,2, 5 = 1,2. Тогда у системы, находящейся на границе устойчивости будут равны между собой (по модулю) все мнимые части четырех корней ее характеристического полинома, а действительные части двух сопряженных корней будут равны нулю.
Характеристический полином такой системы имеет вид:
^ - (а + /ю)] ^ - (а - /<ю)](5 - /ю)(5 + /ю) =
Тогда из соотношений (8) найдем жесткость ср, при которой обеспечивается равенство парциальных
частот (9): cp = Ld - l)cd , гДе cd = «22 72"
Q2
22
Выражая ср и сй через & и подставляя их зна-
чения в определитель (7), получим
А =
Dii Di2
D21 D22
(9)
= q4 - 2aq3 + (2ю2 +a2)q2 - 2ro2aq +
+ю2а2 + ю4 = 0.
(5)
где
2 bp + bd 2 Dii = p 2 + -?-d-p + Q2
Потребуем, чтобы характеристический полином исследуемой системы, полученной при раскрытии определителя (4), соответствовал системе, находящейся на границе устойчивости.
Преобразуем определитель (4) к виду
А=
Dii Di2 D2i D22
(6)
Di2 = p 2 + +
D2i = «i p2 + Md
«22 Q2 «11 Ld
2
Q2
p +-+
22 Ld
+1
bpLd
p + |(«L Ld -1) Q-;
где
f, 2 bp + bd Cp + Cd
Du = p2 +—-p+—-;
«ii «ii
Di2 = ^ p 2 + ^Ldp + —^Ld «i i «i i «•]
ii
D2i = ^ p 2 + [(^ + 1 ) p + ^ + | ^ ]Ld
«22 «22 «22 «22 «22
Ь Т2
^22=р2+^р+&2.
а22
Полагая, что автоколебания развиваются с частотами, близкими к парциальным частотам системы, принимаем условие югП и, раскрывая определитель (9), получаем полином вида
p4 + Bi p3 + B2 p2 + B3 p + B4 = 0.
(i0)
D- = p2 + +—^¿d.
«22 «22
В полученном определителе (6) обозначим
Для приведения системы с характеристическим уравнением (10) в соответствие системе, находящейся на границе устойчивости, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях полиномов (10) и (5):
^^ = Q2 и = Q2,
(7)
D [«11^4 - «12 Ld (2bd + lbp )]Ld
Bi =-2—2-+
(«i i «22 - «12 )Ld
где & и & 2 - парциальные частоты недемпфированной системы.
В общем случае парциальные частоты отличаются от частот связанной системы, коей является исследуемая динамическая система. И коэффициентами связанности в данном случае нельзя пренебречь, так как не выполняется условие а122 << а11а22 [5]. Тем не менее, как показывают расчеты (рис. 1, 2), при флаттере собственные частоты сближаются и могут быть равными между собой. Этот факт позволяет сделать допущение о том, что с некоторой погрешностью можно принять
Qi — Q 2 — Q .
(8)
«22 (bp + bd )Ld
+---2—T = -2a;
(«1 1«22 - «12 )Ld
B ^«-^i^d - «i2)-la12(a11Id - «22 )] v B2 =-----V
(«11«22 «12 )Ld
v[Ld Q2 + bpbdl4d (1 -|)] = 2Q2 +a 2-
B3 =
[«22 (bp - bd ) + «11bdLd ] , («11«22 - «12 )Ld
v(1 -i) Ld Q2 =-2aQ
2
(11)
(12)
(13)
и
11
11
11
«
«
d
11
в4 = "22(1 -ц)(^ -^22) д 4 =д2а 2 + д 4. ^ (а11а22 - a12)Ld
В общем случае, если ю1 Фю2 фД, то полученные таким образом соотношения образуют совместную систему. Однако ее аналитическое решение относительно Ьр или bd получается настолько громоздким, что теряется смысл в его нахождении. Введенные допущения о том, что ю1 = ю2 = Д, позволяют уменьшить количество неизвестных, исключая из их числа ю1 и ю2. В этом случае из совместного решения уравнений (12) и (14) могут быть получены соотношения между Ьр и Ь11 , удовлетворяющие условиям
поставленной задачи и сопоставимые с результатами точных расчетов.
Исключая из соотношений (12) и (14) величину а, получаем
1 Q
bp =- "РТ"
"h(«11Ld - a22) -
bd L4d(1 -л) -(a12Ld - a22)](a12Ld - a22).
(17)
bp, кНс/м
Относительное различие частот ю1 и ю2, опреде-
Дю ю, -ю2|
ляемое из выражения effl =
юср 0,5(®1 +Ю2)
соста-
Подставляя численные значения параметров, входящих в выражение (15), построим границы устойчивости для различных значений ц = [0,05; 0,075; 0,10] -рис. 5.
вило не более 3,3 % для bd = 5...70 кНс/м и не более 8,3 % для ^ = 70...100 кНс/м.
Относительное отклонение юср от Д составило не более 2,5 % для Ьл = 5...70кНс/ми не более 5 % для bd = 70...100 кНс/м, при этом юср < Д.
Таким образом, полученная аналитическая зависимость (15) достаточно точно отражает и качественную, и количественную сторону рассматриваемых свойств динамической системы.
Выражение (15) можно представить в виде bpbd = £ , рассматривая его как соотношение баланса
между диссипативными параметрами системы и присутствующим в ней обобщенным дестабилизирующим фактором £.
Анализируя определитель системы (4), можно утверждать, что дестабилизирующим фактором является параметр ц. При ц = 0 , а также при Ьр = 0 и bd = 0
система является консервативной. Но как следует из выражения (17), при ц = 0 произведение коэффициентов демпфирования Ь^^ становится отрицательным, что следует понимать как определенный запас устойчивости по отношению к дестабилизирующему фактору ц. В то же время, принимая ЬрЬл = 0, из
выражения (15) можно определить граничное значение ц, превышение которого приводит к неустойчивости и развитию автоколебаний:
Л= (a12 Ld - a22) (a11L2d - a22)
(16)
20 40 60 80 100 Ьл , кНс/м
Рис. 5. Границы зон устойчивости системы при различных значениях ц
Сопоставление рис. 4 и 5 свидетельствует об удовлетворительном совпадении границ устойчивости, в частности, при ц = 0,1 и cd = 104кН/м . Не следует ошибочно отождествлять границы устойчивости на рис. 5 и линии равного уровня Л на рис. 4.
Для оценки точности результатов, полученных по формуле (15), было проведено их сравнение с результатами численного решения полной системы, составленной из уравнений (11) - (14) при ю1 Ф ю2 Ф Д.
Относительная погрешность значений Ьр , полученных по формуле (15), составила не более 1,0 % для диапазона изменения Ь11 = 5...70кНс/м, и не более 1,27 % для Ь11 = 70...100 кНс/м. Отклонения смещены в сторону запаса устойчивости.
Подставляя в (16) числовые значения, получаем: ц = 0,03997, что хорошо согласуется с результатами ранее выполненных расчетов (рис. 2).
Из выражения (16) следует, что за счет соответствующего выбора инерционных и геометрических параметров конструкции при минимальном демпфировании можно влиять на ее устойчивость к различного вида внешним воздействиям. В этом случае можно величину ц рассматривать как показатель «внутреннего структурного иммунитета» конструкции. В теории автоматического управления аналогами показателя ц являются запас устойчивости по амплитуде и
запас устойчивости по фазе.
Если принять ц < 0 , что соответствует изменению направления движения на противоположное, то требуемое для устойчивости системы демпфирование (либо bd, либо Ьр ) будет отрицательным. Это подтверждает тот факт, что при движении привода «колесной парой вперед» автоколебания типа флаттер в нем невозможны.
2
Выводы
1. При исследовании режимов буксования необходимо учитывать динамическую составляющую нормальной реакции в контакте колес с рельсами, вызванную динамическими процессами в тяговом приводе.
2. Устойчивость опорно-осевого тягового привода зависит от направления его движения. При движении «двигателем вперед» в тяговом приводе возможно развитие автоколебаний типа «флаттер».
3. Характерной особенностью таких автоколебаний является сближение собственных частот колебаний системы.
4. В данной работе построены границы зон устойчивости системы «тяговый привод - путь» в области ее диссипативных параметров.
5. С учетом допущений, отражающих особенности развития автоколебаний, получено аналитическое соотношение для расчета коэффициентов демпфирования, при которых система находится на границе устойчивости, с приемлемой для инженерных расчетов точностью.
Поступила в редакцию
6. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании фрикционных автоколебаний в динамических системах и при создании новых конструкций тягового привода локомотива.
Литература
1. Павленко А.П., Коропец П.А. Метод расчета областей существования фрикционных автоколебаний в тяговых приводах локомотивов // Тр. РИИЖТ. Ростов н/Д. 1984. Вып. 176. С. 25 - 32.
2. Магнус К. Колебания. М., 1982. 304 с.
3. Кириллов О.Н. Об устойчивости неконсервативных систем с малой диссипацией // Современная математика и ее приложения. 2005. Т. 36. С. 107 - 117.
4. Коропец П.А. Флаттер в тяговом приводе локомотива в режимах буксования // Электронный журн. «Исследовано в России». 2009 г. 064, С. 761 - 772. URL: http://zhurnal. ape.relam.ru/articles/2009/064.pdf
5. Вибрации в технике : справочник: в 6 т. Т. 1. / ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). М., 1978. С. 65.
24 июня 2011 г.
Коропец Петр Алексеевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Электрический подвижной состав», Ростовский государственный университет путей сообщения. Тел. +7(863) 272-64-90. E-mail: vega99@front.ru
Koropets Petr Alekseevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Electric Rolling Stock», Rostov State Transport University. Ph. +7(863) 272-64-90. E-mail: vega99@front.ru
