CC BY
11<Тешетневс^ие чтения. 2016
УДК 517. 95
ОБ ОДНОМ УРАВНЕНИИ ТИПА УИЗЕМА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Т. К. Юлдашев
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Предлагается методика изучения задачи Коши для квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Используется метод вырожденного ядра. Доказывается теорема о существовании и единственности решения данной начальной задачи. При этом применяется метод последовательных приближений.
Ключевые слова: задача Коши, квазилинейное уравнение, метод вырожденного ядра, метод характеристик, существование и единственность решения.
ON A WHITHAM TYPE PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION OF THE FIRST ORDER
Т. К. Yuldashev
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]
This paper proposes a method of studying a Cauchy problem for a Whitham type quasilinear partial differential equation of the first order. It uses the method of degenerate kernel. It proves a theorem on the existence and uniqueness of the solution of this initial value problem. It applies the method of successive approximations.
Keywords: Cauchy problem, quasilinear equation, method of degenerate kernel, the method of characteristics, the existence and uniqueness of the solution.
Поведение волн на воде, распространение света и звука, с одной стороны, известны каждому из повседневного опыта, с другой стороны, волны можно изучать на любом техническом уровне. Волны изучают ученые из разных отраслей, потому что все области науки и техники связаны с волновым движением [1].
Для истинно диспергирующих волн доминирующую роль играет групповая скорость. Учитывая ее огромную важность и помня о неоднородных средах и нелинейных волнах, желательно найти способы непосредственного определения групповой скорости. Здесь важную роль играет дифференциальное уравнение типа Уизема
ЁОИЛ + С (и (/, х)) .^Х) = f (,, х ),
д t д х
где С (и ^, х)) - групповая скорость. Это уравнение можно интерпретировать как волновое уравнение для распространения волновой функции и ^, х) со скоростью С (и ^, х)).
В данной работе изучается это уравнение для конкретного случая
т
С (и ^, х)) = | К ^, и (^, х) ds.
0
Итак, в области В = Вт х Я рассматриваются вопросы однозначной разрешимости следующего нели-
нейного уравнения в частных производных первого порядка:
т
д u (t, x) г . . . . , д u (t, x) ri \ /1Ч
д' + J K (t, s) u (s, x) ds ■ д = f (t, x ) (1)
д t 0 д x
с начальным условием
u (t, x) 11=0 =ф (x), x e R, (2)
где f (t,x) e С(D); 9(x) e C(R); DT 0,T ]; 0 < T <»; 0 < K (t, s) = a (t) ■ b (s) e C (DT x DT ).
Вырожденность ядра в уравнении (1) позволяет его упростить и получить более простое уравнение в частных производных первого порядка. Левая часть упрощенных уравнений в частных производных первого порядка представляет собой производную неизвестной функции по направлению вдоль характеристики. Это позволяет представить уравнение в частных производных как обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее изменение неизвестной функции вдоль линии характеристик [2].
Теорема. Пусть выполняются следующие условия:
T s
1. II g (x)|| <®, g (x) = J b (s)-J f (6, x) d 0 ds.
0 0
2. ф (x) e Bnd (M) n Lip |L|x j, 0 < M, L = const.
¡Прикладная математика
3. max J| b(s) |ds < A, 0 < A = const.
<P ck (x) -ck-1 (x)
(8)
4. max J| b (s) • q (s) |ds <5, q (t) = J a (s) ds,
0 0 0 <5 = const.
5. p = L-5<1.
Тогда существует единственное решение задачи (l), (2) в области D .
Доказательство. Сделаем замену [3]
T
c (x) = Jb(s)u (s,x)ds. (3)
0
Тогда уравнение (l) приобретает вид
8 u (t, x) , ч 8 u (t, x) rt ч
a + a(t) • С(x) • 8 = f (t,x ). (4)
81 8 x
Используя метод характеристик, с учетом начального условия (2) из (4) получаем
t
u (t, x) = ф (x - c (x) • q (t)) + J f (s, x) d s, (5)
0
t
где q (t) = J a (s) d s.
0
Подстановка (5) в (3) дает
T
c (x) = J b (s) -<p(x - c (x) • q (s))ds + g (x), (6) 0
T s
где g (x) = J b (s) •J f (6, x) d 6 ds.
0 0
Выражение в (6) является нелинейным интегральным уравнением относительно неизвестной функции c (x) . Для этого нелинейного интегрального уравнения рассмотрим следующий итерационный процесс [4; 5]:
c 0 (x) = g(x),
T
ck+i(x) = J b (s) • p(x - ci(x) • q (s))d s+g(x), 0
k = 0,1,2, ...
Тогда, в силу условий теоремы, справедливы следующие оценки:
|| ci(x) - c0(t)|| <
t
< max J| b(s) |J|p(x-g(x)• q(s)))ds < A^M; (7)
teDt 0
|| ck+i(x) - ck (x) || < L •5 11 ck (x) - ck-l(x) || <
Из этих оценок (7) и (8), в силу последнего условия теоремы, следует, что оператор в правой части (6) является сжимающим. Следовательно, интегральное уравнение (6) имеет на числовой оси единственное решение. Подстановка этого решения в (5) завершает доказательство теоремы.
Библиографические ссылки
1. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М. : Мир, 1977. 622 с.
2. Горицкий А. Ю., Кружков С. Н., Чечкин Г. А. Уравнения с частными производными первого порядка. М. : Мехмат МГУ, 1999. 95 с.
3. Юлдашев Т. К. Об одном интегро-дифферен-циальном уравнении Фредгольма в частных производных третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 2015. № 9. С. 74-79.
4. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка // Вестник ТомскГУ. Сер. «Математика и механика». 2012. № 2. С. 56-62.
5. Юлдашев Т. К. Об обратной задаче для системы квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка // Вестник Южно-УралГУ. Сер. «Математика. Механика. Физика». 2012. № 6. С. 35-41.
References
1. Whitham G. B. Linear and nonlinear waves. New-York - London - Sydney - Toronto, A Willey-Interscience Publication, 1974.
2. Goritskiy A. Yu., Kruzhkov S. H., Chechkin G. A. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi pervogo poryadka (Partial differential equations of first order). Moscow: Lomonosov Moscow State University, 1999. (In Russ.)
3. Yuldashev T. K. A certain Fredholm partial integro-differential equation of the third order // Russian Mathematics. 2015. Vol. 59. no 9. Pp. 74-79.
4. Yuldashev T. K. Ob obratnoy zadache dlya kvazilineynogo uravneniya v chastnyx proizvodnyx pervogo poryadka (On inverse problem for a quasilinear partial differential equation of first order) \\ Vestnik of Tomsk State University. Series: Mathematics and Mechanics. 2012. No 2. Pp. 56-62. (In Russ.)
5. Yuldashev T. K. Ob obratnoy zadache dlya systemy kvazilineynyx uravneniy v chastnyx proizvodnyx pervogo poryadka (On inverse problem for a system of quasilinear partial differential equations of first order) \\ Vestnik of South-Ural State University. Series: Mathematics and Mechanics. 2012, no 6. Pp. 35-41. (In Russ.)
© Юлдашев Т. К., 2016
