Об одном свойстве ограниченных комплексов дискретных Fp[?]-модулей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.662 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 4 МБС 18С35

Об одном свойстве ограниченных комплексов дискретных ¥р[к]-модулей О. Б. Подкопаев

Научно-исследовательский университет Высшая школа экономики, Российская Федерация, 190008, Санкт-Петербург, ул. Союза Печатников, 16

Для цитирования: Подкопаев О. Б. Об одном свойстве ограниченных комплексов дискретных Гр[п]-модулей // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 4. С. 631-636. https://doi.org/10.21638/11701 /spbu01.2018.409

Целью этой заметки является доказательство следующего утверждения: пусть п — проконечная группа и К* — ограниченный комплекс дискретных Гр[п]-модулей. Предположим, что Нг(К*) —конечные абелевы группы. Тогда существует квазиизоморфизм Ь* —> К *, где Ь* —ограниченный комплекс дискретных Гр[п]-модулей, такой что все Ьг — конечные абелевы группы. Это аналог для дискретных Гр[п]-модулей известной леммы об ограниченных комплексах А-модулей (например, сконцентрированных в неотрицательных степенях), где А — нетерово кольцо, которая утверждает, что любой такой комплекс квазиизоморфен некоторому комплексу конечно порожденных А-модулей, свободных за исключением, возможно, модуля, лежащего в степени 0. Эта лемма играет ключевую роль в доказательстве теоремы о замене базы в когомологиях когерентных пучков на нетеровых схемах, которая, в свою очередь, может быть использована для доказательства теоремы Гротендика о поведении размерностей групп когомологий семейства векторных расслоений над плоским семейством многообразий. Ключевые слова: проконечная группа, дискретный модуль, когомологии.

1. Введение. Пусть / : X —> У — собственный морфизм нётеровых схем, причем У = БресА — аффинная схема, и пусть Т — когерентный пучок на X, плоский над У. Теорема о замене базы (см. [1] и [2, гл. 2, § 5]) утверждает, что существует конечный комплекс К * конечно порожденных проективных А-модулей и изоморфизм функторов

Нр(Х хА БресВ, т®а В) = Нр(К* ®А В)

на категории А-модулей В. Эта теорема имеет важные приложения в алгебраической геометрии; из нее, в частности, вытекает полунепрерывность сверху размерности когомологий слоев. Доказательство теоремы о замене базы основано на следующем утверждении (¡ое.еИ.). Пусть С * — комплекс А-модулей, такой что Нг(С *) — конечно порожденные А-модули и Ср = 0 при р < 0 и р > п. Тогда существует комплекс К * конечно порожденных А-модулей, такой что Кр = 0 при р < 0 и р > п, Кр — свободные модули при 1 < р < п, и существует гомоморфизм комплексов К * —> С *, индуцирующий изоморфизмы Нг(К*) —> Нг(С*) для всех г. Более того, если все Ср являются плоскими над А, то К0 также плоский над А.

Целью этой заметки является доказательство следующего аналога вышеуказанного утверждения в категории дискретных п-модулей, где п — проконечная группа.

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018

Теорема. Пусть п — проконечная группа, К * — ограниченный комплекс дискретных ¥р[п]-модулей. Пусть Нг(К) — конечные группы. Тогда существует ограниченный комплекс Ь* дискретных ¥р[п]-модулей, такой что все Ьг являются конечными абелевыми группами, и существует гомоморфизм комплексов дискретных ¥р[п]-модулей ф : Ь* ^ К *, индуцирующий изоморфизмы Нг(Ь*) ^ Нг(К*) для всех г.

2. Доказательство основного результата. Пусть п —проконечная группа и [п] — групповое кольцо группы п над полем [3]. Доказательству основной теоремы мы предпошлем два вспомогательных утверждения.

Лемма 1. Пусть М — дискретный Fр[п]-модуль, N —дискретный Гр[п]-модуль, конечный как абелева группа, р : М —>• N — сюръективный гомоморфизм ¥р[п]-модулей. Тогда существует коммутативная диаграмма:

в которой X —конечное п-множество и гомоморфизм u сюръективен.

Доказательство. N — дискретный п-модуль, конечный как абелева группа. В частности, N — конечное п-множество и для любого n G N подгруппа Stab (n) открыта в п. Представим N в виде N = Uk=1Oni, где Oni — орбита ni G N. Имеем Oni = п/Stab^) как п-множества. Пользуясь сюръективностью гомоморфизма p : M ^ N, для каждого ni,i = 1...k, найдем mi G M, такой что p(mi) = ni. Поскольку M — дискретный п-модуль, группа Stab(mi) открыта в п. Убедимся в том, что п/Stab(mi) конечно.

Пусть pr : п —> п/Stab(mi) —естественная проекция. Множество п/Stab(mi) дискретно, так как для любого x G п/Stab (mi) слой pr_1(x) гомеоморфен множеству Stab (mi), открытому в п. Следовательно, по определению фактортопологии множество {x} открыто в п/Stab (mi). Поскольку п — проконечная группа, она, в частности, компактна. Значит, п/Stab (mi) компактно и, следовательно, п/Stab (mi) конечно.

Положим X = UL^/Stab (m^). Это конечное множество. Рассмотрим естественную проекцию п-множеств п/Stab (mi) —> п/Stab (ni). Продолжим ее по линейности до гомоморфизма

: Гр[Х] ®к=1Гр[п^аЪ(п<)].

Пусть

и" : е?=^р[п^аЬ(п*)] N

— естественная сюръекция. Положим и = п" о и' : Fp[X] —> N.

Рассмотрим подмодуль V в М, порожденный ик=1От. Обозначим V : FV[X] —> V естественную проекцию и у" : V —> М — вложение подмодуля V. Положим V =

v'' о v' : Fp[X] —> M. Легко проверяется коммутативность полученной диаграммы:

Fp[X ]

Лемма доказана. ■

Лемма 2. Пусть М —дискретный Fр[п]-модуль, N, N —дискретные Гр[п]-модули, конечные как абелевы группы; р\ : М —>• N, р2 : N —>• N — сюрьективные гомоморфизмы ¥р[п]-модулей. Тогда существует коммутативная диаграмма:

Fp[X ]

M

(2)

pi

N'^^N.

u

u

v

в которой X —конечное п-множество и гомоморфизм v сюръективен.

Доказательство. Представим N в виде N = Llk=1 Oni, где Oni —орбита щ € N. Гомоморфизмы pi и p2 сюръективны. Выберем m. € M и ni € N', такие что pimi = щ и Р2Щ = ni. Подгруппы Stab (mi) и Stab (ni)' открыты в Stab (ni). Обозначим ni = Stab(mi) П Stab(ni). Убедимся в том, что это открытая подгруппа в п конечного индекса. Действительно, п естественным образом действует на Stab (mi) х Stab (ni). Имеем Stab (1,1) = Stab (mi) П Stab (ni), значит это подгруппа в п конечного индекса. Очевидно, она открыта. Положим X = L,k=in/ni и рассмотрим естественную проекцию п-множеств

п/п. —> п/Stab (ni).

Продолжим ее по линейности до гомоморфизма

vi : Fp[п/пi] Fp[п/Stab (ni)].

Положим

v' = Sk=1vi : Fp[X] 0k=1Fp[п/Stab (ni)]. Гомоморфизм v'' сюръективен. Рассмотрим естественную проекцию

v'' : ek=1Fp[п/Stab(ni)] N'.

Пусть v = v'' о v' : Fp[X] —> N'. Рассмотрим естественную проекцию п-множеств п/п. —> п/Stab (m.). Продолжим ее по линейности до гомоморфизма

ui : Fp^/п.] —> Fp [п/Stab (m.)].

Положим

u' = E,k=1 ui : Fp[X] 0k=1Fp[п/Stab (mi)].

Рассмотрим подмодуль V С М, порожденный ик=1 От. Пусть

и" : фк=1¥р[п^аЪ(т,)] V

— естественный сюръективный гомоморфизм и и'" : V —> М — вложение. Положим и = и"' о и" о и' : ¥р[Х] —> М. Мы получили диаграмму:

¥г

X ]

М

Р1

N

N.

Легко убедиться в ее коммутативности, что завершает доказательство леммы 2. ■

Теорема. Пусть п — проконечная группа, К * — ограниченный комплекс дискретных ¥р[п]-модулей. Пусть Нг(К) — конечные группы. Тогда существует ограниченный комплекс Ь* дискретных ¥р[п]-модулей, такой что все Ьг являются конечными абелевыми группами, и существует гомоморфизм комплексов дискретных ¥р[п]-модулей ф : Ь* ^ К *, индуцирующий изоморфизмы Нг(Ь*) ^ Нг(К*) для всех г.

Доказательство. Индукцией вниз по т построим диаграммы:

Ьт -

Фт

кт -

ьт+1 фт+2 ьт+2

Фт+1

К т+!

Кт+2

Фт + 1

¿т+2

Пусть Кг = 0 при г < 0 и г > п. Положим Ьт = 0 при т > п. Пусть Ьр, фр, 6р уже определены при р > т + 1, так что выполняются следующие условия:

(1) 3рфр = фр+15р,р > т +1,

(п) 5р+15р =0,р > т + 1,

(Ш) гомоморфизмы фр индуцируют изоморфизмы Нр(Ь*) —> Нр(К*),р > т + 2, и эпиморфизм кег6т+1 —у Нт+1(К*),

(1у) Ьр — конечные абелевы группы, р > т + 1.

Построим Ьт,фт,6т таким образом, чтобы условия (1)—(1у) были бы по прежнему выполнены, если т +1 заменить на т. Будем искать Ьт в виде Ь'т ф Ь''т, фт в виде ф'т + ф'т и 5т в виде 5'т + 5''т.

Построим сначала Ь''т, ф'т, 5''т. Пусть Zг — группа коциклов в К^ и рт : Zт —> Нт(К*) — естественная проекция. Тройка ^т, Нт(К*),рт) удовлетворяет условиям леммы 1. В силу этой леммы существует коммутативная диаграмма

Z т

¥р[Х

Н т(К *),

и

V

д

т + 1

й

а

в которой X — некоторое конечное ^-множество. Положим L''m = Fp[X''], фm = v'm, ô"m = 0.

Построим теперь L'm, ф'т, 5'm. Пусть

Ym+1 = Pm+1 О фт+ilker <т+1 : ker ôm+1 Hm+1 (K *).

Обозначим Km = d-1 (Im фт+1 ) С Km. По индукционному предположению ker Ym+1 — конечная абелева группа. Абелева группа dKm П Im фт+1 также конечна. Рассмотрим диаграмму:

ker Ym+1

Фт+1

К°т---dKm П Im фт+1.

Гомомоморфизм фт+1 сюръективен. Действительно,

а € dKm ^ Ym+1 в = (Pm+1 О фт+1 )в = Рт+1а = 0.

Поэтому для любого а € dKm П1т фт+1 существует в € Lm+1, такой что фт+1в = а, в € ker Ym+1. Таким образом,

(Km, dKm П Im фт+1, ker Ym+1, d, фт+11 ker 7т+1 )

удовлетворяет условиям леммы 2. Следовательно, существует коммутативная диаграмма:

¥Р[Х'\----М

Фт + 1

iC-^ dKm пшфт+1,

где X'm —некоторое конечное ^-множество. Положим L'm = Fp[X'},ф'уП = u'm,8'm = v'm. Теперь положим Lm = L'm 0 L''m^m = ф!гп + ф'm,Sm = S'm + S''m. Убедимся в том, что условия (i)—(iv) по прежнему выполнены.

Пусть m > 1. Так как условие (i) достаточно проверить покомпонентно, то оно вытекает из коммутативности диаграмм (1) и (2).

(ii) Имеем ôm+1 о ôm =0, так как ôm = ô'm + §''m,§''m = 0,ô'm : L'm —> ker Ym+1 С ker Sm+1.

(iii) Проверим, что фш+1 индуцирует изоморфизм Hm+1(L*) —> Hm+1(K*). Действительно, имеем эпиморфизм ker5m+1 —>• Hm+1(K*). Так как

Im 5m = Im S'm = Im v'm = ker Ym+1,

то

H m+1(L*) = ker Sm+1/ImSm = ker ô^1/Im y m = Hm+1(K *).

Далее, фт, индуцирует эпиморфизм ker5m —> Hm(K*). Действительно, ker5m D L''m, а фт1ь"т индуцирует эпиморфизм u'm : L''m —> Hm(K*) (диаграмма (1)).

(iv) Lm — конечная абелева группа по построению.

Пусть теперь m = -1. Заменим L° на L0/(ker П ker ф0) и в качестве ф0 и возьмем индуцированные гомоморфизмы. При p < 0 положим Lp = 0 и фр = 0. Комплекс L* и гомоморфизм ф : L* —> K * отвечают требованиям утверждения. ■

Литература

1. Grothendieck A., Dieudonne J. Eléments de géométrie algébrique. Vol. III. Etude cohomologique des faisceaux coherents, Seconde partie. Publications mathematiques de l'I.H.E.S., 1963.

2. Мамфорд Д. Абелевы многообразия. Мир, 1986.

3. Серр Ж.-П. Когомологии Галуа. М.: Мир, 1968.

Статья поступила в редакцию 27 мая 2018 г.; рекомендована в печать 2 июля 2018 г. Контактная информация:

Подкопаев Олег Борисович — канд. физ.-мат. наук; [email protected]

One property of bounded complexes of discrete Fp[^-modules

O. B. Podkopaev

Higher School of Economics, ul. Soyuza Pechatnikov, 16, St. Petersburg, 190008, Russian Federation

For citation: Podkopaev O. B. One property of bounded complexes of discrete Fp[n]-modules. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5(63), issue 4, pp. 631-636. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.409 (In Russian).

The goal of this note is to give a proof of the following proposition. Let n be a profinite group and К* be a bounded complex of discrete Fp[n]-modules. Assume all Hг(К*) are finite abelian groups. Then there exists a quasiisomorphism L* —> К *, where L* is a bounded complex of discrete Fp[n]-modules such that all L1 are finite abelian groups. This is an analogue for discrete Fp[n]-modules of a well-known lemma about bounded complexes of Amodules (say, concentrated in nonnegative degrees), where A is a Noetherian commutative ring, that establishes the existence of a quasiisomorphism between any such complex and a complex of finitely generated A-modules that are free except, possibly, the one in degree

0. This lemma plays the key role in the proof of a base change theorem for cohomology of coherent sheaves on Noetherian schemes, that in turn, can be used to prove a theorem of Grothendieck about the behavior of dimensions of cohomology groups of a family of vector bundles on a flat family of varieties.

Keywords : profinite group, discrete module, cohomology. References

1. Grothendieck A., Dieudonne J., Eléments de géométrie algébrique: III. Etude cohomologique des faisceaux cohérents (Seconde partie, Publications mathematiques de l'I.H.E.S., 1963).

2. Mumford D., Abelian varieties (Oxford University Press, 1974).

3. Serre J.-P., Galois Cohomology (Springer, 1997).

Received: May 27, 2018 Accepted: July 2, 2018

Author's information:

Oleg B. Podkopaev —[email protected]