О сепарабельности первых групп когомологий над смешанными сепарабельными абелевыми группами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.541

Е.В. Шапошникова

О СЕПАРАБЕЛЬНОСТИ ПЕРВЫХ ГРУПП КОГОМОЛОГИЙ НАД СМЕШАННЫМИ СЕПАРАБЕЛЬНЫМИ АБЕЛЕВЫМИ ГРУППАМИ

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 97-01-00795. Доказана сепарабельность первых групп когомологий над смешанными сепарабельными абелевыми группами.

Идейным источником предлагаемой работы является цикл работ И.Х. Беккера [1,2], где получены условия равенства нулю первых групп когомологий над широкими классами абелевых групп. Предложенный И.Х. Беккером подход к изучению групп когомологий Hl(<P,G), где Ф<АШG, основывается на использовании взаимосвязей между свойствами абелевых групп и свойствами их групп автоморфизмов. Этот подход позволяет применить теорию абелевых групп к исследованию групп когомологий.

Так как группы когомологий (гомологий) являются абелевыми группами, то их изучение средствами теории абелевых групп представляется естественным и интересным направлением в теории групп когомологий малых размерностей. По словам Л. Фукса, теория когомологий групп является областью математики, в которой широкое применение теории абелевых групп может быть очень плодотворным. Однако, как абелевы группы, группы когомологий фактически не изучались, и работы, относящиеся к данной тематике, неизвестны.

. Под П-модулем (Ф-модулем) подразумевается модуль над целочисленным групповым кольцом ДП) (ДФ)), где П (Ф) - некоторая мультипликативная группа.

Первая группа когомологий группы П над П-модулем G определяется как фактор-группа tf1(n,G)=Zl(n,G)/B'(n,G),

где Z\U,G) - группа всех скрещенных гомоморфизмов из П в G, т.е. всех отображений из П в G, для которых справедливо/ху)=Хх)+х/(у), х, уеП; Zl(Tl,G) - подгруппа всех главных скрещенных гомоморфизмов, т.е. скрещенных гомоморфизмов j{xy)=a-xa, где а - фиксированный элемент группы G.

Автоморфизм <р группы G называется регулярным, если для любого элемента 0*geG (т.е. ф оставляет неподвижным лишь нулевой элемент группы G). Автоморфизм ф регулярен тогда и только тогда, когда е-ф -мономорфизм. Регулярные автоморфизмы играют особую роль при изучении абелевых групп и их групп автоморфизмов.

Наиболее простым для описания первой группы когомологий является случай, когда группа автоморфизмов Ф, первый аргумент рассматриваемой группы Н\Ф,С), - циклическая. Лемма 1 дает описание группы когомологий //'((фХСТ) циклической группы ^)cAutG и является частным случаем теоремы 1 [3, с. 161] и результата §6 [3, с. 243], но построенный в доказательстве этой леммы изоморфизм используется далее в теореме 2.

Лемма 1. Пусть G - абелева группа, (ф)сАщб. Тогда

1) Я1((ф),С)=СЛгп(е-ф), если о(ф)=оо;

2) //1((ф),<7)=Кег(е-К(Н-.. .+ф'яу1т(е-ф), если о(ф)=neN

Доказательство. Поскольку группа (ф) циклическая, то всякий скрещенный гомоморфизм f.((p)->G 68

определяется заданием элемента fq>. Рассмотрим отображение n:Z’(^>,G)-»G, ц/=/ф=£, feZ\(<p),G), geG. Ясно, что р - инъекция.

Покажем, что при условии о(ф)=оо справедливо Imp=G, т.е. любому ненулевому элементу geG соответствует скрещенный гомоморфизм feZ\((p),G) такой, что \if=g. Действительно, для любого 0*geG, положив /ф=& на основании определения скрещенного гомоморфизма вычислимfy>1 для любого keZ по формулам f(f1=-(flg, /ф*=(е+ф+...+фМ)/£ для /Ы и _/ф*=(е+ф~‘+.. -+Ф*+1)/£ для А<-1. Остается проверить, что никакой регулярный автоморфизм из группы (ф) не отображается получающимся скрещенным гомоморфизмом /(ф)-»0 в нуль (в этом случае возникло бы противоречие /=0). Предположим, что /ф*=0, где ф* -регулярный автоморфизм, keN (если к - отрицательное число, то автоморфизм ф * также регулярен и /ф~*=0). Имеем 0=/ф*=(е+ф+ +...+ф*~'^. Отсюда 0=(е--<Р)/ф*=(Б-ф*)£- Здесь отображение (е-ф*) - мономорфизм. Значит, g=0. Следовательно, никакой регулярный автоморфизм из (ф> не отображается получающимся скрещенным гомоморфизмом / в нуль. Таким образом, ц - сюръекция при о(ф)=оо. Если же о(ф)=л, то 1тц=Кег(е+ф+ ... +ф""'). Так как 0=Уф"(е+ф+ ... +ф'и)& где g=\if, для любого feZ\(q),G).

Поскольку

И(Л+/2)=(/1+/2)ф=/|ф+/2ф=Ц/1+Н/'2,/ь/2ег1((ф>, G),

то р - групповой изоморфизм между Z\(<p),G) и G, если о(ф)=оо; Кег(Б+ф+...+ф”~1), если о(ф)=л. При этом ц индуцирует изоморфизм подгрупп B]((<p),G) и (е-ф)G групп Z\(q>),G) и G, если о(ф)=<», Z\(y)tG) и Кег(е+ф+.. ,+ф”"1), если о(ф)=п Следовательно, Я'«ф),С)= =С/1ш(е-ф) при о(ф)=аэ, Я1 ((ф),С)гКег(е+ф+... +ц>"~1)/ /1т(е-ф) при о(ф)=леЯ.

Теорема 1. Пусть G - абелева группа, А<-1, а - регулярный автоморфизм из С(Ф) - центра группы Ф. Тогда ^(®,G)=(G/(e-c)G)°.

Доказательство. Так как (ст) - нормальная подгруппа группы Ф, то имеем точную последовательность [3, с. 449]:

0->Я|(Ф/(с),С<о>)->Я|(Ф,С)->Я,(Ф/<а),0<о>)->

^>Я1(Ф,С)-^Я|((а>,С)ф->Я2(Ф/<ст>,С<а>)-эЯ2(Ф,С).

Отсюда, так как G<o>=0 в силу регулярности автоморфизма а, получаем, что Я*(Ф,(7)гЯ,((а),0)ф. Лемма 1 описывает #*((ct),G) как абелеву группу. В данном случае H\(a),GpG/(e-a)G при любом порядке автоморфизма ст в силу его регулярности. Действительно, если о(ст)=л«», то 0=е-ст"=(е-оХв+ст+ ..,+сЛ1). Отсюда е+ст+...+стл",=0, так как е-ст - мономорфизм, и Кег(е+ст+.. .+ct/M)=G. Покажем, что указанный в лемме 1 изоморфизм является Ф-мо-дульным. Во-первых, фактор-группа G/(e-ct)G является

Ф-модулем. Так как стеС(Ф), то (e-ct)G - вполне характеристическая подгруппа группы G и Ф-модульная структура на G/(e-ct)G индуцируется как на фаетор-группе по вполне характеристической подгруппе. Во-вторых, изоморфизм |i из леммы 1 - изоморфизм Ф-модулей, т.е. для любого среФ имеем ц(фДействительно, пусть ф f=f\, Vfrg\,ff\e2{tp), G), g, gteG. При этом gHv/fr* =чрХф"‘стф)=ф/а=Фй так как стеО(Ф). Тогда \>{qj)rvfi=g\ и фн^чип>1- Итак, Z'((ct),G)=G как Ф-модули. Причем Ф-подмодуль B\{o),G) при изоморфизме ц переходит в Ф-подмодуль (e-CT)G. Отсюда #‘((a>,G)=G/(E-a)G как Ф-модули. Следовательно, //)((o),G)<I>s(G/(e-a)G)<D. Теорема доказана

Теорема 1 описывает первую группу когомологий //'(Ф,G) над группой G, обладающей регулярным автоморфизмом стеС(Ф), как подгруппу неподвижных относительно индуцированного действия группы Ф элементов некоторой фактор-группы группы G. Такое описание позволяет определенные свойства группы G перенести на группу Hl(Q>,G), проследив, сохраняются ли они (а если нет, то в какие свойства трансформируются) для соответствующей фактор-группы, а затем для подгруппы неподвижных элементов этой факторгруппы. Далее будет показано, что свойство сепарабельности переносится на первую группу когомологий Я‘(Ф, G), если G - сепарабельная абелева группа.

В теореме 2 предполагается, что о - регулярный автоморфизм из С(Ф), индуцирующий регулярный автоморфизм на всяком прямом слагаемом группы G.

Теорема 2. Пусть G - смешанная сепарабельная абелева группа, стеФ<АШО. Тогда Я'(Ф, G) - сепарабельная периодическая группа.

Доказательство. Воспользуемся результатом теоремы 1. Имеем Я|(Ф,0=(С/(8-стХ7)ф. Так как G - смешанная сепарабельная абелева группа, (e-<t)G - ее вполне характеристическая подгруппа, то согласно [4] G/(e-o)G - сепарабельная группа. Кроме того, G/(e-c)G - периодическая группа. Действительно, пусть g+(e-a)G - произвольный нену-

левой элемент группы G/(e-a)G. Вложим элемент g во впо

I»

лне разложимое прямое слагаемое @G, группы G, g=

м

=gi+---+gmgieGi> »'=1,н. Так как gelm(e-a), то существует множество индексов [1, и], где т<п, такое, что g,«£lm(e-a), /=1,да. Ясно, что соответствующие прямые слагаемые

ранга 1 G|..Gm-группы без кручения, так как на любом

прямом слагаемом типа Др*), keNy р - простое число, эндоморфизм е-о индуцирует автоморфизм. Обозначим (е—сг)|G =е-с,, /=1, т. Так как эндоморфизм е-a, группы Gb i=l,да определяется некоторым рациональным числом, то найдется число /;еЯтакое, что /g/e-^G,- Тогда /g€lm(E-o), где /=НОК(/|, ..., 1„). Это означает, что каждый смежный класс g+(e-o)G имеет конечный порядок, т.е. группа G/(e-ct)G периодическая.

Таким образом, группа Я'(Ф, G) сепарабельная периодическая, так как она изоморфна подгруппе неподвижных относительно Ф элементов сепарабельной периодической группы G/(e-ct)G.

Следствие. Если G - вполне разложимая группа, ae®<AutG, то Я'(Ф, G) - прямая сумма конечных циклических групп.

Доказательство. Пусть G=@G,, где G/ - группа

№7

ранга 1, /е/. Тогда

(e-c)G=®(e-ct, )G,,

где ст,=ст|С( , /е//. Отсюда [5, с. 57]:

‘G/(e-<t)G=0G, /®(е-о( )G(,

Itl / IS/

где СДе-a,)G/=0, если G,=Z(p*); р - простое число; keN и G/(e-C/)G, - прямая сумма конечных циклических групп, если G, - группа без кручения ранга 1. Итак, G/(e-o)G - прямая сумма конечных циклических групп. Следовательно, и Н'(Ф,С) - прямая сумма конечных циклических групп.

ЛИТЕРАТУРА

1. Беккер И.Х. О группах скрещенных гомоморфизмов групп автоморфизмов абелевых групп без кручения // Изв. вузов. Матом. 1973. № 7. С . 3-11.

2. Беккер И.Х. Первые группы когомологий над слабо транзитивными группами // Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1996. Вып. 13-14. С. 20-34.

3. Маклейн С. Гомология. М.: Мир, 1966. 543 с.

4. Megibben С.К. Separable mixed groups // Comment. Math. Univ. Carol. 1980. V. 21, № 4. P. 755-768.

5. ФуксЛ. Бесконечные абелевы группы. М.: Мир, 1974. Т. 1.335 с.

Статья представлена кафедрами общей математики и алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 10 декабря 1999 г.

69