Об одном специальном отображении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

ОБ ОДНОМ СПЕЦИАЛЬНОМ ОТОБРАЖЕНИИ

В. Г. Тимофеев

Саратовский государственный университет, кафедра математического анализа E-mail: [email protected]

Статья посвящена изучению специального отображения, связанного со структурой экстремальных функций в точных неравенствах Колмогорова на полуоси в равномерной метрике.

Ключевые слова: экстремальный сплайн, неравенства Колмогорова.

On One Special Mapping

V. G. Timofeev

Saratov State University, Chair of Mathematical Analysis E-mail: [email protected]

The paper deals with the study of a special mapping in connection with the structure of extremal functions in exact Kolmogorov inequalities on the half-line in the uniform metrics.

Keywords: extremal spline, Kolmogorov inequalities.

Пусть Cn[0, го) — множество функций непрерывных на [0, го) вместе с производными (n — 1)-

го порядка включительно, таких что: 1) sup |x(t)| < го; 2) x(n-1)(t) удовлетворяет на [0, го) условию

о<г<ж

Липшица первого порядка.

Очевидно, что для всякой функции x(t) е Cn[0, го) существует почти всюду на [0, го) производная n-го порядка, для которой sup |x(n)(t)| < го.

0<г<ж

Положим sup |g(t)| = ||g||. Это обозначение сохраним и в том случае, когда g(t) определена

0<г<ж

лишь почти всюду на [0, го). Обозначим через Un = Un[0, го) множество функций из Cn[0, го), для которых ||x|| < 1, ||x(n)|| < n!. Из [1] вытекает, что

|nk = sup ||x(k)|| < го,

xeun

<

Ц'пк

I и n~fe и (n)iik X n X('V n .

k = 1, n — 1.

(1)

Отметим, что неравенства (1) точные.

Представляемая работа посвящена построению одного специального отображения, связанного со структурой экстремальных функций для неравенств (1), известных как неравенства типа Колмогорова об оценках норм промежуточных производных через норму функции и норму старших производных в равномерной метрике на полуоси.

Подобные вопросы часто возникают при решении экстремальных задач типа Ландау, Харди, Ту-рана и т. п.

Отметим, что для п = 4 задача о структуре экстремального сплайна в (1) полностью решена Н.П. Купцовым; для п = 5 аналогичные исследования проведены автором в работе [2].

При дальнейшем изложении считаем п = 6. Пусть С' — открытый прямоугольник в плоскости координат © и определенный неравенствами 0 < © < 1, 1 <£< 2/л/6! (рис. 1).

Рассмотрим отображение замкнутого прямоугольника С , задаваемое формулами

L' V

Q P

M' G N

0 1 0

x=

У =

Рис. 1

L6(2©6 — б©5 + 10©3 — 3) + 2

L5 '

— 10 — L6 (10©6 — 30©5 + 30©3 — 5)

2L

(2)

Открытая область С, являющаяся образом С' при указанном отображении, схематически изображена на рис. 2.

k

Убедимся, что отображение С на С взаимнооднозначное. При 0 < в < 1 и 1 < Ь < 2/^61 определим знаки частных производных дх/дв, дх/дЬ:

дв = Ь(12в5 - 30в4 + 30в2) =

= 6Ьв2(2в3 + 5(1 - в2)) > 0,

= 2в6 - 6в5 + 10в3 - 3 - 10 = дЬ Ь6

10

= 2в3(в3 + 2 + 3(1 - в2)) - 3 - ь^ < 0.

Отсюда следует, что каждая из сторон прямоугольника С отображается на соответствующие участки границы С взаимнооднозначно. Очевидно, что параметры Ь и в можно рассматривать как криволинейные координаты на поверхности, задаваемой формулами (2), поскольку Якобиан

Рис. 2

д(Х У) д(в,Ь)

дх дх

дв дЬ

дУ дУ

дв дЬ

= 15Ь2в2 ( - 4в9 + 22ви - 30в7 - 18в6 + 52в5-

32в3 + 5в2 + 1

4в3 10в2 10 + —ттт- +

Ь6

Ь6 Ь6

>0

при 0 < в < 1 и 1 < Ь < 2/^61.

Рассмотрим в плоскости ХОУ криволинейный четырехугольник М1 (N1. Укажем важные для дальнейшего линии и точки этого четырехугольника: ТУ — кривая, соответствующая в = 1/2, кривая иМ2 симметрична относительно оси ОУ границе области М1^1, и — точка пересечения кривых (и (М2, Т — точка пересечения кривых УТ и иМ2.

Обозначим через К преобразование поверхности С, ставящее в соответствие точке а(в, Ь) точку Ка(1 - в,Ь), а через $ — преобразование области С, ставящее в соответствие точке А(х,у) точку $А(-х,у). Очевидно, что преобразование К не выводило точки за пределы области С, а $ — может вывести преобразуемую точку за ее пределы.

Сформулируем основные свойства рассматриваемых отображений К и $.

Теорема 1. Найдется по крайней мере одна точка г0, принадлежащая дуге иМ2, параметрическое уравнение которой имеет вид

3а6 — 2

х =

У =

5а6 — 10

а е

I ' ^61

(3)

2а4

обладающая свойством ($К)п¿о е С для всех п е N.

Доказательство. Пусть и — два множества открытой дуги иМ2 таких, что (соответственно 72) состоит из точек дуги, обладающих свойством: существует п е N такое, что ($К)п-1г е С, а ($К)пг е С, причем ($К)пг принадлежит левой (соответственно правой) полуплоскости. Множества и не пусты, поскольку содержит все точки дуги ТМ2, а содержит все точки той же дуги, близкие к и.

Из непрерывности преобразований К и $ вытекает, что и — открыты по отношению к дуге иМ2. Поскольку П = 0, ^ и не пусты, то они не могут исчерпать всю дугу иМ2. Отсюда следует нужное утверждение. □

Замечание. 1. В дальнейшем будем обозначать через а0 значение параметра а, соответствующее точке г0.

2

а

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3, ч. 1 2. В области С точке г0 будет соответствовать единственная точка с координатами:

x =

У =

3а6 - 2

—10 + 5«р

3. Точка г0 будет играть важную роль в теореме 5 при построении экстремальных функций для неравенств (1).

Теорема 2. Для всякой точки г = Т замкнутого четырехугольника ^ТУМ!, состоящего из точек области С, криволинейные координаты © и Ь которых удовлетворяют неравенствам 0 < © < 1/2, 1 < Ь < 2/л/бГ, существует п е М, что )пг / С.

Доказательство. От противного. Пусть существует 5 = Т е ^!ТУМ! такая, что (£К)пг е ^!ТУМ! при всех п е N. Обозначим криволинейные координаты точки (£К)пг через ©п и Ьп. Тогда

f -2 - ЬП(2(1 - ©п)6 - 6(1 - ©п)5 + 10(1 - ©п)3 - 3) =

ьп

Ln+1 (2вП+1 — 66П+1 + 10©П+1 — 3) + 2

Ln+1

(4)

— 10 — L^(10(1 — ©n)6 — 30(1 — ©n)5 + 30(1 — ©n )3 — 5) =

= —10 — Ln+1 (10©n+1 — 30©n+1 + 30©n+1 — 5) . 2X^+1 •

Из построения отображений K и S (см. рис. 2) следует, что Ln+1 < Ln для всех n G N. Тогда существует lim Ln = L. Выберем последовательность (nk} С N, чтобы существовали пределы

n —^^о

lim ©nk = ©1 и lim ©nk+1 = ©2. Это всегда возможно сделать. Переходя в (4) к пределу, из второго

k—ж к—ж

соотношения получим равенство

10(1 — ©1)6 — 30(1 — ©1)5 + 30(1 — ©1)3 = 10©2 — 30©2 + 30©2,

которое выполняется, если 1 — ©1 = ©2. Поскольку 0 < ©j < 1/2, i = 1, 2, то ©1 = ©2 = 1/2. Тогда первое равенство дает L661/64 = 1, откуда следует, что L = 2/^61. Поскольку L < L1 < 2/^^'бГ, то полученное противоречие завершает доказательство.

Теорема 3. Единственной неподвижной точкой преобразования SK, принадлежащей области G является точка T(1/2; 2/^6Т) (в декартовой системе координат (0; —15/^61)).

Доказательство. Пусть z0 (©, L) — неподвижная точка преобразования SK. Тогда z0 = SKz0 и

f L6(2©6 — 6©5 + 10©3 — 3) + 2 —2 — L6(2(1 — ©)6 — 6(1 — ©)5 + 10(1 — ©)3 — 3)

L5

L5

— 10 — L6 (10©6 — 30©5 + 30©3 — 5) —10 — L6(10(1 — ©)6 — 30(1 — ©)5 + 30(1 — ©)3 — 5)

(5)

2L4

2L4

Второе соотношение (5) дает © = 1/2, а первое приводит к равенству Ь = 2/^61. □

Исследуем скорость сходимости последовательности точек ($К)пг0 к неподвижной точке отображения .

Теорема 4. Пусть г0 — точка кривой (3), существование которой установлено в теореме 1. Обозначим гп(©п,Ьп) = (£К)пг0. Тогда справедливы следующие соотношения:

12

©п = 2(1 + ап)> Ьп = -щ(1 - Тп^

где an > 0, тп > 0 и an < го, ^ тп < го.

n=1 n=1

а

o

Доказательство. Следствием теоремы 2 является условие 1/2 < ©п < 1 для всех п е N. Положим = 2©п — 1, тп = 1 — . Обозначим декартовы координаты точки через (АП,ВП). Тогда

'n n

имеем

An+i —

Bn+1 —

— Ln (2вП - 6вП + 10вП - 3) + 2 An — L5 '

Ln

B — -10 - Ln(loen - 30en + 30en - 5) Bn — 2Ln '

-2 - Ln(2(1 - en)6 - 6(1 - en)5 +10(1 - en)3 - 3)

Ln

-10 - Ln(10(1 - en)6 - 30(1 - en)5 + 30(1 - en)3 - 5)

2L4

(6)

(7)

Отсюда при On e (1/2; 1) и (6) и (7) следует An+i — An < 0 и Bn+i — Bn > 0. Последовательности {An} и {Bn} — монотонны и ограничены. Поэтому существует lim zn = а. Преобразование

n —^^о

SK непрерывно. Тогда SKa = а. По теореме 3 точка а = T. Отсюда следует, что существуют

lim стп — lim Tn — 0.

nn

Для декартовых координат zn+1 наряду с (7) справедливы соотношения

Ln+i(2en+i — бвп+i + ioen+i — з) + 2

Л ^n + H^^n + l

An+1 —

г+1 Ln+1

Bn+1 —

-10 - Ln+1 (10en+1 - 30en+1 + 30en+1 - 5)

2Ln+1

Сравним две различные записи (7)

— 6f (1 — Tn)6 (32 (1 — an)6 — i6 (1 — an)5 + f (1 — an)3 — 3) — 2 =

(1 — Tn )5

= 6i(1 — Tn+i)6 (32(1 + an+i)6 — if (1 + an+i)5 + 5(1 + an+i)3 — з) +2

(1 — Tn+i)5 '

— 10 — fi(1 — Tn)6 (32(1 — an)6 — if (1 — an)5 + f (1 — an)3 — 5) =

(1 — Tn )f

= —10 — Ц(1 — Tn+i)6 (32(1 + an+i)6 — Л(1 + an+i)5 + f (1 + an+i)3 — 5)

(1 — Tn+i)f

Учитывая только главные части разложений, имеем

Г (61 + е'ц (n))Tn+1 + (16 + e12(n)H+1 — (-61 + е'А (n))Tn + (16 + е^ (п)И, \(-45 + e21(n))Tn+1 + (-8 + е22 (п)Н+1 — (-45 + е^пЖ + (8 + е^ (п)И,

где е^(n) ^ 0, е"Дп) ^ 0 при n ^ го (v, д — 1, 2). Откуда получаем

Tn+1 — еи(n)) Tn + (-32 + е12(n)) an,

^n+1 —

2745 .Л /151 . , .

H6 + е21(п) ) Tn + ( + е22(пЛ an,

(8)

где е^(п) ^ 0 при п ^ го (V, д =1, 2).

те

Покажем, что ряд ^ тп сходится. От противного. Пусть существуют последовательности (п&} и

n=1

nfc +mfc

{mk}, такие что tv ^ +ro при k ^ го. Просуммируем первое соотношение (8) и получим:

nfc +mfc

Tnfc +mfc +1 Tn

+

151

"29"

nfc +mfc

nfc +mfc

32

nfc +mfc

nfc +mfc

Tv + ^ e11(v)Tv - 29 ^ + ^ е12(v)

v )<т„.

V=nfc

V=nfc

V=nfc

V=nfc

V=nfc

V=nfc

Откуда

nk +mk

nk +mk /

122 _ Tnk +mk +1 Tnk 29 nk +mk

E Tv

v=nk

E £11(v )Tv E a

nk +mk E Tv

v=nk

+

v = nk

nk +mk

Tv

v=nk

32 29

nk +mk \

E £12 (v)a

v=n_

nk +mk

E av

v=nk

(9)

Первые два слагаемых справа в (9) при k ^ го стремятся к нулю. Если бы ряд av сходился, то

v=1

последнее слагаемое стремилось бы к нулю, что невозможно. Это значит, что av _ +го. Заметим,

v=1

nk +mk

^ av fil

v=nk__61

nk +mk 16'

E Tv

v=nk

Второе соотношение (8) приводит к аналогичному результату

nk +mk

E av

90

nk +mk 16

E Tv

v=nk

Полученное противоречие завершает доказательство, а именно ^ ти < го ^ Е < го. Замечание. Справедливо более сильное утверждение:

Tn+l 151 - 6^610

^n+l

151 - 6^610

29

29

Изученное отображение (2) дает возможность построения функций, определенных на всей полуоси [0, го) и обладающих «альтернансными» свойствами. Приведем пример такого построения. Теорема 5. Существует последовательность чисел

0 <a<b<c<xi < £1 <Х2 < £2 <...,

(10)

xk ^ го при k ^ го, и функция <(t) такая, что 1) <(t) e Ue[0, го),

VJ i (-1)n+16! для t e (xn,xn+1 ) при n _ 1, ro,

2) (t)_

6!

для t e (0, x1 ),

3) <(0) _ <(b) _ <(£2^-1) _ -1, <(a) _ <(c) _ <(£2^) _ +1, k _ 1, ro,

4) если положить

£k - xk _ 1^61+ ' xk - £k-1 _ Щ + ,

(11)

то

^>к| < го, | < го. (12)

к=! к=!

Доказательство. Пусть х0 — точка на дуге иМ2, существование одной из которых установлено в теореме 1. Положим хп = ($К)пх0, Ап, Вп — декартовы координаты точки хп. Имеем

3«6 - 2

An _ -Е-•

Bn _

5«р - 10 2а0 '

(13)

v

v=nk

v=nk

—»

и

—»

a

n

n

a

n

Криволинейные координаты точки хп будем обозначать через ©п и . В соответствии с определением криволинейных координат имеем

= ¿П (2©П — 6©П + 10©П — 3) + 2

Ап = ¿5 '

п (14)

В —10 — ¿п (10©П — зо©П + зо©П — 5) ' ;

Вп = -

2Ы

Из построения операторов К и Б следует, что для координат точки = БКхп справедливы

соотношения

, —2 — ¿П (2(1 — ©п )6 — 6(1 — ©п)5 + 10(1 — ©п )3 — 3)

Ап+1 =--,

(15)

„ _ —10 — ¿П(10(1 — ©п )6 — 30(1 — ©п )5 + 30(1 — ©п)3 — 5) 1 ;

Вп+1= '

Построим для п = 1, го алгебраические многочлены рп(£) = (—1)п+1(£6 + Ап£5 + Вп£4 + Яп£2 — 1), где

¿п(10©п — 18©п + ю©п — 1) +10

Яп =

2^п

ьп (10(1 — ©п )6 — 18(1 — ©п )5 + 10(1 — ©п )3 — 1) + 10

Яп+1 = -

(16)

2Ьп

Определим последовательность (10) следующим образом:

Х1 — С = Ьо(1 — ©о), — Х1 = Ьо©о, Хп — Сп-1 = ¿п-1 (1 — ©п-1),

Сп — Хп = ¿п-1©п-1, п = 2, ГО'

Положим

^) = (Ро('— С), если 0 < '<Х1, _ (17)

[Рп(£ — Сп), если Хп < £ < Хп+1, п = 1, Го'

Определим точки а, Ь и с из условий

ро(—с) = —1, Ь = с — ао, а = Ь — а1 = с — ао — ро (а) = 1, р»о (а) = 0. (18)

Имеем Сп — Сп-1 = ¿п-1 и ¿п —2/^61 (см. теорему 4). Отсюда следует, что Сп — +го и хп — +го при п — го. На основании теоремы 4 получаем, что для последовательности (10) выполнено требование 4) настоящей теоремы (см. (11), (12)).

Требование 2) очевидно выполнено (см. (16)). Имеем далее ^(0) = ^(Ь) = ^(С2к-1) = —1, ^(а) = ^(с) = ^(С2к) = 1, к = 1, го (см. (17)-(18)). Отсюда следует, что требование 3) для выполнено.

Перейдем к проверке требования 1). Для удобства и универсальности записи полагаем с = Со. Чтобы установить непрерывность (£), ^^(£), ^(£) достаточно проверить

равенства ^(^+1 — Сп) = — Сп+1) для 3 = 0, 5 и п = 1, 2,3,...

Справедливость этих соотношений проверяется непосредственной подстановкой Ап, Вп, Яп и Ап+1, Вп+1, Яп+1 из формул (14)-(16).

Чтобы завершить доказательство теоремы 5, проверим соотношения ||^|| = 1. На участке [0,Со] функция по определению равна — (£ — Со)6 — Ао(£ — Со)5 — Во(£ — Со)4 — Яо(£ — Со)2 + 1, где Ао и

10 — «6

Во определены формулами (13), а Яо =-.

2«о

Из равенств ^(0) = ^(Ь) = —1 и ^(а) = ^(с) = +1 следует, что

тах = 1'

о<г<£о

Рассмотрим теперь на отрезках [С2к, С2к+1]- Имеем по определению ' -(£ - )6 - А2к(£ - Ы)5 - В2к(£ - )4 - (£ - )2 + 1

=

ДЛЯ < t < X2k+1,

(t - 6fc + 1 )6 + A2k+i(t - 6fc + 1 )5 + B2k+1 (t - C2fc+l)4 + D2k+1 (t - C2fc+l)2 - 1

ДЛЯ X2k+1 < t < ^2fc+1,

где > 0 и > 0. Многочлен р2к (£ - £2 к) (соответственно Р2к+1 (£ - бк+1)) имеет в точке

(соответственно в точке £2^+1) локальный максимум (соответственно локальный минимум). Это означает, что правее (соответственно левее) точки С2к (соответственно точки С2к+1) имеется один и только один локальный минимум (соответственно максимум) в точке п2к (соответственно п2к) (см. рис. 3, 4).

p ( 2k+1 У К )

л' \ hk \ £ t -i2k+1 -1

Рис. 3 Рис. 4

Точка х2к+1 расположена на интервале (С2к,С2к+1). Эта точка не может лежать правее п2к, поскольку в этом случае нарушается либо условие

Р2к(х2к + 1 - ) = Р2к + 1 (х2к + 1 - С2к+1),

либо условие

р2'к (х2к + 1 - ) = Р2'к + 1 (х2к + 1 - С2к+1).

По той же причине х2к+1 не может располагаться левее точки п2к. Поэтому х2к+1 < п2к и п2к < х2к+1. Последнее означает, что — функция, невозрастающая на [С2к,С2к+1 ], а значит,

тах |^(£)| = 1.

?2к <^<?2к + 1

Такие же рассуждения пригодны и для £ е [С2к-1 ,С2к]. Теорема доказана. □

Замечание. Отметим без доказательства, что всякая функция удовлетворяющая условиям 1)-3) теоремы 5, обязательно удовлетворяет условию 4).

Библиографический список

1. Schoenberg I.J., Cavaretta A. Solution of Landau's problem concerning higher derivatives on the halfline // Proc. Intern. Conf. Constructive Function Theory. Sofia: Bulgarian Acad. Sci., 1972. P. 297-308.

2. Тимофеев В.Г. Колмогоровские оценки в равномерной метрике на полуоси через функцию и ее пятую производную // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып. 2. С. 119-122.