Аппроксимация локальными L-сплайнами четного порядка, сохраняющими ядро дифференциального оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 62-73 = Математика

V. : К 519.65

Аппроксимация локальными £-сплайнами четного порядка, сохраняющими ядро дифференциального оператора

Е.В. Шевалдина

Аннотация. Построены локальные £-сплайны четного порядка с равномерными узлами, сохраняющие базисные функции из ядра линейного дифференциального оператора £ с постоянными действительными коэффициентами, корни характеристического многочлена которого попарно различны. Приведена поточечная оценка погрешности аппроксимации построенными £-снлайнами на классах функций, задаваемых с иомощыо дифференциальных операторов.

Ключевые снова: локальные £-снлайны, дифференциальный оператор, погрешность аппроксимации.

Введение

Пусть С и Ьр,1 ^ р ^ ос — пространства функций /(£), заданных на отрезке или на оси М, с обычным определением нормы. Через Бг обозначим множество полиномиальных сплайнов степени г минимального дефекта по равномерному разбиению tj =$11 € Ъ), /г > 0. Пусть

к = [|], = уН — [1 + (—1)Г] ^ (_7 ЕЪ). Рассмотрим систему полиномиальных

.В-сплайнов (см., например, [1], [2]) Вг^ степени г, для которых

тахВг^(1) = Вг^(т^, Вг^(1) = 1.

з

Носитель сплайна Вг^ определяется неравенствами \1 — т^| ^ (к + 1)/г при нечетном г и |< — т^| ^ {к + |) /г при четном г.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 08-01-00325), Интеграционного проекта фундаментальных научных исследований, выполняемых учеными УрО РАН совместно с СО РАН и Программы государственной поддержки «Ведущие научные школы РФ» (проект НШ-1071.2008.1).

В 1975 году Т. Лич и Л. Шумейкер [1] (см. также [2], [3]) построили локальные полиномиальные сплайны вида

к

М<) = М/,<) = ъ/(тнз)ВгАь) (< е М),

3 8=-к

где / : М —> М и действительные коэффициенты 7^ выбраны из условия точности формулы 5Г(/, ¿) = /(¿) для многочленов степени г. Оказалось, что такой выбор может быть осуществлен единственным образом. Локальные сплайны можно строить и на любом отрезке (например, на [0,1]), считая, что функция /(¿) задана на большем отрезке [а, Ь] I) [0,1], содержащем носители всех В-сплайнов, не обращающихся в нуль тождественно на отрезке [0,1]. В [2] было показано, что в ряде случаев построенные локальные полиномиальные сплайны 5Г обладают наилучшими аппроксимативными свойствами на стандартных соболевских классах функций Ж™ на отрезке, обеспечивая по порядку к такую же точность, какую даст соответствующий колмогоровский поперечник указанного класса функций. Эти исследования были продолжены

Н.П. Корнейчуком [3], получившим при г = 2 и г = 3 некоторые точные результаты. Отмстим, что аналогичные построения были выполнены в [1], [2] также для неравномерной сетки узлов сплайна Бг-

Хорошо известно, что простейшая схема локальной полиномиальной аппроксимации: 70 = 0, 7ь, = 0 (в ф 0) в случае г = 2 (параболические сплайны) точна на множестве линейных функций, но не сохраняет функцию /(ж) = ж2. Кроме того, простейшие локальные параболические сплайны локально сохраняют знак исходных данных = /(^’/г), их монотонность и выпуклость, а в периодическом случае реализуют колмогоровский поперечник класса в равномерной метрике (см. [4]).

Настоящая работа развивает результаты, отмеченные в [1]-[3]. В статье строятся локальные £-сплайны четного порядка с равномерными узлами, сохраняющие базисные функции из ядра линейного дифференциального оператора С с постоянными действительными коэффициентами, корни характеристического многочлена которого попарно различны. Построение этих сплайнов, в отличие от [1], [2], проводится без использования тождеств Марсдсна (т.с. представлений базисных функций ядра оператора через _В-£-сплайны) и без применения рекуррентных соотношений для _В-£-сплайнов, хотя известно, что эти свойства имеют место даже для более общих чсбышсвских сплайнов (см. [5]). Основное содержание статьи заключается в том, что указана невырожденная система линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов линейной комбинации узловых значений аппроксимируемой функции в схеме локальной аппроксимации при В—£-сплайновом представлении локального £-сплайна 5. Кроме того, приводятся поточечные оценки погрешности аппроксимации этими сплайнами на соответствующих классах дифференцируемых функций.

1. Построение локального £-сплайна

Пусть к € N V — оператор дифференцирования и

2 к М

¿=1

— линейный дифференциальный оператор порядка 2к с постоянными действительными коэффициентами, все корни fЗj характеристического многочлена которого попарно различны. Пусть <р(х) = (р2/¿(ж) ^ решение линейного однородного уравнения -Сг/гС^О/ = 0, удовлетворяющее условиям

^Ш(0) = ^,2ь-1 0* = 0,2Аг - 1),

где 5j,2k—l — символ Кронекера. Заметим, что этими условиями одно-

2 к

значно определяются числа Aj в представлении <р(х) = ^ Пусть

¿=1

ММ

2 к 2 к

= П(Т - е^кЕ)/(х) = £(-1 )>,/(* + 5/г)

¿=1 я=0

— конечная разность с шагом /г, соответствующая дифференциальному оператору С2к■ Здесь Tf(x) = /(ж + к), ЕЦх) = /(ж), ¡хя = 1л8{С2к) > О

---- С

(в = 0, 2к). Разностный оператор А^2к выбран таким образом, что для любого решения линейного однородного дифференциального уравнения -Сг/гС^О/ = О имеет место тождество

А^/(х) = 0.

Оператор А^1к впервые, вероятно, появился в работе [6] А. Шармы и И. Цимбаларио в задаче экстремальной функциональной интерполяции. _В-£-сплайн с носителем [—/г/г, кк] и узлами в точках {зк}^=_к определим формулой (см., например, [5])

В(х) = с ■ А^2к(р((х — кк)+). (1)

Здесь ¿+ = тах{£, 0} и с — нормирующий множитель, который для дальнейшего изложения удобно взять равным 1.

М

с разрывами (2к — 1)-й производной _В-£-сплайна в точках {з1ъ}^=_к . Для

любой функции / : М —> М полагаем у. 1 = f((j + |)/г) € Ъ) и

3 + 2

2 к

^• = ЕН-+,-ч (2)

Я = 1 *

— набор линейных функционалов с неизвестными пока действительными коэффициентами Ь\, Ь2, ■ ■ ■ , Ъ2к (не зависящими от }). Локальный £-сплайн, соответствующий функции /, определим следующей формулой

5'(ж) = 5(/,ж) = ^2^В(х - ¿И). (3)

3

При х Е [¿/г, (/ + 1)/г] (I е 2) в силу определения В-С- сплайна имеем

к

Б(х) = £ 11+*В(х-(1 + 8)Ь). (4)

з=—к+1

Отмстим, что предлагаемый способ выбора функционалов Ц отличается от их выбора в случае полиномиального сплайна нечетной степени (т.е. четного порядка) ([1], [2]) тем, что для построения £-с.плайна Б используются значения функции / не в узлах у И самого сплайна, а в точках "сдвинутой"сетки {О + I) ^}- ®т0 связано с тем, что для полиномиального сплайна нечетной степени в формуле

к

^з = X/ ЪУ»+з, г/я = /(вЛ), (5)

з=—к+1

коэффициент 7*. при условии точности схемы на многочленах степени 2/с — 1 оказывался равным 0 (см. [2]). Поэтому формула (5) приобретала симметричный вид, и коэффициентов 7ь, в этой формуле оказывалось ровно на один меньше, чем число условий, равное количеству базисных функций:

1, х, х2,... , х2к_1. Для произвольных линейных дифференциальных операторов такого эффекта (т.е. того, что -ук = 0) ожидать трудно. Поэтому, на наш взгляд, для построения локального сплайна 8, точного на ядре линейного дифференциального оператора С = С2к, функционал (2) является более естественным, чем (5) (в силу его симметрии относительно у^.

Числа Ь3 (в = 1, 2к) в представлении (2) будем определять таким образом, чтобы имели место равенства

8(е/3тХ, х) = е^тХ, т = 1,2к (г 6 К). (6)

Т.е. мы требуем, чтобы построенная формулой (3) схема локальной аппроксимации с помощью £-с.плайнов была точна на всех базисных функциях из ядра оператора С2к■ Наша цель — показать, что равенства (6) приводят к системе 2к линейных алгебраических уравнений относительно вектора Ь = {Ь\,Ь2,... , Ь2к}Т неизвестных коэффициентов с основной матрицей, определитель которой отличен от нуля.

Для того, чтобы сформулировать основной результат данного пункта, введем некоторые обозначения. Пусть А — матрица вида

А = / 1 1 еРіЬ еР2ІІ е2(3іН єШ2Іг еРі(2к- 1)/г \ е02(2к-1)Н

і 1 еР2кІІ е2 02кІІ е@2к(2к—1)Н, ^

Р2к(х) = 2 к П(® І=1 — еР}Н) — характеристический многочлен

ностного оператора А?2к. Напомним, что коэффициенты Л,- в формуле

2 к

<Р(Х) = X] А^е^х условиями 92^(0) = Sjt2k—l и = 0,2к — 1) определяются

¿=1

однозначно. Определим числа

е

¡( в к\ \ (у 1’ ^/г),

и пусть ^ ^ ..., ¿2к}Т ^ соответствующий вектор-столбец.

Теорема 1. Пусть действительные числа fЗj (^' = 1,2к) попарно различны. Тогда система линейных алгеб-раических уравнений

AЬ = d

относительно Ь = {Ь\,Ь2, ■ ■ ■, ¿>2/е}Т однозначно разрешима и ее решение обращает в тождества равенства (6).

Доказательство. Вначале установим, что знаменатели в формулах для dj отличны от нуля. Если предположить, что какие-то числа Aj в

2 к

представлении ¡р(х) = ^ А^е^1х равны нулю, то тогда функция <р(ж)

¿=1

является решением линейного однородного дифференциального уравнения £Г(Х>)/ = 0, г < 2/с, удовлетворяющего условиям 92^(0) = 0, 2 = 0,г — 1. Поэтому <р(х) = 0, ЧТО противоречит условию 1.) (о) _ Далее

р'(е^н) ф 0 (] = 1,2к), поскольку все числа ¡3j попарно различны. Поэтому система уравнений АЬ = d однозначно разрешима относительно вектора

ЬА определителем Вандермонда от элементов х$ = е/3->1г, которые в силу условия теоремы 1 попарно различны.

При исследовании равенства Б(е13тХ, х) = е^тЖ для каждого фиксированного 0т, чтобы нс писать лишние индексы, положим 0т = 0. Тогда из (2)-(4) при х € [¿/г., (/ + 1)/г] (I Е Ъ) следует, что

1+к 2 к

5(*) = 5(/,*)= ^2 ^2ь»У.+3_к_1в^-зЬ)-

j=l-k+1*=1 ‘ 2

Полагая в этом равенстве f(x) = е@х и учитывая, что у. \ = f((j +

* 3+2

€ Ъ), получаем

5(е^,*)= ¿6яе^+я_,!"2)в(ж- ^/г) =е^-к+2) -М- Л, (7)

¡=1 —к+1 з=1

2к 1-\-к

где М = ^ и А = 22 е@1нВ(х — jИ). Для изучения

з=1 j=l—k+l

суммы А вначале выпишем еще одно представление функции В(х) при х £ [1Н, (I + 1)/г]. Имеем

2 к

В(х) = А%2к(р((х - кЬ)+) = 1ЛиЧ>{{х - /г/г + иН)+).

г/=0

Поэтому

А = е^-*н-1) [ц2к<р(х — 11ъ + (2к — 1)/г) — [Х2к-1<р(х — Ш + (2к — 2)/г) + ...

... - (ц<р(х - 1к)] + е/змг-^+2) _1к + (2к _ 2)Н) -

- ^к-^Цх - 1Ь + (2к - 3)/г) + ... + ((ж - Ш)] + ...

... + е/?/г(г+Д;)д2д-,<р{{х - 1Н), х е [//г., (I + 1)/г] (/ е Ъ).

2й 2й

Поскольку <р(х) = 22 А?е^ж, то Л = £ BjAj, где

¿=1 ¿=1

Bj = е^-Ы-1) 1Л2ке^(х-Ш+(2к-1)к) _ ^к^е^(х-1к+(2к-2)к) _

М1в'

+ ••• + (12кет1+к)еЫх~1кК X € [1/1, (1 + 1)/г]. (8)

Покажем, что для любого ^ ф т (напомним, что мы зафиксировали одно

0 т = 0) имеет место равенство

Bj = 0.

Вынеся в (8) общий множитель, а затем суммируя возникающие геометрические прогрессии, получаем

Вз = еРЫ1-Ь+1)+РАх-1к) ^2ье(2Ь-1)Л^ _ т_1е(2й-2)^ + _ _ ^ + _

е/ЗЦ2к-1)^ = е0М*-Ь+1)+Д,'(а:-М)(еД;Ь — е^)-1 х

х [м2 к(е{2к)Н^ - е{2к)к(}) - 112к-1{е{2к-1)НЬ - е{2к-1)к(}) + ...

... - щ(е^н - е0к) + цо - мо] =

_ еРЦ1-к+1)+Р^(х-1к)^еР^к _ еРну1 (еР]Х _ еРх^ |а,=0= 0 (9)

в силу того, что базисные функции е/3->х и е@х являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения С2к(^)/ = 0. Из (9) следует, что 2 к

сумма А= 22, А-э В] состоит только из одного слагаемого, соответствующего

¿=1

зафиксированному ранее числу 0 = 0т. Не ограничивая общности, считаем далее 0 = 01- С учетом доказанного имеем

Отсюда, используя условие Б(е131Х,х) = е^1Ж (х Е М), получим, что первое уравнение искомой системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных чисел Ь3 (й = 1,2к) может быть записано в виде

В силу произвольного выбора числа 0 = 0\ остальные 2/с — 1 уравнений будут иметь такую же структуру. Теорема 1 полностью доказана.

Пусть С2к = £2к{= П /^і) Є М) — линейный дифференциаль-

ный оператор порядка 2к с постоянными действительными коэффициентами, у которого корни 0j характеристического многочлена — попарно различные действительные числа. Представим £2к('Е>) в виде

А = АгВг = АіЄРіЬ(і-к+і)+Иі^-Щ х х [(2к)^2кеМ2к^1)Н - (2к - 1)ц2к- 1е(3і{2к-^н + ... .

2 к

2 к

Поскольку р(х) = Р2к{%) = П(®- = 22 (—1)3/*8х31 т0

І=1

Р’(е^) = (2к)^2кЄ(2к-1)()ік - (2к - І)ї2к-іє(2к-2)()ік + ...-{11.

Следо вате л ь но,

/ 1 \

Б(еРіХ,х) = еРіН\к+*) • М • А = АіЄРі(х~2кк+^ '¿Г ЬяеРі{*~1)Н

2. Оценка погрешности аппроксимации

2 к

І=1

Г

С2к{р) = Сг{р)С2к-г{р), Сг{р) = \[{р-0^ (г = 1,2/с — 1),

і=і

2 к

C2k-r(V)= П (V-flj).

j=r+1

Пусть [а, Ь] = [(/ — 2к + |)h, (/ + 2/с — |) h] (I € Z). Через ЛС = ЛС[а, 6] обозначается класс функций /, абсолютно непрерывных на отрезке [а,Ь]. Рассмотрим класс функций

W*r = Wjr[a, b] = {f: G ЛС, \\Cr(V)f\\Lp[a>b]

Любая функция / G может быть представлена в виде (см., например, [6])

Г рх

f(x) = У2 ^г,ге13тХ + / <Pr(x - t)Cr(V)f(t) dt, (10)

771 = 1 J°

где Am — произвольные действительные коэффициенты и функция Ifir является решением линейного однородного дифференциального уравнения Cr{V)f = 0, которое удовлетворяет условиям <у2^(0) = ôj'V-1 (j = 0,г — 1). Пусть В(х) — В-С-сплайн, соответствующий оператору С2к(Т>), определенный в пункте 1, и S(x) = S(f,x) — локальный £-сплайн, заданный формулой (3). Введем функцию

Kr{x, t) = <Рг{{х - £)+) -

l+k 2k

- ^2 (yiÜ s — k — h — t)B(x — jh),

j=l—k+lS=1

te[a,b], x E [lh,(l + l)h] (I e Z). (11)

Эта функция является ядром интегрального представления разности f(x) — S(x) (см. далее доказательство теоремы 2). Отмстим, что по переменной х функция Kr(x,t) является £-сплайном (2/г)-го порядка, соответствующим оператору C2k(T>), а по переменной t — £-сплайном порядка г, соответству-

Г

ющим сопряженному дифференциальному оператору С*(Т>) = П + Pj)-

_____ 3 = 1

Числа bs (s = 1,2к) в формуле (11) определяются единственным образом из системы Ab = d линейных алгебраических уравнений из теоремы 1.

Теорема 2. Если действительные числа 0j (j = 1,2к) попарно различны, то имеет место поточечное равенство

sup \f(x) - S(x)\ = \\Kr(x,-)\\Lpl[ab], X e[lh,(l + l)h] (leZ)

f (zWpr{a,b]

(l^p^oc, I + I=lV V p p J

Доказательство. Поскольку у. \ = /((,?' + |)/г), то из (4) и (10) при

3 + 2

х € [//г., (/ + 1)/г] выводим, что

1-\-к 2к

¿=1—]$+15=1 2к

Е Е6

j=l—k+15=1

£ Лте/3т^'+Я-Й-2

771=1

/ч¿+*-/г-2

4>г ((] + 8 - к - |) /г - г) СГ(Т>)/(()(И

Jo

Б (ж - ¿/г).

Из (10) и последнего равенства следует, что /(ж) — 5(ж) = <Л + </2> где «Д — сумма неинтегральных слагаемых, а /2 — сумма нескольких интегралов. Покажем, что «Д = 0. В самом деле,

г ( 1+к 2 к , 2« ч

Д= '¡Гх™\е0тХ- £ ^ЪяеРтЧ+я-к-ъ)нВ{х-зк) \

<т = 1 ' 4 е — 1 '

т=1 4 j=l—k+l 5=1

г

]Г Ат(е^-5(е^,ж)) = 0,

771 = 1

поскольку для чисел Ьь, имеют место равенства (6). Поэтому при х € [//г., (/ + 1)/г] имеем

/(х) - в{х) = ^ = [ <рг{х - 1)СГ{Т>)Ц1)(И - £ У^ЬЙВ(х - ¿к) х

,'0 з=1-к+1 «=1

р(]+в-к-|)/г

х (рг ((^' + в — /г — |)/г — ¿) Сг(Т>)/(1) сИ. (12)

Уо

Далее

2/г+ 2 1 гь С __ _ гг ч ч ^

<1рг(х-г)- У2 У2ьЙ1рг( [з + в - к -\)ь - г)я(ж - ¿ь)\х Уо ^ ¿=п£+ 1^1 44 ’ ’ )

р(1-2к+\)к

х £г(Т>)/(1) сИ = / [<рг(ж — ¿) — 5(<рг(ж — ¿), ж)] £г(Т>)/(£) = 0,

Уо

в силу равенств (6). Следовательно, из (12) окончательно получаем /.(г+2А:-|и

/(ж) - 5(ж) = / Кг{х4)Сг{Т>)/{()сИ, X е [¿/г, (/ + 1)/г], (13)

.1[1-2к+^)к

где ядро Kr(x,t) определено формулой (11). Из полученного интегрального представления, применяя неравенство Гёльдера, выводим оценку

\f(x) -S(x)\^ \\Kr(x, -)ll Vm ' WCr(V)f\\Lplatb-

^l^p^oo, i + ^j = l^, x e [lh, (I + l)h], (14)

где [a,b] = [(/ — 2k + |)/i, (/ + 2k — \)h\ (I G Z). Для каждого фик-

сированного числа х G [lh,(l + l)h] на классе функций Wpr[a,b] последняя оценка неулучшаема, причем при 1 < р < ос знак равенства реализует любая функция / € W£r[a,b\ (зависящая от х), удовлетворяющая условиям: sign Cr(V)f(t) = sign А'г(ж, i) (п.в. по t на [а, Ь]), \Cr(V)f(t)\p = А(ж)| Kr(x, i)|p (п.в. по t на [а, 6]), и множитель А (ж) выбирается так, чтобы

\\^г{^)/\\ьр[а,Ь] = 1-

При р = ос знак равенства в неравенстве (14) реализует любая функция / € W^r[a, b], которая удовлетворяет условию: Cr(V)f(t) = sign Kr(x, t) (п.в. по t на [а, b]).

При р = 1 экстремальной функции / пет, но стандартным образом строится экстремальная последовательность функций, реализующая точную верхнюю грань в неравенстве (14).

Таким образом, при 1 ^ р ^ оо имеет место поточечное равенство

sup |/(*)-5(*)| = ||AV(*,-)|lv[ab], X€[lh,(l + l)h].

f£\Vpr[a,b]

Теорема 2 полностью доказана.

Следствие. Пусть действительные числа ¡3j (j = 1,2к) попарно различны. Имеет место равенство

Z

/еи,сг[аМ 1 - xe[ihAi+m

(l^p^oc, 1 + 1 = 1).

р р>

2 к

Замечание 1. Пусть C2k('D) = П — 0j) — линейный дифференциаль-

з=1

ный оператор (2к)-го порядка с постоянными действительными коэффициентами, характеристический многочлен которого имеет попарно различные корни, среди которых могут быть и комплексные числа. Заметим, что если число j3j = jj + iaj (aj ф 0,7j 6K,i- мнимая единица) является корнем этого многочлена, то число 0j = 7j — iaj — также его корень. Для того, чтобы определитель dot А в теореме 1 был не равен нулю, нужно требовать, чтобы

и числа е^н были также попарно различны. Это условие будет заведомо выполнено, если для числа а = max |а^| (максимума из модулей мнимых частей

i

корней характеристического многочлена оператора С2к) будет выполнено неравенство ah < тт. При выполнении этого требования для оператора С2к также будут иметь место утверждения теоремы 1, а при выполнении условия, что все коэффициенты характеристического многочлена для оператора Сг являются действительными числами, и теоремы 2.

Замечание 2. Дальнейшее изучение величины погрешности аппроксимации локальными £-сплайнами сводится к изучению свойств ядра Kr(x,t) и оценке его нормы, как функции от h. Эта задача, вероятно, более трудная, чем в полиномиальном случае, т.к. коэффициенты bs (s = 1,2к) в формулах локальной аппроксимации достаточно сложно зависят от h.

Список литературы

1. Lyche Т., Schumaker L.L. Local spline approximation methods // J. Approxim. Theory. 1975. V. 15, № 4. P. 294-325.

2. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн—функций. М.: Наука. 1980. 350 с.

3. Корнейчук Н.П. О приближении локальными сплайнами минимального дефекта Ц Укр. матем. журнал. 1982. Т. 34, № 5. С. 617-621.

4. Субботин Ю.Н. Наследование свойств монотонности и выпуклости при локальной аппроксимации Ц ЖВМ и МФ. 1993. Т. 33, № 7. С. 996-1003.

5. Wronicz Z. Chebyshevian splines: Dissertationes Mathematical // Warszawa: Polska Academia Nauk, Institute Matematyczny. 1990. 99 p.

6. Шарма А., Цимбаларио И. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности // Матем. заметки. 1977. Т. 21, Ш 2. С. 161-173.

Поступило 25.06.2009

Шевалдина Елена Валерьевна ([email protected]), аспирант, Институт Математики и Механики УрО РАН, Екатеринбург.

Approximation by local £-splines of even order preserving the kernel of differential operator

E.V. Shevaldina

Abstract. The local £-splincs of even order with uniform nodes arc constructed. These splines preserve the basic functions from the kernel of linear differential

operator C with constant real coefficients and pairwise distinct roots of the characteristic polynomial. The pointwisc error of approximation value by constructed splines on the appropriate classes of differentiable functions is given.

Keywords: local £-splines, differential operator, the error of approximation.

Shevaldina Elena ([email protected]), postgraduate student, Mathematical and Mechanical Institute of Ural Branch of RAS, Ekaterinburg.