Об одном случае стабилизации стационарных движений систем с избыточными координатами Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36

ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ СТАБИЛИЗАЦИИ СТАЦИОНАРНЫХ ДВИЖЕНИЙ СИСТЕМ С ИЗБЫТОЧНЫМИ КООРДИНАТАМИ

А. Я. Красинский1, А. Н. Ильина2, Э. М. Красинская3

В переменных Рауса с использованием векторно-матричных уравнений движения в форме Шульгина рассмотрена задача стабилизации стационарных движений механических систем с нелинейными геометрическими связями при неполной информации о состоянии. Импульсы введены только по той части циклических координат, управление по которым отсутствует. Для трех вариантов вектора измерений доказана теорема о стабилизации приложением управления по части циклических координат, описываемых переменными Лагранжа. Коэффициенты управления и системы оценивания определяются решением соответствующих линейно-квадратичных задач стабилизации методом Красов-ского для выделенной линейной управляемой подсистемы, в которую не входят критические переменные, соответствующие избыточным координатам и введенным импульсам. Устойчивость в полной замкнутой нелинейной системе устанавливается с помощью сведения к особенному случаю Ляпунова и теоремы Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях.

Ключевые слова: стационарное движение, избыточные координаты, уравнения Шульгина, переменные Рауса, стабилизация, неполная информация.

The stability and stabilization problem of steady motions for mechanical systems with nonlinear geometric constraints is considered. The steady state information is assumed to be incomplete. Redundant coordinates, Routh's variables and Shul'gin's equations of motion are used. The set of cyclical coordinates is divided into two parts for impulses (Routh variables) and controlled coordinates (Lagrange variables). The rest of coordinates is assumed to be uncontrolled. The characteristic equation for the perturbed motion has zero roots. Its number is equal to the number of impulses plus the number of redundant coordinates. The stabilization theorem is proved for three variants of the measurement vector. The control law and the observing system coefficients can be determined by solving the Krasovskiy linear-quadratic problems for the controlled subsystem. This system does not depend on the critical variables (redundant coordinates and impulses). The stability of the complete nonlinear system follows from the reduction to Lyapunov's special case and Malkin's stability theorem under time-varying perturbations.

Key words: steady motion, redundant coordinates, Shul'gin's equations, Routh's variables, stabilization, incomplete information.

Введение. Для надежного функционирования управляемого технического устройства весьма важно сокращение объема измерительной информации и упрощение структуры контура управления. Большую роль играет выбор удобной математической модели, создающей возможности для минимального вмешательства в естественное поведение объекта. Для систем с нелинейными геометрическими связями существуют разные формы уравнений (с множителями связей и без множителей) [1-4] и типы переменных [2] (Лагранжа, Гамильтона или Рауса). В силу нелинейности связей целесообразно описывать такие системы в избыточных координатах и использовать свободные от множителей связей векторно-матричные [5, 6] уравнения Шульгина [1]. Применение переменных Рауса и переход к циклическим импульсам (переменным Гамильтона) по всем управляемым циклическим координатам существенно упрощает [5] анализ структуры замкнутой нелинейной системы и процедуру определения коэффициентов линейных стабилизирующих управлений. Но этот способ

1 Красинский Александр Яковлевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. физико-математических дисциплин МГУПП, e-mail: krasinsk@mail.ru.

2 Ильина Анастасия Николаевна — ст. преп. каф. теории вероятностей и компьютерного моделирования МАИ, e-mail: happyday@list.ru.

1 Красинская Эсфира Мустафовна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. теоретической механики МГТУ им. Н.Э. Баумана, e-mail: krasinsk@mail.ru.

невыгоден для реализации найденного управления в случае неполной информации о состоянии, если полученное управление зависит от импульсов, например в случаях, аналогичных рассмотренному в теореме 1 работы [5]. Информация о возмущениях циклических импульсов не может быть получена непосредственно информационными датчиками. В работе [7] рассмотрена возможность асимптотической стабилизации по всем позиционным координатам и циклическим импульсам при неполной информации, причем вектор измерений зависит от позиционных координат и скоростей. Но не для всякой системы могут быть выполнены соответствующие условия управляемости и наблюдаемости.

Использование переменных Лагранжа для всех координат удобно с точки зрения получения информации о фазовом состоянии системы за счет возможности непосредственного измерения возмущений циклических скоростей [8]. Однако в этих переменных усложняется процедура определения стабилизирующего управления и анализ структуры нелинейных уравнений движения системы. В настоящей работе рассмотрен еще один способ решения задач стабилизации систем с циклическими координатами: в отличие от [5, 7, 8] импульсы (переменные Гамильтона) вводятся только по неуправляемым циклическим координатам, а управления прикладываются по циклическим координатам, описываемым переменными Лагранжа. Это позволяет не включать возмущения импульсов в управляемую подсистему и соответственно в систему оценивания при неполной информации о состоянии.

Характеристическое уравнение для возмущенного движения в таком случае имеет [5, 6] нулевые корни, соответствующие циклическим импульсам и кинематическим связям, полученным дифференцированием уравнений геометрических связей. Согласно теории критических случаев [9, 10], в уравнениях возмущенного движения необходимо провести линейную замену [5, 6], аналогичную предложенной в [11] для неголономных систем. При этом выделятся критические переменные, соответствующие линейному приближению связей в окрестности выбранного установившегося режима. Для другого установившегося движения линейное приближение, эта замена и соответственно критические переменные будут другими. В полученной системе выбирается линейная управляемая подсистема, не включающая критические переменные, соответствующие связям и возмущениям введенных импульсов. С целью нахождения коэффициентов стабилизирующего управления, а в случае неполной информации — коэффициентов системы оценивания [12] применяется метод Красовского решения линейно-квадратичной задачи стабилизации [13]. Устойчивость в полной нелинейной замкнутой найденным управлением системе доказывается [14] сведением задачи к особенному случаю Ляпунова [9, 10], а затем с помощью теоремы Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях [10].

В общем случае первое приближение уравнений возмущенного движения может содержать квадратичные члены разложения геометрических связей (или линейные члены разложения соответствующих голономных кинематических связей) [5, 6]. Поэтому в полных уравнениях возмущенного движения нельзя ограничиваться линейным приближением связей. В работе [15] отмечаются условия, при выполнении которых линеаризация связей для равновесий систем с избыточными координатами приводит к правильному результату. Например, в лабораторной системе ОББ 1005 БЛЬЬ&БЕЛМ [16] для одного равновесия эти условия выполнены, а для другого — нет. Следует отметить, что еще Э. Дж. Раус [4] указывал на необходимость учета квадратичных членов в разложениях геометрических связей при выделении первого приближения в уравнениях возмущенного движения с множителями связей.

Теорема о разрешимости задачи стабилизации при неполной информации о состоянии. Рассмотрим механическую систему с п степенями свободы, состояние которой задается вектором координат д1 = (д\,..., цп+т) и на которую наложено т независимых геометрических связей:

д(Цп+1, • • • , 0_п+т)

= 0. (1)

Пусть кинетическая энергия имеет общий вид

п+т п+т

2

Т = 1 ари(д)дрди + ар{д)др + Т0(д)

р,и=1 р= 1

и на систему действуют кроме потенциальных сил с энергией П(ц) непотенциальные Ср (среди которых могут быть и управляющие), соответствующие координатам Цр при их избыточном введении. Предположим, что кинетическая и потенциальная энергия, связи (1), а также непотенциальные силы в некоторой открытой области фазового пространства являются аналитическими функциями

своих аргументов, причем квадратичная часть кинетической энергии — определенно-положительная функция скоростей

В переменных Рауса импульсы можно вводить [2] вместо любых компонент вектора скоростей. В настоящей работе разобьем вектор координат д следующим образом:

, r

(а Л

\Qn/

, s

( qn+i \

\ qn+m J

, a

/qi\ / Qk+i\

,в =

\QkJ

Y

\ <n J

(qi+i \

\ qn )

i < k <l <n.

Для вектора 7 используем переменные Гамильтона, для остальных координат оставим переменные Лагранжа. Выделение вектора в необходимо для введения управляемых циклических координат. Вектор избыточных координат обозначен в.

Будем считать, что переменные 7 циклические в смысле [1] и ( = 0, а переменные в псевдоциклические [17], т.е. по ним могут быть приложены действующие в окрестности невозмущенного движения управляющие силы.

Продифференцируем уравнения геометрических связей (1) по времени и выразим из полученных соотношений зависимые скорости. В соответствии с определением циклических координат для голономных систем со связями [1, с. 28] будем иметь

(др\—1 / дР

7)'

После исключения зависимых скоростей с помощью (2) кинетическая энергия примет вид

Т*(а, в, г) = - г'а(а, в)г + б!{а, з)г + То(ск, в),

(2)

2

aaa aa¡3 aa~f За

а(а,в)= I ара арр ар1 I , а'(а,в) = а(а,в), й'(а,в) = (й'а й'р й^) .

ч а^а а^в )

Силы после исключения зависимых скоростей с помощью (2) обозначим (р, (¡¡.

Введем функцию Рауса К = Т*(а, в, г) — П(а, в) — р1А/. Уравнения Шульгина будут иметь вид

(3)

±9R_9R_n п' (п ——-а

dt да ~ да Qa + а \Qs + ds ) ' dt dfi '

• n • dR ■ R •

j) = 0, 7 = ——, s = Ba ■ a.

dp

Пусть по позиционным координатам действуют непотенциальные силы вида

Qa = faaói + fasS + kaaa + kasS + Ql¿), Q s — fsaa + fssS + +

где faa, fas, kaa, kas, fsa, fss, ksa, kss — матрицы коэффициентов соответствующих размерностей, символами Qa\

обозначены члены высших порядков относительно координат и скоростей. Уравнения (3) имеют циклические интегралы и допускают стационарные движения

p = p0 = const, a = a0 = const, ¡3 = cp = const, s = s0 = const.

(4)

Введем возмущения: p — p0 + v, a — a0 + x, ¡3 — cp + w, s — So + y. Получим векторно-матричные уравнения возмущенного движения

AiX + Á2W + Diw + GiV + (ü! + B'a(0)Сз + x + (Ha + B'a(0)H^ v +

+ (ü2 + B'a (0)Ü4 + C^ y — (kaa + B'a (0)ksa) X + [kas + B'a (0)kss) У +

+ (faa + B'a (0)fsa + fasBa(0) + B'a (0)fssBa(0)) X + X(2) (x, X, y,W ,V, V),

(2)

A3X + A4W + D3X + G2V — Xp (x, X, y, W, v, V), V — 0, y — Ba(0)X + B(1) (x,y), Ba(0) — Ba(ao,so),

r

q

s

dij (0) =

j/ 0 / 0 0 0

Di D2

D3 D4,

д^А /д^А „ , . /д^А /д^А „ / ч! ^ ,, . ,, / V / 0 V 0 V дЯз / 0 V / 0

о = , с? - {?§*) №) , «. = №) , = •

\дд^ддт) о \ ддт ) о\ дд^ ) о \дд%др^ 0 \дд^др^) 0

—И^^р) = То(д) — П(д) — ^ (р — — с?7), г,] =1,к, = п + 1,п + т, £ = 1 + 1,п.

Матрицы коэффициентов постоянны, вычислены на движении (4). Верхний индекс означает порядок младших членов в разложении. Здесь в обобщенных силах Qa, Qs исключены зависимые скорости в и для упрощения предполагается, что Qa(a0,в0) = 0, Qs(a0,в0) = 0. В общем случае их значения определяются из условия существования стационарного движения (4), системы (3) и уравнений геометрических связей (1). Если Qa(a0,в0) = 0, Qs(a0,в0) = 0, аналогично [15] в уравнениях (5) появятся дополнительные линейные члены.

Приложим управления по вектору в и проведем в уравнениях возмущенного движения замену [5, 6], аналогичную замене для неголономных систем [11]:

г = у — Ба(0) х. (6)

Эта замена соответствует линейному приближению связей (1) в окрестности выбранного установившегося движения и выделяет критические переменные в уравнениях соответствующих кинематических связей. Замена (6) локальная, своя для каждого установившегося движения. При этом система (5) примет вид

А1Х + А2гг + (^1 — ^\)Х + Кх + D2w + С1Уу + Ну + Бг = (х,Х ,у,гг ,у,у),

А3Х + А4гг + D3Х + С2У = и + хв2)(х, Х, у, гг, у, V), (7)

Le

V = 0, z = B« (x, z)x,

где

Fi = faa + Ba(0)fsa + fasB a(0) + Ba(0)fssBa(0), P = kaa + B'a (0)ksa + fc«sB«(0) + B'a (0)kss Ba (0), CB = CB + CBBa(0), K = Ci + Ba(0)C3 + C2Ba(0) + Bl(0)C4B«(0) + CB - P, H = Ha + B'a (0)Hs, S = C2 + B'a (0)C4 + CB - (kas + B^ (0)kss) .

Замечание. Для систем с избыточными координатами могут быть отличны от нуля линейные члены разложения приведенной потенциальной энергии [4-6]. Если при этом будут отличны от нуля и линейные члены разложения коэффициентов кинематических связей (2) (или квадратичные члены разложения геометрических связей (1)) в окрестности выбранного стационарного движения, то элементы матрицы будут не равны нулю. Подобные линейные члены могут появиться в первом приближении уравнений возмущенного движения (7) и в случае, когда обобщенные силы для позиционных координат на этом движении не равны нулю [15]. Следовательно, в общем случае в уравнениях движения (3) нельзя ограничиваться рассмотрением только линейного приближения связей [4-6, 15, 16].

Для части матрицы кинетической энергии, участвующей в уравнениях (5), введем обратную матрицу и запишем уравнения (7) в нормальной форме:

где

i = N£ + Vu + Zz + Ф(2) (£, v, z) ,

z=Baa1 (x,z) x1, v=0, £ = (V ,x'1,w^,

'h h \ I 0 Ek 0\ /0

A-' = ( ft Ь2 , N = I -hiK -hi (Di - Fi) - b2D3 —1D2 I , V = I b2

'3 4) \-h3K -Ьз (Di - Fi) - h4D3 -h3D2j \h4/

0

Я = I — Ь1Б I , Ф(2) (Х,Х1,г,у,г) =

—ЬзБ,

0

Ъ^ + Ь2Хв2) \ЬзХ(2) + Ъ^/

Пусть информация о состоянии доставляется одним из вариантов вектора измерений:

аг = г = ТД = (Ек, 0, 0) , Х2 = (0, Ек, 0) , Х3 = (0, 0, Ег_к) ,

где Ек, Е\-к — единичные матрицы порядков к и I — к соответственно.

Чтобы получить необходимую для формирования стабилизирующего управления информацию, системы оценивания должны иметь вид

Пг = + Уи + Ьг (Х^г — ъ) , (9)

где щ = (х', Х^гх'^ — вектор оценки фазового состояния системы, полученный по измерению аг, Ьг — матрица коэффициентов соответствующей размерности.

Теорема. Если для системы (8) пара (X, У) управляема, а пара (X, Хг) наблюдаема, то существует линейное управление

иг = Лгпг, (10)

стабилизирующее стационарное движение (4) до устойчивости по всем переменным. Вектор оценки фазового состояния системы щ = ^х', Ж^го'^ получен по измерению аг из решения дуальной задачи стабилизации

ц,г = N + ХгЯг, Яг = Ьг^г.

Доказательство. Выделим из системы (8) управляемую подсистему £ = + Уи.

При выполнении условий управляемости и наблюдаемости существуют [4] такие матрицы Ьг и Лг, что действительные части всех корней характеристического уравнения систем (8) (кроме нулевых, соответствующих кинематическим связям и циклическим импульсам) и (9) будут отрицательны. Элементы этих матриц однозначно находятся решением соответствующих линейно-квадратичных задач методом Красовского [13]. При этом структура полной нелинейной системы (8), замкнутой управлением (10), соответствует условию теоремы 2 (об устойчивости стационарных движений систем с избыточными координатами) работы [14]. При этом для системы

£ = + Уи + Яг + Ф(2)(£, 0,г), г = Б(1)

х1

задача устойчивости сводится к особенному случаю Ляпунова. Тогда аналогично теореме 1 работы [14] стационарное движение будет асимптотически устойчиво относительно всех переменных (включая избыточные координаты), а при наличии циклических импульсов, т.е. при существовании соответствующих циклических интегралов (аналогично теореме 2), полная система (8) будет удовлетворять условиям теоремы Малкина об устойчивости при постоянно действующих возмущениях [10].

Для построения полной модели конкретной управляемой системы иногда необходимо добавлять уравнения, описывающие динамику двигателей, осуществляющих стабилизацию установившегося режима. В работе [18] рассмотрен пример стабилизации стационарного движения системы с одной позиционной, одной циклической и одной зависимой координатой с двумя двигателями. Доказана стабилизируемость этого движения до асимптотической устойчивости по всем переменным за счет управляющего напряжения на якорной обмотке только одного из двигателей. При этом на второй двигатель подается только постоянное напряжение, обеспечивающее существование заданного стационарного движения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шульгин М.Ф. О некоторых дифференциальных уравнениях аналитической динамики и их интегрировании. Ташкент: Научные труды Среднеазиатского государственного университета (САГУ), 1958.

2. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: ВЦ АН СССР, 1967.

3. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961.

4. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. Т. 2. М.: Наука, 1983.

5. Красинский А.Я., Красинская Э.М. Об одном методе стабилизации установившихся движений с нулевыми корнями в замкнутой системе // Автомат. и телемехан. 2016. № 8. 85-100.

6. Красинская Э.М., Красинский А.Я., Обносов К.Б. О развитии научных методов школы М.Ф. Шульгина в применении к задачам устойчивости и стабилизации равновесий мехатронных систем с избыточными координатами // Сб. научно-методических статей по теоретической механике. Вып. 28. М.: Изд-во МГУ, 2012. 169-184.

7. Красинский А.Я., Красинская Э.М. O методе исследования одного класса задач стабилизации при неполной информации о состоянии // Тр. Междунар. конф., посв. 90-летию со дня рождения акад. Н.Н. Кра-совского. Екатеринбург, 2015. 228-235.

8. Krasinskiy A.Ya., Ilyina A.N. The mathematical modeling of the dynamics of systems with redundant coordinates in the neighborhood of steady motions // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделир. и програм. 2017. 10, вып 2. 38-50.

9. Ляпунов А.М. Собрание сочинений Т. 2. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956.

10. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения М.: Наука, 1952.

11. Aizerman M.A., Gantmacher F.R. Stabilitaet der Gleichewichtslage in einem nichtholonomen System // Z. angew. Math. und Mech. 1957. 37, N 1-2. 74-75.

12. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: УРСС, 2010.

13. Красовский Н.Н. Проблемы стабилизации управляемых движений // Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Дополнение IV. М.: Наука, 1966. 475-515.

14. Красинская Э.М., Красинский А.Я. Об одном методе исследования устойчивости и стабилизации установившихся движений механических систем с избыточными координатами // Мат-лы XII Всерос. совещания по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 1-19 июня 2014. М., 2014. 1766-1778.

15. Красинская Э.М., Красинский А.Я. О допустимости линеаризации уравнений геометрических связей в задачах устойчивости и стабилизации равновесий // Сб. научно-методических статей по теоретической механике. Вып. 29. М.: Изд-во МГУ, 2015. 54-65.

16. Красинский А.Я., Ильина А.Н., Красинская Э.М. О моделировании динамики системы Ball and Beam как нелинейной мехатронной системы с геометрической связью // Вестн. Удмурт. ун-та. 2017. 27, № 3. 414-430. DOI: 10.20537/vm170310.

17. Krasinkiy A.Ya., Krasinkaya E.M. Modeling of dynamics of manipulators with geometrical constraints as a systems with redundant coordinates // Int. Rob. Automat. J. 2017. 3, N 3. DOI: 10.15406/iratj.2017.03.00056.

18. Клоков А.С., Самсонов В.А. О стабилизируемости тривиальных установившихся движений гироскопически связанных систем с псевдоциклическими координатами // Прикл. матем. и механ. 1985. 49, № 2. 199-202.

Поступила в редакцию 10.01.2018