ОБ ОДНОМ ПРИБЛИЖЕННОМ МЕТОДЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968.22

doi: 10.21685/2072-3040-2023-2-4

Об одном приближенном методе решения обратной задачи теплопереноса

И. В. Бойков1, В. А. Рязанцев2

1,2Пензенский государственный университет, Пенза, Россия [email protected], [email protected]

Аннотация. Актуальность и цели. Проблемы построения точных и устойчивых алгоритмов решения обратных задач математической физики находятся на переднем крае современной вычислительной математики благодаря как постоянно увеличивающемуся числу приложений таких задач в физике и технике, так и свойствам этих задач, значительно затрудняющим их численное решение. В данной работе рассматривается проблема численного решения одной из таких задач, известной как обратная задача теплопереноса. Материалы и методы. В настоящей работе для построения численного метода решения обратной задачи теплопереноса применяется аппарат гиперсингулярных интегральных уравнений. Насколько известно авторам, подобный подход к построению методов решения обратной задачи теплопереноса применяется в литературе впервые. Результаты и выводы. Описываемый в работе численный метод позволяет успешно находить приближенное решение обратной задачи теплопереноса в том числе и в случае наличия существенных погрешностей в исходных данных задачи. Решение модельного примера демонстрирует эффективность предложенного метода.

Ключевые слова: обратная задача теплопереноса, некорректная задача, регуляризация, гиперсингулярные интегральные уравнения

Для цитирования: Бойков И. В., Рязанцев В. А. Об одном приближенном методе решения обратной задачи теплопереноса // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 2. С. 31-40. doi: 10.21685/2072-3040-2023-2-4

On an approximate method for solving the inverse problem of heat transfer

I.V. Boykov1, V.A. Ryazantsev2

1,2Penza State University, Penza, Russia [email protected], [email protected]

Abstract. Background. Developing exact and stable algorithms for solution of inverse problems of mathematical physics is at the leading edge of modern numerical mathematics thanks to rapidly increasing number of applications of such problems in physical and technical sciences as well as some properties of such problems that significantly complicate their solution. In this paper we consider numerical solution of one of such problems that is known as inverse problem of heat conduction. Materials and methods. In this research we use the framework of hypersingular integral equations to develop a numerical method for solution of inverse problem of heat conduction. To the authors' knowledge, such approach is used to solve this problem for the first time. Results and conclusions. The numerical method described in this paper enables finding approximate solutions of inverse problem of heat conduction including the case of sufficiently big errors in initial data. Solving a model problem shows efficiency of the proposed method.

© Бойков И. В., Рязанцев В. А., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Keywords: inverse problem of heat conduction, ill-posed problem, regularization, hypersingular integral equations

For citation: Boykov I.V., Ryazantsev V.A. On an approximate method for solving the inverse problem of heat transfer. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(2):31-40. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-2-4

Введение

В настоящее время теория и практика решения обратных задач математической физики является одной из наиболее важных и динамично развивающихся областей математики. С каждым годом множится число прикладных задач, математическое моделирование которых требует разработки численных методов их решения. Процесс совершенствования математического аппарата решения обратных задач математической физики существенно затруднен рядом свойств этих задач, обусловливающих сложности построения численных алгоритмов их решения. В первую очередь речь идет о некорректности обратных задач, приводящей к необходимости применения специальных процедур регуляризации их решения на основании имеющейся априорной информации.

В данной статье предлагается численный метод решения обратной задачи теплопереноса, которая моделируется следующим интегральным уравнением:

f Х°Ф(5) ,expI---Ids = f (x0,t), t > 0. (1)

-— 9

n(t - s)3 [ 4a2(t - s)^

(2а

Помимо прикладного, построение устойчивых численных методов решения уравнений вида (1) представляет теоретический интерес. В книге [1] введен функционал V(0), характеризующий степень нестабильности решения интегрального уравнения Вольтерра, причем если 01 <02, то нестабильность уравнения, характеризующегося функционалом V (01), меньше нежели нестабильность уравнения, характеризующегося функционалом V(02). Согласно [1] уравнение (1) имеет нестабильность VОтметим, что многие задачи теплопереноса и теплообмена моделируются интегральными уравнениями Вольтерра первого рода [2, 3].

Поставим задачу о приближенном восстановлении неизвестной функции ) на сегменте 0 < t < T, где T - вещественное положительное число,

являющееся параметром метода.

Для решения этой задачи предлагается использовать подход, основанный на сведении уравнения (1) к гиперсингулярному интегральному уравнению специального вида. Достаточно подробные обзоры приближенных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений представлены в статьях [4, 5].

тт Ь A(x) dx

Интеграл вида I- при целом p и 0 <а< 1 называется гипер-

о; Ф - х) р+а

сингулярным интегралом (в смысле Адамара [6]), и определяется формулой

' A(x)dx -= lim

(b - x)p+a x^b

• A(t)dt (b -1)

p+a

- + -

B( x)

(b - x)

p+a-1

(2)

Здесь предполагается, что функция А(х) имеет р производных в окрестности точки Ь, а В(х) - произвольная функция, на которую налагаются следующие два условия:

1) предел в правой части формулы (2) существует;

2) функция В(х) имеет, по крайней мере, р производных в окрестности точки х=Ь.

Следует отметить, что произвольность в выборе функции В( х) никоим образом не изменяет значение предела (2). В самом деле, условие (1) фиксирует значение (р — 1) первых производных от В( х) в точке Ь, так что произвольный добавочный член в числителе представляет собой бесконечно малую величину порядка по меньшей мере (Ь — х)р.

Приведем еще одно определение гиперсингулярного интеграла, объединяющее определения интеграла в смысле Адамара и интеграла в смысле

т. тх г ш(^)йъ главного значения Коши. Интеграл I-, где а < с < Ь, называется [7, 8]

а (*—с)р

интегралом в смысле главного значения Коши - Адамара, если его значение фиксируется при помощи следующего предельного равенства:

= lim

(s - c)p u^0

C-U

у (s)ds (s - C)p

+

y(s) ds n(u)

C+U

(s - cy

+ -

U

p -1

где п(и) - функция, при которой существует предел.

В данной работе описывается построение устойчивого численного метода решения обратной задачи теплопереноса, определяемой интегральным уравнением (1). Для построения численного метода используется преобразование уравнения (1) в гиперсингулярное интегральное уравнение специального вида, которое затем решается при помощи итерационного численного метода. Стоит заметить, что, насколько известно авторам данной статьи, подобный подход, основанный на использовании аппарата гиперсингулярных уравнений к построению вычислительных алгоритмов приближенного решения интегральных уравнений Вольтерра, применяется впервые. Эффективность предложенного метода иллюстрируется модельным примером.

1. Описание метода

Перепишем уравнение (1) в следующем эквивалентном виде:

xq9( s)ds

=i

2a

xp9( x)

Vn(t - s)

,exp <! —

i 2a

2 x0

Vn(t - s)3

4a 2(t - s)

2a

xp9(s) Vn(t - s)3

-f (xq, t). (3)

Уравнение (3) положим в основу итерационного метода восстановления решения уравнения (1). Соответствующий указанному методу итерационный процесс описывается следующей формулой:

Г х0фп+1(5)^ _

I 2а

_ | х0Фи (х)

ехр <!--

х0

4а 2(У - 5)

? +

хоФи (5)

2а

>/п(У - 5)3

/(xо, У ).

Здесь п _ 0,М — 1, а М - число итераций метода. Начальное приближение фо (У) может быть зафиксировано произвольным образом; в частности, естественно будет положить ф0(У) = 0.

Каждая итерация метода состоит из двух последовательных этапов: 1) вычисление функции

ёп

(х0, у )_ рафп^ц

0 2ад/п(У - 5)

ехр <!--

х0

4а 2(У - 5)

• +

I х0фп('> «*-/(х(ьУ); 0 2а^/п(У - 5)

2) приближенное решение уравнения

рФп+М^ _ ёп (х0, у ). 0 2ау п(У - 5)

(4)

В соответствии с постановкой задачи решение уравнения (1) ищем на сегменте [0, Т]. Введем на сегменте [0,Т] равномерную сетку из (N +1) уз-

лов ^ _ ¡к, где к _Т^, г _ 0,N. Последовательные приближения фj (у), у _ 0,М ищутся в виде следующей кусочно-постоянной функции:

ф0,0, если < Уь ф01, если У^У < У2,

Ф0(У) _

ф0^^ если tN< tN-1, ф0 N-1, если tN-1^ t^tN,

ФМ (У) _

фМ,0, если < Уь фМ ,1, если У^У < У2,

ФМ, N - 2, если tN< ^-1, фМ N-1, если ,

где

фг, у _ф; (у) (г _ 0, М, у _ 0, N -1).

Итерационный процесс заканчивается на M-й итерации Фм (t) = (Фм Q,..., Фм N-1). Решением уравнения (3) является вектор-функция

ф (t) = (ф0,..., фN-1 ),где Фт =Фм (ti ) i = QN -1.

Зафиксировав начальное приближение фо^) в виде последовательности значений

Фо =(фо (tQ Фо (tN-1))

(5)

опишем более подробно процесс реализации «-го шага предлагаемого итерационного метода.

Первый интеграл в функции gn (хд, t) аппроксимируем при помощи составной квадратурной формулы левых прямоугольников:

i

i-

- s)

i-1 ^+1 = Z Фи ( ) J

j=Q

ХФи (s) I х2

exp! —

ti - s

-s)

rexp j -— Ids, х= ^

t,- - s 2a

Пусть j < i -1, тогда

V+1

J

- s)

' = erf

ti - s

i ^ х

s=t

j+1

s=t ■■

= erf

erf

f \ х

ft

= erf

Л f erf

V(i - j -1)h J w(i - j)h

Пусть j = i -1, в этом случае

n(ti -s)

rexp

ti- s

= lim erf

( \ X

- erf

\

= 1 - erf

4h )

Теперь перейдем ко второму интегралу:

ti / ч i-1 l] +1

■^оФи (s)

J

I-3 ds = Z Фи (tj ) J I-:

Q2a^n(ti -s) j=0 tj ■\jn(ti -s)

X 3ds, X = f

3 2a

t

t

t

t

Пусть у < г — 1, тогда

у+1

I

2Х

■у+1

2Х

2Х

- 5 )3 - 5 ) у. X - (у +1 ) ^ - )

2Х

2Х

- у - 1)к - У)к

Теперь пусть у _ 7 — 1. Тогда соответствующий интеграл будем рассматривать как гиперсингулярный. Согласно определению гиперсингулярного интеграла

(

г

I

X

. -(я _ lim

■1>№ - 5)3 ^

Л

I

В (V)

—+ . -

- 5)3 -^

_ lim

2 Х + 1 B(v)

^ - V 4П

4пк

>/Й V(г - (г-1 , где B(v)_-2x.

Таким образом, функция ёп (0, ^) рассчитывается приближенно по следующей формуле:

ёп (хь(7 )

7 -2 Г У

у_0 I г -2 Г

+1

л/(' - у - 1)к 2Х

- ей"

2Х

л/(' - у )к

фп,у +

1 - ей"

фп,7—1 +

2Х

_0 IVп(7 - у - !)к л/П(7 - у )к

фп,у - фп,N-1 - У (x0, (7 ), 7 _ N.

На втором этапе в рамках п-й итерации метода необходимо решить уравнение (4). Интеграл при У _ в левой части этого уравнения аппроксимируем следующим образом:

у,

I

0 2а 7-2

- I

у _0

х0фп+1(5) г

д/П((7 -5)3 I фп+1 ((у ) I

7-2 (у +1

_ I I

х0фп+1(5)

у _0 уу 2а

х0

ч

ц Т »Т! У + I -» Т "~Г1 4 " =

х0фп+1( 5)

(, -1 2a^

2а

( + фп+1 ((7-1) {

х0

1 2а^- 5)

У

= g ^Фи+1 (tj ) j=0

aVn

i-2 = Z

j=Q

^i tj+1 ^i 'tj

xQфи+1 (ti-1 )

xQ%+1.

i\fnh

Ф - j -1

xQ%+1,i-1

i\fnh

Построим матрицу А = ( а,- у) — с элементами

^ 'г,у =1,Л'

ai, j =

xQ

ajnh

x0

1

1

ayfnh 0, если i < j.

- j -1 M^-/ если i = j,

если i > j,

Тогда второй этап «-й итерации метода сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений

АФ«+1 = g«, (6)

где Ф«+1 =(ф«+1 (t0 ) Ф«+1 (t1 ), - , Ф«+1 (л —1 )), g« =( gn (x0, '0 ) gn (x0, t1 ), - , gn ('л—1)); функция gn (0(0) определена формулой (4), вектор-функция

Ф0 определена формулой (5).

Система (6) может быть решена любым численным методом решения систем линейных алгебраических уравнений.

Отметим, что в случае, если исходные данные задачи известны с некоторыми погрешностями, может потребоваться проведение постобработки результатов расчетов для уменьшения влияния погрешностей и получения более гладкого приближения искомой функции ф('). В частности, это может быть сделано, если положить

т-1

Фа) ~7/ + 72' +- + Y«+1

(7)

где степень полинома т - параметр метода, а неизвестные коэффициенты У1, 72, —, 7т+1 определяются на основании ранее найденного набора значений ф('0), ф('1), —, ф('л—1) в результате решения методом наименьших квадратов системы уравнений

71tf + Y2tiw-1 + - + Yw+1 = Ф('т ), i = 0, N -1.

(8)

2. Решение модельного примера

Проиллюстрируем предлагаемый численный метод решением следующего модельного примера. Пусть требуется при ' е (0,Т), где Т = 5, восстановить функцию ф('), являющуюся решением уравнения (1) со следующими

г ft + 5t3/2 ^ -1

6 3

V

e 4t.

исходными данными:

xo = 1, a = 1, f (x0, t ) = t2 +1 +13 -1 t2 +1 +13 I erf |——1

V 0 ' 12 ^ 12 J V 2yft J

Точное решение задачи дается функцией

9(t) = 1 +12.

При расчетах были взяты следующие значения параметров:

N = 50, M = 10.

Начальное приближение 9o(t) = 0.

Результаты расчетов приведены на рис. 1. Сплошной линией обозначен график точного решения задачи, пунктирной линией - график приближенного решения, найденного с помощью предложенного метода. Значения фу

(i = 0, N — 1) были зафиксированы в соответствии с формулой (5). Отметим, что в рамках вычислительного эксперимента, результат которого отражен на рис. 1, предполагалось, что значения функции f (0, t) известны без погрешностей.

Рис. 1. Результат решения модельного примера в условиях отсутствия погрешностей в исходных данных

Во втором численном эксперименте известные значения функции / (хд, t) были зашумлены случайной погрешностью, которая по модулю не

превышала значения £ = 2 10-1. Результаты расчетов для этого случая при прежних значениях параметров метода N = 50, М = 10 приведены на рис. 2. Точками изображена функция, определенная многочленом (7) при т = 5; ко-

эффициенты многочлена были найдены на основании решения системы (8) методом наименьших квадратов, сплошной линией обозначен график точного решения задачи, пунктирной линией - график приближенного решения.

0 1 2 3 4 5

t

Рис. 2. Результат решения модельного примера в условиях наличия погрешностей в значениях функции f (0, t), по модулю не превышающих e = 2 • 10-1

Заключение

В настоящей работе предложен подход к построению численных методов решения интегральных уравнений, основная идея которого состоит в сведении исходного уравнения к гиперсингулярному интегральному уравнению, которое затем решается при помощи итерационного процесса специального вида. Упомянутый подход был с успехом применен для построения численного метода решения обратной задачи теплопереноса. Решение модельного примера подтверждает эффективность метода. Представляет значительный теоретический и практический интерес распространение предложенного подхода на более широкие классы интегральных уравнений.

Список литературы

1. Apartsyn A. S. Nonclassical Linear Volterra Equations of the First Kind. Utrecht : VSP, 2003.

2. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М. : Машиностроение, 1988. 280 с.

3. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М. : Изд-во ЛКИ, 2020. 480 с.

4. Бойков И. В. Аналитические и численные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений // Динамические системы. 2019. Т. 9 (37), № 3. С. 244-272.

5. Boykov I. V. Approximate Methods for Solving Hypersingular integral Equations // Topics in Integral and Integro-Difference Equations. Theory and Applications. Editors Harenfra Singh, Hemen Dutta, Marcelo M. Cavalcanti. 2021. P. 63-102.

6. Бойков И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. 2. Гиперсингулярные интегралы. Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. 252 с.

7. Hadamard J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrodynamique. Paris : A. Hermann, 1903. 320 p. (reprinted by Chelsea. New York, 1949).

8. Чикин Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений // Ученые записки Казанского государственного университета. 1953. Т. 113, кн. 10. С. 57-105.

References

1. Apartsyn A.S. Nonclassical Linear Volterra Equations of the First Kind. Utrecht: VSP, 2003.

2. Alifanov O.M. Obratnye zadachi teploobmena = Inverse problems of heat transfer. Moscow: Mashinostroenie, 1988:280. (In Russ.)

3. Samarskiy A.A., Vabishchevich P.N. Chislennye metody resheniya obratnykh zadach matematicheskoy fiziki = Numerical methods for solving inverse problems of mathemat-icalphysics. Moscow: Izd-vo LKI, 2020:480. (In Russ.)

4. Boykov I.V. Analytical and numerical methods for solving hypersingular integral equations. Dinamicheskie sistemy = Dynamic systems. 2019;9(3):244-272. (In Russ.)

5. Boykov I.V. Approximate Methods for Solving Hypersingular integral Equations. Topics in Integral and Integro-Difference Equations. Theory and Applications. Editors Ha-renfra Singh, Hemen Dutta, Marcelo M. Cavalcanti. 2021:63-102.

6. Boykov I.V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gieprsingulyarnykh in-tegralov. Ch. 2. Gipersingulyarnye integraly = Approximate methods for calculating singular and hypersingular integrals. Part 2. Hypersingular integrals. Penza: Izd-vo PGU, 2009:252. (In Russ.)

7. Hadamard J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrodynamique. Paris: A. Hermann, 1903:320. (reprinted by Chelsea. New York, 1949).

8. Chikin L.A. Special cases of the Riemann boundary value problem and singular integral equations. Uchenye zapiski Kazanskogo gosudarstvennogo universiteta = Scientific notes of Kazan State University. 1953;113(bk. 10):57-105.

Информация об авторах / Information about the authors

Илья Владимирович Бойков Il'ya V. Boykov

доктор физико-математических наук, Doctor of physical and mathematical

профессор, профессор кафедры sciences, professor, professor of the sub-

высшей и прикладной математики, department of higher and applied

Пензенский государственный mathematics, Penza State University

университет (Россия, г. Пенза, (40 Krasnaya street, Penza, Russia) ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Владимир Андреевич Рязанцев Vladimir A. Ryazantsev

кандидат технических наук, доцент Candidate of engineering sciences,

кафедры высшей и прикладной associate professor of the sub-department

математики, Пензенский of higher and applied mathematics,

государственный университет Penza State University

(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: [email protected]

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 19.02.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 14.04.2023 Принята к публикации / Accepted 16.05.2023