ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ АМБАРЦУМЯНА. ЧАСТЬ 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95; 519.6 doi:10.21685/2072-3040-2021-4-6

Итерационные методы решения уравнений Амбарцумяна. Часть 2

И. В. Бойков1, А. А. Пивкина2

1,2Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 1boikov@pnzgu.ru, 2nastyashaldaeva@mail.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Уравнение Амбарцумяна и его обобщения являются одними из основных интегральных уравнений астрофизики, нашедшими широкое применение во многих областях физики и техники. Уравнение Амбарцумяна играет важную роль при исследовании рассеивания света в средах бесконечной оптической толщины. В настоящее время не известно аналитическое решение этого уравнения, поэтому актуальной является разработка приближенных методов его решения. Для решения уравнения Амбарцумяна предложено несколько итерационных методов, применяемых при решении практических задач. Построены также методы коллока-ций и механических квадратур, обоснование которых проведено при достаточно жестких условиях. В предыдущей работе авторов построен и обоснован сплайн-коллокационный метод решения уравнения Амбарцумяна со сплайнами нулевого порядка. Точность этого метода равна 0(N-1), где О) - число узлов коллокации. Представляет значительный интерес построение итерационного метода, адаптированного к гладкости коэффициентов и ядер уравнения. Рассеивание света в средах конечной оптической толщины описывается системами уравнений Амбарцумяна, для приближенного решения которых необходимо построение и обоснование эффективных численных методов. Построению таких методов посвящена данная статья. Материалы и методы. Построение и обоснование итерационных методов решения систем уравнений Амбарцумяна основано на обобщении непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений. Метод и его обобщение построены на основе Ляпуновской теории устойчивости и устойчивы к возмущению начальных условий, коэффициентов и ядер решаемых уравнений. Дополнительным достоинством непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений является то, что при его реализации не требуется обратимость производной Гато от нелинейного оператора. Результаты. Построены сплайн-коллокационные со сплайнами первого порядка методы решения уравнения и систем уравнений Амбарцумяна и даны их обоснования. Решены модельные примеры, иллюстрирующие эффективность методов. Выводы. Рассмотрены уравнения, обобщающие классические уравнения Амбарцумя-на. Для их решения построены и обоснованы вычислительные схемы сплайн-коллокационных методов. Полученные результаты могут быть использованы при решении ряда задач астрофизики.

Ключевые слова: непрерывный операторный метод, уравнение Амбарцумяна, сингулярное интегральное уравнение, сплайн-коллокационный метод

Для цитирования: Бойков И. В., Пивкина А. А. Итерационные методы решения уравнений Амбарцумяна. Часть 2 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 4. С. 71-87. doi:10.21685/2072-3040-2021-4-6

© Бойков И. В., Пивкина А. А., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Iterative methods of Ambartsumian equations' solutions. Part 2 I.V. Boykov1, A.A. Pivkina2

1,2Penza State University, Penza, Russia 1boikov@pnzgu.ru, 2nastyashaldaeva@mail.ru

Abstract. Background. Ambartsumian equation and its generalizations are one of the main integral equations of astrophysics, which have found wide application in many areas of physics and technology. Ambartsumian equation plays an important role in the study of light scattering in media of infinite optical thickness. Nowadays the analytical solution of this equation is not known; therefore, the development of approximate methods for its solution is urgent. To solve the Ambartsumian equation, several iterative methods are proposed that are used in solving practical problems. Methods of collocations and mechanical quadratures have also been constructed, the substantiation of which has been carried out under rather severe conditions. In the previous work of the authors, a spline-collocation method for solving the Ambartsumian equation with zero-order splines was constructed and substantiated. The accuracy of this method is O(N-1), where O(N) - number of collocation

nodes. It is of considerable interest to construct an iterative method adapted to the smoothness of the coefficients and kernels of the equation. Light scattering in media of finite optical thickness is described by Ambartsumian equation systems, for an approximate solution of which it is necessary to construct and substantiate effective numerical methods. This study is devoted to the construction of such methods. Materials and methods. The construction and substantiation of iterative methods for solving systems of Ambartsumian equations is based on a generalization of the continuous method for solving nonlinear operator equations. The method and its generalization are based on the Lyapunov stability theory and are stable against perturbation of the initial conditions, coefficients, and kernels of the equations being solved. An additional advantage of the continuous method for solving nonlinear operator equations is that its implementation does not require the reversibility of the Gateaux derivative of the nonlinear operator. Results. In this work, spline-collocation methods with first-order splines are constructed for solving the Ambartsumian equation and systems of equations, and their justification is given. Model examples, which illustrate the effectiveness of the methods were solved. Conclusions. Equations generalizing the classical Ambartsumyan equations are considered. To solve them, the computational schemes of spline-collocation methods are constructed and substantiated. The results obtained can be used to solve a number of astrophysical issues.

Keywords: continuous operator method, Ambartsumian equation, singular integral equation, spline-collocation method

For citation: Boykov I.V., Pivkina A.A. Iterative methods of Ambartsumian equations' solutions. Part 2. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;(4):71-87. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-4-6

Введение

Данная работа является продолжением статьи [1], в которой предложены и обоснованы приближенные методы решения следующих интегральных уравнений Амбарцумяна:

- линеаризованного уравнения Амбарцумяна:

Kx = x(t) + Л h(t'Т) Х(Т) d т = ДО, 0 < t < 1; (1)

J т + t

0

нелинейных уравнений Амбарцумяна:

J т + t

0

(2)

X(t) + X(t) Г h(t'T)X(T) dт = f (t), 0 < t < 1.

(3)

J т + t

0

Отметим, что уравнение (2) моделирует рассеяние света в среде бесконечной оптической толщины. Необходимость в нахождении условий непрерывной обратимости оператора К в уравнении (1) возникает при обосновании сходимости итераций при решении уравнения (2) методом Ньютона -Канторовича.

Уравнение (3) возникает при решении уравнений в свертках.

Для решения уравнений (1)-(3) в [1] применялся сплайн-коллокацион-ный метод со сплайнами нулевого порядка. Точность решений уравнений (1)-(3) сплайн-коллокационным методом со сплайнами нулевого порядка

равна 0(юг (к((, т), 5) + ют (к(1, т), 5)), где верхний индекс I(т) означает переменную, по которой вычисляется модуль непрерывности , т), 5), 5 -максимальный шаг метода коллокации.

Такой точности не достаточно при решении многих прикладных задач. Представляет значительный интерес построение сплайн-коллокационных методов решения уравнений (2)-(3) со сплайнами первого порядка. Этим вопросам посвящены разделы 2-4 данной статьи.

Напомним, следуя [2-4], постановку задачи диффузного отражения света мутной средой.

Рассматривается среда, состоящая из плоскопараллельных слоев, каждый из которых обладает рассеивающей и поглощающей способностью. Отношение коэффициента рассеяния к коэффициенту поглощения обозначается X/(1-Х) и считается величиной постоянной. Предполагается, что индикатриса рассеяния элемента объема имеет сферическую форму. Таким образом, излучение, рассеиваемое данным элементом объема, рассеивается равномерно по всем направлениям.

Вначале рассмотрим среду бесконечной оптической толщины, ограниченную плоскостью А.

Пусть на границу А падают параллельные лучи. Обозначим через £ косинус угла между направлениями падающих лучей и внутренней нормалью к слоям. Пусть поток этого излучения, проходящий через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к потоку в единицу времени, равен . В результате процесса рассеяния в среде свет будет выходить из нее в разных направлениях с интенсивностью I (п, С), зависящей от угла, образованного направлением выходящего луча с нормалью к поверхности А . Здесь через п обозначен косинус этого угла.

В работе [2] предполагается, что интенсивность I(п, О пропорциональна интенсивности падающего луча

I (n, Z) = г (n, Z) S.

Ставится задача нахождения коэффициента г(п,£), характеризующего отражение света.

В работе [2] показано, что

г (п, о 4 С^«, 4 п + С

где

ф(П) = 1 + -2Пф(П)|^ 4С . (4)

оп ^

Таким образом, задача рассеяния света в мутной среде бесконечной оптической глубины сводится к решению уравнения (4).

В работе [2] задача переноса лучистой энергии описывается в терминах функции рассеяния Цо). Показано, что функция рассеяния определяется выражением

( 1 1 > — + —

Ц Ц0

Ц0) = й0 Н (ц) H (Ц0),

где Н(ц) - решение уравнения Амбарцумяна

1

Н (ц) = 1 + 2 й0ЦН (ц){ Ц+Ц d ц' .

0 Ц + Ц

Рассмотрим случай, когда отражение происходит в среде конечной оптической глубины, ограниченной двумя плоскостями A и B .

В этом случае, наряду с функцией r(n, Z), характеризующей диффузное отражение, ищется функция s(n, Z), характеризующая диффузное пропускание и дающая интенсивность света, исходящего с поверхности B в направлении п , когда на поверхность A падает прямое излучение в направлении Z . Искомые функции определяются [2] формулами:

r(п Z) = ^фл)Ф<0-У(п)¥(Z) s(n Z) = Ч¥(л)Ф^)-Ф(п)¥(Z) ' 4 n + Z ' ' 4 п-Z '

где функции ф и у являются решениями уравнений:

ф(п) = 1 + 2 ПФ(П) j ^ d Z - | ПУ(П) j ^ d Z,

0n Z 0n Z 1

¥(n) = / n + 2 nj у(п)ф(0 -Z(n)y(Z) d z , 2 0 n Z

здесь т - оптическая глубина.

Для закона рассеяния с угловой функцией с&0 (1 + x cos 0) функция рассеяния выражается формулой

.(ц, ф; Цо, ф0) = (0о 5(0) (Ц, Цо) + x(1 )" z (1 _,0)1/z ^; (Ц, Цо) cos(9o, -ф)

2)1/2(i _,, 2)1/2. А),

где 5(0)(Ц,Ц0) и 5(1)(Ц,Ц0) представлены следующими формулами:

Л1)

( 1 1 > — + —

Ц ,0

(1 1 > —+ —

V Ц -0 у

5(0) (ц, ц 0) = у(ц)у(Цо) _ Хф(ц)ф(ц'), 5 (1)(ц, ,0) = H(1) (ц) H (1)(,0).

чЦ ,0.

Функции (у, ф) определяются из системы уравнений

У(Ц) = 1 +1 й«(Ц) f d_1 *(0 оЦф(Ц) f "ф(цт d Ц', 2 ¿ц + Ц 2 ¿Ц + Ц

ф(Ц) = Ц_1 &оЦУ(Ц)} d ц' + 1 хй> 0,ф(ц) j ЦП d ц

ф(Ц') d„'

ц+ц' ' 2 .....£ц+ц'

а функция Н (1)(ц) - из уравнения

1 /2

Н(1)(ц) = 1 +1 хй)0цИ(1)(ц) Г(1 -Ц )Н'(ц')ёц'. 4 0 Ц + Ц

В случае изотропного рассеяния в средах конечной оптической толщины функции рассеяния S и пропускания Т описываются формулами [2]:

( 1 1 > —+ —

Цо Ц Цо Ц

S (Т1; Ц, Ц0) = (о0 [X (Ц) X (Ц0) _ Y (,)Y (Ц0)]

Т (Т1; Ц, Ц0) = (Й0 [Y (Ц) X (,0) _ Y (ц, ) X (ц)] dS (Т1; Ц, Цо)

дц

J__1

Цо Ц

дТ (Т1; Ц, Цо)

дт

= (0 о

= (oY (,)Y (Цо),

—X (,)Y (Цо) _1Y (ц) X (Цо) .Цо Ц

где X и У - решение системы уравнений

1 л '

ё ц

X (ц) = 1 +1 (оЦ f-^X (,)X (ц') _ Y (,)Y (ц')], 2 J Ц + Ц

0

ч 1 ,

y(ц) = е ц +1 ft^f^rxw) _x(,)y(ц')].

/ » I I — II

2 0 Ц_Ц'

Из сказанного выше следует, что для решения принципиальных вопросов астрофизики актуальной является разработка численных методов решения уравнений и систем уравнений Амбарцумяна.

Статья посвящена построению приближенных методов решения гиперсингулярного уравнения Амбарцумяна и систем уравнений Амбарцумяна, причем рассматривается как собственно система уравнений Амбарцумяна, так и ее обобщение на систему гиперсингулярных интегральных уравнений. Построены сплайн-коллокационные методы со сплайнами первого порядка.

Статья построена следующим образом. В разделе 1 дано обобщение непрерывного метода решения операторных уравнений. Раздел 2 посвящен приближенным методам решения гиперсингулярного уравнения Амбарцумя-на. В разделе 3 рассмотрен приближенный метод решения системы уравнений Амбарцумяна. Раздел 4 посвящен приближенным методам решения системы гиперсингулярных уравнений Амбарцумяна. В разделе 5 представлены модельные примеры.

1. Обобщение непрерывного операторного метода решения нелинейных уравнений

Непрерывный операторный метод решения нелинейных уравнений [5] А(х) = / в банаховых пространствах эффективен, если логарифмическая

норма производной Фреше (или Гато) отрицательна в окрестности точного

*

решения х .

Возникает проблема его обобщения на случай, когда производная Фреше (Гато) неотрицательна в окрестности начального приближения. Рассмотрим в банаховом пространстве В нелинейное уравнение

А(х) = / . (5)

Уравнению (5) поставим в соответствие задачу Коши

^ = А( х(()) - / ((), (6)

х(0) = хо. (7)

В случае, если логарифмическая норма Л(А'(£)) отрицательна

в окрестности точного решения уравнения (5), то задача Коши (6)-(7) сходится к этому решению.

В случае, если приведенное выше условие не выполняется, то необходимо проведение регуляризации. Рассмотрим задачу Коши:

ШФ = -(А'( х(0) )* А( х(1)) - (А'( х(1)) )* / (Г), (8)

х(0) = хо, (9)

*

где (А'(х(^))) - оператор, сопряженный к А'(х(^)).

*

Так как производная Фреше (Гато) оператора (А'(х(^))) А(х(^)) неотрицательна, то, повторяя рассуждения, приведенные в [3], приходим к следующим утверждениям.

Теорема 1.1. Пусть на любой дифференцируемой кривой ф(0, распо-

t

ложенной в шаре 5(0,r), интеграл -j(А'(ф(т))) А'(ф(т)^т неположителен

0

11 *

(отрицателен) и lim - " Л((А'(ф(т))) А'(ф(т))) dт = -в , в> 0. Тогда решение

0

задачи Коши (8)-(9) сходится к решению уравнения (5).

Теорема 1.2. Пусть на любой дифференцируемой кривой, расположенной в банаховом пространстве B, выполнено условие

. t

lim - j Л(( А(ф(т)) )* А'(ф(т))) dT = -в, в > 0,

г г

0

тогда решение задачи Коши (8)-(9) при любом начальном значении Хо сходится к решению уравнения (5).

В случае, когда условия не выполняются, необходимо провести регуляризацию.

Уравнению (8) ставится в соответствие задача Коши

^ = -ах(г) - (А'( х(г)) )* А( х(г)) - (А'( х(г)) )* / (г), (10)

х(0) = Хо, (11)

где а> 0 - параметр регуляризации.

*

Так как логарифмическая норма оператора -ах(г)-(А'(х(г))) А(х(г)) отрицательна, то решение задачи Коши при любом начальном условии Х0 е В сходится к решению уравнения

-ах(г)-(А'(х(г)))* А(х(г)) = (А(х(г)))*/(г).

При этом вопрос о существовании решения уравнения А(х) = / остается открытым (в отличие от случая, когда логарифмическая норма А'(х) = / отрицательна).

Отметим, что это общая проблема, возникающая при построении алгоритмов регуляризации.

2. Приближенное решение гиперсингулярного интегрального уравнения Амбарцумяна сплайн-коллокационным методом со сплайнами первого порядка

В работе [6] показано, что при определенных условиях на ядро и правую часть уравнение Винера - Хопфа второго рода

х(г) +1 И(г-х)х(х)ёх = /(г) (12)

сводится к уравнению Амбарцумяна

Ф(Ь) = 1 + ф(^) | Л d р(ц), 0 < а < Ъ

< сю .

(13)

Отметим, что при а = 0 уравнение (13) является гиперсингулярным.

Так как уравнениями Винера - Хопфа второго рода (12) моделируются многочисленные проблемы в физике и технологиях, представляет интерес разработка численных методов решения уравнений вида (13) более точных, нежели сплайн-коллокационный метод со сплайнами нулевого порядка.

Рассмотрим уравнение, более общее, нежели уравнение (13):

х(г) + х{1)| х(т) dт = /(í). (14)

о

т + t

При Ъ(}, т) = Ъ(т) и /^) = 1 это уравнение Амбарцумяна.

Для решения уравнения (14) построим сплайн-коллокационный метод

со сплайнами первого порядка.

к _ _

Введем узлы = —, к = 0, п — 1, и интервалы Ак = , ¿¿+1], к = 0, п — 1.

п

В качестве узлов коллокации возьмем

* 1 * -

¿0 =-2, ¿к = ¿к , к = Ъп — 1.

п

Приближенное решение уравнения (14) будем искать в виде непрерывного сплайна

Х(*) = 2 ак V к ((^

к=0

где Vк (*) - базисные функции;

) =

0 < t <■

п п2 1 1 ^, — < t <-;

Vl(t) =

п — 1 п — 1

0, 0 < t < -2, п

1 п2 11 •+—1, — < t <-,

п — 1 п — 1

1 2 2 — М, -< t <-;

V к ^) =

, , к — 1 к —к +1 + т, -<t<—, 1

п п к = 2, п — 1; Vп (t) = — п + 1+ п^ —- < t < 1.

II к^ ^к + 1 Тп п

к +1 — М, —< t <-;

Коэффициенты {ак } , к = 0, п, определяются по методу коллокации из системы уравнений

х

1

2

и

i(tk) + xn (t*)Z al j

h(tk, ti)¥i(T)

l=0 Д, x + tk

dт = f (t*), k = 0,n .

(15)

Вычислив интегралы

1/ n

g (0,0) = j 1/ n

¥ 0(T) 0 T + tk

d т = ln 2 -1 +

f ^ 2 ^ n + n

n -1

ln

n + 1

g (0, k) = j

¥ 0(T)

d т = ln

g (1,0) = j

2/ n g (1, k) = j

0 T + tk

2/ n

1 + nk

nk

+

f ^ 2 ^ n + n

n -1

ln

2

n(1 + k)

1 + nk

-1.

d т=—— ln

т + t* n -1

00

n + 1

¥1(T) d T = - ^ ln

T+tk

n -1

2

n(1 + k)

L 1 \ 2n +1

+1 2 + - I ln

I n J n +1

(k+1)/n

g (k ,0) = j

¥kiT) d т = f -k +1 +1 I ln

(k-1)/n T + t0

(k+1)/n

1 + nk nk +1

+ (2 + k ))n

2 + k

1 + k

¥ k(T)

g(k,k) = j ^+*dT = (1 - 2k)ln

(k-1)/n T + tk

n(k -1) +1

2k

+ | k +1 + - I ln

n

n(k +1) +1

nk +1

2k -1

+ (1 + 2k )ln

2k +1

2k

(k+1)/n

¥ k-1(T)

g (k -1, k) = j Tg~1V*V/ dт = 2k ln

(k-1)/n т + tk

2k

-1,

(k+1)/n

¥k+1(т)

g (k +1, k) = j rK+1V*V/ d т = 1 - 2k ln

(k-1)/n т + tk

2k -1 2k +1

g (n,0) = j

¥п(т) d т = 1 + f - n +1 -1 I ln

(n-1)/n т + ^

¥ n(т)

k+1

n2 + 1

g (n, k) = j = 1 + (-n +1 - k )ln

(n-1)/n т + tk

n(n - 1) + 1 n + k

n + k -1

приходим к системе уравнений

a k +a k (a0 h(t*, t*) g (0, k) + a1h(t*, t*) g (1, k) +... ... + ak-1h(t*-1, t*) g (k -1, k) + akh(t*, t*) g (k, k) + ak+1h(t*+1, t*) g (k + 1, k) +...

x

* * \ * -

... + ипЩп,г*)g(п,к)) = /(г*), к = 0,п (16)

Системе (16) поставим в соответствие задачу Коши:

( п

ёак(и)

—*-= 1к(и)

аи

ак (и) + ак (и)£аг (и)И(гк, г* )g(I,к) - /(г*)

I=0

к = 0, п, (17)

ак (0) = ак, к = 0, п (18)

где g (/, к) - значения вычисленных выше интегралов.

Здесь у к (и) =±1, к = 0, п, и функции ук (и) подбираются таким образом, чтобы логарифмическая норма оператора в правой части системы (17) была отрицательной.

Задачу Коши можно решать любым численным методом. Наиболее предпочтительными являются методы Эйлера и Рунге - Кутты.

Ниже при решении модельных примеров использовался метод Эйлера. Согласно этому методу задача Коши (17), (18) решается последовательными приближениями:

Г

ак(и/+1) = ак(иу) + У /

ак(и у)+

Л

+ак (иу )£ а1 (иу Ж^, ц )g(1, к) - /(г*)

I=0 у

, к = 0, п . (19)

Константы у у =±1 подбираются таким образом, чтобы логарифмическая норма оператора в правой части системы (17) была отрицательной. В случае, если это условие не выполняется в известных пространствах, необходимо перейти к регуляризации непрерывного метода решения операторных уравнений.

3. Приближенное решение системы интегральных уравнений Амбарцумяна сплайн-коллокационным методом со сплайнами нулевого порядка

Рассмотрим систему уравнений

х1 (г) + а1а1 (г )х1 (01 Х+- а2 (т)а т +Р1а3 (г)х2 (г) | х+- а4 (т)а т = / (г), 0 Х + { 0 Х + {

х2 (г) + а 261 (г )х (г){¿2 (т)а т +М3(г)Х (г) { ^ 64 (т)а т = /2 (г), (20) т I г т I г

0 0

здесь аг-, Рг-, 1 = 1,2, - произвольные константы. Введем систему узлов:

к , 7--1

% = —, к = 0, п, ^ = ¿к +--, к = 0, п -1.

п 2п

Приближенное решение системы уравнений будем искать в виде кусочно-постоянных функций:

п—1 п—1

Х1(г) = 2 Чк ¥ к(г), Х2(г) = 2 6к ¥ к(г),

к=0 к=0

где

¥ k (t) = L'

1, t еД}

0, t e [0,1] \ Дk,

4 = [tk, k = 0, n - 2, Дп-1 = [tn-1,1].

Для решения системы (20) построим вычислительную схему метода механических квадратур:

n—1

Y k +a1^1( tk) tk Y k Z °2( 1) Yi ln

i=0

ti+1 + tk

ti + tk

+

n-1

+в1а3(tk)tk5k Z °4(^)5p ln

P=0

tp+1 + tk

tp + tk

= f1( tk ),

n-1

5k +a 2b(tk) tk Y k Z b2( ti )5i ln

i=0

ti+1 + tk

^ + tk

+

n-1

+feb3(tk)tk5k Z b4(tj)Yj ln

j=0

tj+1 + tk

tj + tk

= f2( tk), k = 0, n -1. (21)

Полученная система непрерывным методом решения нелинейных операторных уравнений трансформируется в систему дифференциальных уравнений:

d Y k(и)

f

du

= vk(и)

n-1

Yk(u) + a1a1(tk) tk Yk (u)Z a2(tl )Yi(u) ln

i=0

ti+1 + k

n-1

+в1°з(tk)tk5k(u)Z °4(tp)5p(u)ln p=0

tp+1 + tk

tp + tk

ti + tk

Л

f1( I)

+

d 5k (u)

du

= ^k (u)

n-1

5k (u) + a 2^(tk )tk Yk (u)Z 62 (ti )5i (u) ln

i=0

/

ti+1 +tk

n-1

+Мз( tk) tk 5k (u) Z b4( tj )Y j (u) ln

j=0

tj+1 + tk

tj + tk

ti + tk

Л

(22)

+

' f2 (tk )

Здесь Ук (и) =±1, м>к (и) =±1. Они выбираются таким образом, чтобы логарифмическая норма оператора в правой части системы (22) была отрицательной. Следует отметить, что функции Ук (и) =±1, Wk (и) =±1 построить

практически невозможно. Они определяются как константы на каждом шаге итерационного процесса по методу Эйлера. В качестве начальных условий возьмем

Ук (0) = Ук, (0) = 0, к = 0, п —1. (23)

Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:

* / * * \

1) система (20) имеет решение х (^ = 1x1 ^),)) при правых частях

(Ш), №));

2) логарифмическая норма оператора, стоящего в правой части системы уравнений (22), отрицательна.

Тогда система уравнений (21) имеет единственное решение

Хц(() = Шп (0, Х2,п (() ).

Доказательство теоремы приводится по аналогии с соответствующим доказательством разрешимости нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений [7-9].

Задачу Коши (22)-(23) можно решать любым численным методом решения дифференциальных уравнений. Ниже при решении модельных примеров используется метод Эйлера.

4. Приближенное решение системы гиперсингулярных интегральных уравнений Амбарцумяна сплайн-коллокационным методом со сплайнами первого порядка

Рассмотрим систему гиперсингулярных интегральных уравнений Амбарцумяна:

1 , , ч , ч 1

Х1 (;) + Х1 (;) Г ^,т) х1(т) ¿т +Х2 «) Г ^т) х2(т) = /1 (0, т + t т + t

0 0

Х2(0+Хl(»íh21^t^dт+x2(»Sh22(t^dт = /2(0. (24)

т + t т + t

0

к , —

Введем узлы tk = —, к = 0, п, и интервалы Дк = [tk, ^+1], к = 0, п — 1. п

* 1 * -

В качестве узлов коллокации возьмем to = ^т, tk = tk, к = 1, п — 1.

п

Приближенное решение системы уравнений будем искать в виде

п—1

Х> ^) = 2 к ^ к ^^ 7 = I2,

к=0

где у к (0 - базисные функции, определенные в разделе 2.

Коэффициенты {а, к} , 7 = 1,2, к = 0,п, определяются из системы уравнений

ai, k +«1, k 2 ai,Ai(tb 0) g (l,k) +

l=0

+a2,k 2 ai,lhi2(t*,t*)g(l,k) = /1 (t*), k = 0,и,

l=0

a2,j + ai,j 2 a2,lhii(tj, tl )g(1, j) +

l=0

+a2, j 2 a1,lh12 (t*, t*)g(l, j) = /2 (t* X j = 0и

l=0

(25)

Для решения системы уравнений (25) будем использовать непрерывный метод решения нелинейных операторных уравнений, который приводит к задаче Коши:

d ai, k (u)

du

f

= Yi, k (u)

ai, k (u) + ai, k (u)2 ay (u)h i (t*, t*) g (l, k) +

l=0

+a2, j (u )2 ai,l (u )hi2 (t*, t*) g (l, j) - /2 (t*)

l=0

k = 0, и,

d a2 j (u)

du

= Y2,j (u) a2,j (u) + ai,j (u)2 a2,l (u)Лц (t*, t*)g (l, j) +

l=0

+ a2, j (u )2 ai,l (u )hi2 (t*, t*) g (l, j) - /2 (t*)

l=0

j = 0, и.

(26)

Для решения системы (26) может быть использован любой приближенный метод решения системы дифференциальных уравнений. Наиболее предпочтительными являются методы Эйлера и Рунге - Кутты.

Здесь уг- к (и) = ±1, г = 1,2, к = 0, п, они подбираются таким образом,

чтобы логарифмическая норма оператора в правой части системы (26) была отрицательной.

При решении модельных примеров был использован метод Эйлера. Справедливо следующее утверждение. Теорема 4.1. Пусть выполнены условия:

* / * * \

1) система (26) имеет решение х (') = 1x1 ('), Х2О) при правых частях

(Ж'), ЛС));

2) хг п(')е ЖгИа(М), г = 1,2, 0<а< 1;

3) логарифмическая норма оператора, стоящего в правой части системы уравнений (26), отрицательна.

Тогда система уравнений (26) имеет единственное решение * / * * \ хп(г) = (х\п(г),Х2 п(г)) исправедлива оценка

х (г) - хп(г)

= тах

* * х (г) — х1,п(

А <—

па

Доказательство теоремы приводится по аналогии с соответствующим доказательством разрешимости нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений [7-9].

5. Модельные примеры

Модельный пример 1. Рассмотрим гиперсингулярное интегральное уравнение Амбарцумяна (14), точным решением которого является функция

х(г) = М2 + Ы + с .

При а = 1, Ь = 1, с = 1 правая часть уравнения (14) имеет вид

/(г) = г2 + г +1 + (2 + г +1) 1п (-г2 + г -1) + 1п\г +1| (2 - г +1) + ) - г

При а = 5, Ь = -5, с = 1 правая часть уравнения (14) имеет вид /(г) = 5г2 - 5г +1 + (5г2 - 5г +1)

х^ 1п|/|(-5г2 -5г-1) + 1п\г +1| (2 + 5г +1)-)-5г^

Результаты решения модельного примера 1 представлены в табл. 1 при

*

числе узлов коллокации п = 100 и шаге метода Эйлера к = 0,1, где х (г) и

*

хп (г) - точное и приближенное решения уравнения (14) соответственно.

Таблица 1

Результаты решения модельного примера 1

Номер точки Точное решение при а = 1, Ь = 1, с = 1 Величина х при приб спла ) - Хп ) шижении шами Точное решение при а = 5, Ь = -5, с = 1 Величина при приб спла *({) - х*п (г) лижении шами

нулевого порядка первого порядка нулевого порядка первого порядка

1 1 1,818 • 10-3 9,021 • 10-5 0,999 7,572 • 10-3 2,084 • 10-5

10 1,11 2,792 • 10-3 1,253 • 10-5 0,55 4,694 • 10-3 5,587 • 10-5

20 1,24 2,989 • 10-3 5,214 • 10-5 0,2 1,179 • 10-3 1,749 • 10-5

30 1,39 3,216 • 10-4 1,031 • 10-6 -0,05 2,146 • 10-4 8,231 • 10-6

40 1,56 3,47 • 10-4 6,506 • 10-6 -0,2 6,485 • 10-4 5,742 • 10-6

50 1,75 3,75 • 10-4 2,121 • 10-6 -0,25 6,299 • 10-4 2,591 • 10-6

60 1,96 4,053 • 10-4 4,236 • 10-6 -0,2 3,999 • 10-4 3,012 • 10-6

70 2,19 4,376 • 10-4 8,197 • 10-6 -0,05 8,069 • 10-4 1,858 • 10-6

80 2,44 4,718 • 10-4 2,017 • 10-6 0,2 2,64 • 10-4 1,306 • 10-6

90 2,71 5,076 • 10-4 5,812 • 10-6 0,55 6,001 • 10-4 6,867 • 10-6

100 2,97 5,412 • 10-4 2,152 • 10-6 0,95 8,803 • 10-4 5,502 • 10-6

Модельный пример 2. Рассмотрим систему гиперсингулярных интегральных уравнений Амбарцумяна:

х1 (г)+(1+г) х1 (г) | +(1+о х2 (о | = /1 (о,

x2 (t) + (1 +12) xi (t) j X+) d T +(1 +12) X2 (t) j x+7 d T = /2 (t

T + t

Пусть точные решения имеют вид: х^) = 1 +1, х2(0 = 1 +1 . Тогда

/1 (t) = t +1 + (1 +1)2 1 + (1 - t)ln

t +1

^ 2 (1 2 + (1 +1)(1 +12)--1 + (1 +12)ln

V. 2

t+1

t

Л

(1

/2(t) = t2 +1 + (1 +1)(1 +12)--1 + (1 +12)ln

V. 2

t+1

t

+ (1 +12)2 1 + (1 -1) ln

/

t+1

t

Результаты решения модельного примера 2 представлены в табл. 2 при

*

числе узлов коллокации п = 100 и шаге метода Эйлера к = 0,1, где х^ (^),

*

х^п (^, к = 1,2 - точные и приближенные решения системы уравнения соответственно.

Таблица 2

Результаты решения модельного примера 2

Номер точки Точное решение х*(/) * * Величина х^ (/) - х^ п (/) при приближении сплайнами Точное решение хг(*) * * Величина х2(/) - х2п (/) при приближении сплайнами

нулевого порядка первого порядка нулевого порядка первого порядка

1 1,001 9,955 • 10-4 2,537 • 10-4 1 9,626 • 10-4 2,284 • 10-4

10 1,1 1,72 • 10-3 2,66-10-4 1,01 1,402 • 10-3 1,877 • 10-4

20 1,2 1,901 • 10-3 1,522 • 10-4 1,04 1,48 • 10-3 1,388 • 10-4

30 1,3 2,042 • 10-3 1,131 • 10-5 1,09 1,578 • 10-3 1,011 • 10-4

40 1,4 2,175 • 10-3 9,38 • 10-5 1,16 1,703 • 10-3 8,342 • 10-5

50 1,5 2,308 • 10-3 8,268 • 10-5 1,25 1,857 • 10-3 7,398 • 10-5

60 1,6 2,446 • 10-3 7,521 • 10-5 1,36 2,04 • 10-3 6,877 • 10-5

70 1,7 2,589 • 10-3 7,125 • 10-5 1,49 2,252 • 10-3 6,605 • 10-5

80 1,8 2,074 • 10-3 6,841 • 10-5 1,64 2,493 • 10-3 6,493 • 10-5

90 1,9 2,898 • 10-3 6,663 • 10-5 1,81 2,764 • 10-3 6,49 • 10-5

100 1,99 3,047 • 10-3 6,573 • 10-5 1,98 3,033 • 10-3 6,556 • 10-5

Список литературы

1. Бойков И. В., Шалдаева А. А. Итерационные методы решения уравнений Амбарцумяна. Часть 1 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2. С. 14-34. doi:10.21685/2072-3040-2021-2-2

2. Амбарцумян В. А. К вопросу о диффузном отражении света мутной средой // Доклады Академии наук СССР. 1943. Т. 38, № 8. С. 257-279.

3. Амбарцумян В. А. О рассеянии света атмосферами планет // Астрономический журнал. 1942. Т. 19, № 50. С. 30-47.

4. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М. : Изд-во иностр. лит., 1953. 432 с.

5. Бойков И. В. Об одном непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 9, С. 1308-1314.

6. Енгибарян Б. Н. Об уравнении свертки с положительным ядром, представленным через знакопеременную меру // Математические заметки. 2007. Т. 81, № 5. С. 693702. doi:https://doi.org/10.4213/mzm3712

7. Boykov I. V., Roudnev V. A., Boykova A. I., Baulina O. A. New iterative method for solving linear and nonlinear hypersingular integral equations // Applied Numerical Mathematics. 2018. Vol. 127. P. 280-305.

8. Boykov I. V., Roudnev V. A., Boykova A. I. Methods for Solving Linear andNonlinear Hypersingular Integral Equations // Axioms. 2020. Vol. 9 (3). Р. 74. URL: https://doi.org/10.3390/axioms9030074

9. Boykov I. V. Approximate Methods for Solving Hypersingular integral Equations // Topics in Integral and Integro-Difference Equations. Theory fnd Applications / ed. Ha-renfra Singh, Hemen Dutta, Marcelo M. Cavalcanti. 2021. P. 63-102. doi:10.1007/978-3-030-65509-9 3

1. Boykov I.V., Shaldaeva A.A. Iterative methods of Ambartsumian equations' solutions. Part 1. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matemati-cheskie nauki = . 2021;(2):14-34. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-2-2

2. Ambartsumyan V.A. On the issue of diffuse reflection of light by a turbid medium. Doklady Akademii nauk SSSR = Reports of the USSR Academy of Sciences. 1943;38(8):257-279. (In Russ.)

3. Ambartsumyan V.A. On the scattering of light by the atmospheres of the planets. Astro-nomicheskiy zhurnal = Astronomical journal. 1942; 19(50):30-47. (In Russ.)

4. Chandrasekar S. Perenos luchistoy energii = Radiant energy transfer. Moscow: Izd-vo inostr. lit., 1953:432. (In Russ.)

5. Boykov I.V. A continuous method for solving nonlinear operator equations. Differentsi-al'nye uravneniya = Differential equations. 2012;48(9):1308-1314. (In Russ.)

6. Engibaryan B.N. Convolution equation with a positive kernel represented by an alternating measure. Matematicheskie zametki = Mathematical notes. 2007;81(5):693-702. (In Russ.). doi:https://doi.org/10.4213/mzm3712

7. Boykov I.V., Roudnev V.A., Boykova A.I., Baulina O.A. New iterative method for solving linear and nonlinear hypersingular integral equations. Applied Numerical Mathematics. 2018;127:280-305.

8. Boykov I.V., Roudnev V.A., Boykova A.I. Methods for Solving Linear andNonlinear Hypersingular Integral Equations. Axioms. 2020;9(3):74. Available at: https://doi.org/ 10.3390/axioms9030074

9. Boykov I.V. Approximate Methods for Solving Hypersingular integral Equations. Topics in Integral and Integro-Difference Equations. Theory fnd Applications. 2021:63102. doi:10.1007/978-3-030-65509-9 3

References

Информация об авторах / Information about the authors

Илья Владимирович Бойков

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: boikov@pnzgu.ru

Il'ya V. Boykov

Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head

of the sub-department of higher and applied

mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Анастасия Александровна Пивкина аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Anastasiya A. Pivkina Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: nastyashaldaeva@mail.ru

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 2509.2021

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 16.10.2021 Принята к публикации / Accepted 20.11.2021