ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ АМБАРЦУМЯНА. ЧАСТЬ 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2

УДК 517.95; 519.6 doi:10.21685/2072-3040-2021-2-2

Итерационные методы решения уравнений Амбарцумяна. Часть 1

И. В. Бойков1, А. А. Шалдаева2

^Пензенский государственный университет, Пенза, Россия '[email protected], [email protected]

Аннотация. Актуальность и цели. Уравнение Амбарцумяна и его обобщения являются одними из основных интегральных уравнений астрофизики, нашедшими широкое применение во многих областях физики и техники. В настоящее время не известно аналитическое решение этого уравнения, и актуальной является разработка приближенных методов. Для решения уравнения Амбарцумяна предложено несколько итерационных методов, применяемых при решении практических задач. Построены также методы коллокаций и механических квадратур, обоснование которых проведено при достаточно жестких условиях. Представляет значительный интерес построение итерационного метода, адаптированного к коэффициентам и ядрам уравнения. Построению такого метода посвящена данная статья. Материалы и методы. Построение итерационного метода основано на непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений. Метод построен на основе Ляпуновской теории устойчивости и устойчив к возмущению начальных условий, коэффициентов и ядер решаемых уравнений. Дополнительным достоинством непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений является то, что при его реализации не требуется обратимость производной Гато от нелинейного оператора. Результаты. В работе построен итерационный метод решения уравнения Амбарцумяна и дано его обоснование. Решены модельные примеры, иллюстрирующие эффективность метода. Выводы. Рассмотрены уравнения, обобщающие классическое уравнение Амбарцумяна. Для их решения построены вычислительные схемы методов коллокаций и механических квадратур, которые реализуются непрерывным методом решения нелинейных операторных уравнений.

Ключевые слова: непрерывный операторный метод, уравнение Амбарцумяна, итерационный метод, сингулярное интегральное уравнение

Для цитирования: Бойков И. В., Шалдаева А. А. Итерационные методы решения уравнений Амбарцумяна. Часть 1 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2. С. 14-34. doi:10.21685/2072-3040-2021-2-2

Iterative methods for solving Ambartsumian’s equations. Part 1

I.V. Boykov1, A.A. Shaldaeva2

uPenza State University, Penza, Russia [email protected], [email protected]

Abstract. Background. Ambartsumian’s equation and its generalizations are one of the main integral equations of astrophysics, which have found wide application in many areas of physics and technology. An analytical solution to this equation is currently unknown, and the development of approximate methods is urgent. To solve the Ambartsumian’s equation, several

© Бойков И. В., Шалдаева А. А., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

14

University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences. 2021;2

iterative methods are proposed that are used in solving practical problems. Methods of collocations and mechanical quadratures have also been constructed and substantiated under rather severe conditions. It is of considerable interest to construct an iterative method adapted to the coefficients and kernels of the equation. This article is devoted to the construction of such method. Materials and methods. The construction of the iterative method is based on a continuous method for solving nonlinear operator equations. The method is based on the Lyapunov stability theory and is stable against perturbation of the initial conditions, coefficients, and kernels of the equations being solved. An additional advantage of the continuous method for solving nonlinear operator equations is that its implementation does not require the reversibility of the Gateaux derivative of the nonlinear operator. Results. An iterative method for solving the Ambartsumian’s equation is constructed and substantiated. Model examples were solved to illustrate the effectiveness of the method. Conclusions. Equations generalizing the classical Ambartsumian’s equation are considered. To solve them, computational schemes of collocation and mechanical quadrature methods are constructed, which are implemented by a continuous method for solving nonlinear operator equations.

Keywords: continuous operator method, Ambartsumian’s equation, iterative method, singular integral equation

For citation: Boykov I.V., Shaldaeva A.A. Iterative methods for solving Ambartsumian’s equations. Part 1. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;2:14-34. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-2-2

Введение

Исследование рассеяния света в различных средах является одним из важных разделов астрономии и астрофизики. От точности решения проблемы рассеяния света в мутных средах зависит достоверность заключений, сделанных относительно различных характеристик планет и галактик.

Вопросам построения математических моделей рассеяния света мутными средами, а также аналитическим и численным методам решения уравнений, входящих в эти модели, посвящена обширная литература [1-5].

Вопрос о диффузном отражении света мутной средой является предметом многочисленных исследований, выполненных в первой половине XX в. Во многих работах применялся метод, заключающийся в анализе светового режима внутри мутной среды и в последующем вычислении диффузионноотраженного излучения.

В работах [6, 7] предложен метод, позволяющий решить задачу о диффузном отражении по граничным условиям. В случае среды с бесконечной оптической глубиной ищется функция r(п, 5), определяющая связь между интенсивностью S падающего на среду излучения и интенсивностью I света, исходящего из среды: I(п,5) = r(п,QS(п, 5). Здесь 5 - косинус угла между нормалью к поверхности границы среды и потоком падающего света; п -косинус угла между нормалью к поверхности границы и направлением выходящего света.

Функция r (п, 5) определяется формулой

r (п, 5) 4

4 п + 5

где ф(5) - решение уравнения

15

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2

Ф(П) =1 + -2 Лф(п) j-П+%% d %, (1)

о Л + %

X/(1 — X) - отношение коэффициента рассеяния к коэффициенту поглощения.

В случае среды конечной оптической глубины, т.е. среды, ограниченной плоскостями A и B, ищутся две функции: функция r(п, %), характеризующая диффузное отражение, и функция s(n, %), характеризующая диффузное пропускание и дающая интенсивность света, исходящего из плоскости B в направлении п, когда на плоскость A падает прямое излучение в направлении %.

Функции г(п, %) и s(n, %) определяются формулами:

r(п %) = X%9(n)9(%)zV(nM%)

’ 4^ п+% ’

’ 4 s п+% ’

а функции ф(п), у(п) находятся из системы уравнений:

ф(п)=1+-2пф(п) j-Л+%-d% - -2п^СЛ) j—%d%,

2 Jn+% 2 Jn+%

v(n)=e

T 1

2 +Xj ¥(п)ф(%) - ф(п)¥(%)

^j-

о

п+%

d %,

(2)

где T - оптическая глубина.

Замечание. Уравнения (1) и (2) получены в работах [6, 7] исходя из физических соображений, и в результате исследования интегрального уравнения теории рассеяния в случае сферической индикатрисы.

В статьях [6, 7] уравнение (1) решалось методом простой итерации. В работе [3] предложен метод простой итерации и его обобщение для решения системы уравнения (2).

Уравнения (1), (2) получены в предположении, что индикатриса рассеяния на элементах среды является сферической. При более общих предположениях о характере рассеяния среды ядра уравнений (1), (2) усложняются.

Поэтому представляет интерес рассмотрение общего нелинейного уравнения

x(t ) +Х *(, )f d T=f (t)

2 J T + t

h(t, t) x( t)

T + t

(3)

и системы уравнений

16

University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences. 2021;2

2 xu \f h(t, t) x(t) d т 2 ^ (t h2(t, T) ,(t)

x (t) +— tx(t )J

2 t +1

0

-?ty (t )j-

2 T + t

0

-d T = /i(t),

X (t ) fh3(t,T)x(t) dT — x(t ) |*^4(t,t)y(t)

y (t)+- ty (t) J

-- tx(t) J-

T +1 2

0 0

T + t

-d t/2 (t).

(4)

Представляет также интерес рассмотрение более общих, нежели (1) и (2), уравнений вида

x(t) + ntx(t) J h(t,T)X(T) dT =/(t)

J T + t

-1

T + t

(5)

и систем уравнений вида i

x(t) + — tx(t) J

*i(t, t)x(tK 2

i

h2(t, t) y (t)

-1

i

T + t

dT-—ty(t) f-

2 J T + t

-1

d T = /1(t),

/ ч 2 .. r h3(t,t)x(t) , 2 .. r h4(t,t),(t) , _ ..

y(t) + -ty(t) I 3V’ ' v 'dT--tx(t) dt = /2(t)

2 J T+t 2 j T+t

-1

-1

T + t

(6)

в которых сингулярность возникает при T = t = 0 и T = — t.

К классу уравнений Амбарцумяна также относится следующее уравнение [8, 9]:

(7)

здесь c(t) - функция локально ограниченной вариации, удовлетворяющая b 1

условию ц = 2i — |d c(t)| < ^>.

a

Уравнение (7) находит широкое применение как при решении задач астрофизики [1-5], так и при решении широкого класса уравнений в свертках

т

x(t) + Jh(t-t)x(T)dt = /(t), 0 < te T < ^, (8)

0

с четной ядерной функцией h e =°, ^).

Обзор работ, посвященных решению уравнений в свертках методами нелинейных функциональных уравнений, содержится в [10].

К классу уравнений Амбарцумяна также относится система уравнений

x(t) + x(t) J d T + y (t) J ’h2^m. d T = /1 (t),

T I t T I t

a a

17

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2

У (t) + x(t) J ^З(т) y(T) d т + y (t) J ^(т) x(T) d т = f (т). (9)

T I t T I t

a a

В работе [8] дано обобщение системы уравнений (9) на несимметричный операторный случай.

Отметим, что (1) и (7) - принципиально различные уравнения: уравнение (7) - нелинейное гиперсингулярное интегральное уравнение с фиксированной сингулярностью при t = 0, уравнение (1) - нелинейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

Для решения уравнения (7) привлекаются многие методы. При ц< 1 доказана [8] сходимость метода простой итерации в банаховых пространствах L(a) с метрикой, ассоциированной с мерой а.

В работе [9] для решения уравнения (7) предполагаются два итерационных процесса:

b ( )

xn+\(t) = 1 + xn(t)J%n T dа(т), n = 0,1,..., x(0) = 0, (10)

a

и

ь ( )

Xn+1 (t) = 1 + Xn+1 (t)JXfl T da(T)dт, n = 0,1,..., x(0) = 0. (11)

a

Показано [9], что итерации (10) сходятся при ц < 1.

В работе [9] исследована сходимость итерационного процесса (11) при условиях:

^ b

Х= J K(T)dT = 2J-dа(т)<1,

b

K(t) = J e -tlTdа(т), K(t) > 0, 0 < a < b <^ .

a

Показано, что при ^< 1 или a > 0 итерационный процесс сходится к наименьшему решению x* (t) уравнения Амбарцумяна (7) в метрике про-

странства C[a,b]. Если Х = 1, a = 0 и выполнено условие I— dа(T)dT<^,

3

то последовательность xn+1(t) сходится к x* (t) в метрике пространства L(a).

В статье [11] исследуются приближенные методы решения уравнения

1

x(t) - tx(t )J

0

h(T) x(t) т + t

dT = 1, 0 < t < 1,

(12)

18

University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences. 2021;2

где x(t) - искомая функция; h(t) - неотрицательная функция, удовлетворя-1

ющая условию I h(x)d т< -2.

Уравнение (12) исследуется в шаре 5(1, rp) пространства Lp [0,1] при условиях

2 „ , 1 1

----, < rp +1 <---, у p <-,

1 + 41 - 4Y р 2Yp 4

____2___< r +1 < 1 Vlp у >1

1+f-4Tp ~p Yp • b > 4’

где Y p

h(t)

1 + t

—+- = 1, 1 < p <<

p q

Доказано, что при выполнении этих условий уравнение (12) имеет в шаре 5(1, Гр) единственное решение, к которому сходится в пространстве

Lp [0,1] метод простой итерации. При этих же условиях обоснованы методы

L

q

коллокаций и механических квадратур.

Из сказанного выше следует, что представляет значительный интерес исследование приближенных методов решения уравнения Амбарцумяна и его обобщений при более общих предположениях о ядрах уравнений и нахождении более общих и более обозреваемых условий сходимости приближенных методов.

В данной работе построены и обоснованы новые итерационные методы решения уравнения (3), которое аппроксимируется системой нелинейных алгебраических уравнений, решаемой затем непрерывным методом решения операторных уравнений. Условия сходимости итерационных методов выражаются через ядра и правые части уравнений.

Статья построена следующим образом. В разделе 1 даны определения функций, используемых в работе, и определения гиперсингулярных интегралов. В разделе 2 дано краткое описание непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений. В разделе 3 исследуются приближенные методы решения нелинейных и линеаризованных уравнений Амбарцумяна. В разделе 4 представлены модельные задачи, иллюстрирующие эффективность построенных в работе алгоритмов. В заключении подытожены результаты, полученные в работе.

1. Определение гиперсингулярных интегралов

В работе [12] Ж. Адамар ввел новый класс особых интегралов. Определение 1.1 [12, 13]. Интеграл вида

b ^4(x)dx 1 (b - x) p+a

19

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2

при целом р и 0< а <1 определяет величину («конечную часть») рассматриваемого интеграла как предел при x ^ b суммы

г A(t)dt B( x)

J (b -1)p+a + (b - x)p+a-1’

если предположить, что A(x) имеет p производных в окрестности точки b . Здесь B( x) - любая функция, на которую налагаются два условия:

а) рассматриваемый предел существует;

б) B(x) имеет, по крайней мере, p производных в окрестности точки

x = b .

Л. А. Чикин [14] дал определение интеграла типа Коши - Адамара, обобщающее понятия интеграла в смысле главного значения Коши и интеграла в смысле Адамара.

Определение 1.2 [14]. Интегралом

J

9(x)d т (т-c)p ’

a < c < b,

в смысле главного значения Коши - Адамара будем называть следующий предел:

Г ф(т)dт + b ф(т)dт + %(v)

J (т-c)p + (т-c)p vp-1 ,

a v ' c+v v ' _

ф(т) d T

= lim

(т-c)

где ^(v) - некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел

существовал.

В случае, когда особая точка совпадает с одним из концов интервала интегрирования, гиперсингулярный интеграл определяется следующим образом.

Определение 1.3

Интегралом

J

ф(т)

(т-a )р

d т

называется следующий

предел:

где ^(v) - некоторая функция, выбранная таким образом, что:

а) рассматриваемый предел существует;

б) ^(v) имеет, по крайней мере, (р -1) непрерывную правую производную в окрестности точки a.

Замечание. Регуляризация перечисленных выше интегралов осуществляется вычислением интегралов, стоящих под оператором lim, по частям и «отбрасыванием» слагаемых, стремящихся к бесконечности.

20

University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences. 2021;2

2. Непрерывный метод решения операторных уравнений

В данной работе используется непрерывный метод решения нелинейных операторных уравнений [15].

Пусть X - банахово пространство, K - оператор, действующий из X в X; B(a, r) = {x, a е X :|| x - a ||< r}, S (a, r) = {x, a e X :|| x - a ||= r}, Л(К) -логарифмическая норма линейного оператора К, определяемая [16]

выражением Л(K) = lim(|| I + hK II-1)/ h, где символ h X 0 означает, что h

hl0

стремится к нулю, убывая.

Для матриц в часто используемых пространствах логарифмические нормы известны.

Пусть дана вещественная матрица A = {aj}, i, j = 1, n, в n-мерном пространстве Rn векторов x = (xi,...,xn) с нормой

n

x ii= Z1 xk

к=1

x lb =

Z 1 xk

к=1

x 13

max 1 xk |. 1<k <n

Логарифмическая норма матрицы A равна [17]:

f n \

Л1(A) = max ajj + Z \an\

j V i=1,i -j V

f A + AT Л

Л 2( A) = X max 2

V V

f n \

Л3 (A) = max i aii + Z 1 aij 1 j = 1 j-i

T

Здесь Xmax ((A + A ) / 2) - наибольшее собственное значение матрицы (A + AT) / 2.

Рассматрим нелинейное операторное уравнение

A( x) - f = 0, (13)

где A: X ^ X - нелинейный оператор, отображающий банахово пространство X само в себя.

Поставим уравнению (13) в соответствие задачу Коши:

dx(t) dt

A (x(t))-f,

(14)

x(0) = x0. (15)

*

Теорема 2.1 [15]. Пусть задача (14), (15) имеет решение x и на любой

*

дифференцируемой кривой g(t), расположенной в шаре B(x , r), выполняются условия:

21

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2

1) при любом t (t >0) выполняется неравенство

t

Ja(( (g (т)))d т< 0;

0

2) справедливо неравенство

1 г

lim- JA(A (g(T)))dт<-

t t r.

a r

a g > 0.

Тогда:

1) уравнение (13) имеет решение;

2) решение задачи Коши (14), (15) при t, стремящемся к бесконечности,

*

сходится к решению x уравнения (13).

Замечание. В работе [18] получено следующее утверждение.

Теорема 2.2. Пусть A = {aj-} , i, j = 1,n , - квадратная матрица. Если

Л(A) < 0, то матрица A неособенная и

<

1

ЛЛ) •

Из анализа доказательства теоремы 2.2 легко заметить, что она справедлива для линейного оператора A, действующего из банахового пространства X в X.

3. Приближенное решение нелинейного уравнения Амбарцумяна

Рассмотрим нелинейное уравнение Амбарцумяна:

K (x) = x(t) + tx(t )J

h(t, т) x(t) т + t

d т = f (t)

(16)

Уравнение (16) будем исследовать в пространстве X = С[0,1]. Найдем производную Фреше оператора K(x) на элементе x0(t).

Нетрудно видеть, что

( 1

K'( xq) z (t) = z (t) +

V 0

h(t, т) xq(t) т + t

d т

z(t) + tx0(t)Jh(t’т)z(T) dт.

т + t

Введем обозначения:

a (t) = 1 +1J

h(t, т) x0(т) т + t

dт, hj(t, т) = th(t,т).

Тогда

K'( xq) z (t) = a(t) z (t) + xq

(t) J

0

hj(t, т) z^) т + t

d т.

22

University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences. 2021;2

Как было отмечено во введении, в большинстве работ для приближенного решения уравнения Амбарцумяна используется метод простой итерации. Естественно исследовать применимость модифицированного метода Ньютона - Канторовича к решению уравнения (16):

xn+1 = xn + [К(x0)]-1 ((xn) - f ) n = О,1,...

Для его осуществимости необходима непрерывная обратимость производной Фреше К,(Хо). В настоящее время, насколько авторам известно, отсутствуют общие методы исследования обратимости операторных уравнений. Для определения обратимости оператора K,(Хо) можно воспользоваться теоремой 2.2. Однако оценка логарифмической нормы оператора К'(Хо) в произвольном банаховом пространстве является весьма сложной проблемой. Поэтому естественно перейти к приближенным методам.

Приближенное решение уравнения (16) будем искать в виде кусочнопостоянной функции

п— 1

xn (t) = Z ak Vk (t),

k=0

где

Vk(t) =

0,

t eAk,

t e [0,1] \ Ak, k = 0, n —1,

A k

[tk, tk+1), k = 0, n — 2 ,

An— 1 [tn—1,1] , tk , k 0,n .

n

Коэффициенты {ak}, k = 0, n — 1, находятся из системы нелинейных алгебраических уравнений

n—1

ak + tk ak Z h( tk, tl )alln

l=0

ti+1 — tk ti — ~k

= f (tk),

k = 0, n — 1,

(17)

которая в операторной форме имеет вид

Kn(xn) = fn ,

(18)

где tk = tk + 2 n , k = 0, n — 1.

Систему уравнений (18) будем исследовать в пространстве n-мерных векторов Rn с кубической нормой.

Приближенное решение уравнения (18) будем искать модифицированным методом Ньютона - Канторовича

xm+1

n

= Хт +

n

к \ хП) ]—1 (Kn (xm)—fn)

т = 0,1,

(19)

здесь xn0

начальное приближение.

23

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2

Для доказательства сходимости итераций (19) воспользуемся следующим утверждением.

Теорема 3.1 [19]. Пусть X и Y - банаховы пространства и пусть выполнены условия:

1) ||K(xo)||=Ло;

2) оператор K имеет производную Гато в окрестности точки Х0, и су-

]-‘

' < 1) выполняется условие

ществует правый обратный оператор R( Х0) = [K'(*0)] с нормой

И *0)|| = В0';

3) в сфере Sj* :||* - *0| < 'В°П° j (q-

||к'(*1) - к\*2)\\ < BL.

В0

Тогда уравнение K* = 0 имеет в S решение * , к которому сходятся

* q В0П0 *

приближения (19), и справедлива оценка * - *п <------—-. Решение *

1-q

единственно в пересечении S п (*0 + AR( *0)).

Для реализации метода Ньютона - Канторовича (19), в первую очередь, необходима обратимость оператора К'п (*П).

Производная Гато оператора К'п (*П) на начальном элементе *0 =(*0, **,..., *П-1) может быть записана в виде матрицы A ={aj} ,

i, j = 0, n -1, где

n—1 Z h( Ti, Tj) *00 ln tj+1 -

t; -1

j=0 j

ti*0h( ti, tj )ln tj+1 - ti

t j - ti

+ t*0 h( ti, ti )ln

{i+1 - ti

ti - ti

i = 0, n -1,

i, j = 0,n -1 i, j = 0,n -1, i Ф j .

Логарифмическая норма оператора К'(*0) равна

Л3 (К'(*0) )= max

0<i<n-1

( \ n-1

aii + Z \aij\

j=0

V j ф1 )

Если Л3 (K'{*0)) < 0 , то по теореме 2.2 существует обратный оператор

<-

[K,(*0)] 1 с нормой [['(*0)] 1

1

Лз (K'(*0))

24

University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences. 2021;2

В ряде случаев введением множителя уг- = ±1, i = 0, n — 1, можно добиться того, чтобы логарифмическая норма матрицы B = {by } , i, j = 0, n — 1,

где bj = Yiaij, i, j = 0, n — 1, была отрицательная.

Тогда вместо системы (17) следует перейти к эквивалентной системе

Y к

n—1

ак + (как 2 h((к, tl )alln

l=0

tl+1 — (к

tl — (к

= 1к/( к ). к = 0n — 1.

Замечание. Явный вид элементов ay матрицы K'n (Х0) позволяет варьировать начальное приближение, добиваясь непрерывной обратимости оператора K'(Х0).

В случае, если оператор K'(Х0) непрерывно обратим, то выполнено условие 2 теоремы 3.1. Выполнение условия 3 теоремы 3.1 зависит от значений функции h(t,т). Норма ||К'(Х1) — K'(Х2 )| легко выражается в метрике Rn с кубической нормой. В самом деле,

(

IK'(x1) — K'^Ц < max ti

0<i<n—1

V

n—1

2 h( Ji, ~j )ln

j=0

tj+1 ti

tj — ti

+

n—1

+Ji 2 |h( Ji,Tj )|

j=0

xJ— xJ2 ln - Л tj+1 — ti

t j — ti

J г )

<

n—1

< max

0<i<n—1

2ti 2 \h(ti, tj )ln

j=0

tj+1 ti

tj — ti

\ Х1 — Х2 ||= B0

Х1 — Х2 \\,

где Х1 = (,xj,...,Х1П 1 ),Х2 = (,х2,...,х? 1).

Наиболее трудным является выбор начального приближения. Это общая проблема при решении нелинейных задач.

Таким образом, если Л3 (K'(Х0)), B0 и ||Kn (xq)| = П0 таковы, что выполнены условия теоремы 3.1, то модифицированный метод Ньютона - Канторовича сходится к решению системы уравнений Kn (xn) = fn .

Замечание. Отметим, что непрерывный операторный метод не требует выполнения условия 3 теоремы 3.1 и осуществим в случае, когда не выполнено условие 2 теоремы 3.1.

Остановимся на вопросе приближенного решения линеаризованных уравнений Амбарцумяна.

Рассмотрим уравнение

Kx = x(t) +1Г h(t’Т)Х(Т) dт = f (t), (20)

J т + t

0

25

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2

где h(t,т) е Наа (M), f (t) е На (M), 0 <а< 1. Будем считать, что уравнение (20) при данной правой части имеет решение x *(t) е На, 0 < а < 1.

Обозначим через X пространство С[0,1] .

Замечание. Исследование уравнения (20) связано с обоснованием сле-

дующего итерационного метода решения уравнения (3), где положено -2 = 1.

В качестве одного из итерационных методов решения уравнения (3) (при h(t, т) = 1) в работе [3] предлагается следующий:

x„+1 (t) + txn (t)Jh(t’т)X++1^ dт = f (t), n = 0,1,...

0

Нетрудно видеть, что это уравнение (относительно неизвестных xn+1 (t)) совпадает с уравнением (20), если на каждом шаге итерационного процесса полагать hn (t, т) = txn (t )h(t, т) и рассматривать уравнение

x,,+1(t) + J hn (t •^ +1<Т) d т = f (t).

J т + t

0

Возможность численной реализации при каждом n приведенной выше итерационной схемы связана с построением приближенного решения уравнения (20).

Приближенное решение уравнения (20) будем искать в виде сплайна

n— 1

xn (t) = Z ак Vk (t),

k=0

t eAk,

t е [0,1] \ Ak, k = 0, n —1,

где

Ak = [tk, tk+1) , k = 0,n — 2 , An—1 = [tn—1,1] , tk = , k = 0,n .

n

Коэффициенты {ak }, k = 0, n — 1, находятся из системы уравнений

n—1

ak + tk Z h( tk, tl )alln

l=0

{l+1 + tk

tl + Ъ

= f (tk ),

k = 0, n — 1,

(21)

где tk = tk + -2- n , k = 0, n — 1.

Для доказательства однозначной разрешимости системы (21) оценим логарифмическую норму матрицы

A = {УЛу }, i, j = 0, n — 1,

26

University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences. 2021;2

aii = 1 + tih( ti, ti)ln

^+1 + ti

ti + ь

i = 0, n —1,

aij = tM ti, tj )ln

f j+1 + ti tj + ti

, i, j = 0, n —1, i Ф j .

Константы Yi =±1, i = 0, n — 1, подбираются таким образом, чтобы логарифмическая норма матрицы A была отрицательной в некотором n-мерном пространстве.

Для определенности будем исследовать разрешимость системы (21) в пространстве Rn - n-мерных векторов с кубической нормой. В этом пространстве логарифмическая норма матрицы A равна

Л( A) = max

0<i<n

n—1

Yiaii +|Y i| Z|a

i=0 j *i

Вначале оценим диагональные элементы. Очевидно, что

aii =1 + tih(ti, ti)ln

ti+1 + ti

ti + ti

= 1 + 1 - + 2- Ih(ti, ti)ln n 2n

1 + -

4i +1

n—1

Оценим сумму Z\aij\ внедиагональных элементов. Очевидно

i=0 j *i

n—1 n—1

Z \aij\=z

j=0 j=0

j*i j*i

tih( ti, tj )ln

tj+1 + ti

tj + ti

n—1

< H Z Тг

j=0 j *i

ln

j +1 + i +1/2

j + i +1/2

n—1 / • i

=h z{L+f

j=0 V n 2n

j *i

ln

2 j + 2i + 3

2 j + 2i +1

= H\ - + —

n 2n

i—1

Z

j<0

ln

2 j + 2i + 3

2 j + 2i +1

n—1

+ Z In

j=i+1

2 j + 2i + 3

2 j + 2i +1

= H\ -+ Z

n 2n

i—1

n—1

V j

x-"' 2 j + 2i + 3 x-"' 2 j + 2i + 3

Z ln—-----------+ Z ln J

1

Л 2 J + 2i +1 . 1 2 J + 2i +1

=0 J j =/+1 J

= H| — + -2— |(ln(4i +1) — ln(2i +1) + ln(2n + 2i +1) — ln(4i + 3)) =

27

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2

I i 1 V 4i +1 2n + 2i +1 ^ f i 1 V . , 2n + 2i +1

= H\- +— II ln---+ ln-------| < H I - +— || ln2 + ln--

n 2n 2i +1 4i + 3 J l n 2n A 4i + 3

Введем обозначение

... I i 1 Y, . , 2n + 2i +1

B(i) = \ - + — II ln2 + In 4. + 3

n 2n It 4/ + 3

Тогда логарифмическая норма матрицы A оценивается неравенством

Л3 (A) < max

0</<п-1

1 + tih(ti, ti )ln

ti+1 + ti

ti + ti

+ H\B (i )|

В случае, если Л3 (A) < -%, % > 0, то система уравнений

Y k

n-1

ак + tk 2 h( ti, tl)ln

l=0

tk+1 + tk

tk + tk

= Ykf(tk )> k = 0n - 1 =

(22)

sgn f 1+tkh(tk, Tk)ln tk+1 + tk

I tk + % J

однозначно разрешима.

Действительно, из теоремы 2.2 следует, что в метрике пространства R3

A

-1

<

1

|Л3(A) ‘

Замечание. Из однозначной разрешимости системы (22) следует однозначная разрешимость системы (21).

Для решения системы уравнений (22) можно воспользоваться непрерывным методом решения нелинейных операторных уравнений, который в данном случае имеет вид

d (Xk (u)

du

Yk

f n-1

ak(u)+~k 2 h(tk, ~l)ln

I l=0

\

tl+1 + tk -f (%)

tl + tk J

k = 0, n -1.

(23)

Для решения системы дифференциальных уравнений (23) можно использовать любой численный метод. Наиболее подходящими являются методы Эйлера и Рунге - Кутты.

Остановимся на оценке точности приближенного решения.

Пусть уравнение (20) при данной правой части имеет решение

*

х (t) е На, тогда

*

х

h(t, т) х*(т) т + t

d т = f (t)

(24)

и, следовательно,

28

University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences. 2021;2

n-1

x’(Ik) + tk2 J h(*’'Tldt = /(Ik), k = 0,n-1. i=o Д, x+,k

Почленно вычитая это равенство из (21), получим

(25)

n-1

( (( ) - x*(tk )) + ) 2 h(Tk,Ч) (n (() - x*(t, ))ln l=0

tl+1 + Ik

tl + Ik

n-1

= ~k 2

l=0

h( Ik, d T - h(tk,t,) xn (|,) ln

T + It

Il+1 + tl

Il + Il

k = 0, n -1. (26)

Оценим выражение, стоящее в правой части предыдущего равенства. Очевидно,

J4(k) =

n-1

~k 2

l=0

h(tk,T)x (t) d_ h -- n

-------=-----d t - h( Ik, tl) Xn (tl )ln

T + ^ '

tl+1 + tl

Il + tl

-Пт-1 r h(Ik,t)X*(T)-h(Ik,tl)x!(I,)

tk 2 J----------------=--------!— d T

l=0 д,

_n-1 p lh( Ik,T) - h( Ik, Il )l

< Ik 2J

x*(T)

l=0 Д,

T + Ik

T + Ik

_n-1f \щ, о )| dT+ Ik2 J ---------

l=0 Д,

<

x (T) - xn( Il)

T + Ik

d T< il.

na

Так как матрица в левой части системы (23) обратима и норма обратной матрицы оценивается в метрике пространства Rn с кубической нормой кон-1

, то справедлива оценка

стантой

|Л3( Л)\

x (Ik ) - xn (Ik )

<

C

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 3.2. Пусть выполнены следующие условия:

1) уравнение (20) при данной правой части имеет единственное решение x (I) е На, 0 <а< 1;

2) h(I,т) е Наа, /(I) е На ;

3) справедливо неравенство Л3 < -%, % > 0 .

Тогда система уравнений (21) однозначно разрешима и справедлива оценка

x (Ik) - xn(Ik)

<

C

n

29

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2

* * _ к 1 ------

где х (t) и xn (t) - решения уравнений (20) и (21), =—I-, к = 0, n —1.

n 2n

Вернемся к нелинейному уравнению Амбарцумяна (16).

Приближенное решение уравнения (16) будем искать методом механических квадратур.

n-1

Пусть xn (t) = 2 а к У к (t), где у к (t) - кусочно-постоянная функция,

к=0

введенная в предыдущем разделе. Коэффициенты {ак } , к = 0,n —1, находятся из системы нелинейных алгебраических уравнений

n—1

ак + hак 2 h(h, tl )alln

l=0

tl+1 + 1к tl + ~к

= f (tk ),

к = 0, n — 1.

(27)

Для решения системы (27) воспользуемся непрерывным операторным методом. Поставим системе алгебраических уравнений (27) систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

d а к (и)

du

= 1к (и)

n—1

ак (и) + ~как (и)£ к(~к, t )al (и) ln

l=0

4+1 + + —f (tk)

tl + ^

, (28)

а к (0) = а к, к = 0, n — 1.

Здесь у к (и), к = 0, n — 1, - функция, принимающая значения ±1, и такая, что кубическая логарифмическая норма производной Гато правой части системы уравнений (18) отрицательна.

Производная Гато левой части системы (27) на элементе B = (Р0,Рь...Рп—1) n-мерного пространства вектора Rn с кубической нормой

записывается в виде матрицы A = {a^ } , i, j = 0, n — 1, с элементами

n— 1

= 1 +12 h( tt )Pl ln

l=0

{l+1 + {i tl + ~i

+ tPiM ti, ti )ln

ti+1 + ti ti + ~i

i = 0, n — 1,

aij = tiPih( ti, tj)ln

t j+1 + {i

tj + fi

, i, j = 0, n — 1, i Ф j .

Замечание. Реализовать вычисление вектор-функции Г(и) = (y0(u), Y1(u),..., Yn—1 (и)) при каждом значении переменной и (0 < и ) представляется невозможным. Ниже будут указаны значения переменной и, при которых должна быть вычислена вектор-функция Г(и) при выполнении вычислений.

Для решения системы уравнений (28) может быть использован любой численный метод. Наиболее приемлемыми являются методы Эйлера и Рунге - Кутты.

30

University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences. 2021;2

Будем решать задачу Коши (28) методом Эйлера с шагом h > 0 :

a k (m +1) = а к (m) + +у к (m)

а к (m) + tk а к (m) х

п-1

х^ h( ~k, t )ai (m)ln

l=0

ti+1 + h - f (tk)

ti + ^

к = 0, n -1, m = 0,1,..

(29)

а к (0) = а к, к = 0, п -1.

Здесь вектор r(m) = (Yo(m),Y1(m),....yn-1(m)), m = 0,1,..., выбирается таким образом, чтобы логарифмическая норма матрицы A = {ац},

i, j = 0, п -1, где аи (m) = аиуг- (m), i = 0, п -1, ац (m) = ацу, (m), i, j = 0, п -1, i Ф j , m = 0,1,..., была отрицательной.

Можно показать, что при этих условиях при достаточно малом шаге h (h > 0 ) последовательность (29) сходится к решению системы (27).

Замечание. Вычисление производной Гато на каждом шаге итерационного процесса (29) является достаточно трудоемкой задачей. Поэтому, если

* *

известно, что уравнение (29) имеет единственное в шаре B(x , r) решение x

*

и начальное приближение Tq е B(x , r), то достаточно ограничиться вычислением вектор-функции r(m) только при m = 0 и положить r(m) =Г(0).

4. Вычислительные эксперименты

В данном разделе приводятся результаты вычислительного эксперимента. Исследуется уравнение

1

x(t) + Xtx(t) J

о

Ф)

T + t

d T = t2

+ Xt3

f 1 2. t +1 1

--t + t ln

12 t J

(30)

2

имеющее точное решение x(t) = t .

Это уравнение несколькими модификациями метода простой итерации решалось в работах [3, 6, 7] при 0 < X < 1 и при правой части, равной единице.

Ниже приведены результаты решения уравнения (30) вычислительной схемой (29) при различных значениях параметра X, 0 < X < 5, и при шаге h метода Эйлера, пробегавшем интервал (0,1].

На рис. 1 по оси абсцисс указаны значения X, по оси ординат - среднеквадратичная погрешность решения уравнения (30). На рис. 2 по оси абсцисс указаны значения h . Вычисления велись при X = 0,5.

Заключение

В статье построены и обоснованы приближенные методы решения уравнения Амбарцумяна. Предложенный метод построения и обоснования приближенных методов может быть распространен и на другие классы интегральных уравнений. Авторы планируют распространить этот метод на гиперсингулярное уравнение Амбарцумяна и систему уравнений Амбарцумяна.

31

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2

Рис. 1. Зависимость погрешности решения от значения Л

Рис. 2. Зависимость погрешности решения от значения параметра h Список литературы

1. Амбарцумян В. А. Научные труды. Ереван : Изд-во АН АрмССР, 1960. Т. 1. 428 с.

2. Амбарцумян В. А. Научные труды. Ереван : Изд-во АН АрмССР, 1960. Т. 2. 360 с.

3. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М. : Изд-во иностр. лит., 1953. 432 с.

4. Соболев В. В. Рассеяние света в атмосферах планет. М. : Наука, 1972. 335 с.

5. Иванов В. В. Перенос излучения и спектры небесных тел. М. : Наука, 1969. 472 с.

32

University proceedings. Volga region. Physics and mathematics sciences. 2021;2

6. Амбарцумян В. А. О рассеянии света атмосферами планет // Астрономический журнал. 1942. Т. 19, № 50. С. 30-47.

7. Амбарцумян В. А. К вопросу о диффузном отражении света мутной средой // Доклады Академии наук СССР. 1943. Т. 38, № 8. С. 257-279.

8. Енгибарян Н. Б., Арутюнян А. А. Интегральные уравнения на полупрямой с разностными ядрами и нелинейные функциональные уравнения // Математический сборник. 1975. Т. 97 (139), № 1 (5). С. 35-58.

9. Енгибарян Б. Н. Об уравнении свертки с положительным ядром, представленным через знакопеременную меру // Математические заметки. 2007. Т. 81, № 5. С. 693702. doi:https://doi.org/10.4213/mzm3712

10. Арабаджян Л. Г., Енгибарян Н. Б. Уравнения в свертках и нелинейные функциональные уравнения // Итоги науки и техники. Сер.: Матем. анализ. 1984. Т. 22. С. 175-244.

11. Аминов Р. Х., Габдулхаев Б. Г. Приближенное решение функционального уравнения Амбарцумяна // Доклады Академии наук СССР. 1989. Т. 304, № 2. С. 322-325.

12. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М. : Наука, 1978. 351 с.

13. Hadamard J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrody-namique. Herman, Paris, 1903. 320 p. (reprinted by Chelsea. New York, 1949).

14. Чикин Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений // Ученые записки Казанского государственного университета. 1953. Т. 113, кн. 10. С. 57-105.

15. Бойков И. В. Об одном непрерывном методе решения нелинейных операторных уравнений // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 9. С. 1308-1314.

16. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М. : Наука, 1970. 534 с.

17. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге - Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М. : Мир, 1988. 332 с.

18. Лозинский С. М. Замечание о статье В. С. Годлевского // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1973. Т. 13, № 2. С. 457-459.

19. Бойков И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений. Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. 316 с.

References

1. Ambartsumyan V.A. Nauchnye Trudy = Scientific proceedings. Erevan: Izd-vo AN ArmSSR, 1960;1:428. (In Russ.)

2. Ambartsumyan V.A. Nauchnye Trudy = Scientific proceedings. Erevan: Izd-vo AN ArmSSR, 1960;2:360. (In Russ.)

3. Chandrasekar S. Perenos luchistoy energii = Radiant energy transfer. Moscow: Izd-vo inostr. lit., 1953:432. (In Russ.)

4. Sobolev V.V. Rasseyanie sveta v atmosferakh planet = Scattering of light in the atmospheres of planets. Moscow: Nauka, 1972:335. (In Russ.)

5. Ivanov V.V. Perenos izlucheniya i spektry nebesnykh tel = Radiation transfer and spectra of celestial bodies. Moscow: Nauka, 1969:472. (In Russ.)

6. Ambartsumyan V.A. On the scattering of light by the atmospheres of the planets. Astro-nomicheskiy zhurnal = Astronomical journal. 1942;19(50):30-47. (In Russ.)

7. Ambartsumyan V.A. On the issue of diffuse reflection of light by a turbid medium. Doklady Akademii nauk SSSR = Reports of the Academy of Sciences of the USSR. 1943;38(8):257-279. (In Russ.)

8. Engibaryan N.B., Arutyunyan A.A. Integral equations on the half-line with difference kernels and nonlinear functional equations. Matematicheskiy sbornik = Mathematical collected papers. 1975;97(1):35-58. (In Russ.)

33

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2

9. Engibaryan B.N. Convolution equation with a positive kernel represented through an alternating measure. Matematicheskie zametki = Mathematical notes. 2007;81(5):693-702. (In Russ.). doi:https://doi.org/10.4213/mzm3712

10. Arabadzhyan L.G., Engibaryan N.B. Convolution equations and nonlinear functional equations. Itogi nauki i tekhniki. Ser.: Matem. analiz = Results of science and technology. Series: Mathematical analysis. 1984;22:175-244. (In Russ.)

11. Aminov R.Kh., Gabdulkhaev B.G. An approximate solution of the Ambartsumian’s functional equation. Doklady Akademii nauk SSSR = Reports of the Academy of Sciences of the USSR. 1989;304(2):322-325. (In Russ.)

12. Adamar Zh. Zadacha Koshi dlya lineynykh uravneniy s chastnymi proizvodnymi gi-perbolicheskogo tipa = Cauchy for the linear partial differential equations of hyperbolic type. Moscow: Nauka, 1978:351. (In Russ.)

13. Hadamard J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrody-namique. Herman; Paris, 1903:320.

14. Chikin L.A. Cauchy for linear partial differential equations of hyperbolic type. Uchenye zapiski Kazanskogo gosudarstvennogo universiteta = Proceedings of Kazan State University. 1953;113(10):57-105. (In Russ.)

15. Boykov I.V. A continuous method for solving nonlinear operator equations. Differentsi-al'nye uravneniya = Differential equations. 2012;48(9):1308-1314. (In Russ.)

16. Daletskiy Yu.L., Kreyn M.G. Ustoychivost' resheniy differentsial’nykh uravneniy v banakhovom prostranstve = The stability of solutions of differential equations in a Banach space. Moscow: Nauka, 1970:534. (In Russ.)

17. Dekker K., Verver Ya. Ustoychivost' metodov Runge - Kutty dlya zhestkikh neliney-nykh differentsial’nykh uravneniy = The stability of Runge - Kutta methods for stiff nonlinear differential equations. Moscow: Mir, 1988:332. (In Russ.)

18. Lozinskiy S.M. Remarks on the article by V. S. Godlevsky. Zhurnal vychislitel'noy ma-tematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of computational mathematics and mathematical physics. 1973;13(2):457-459. (In Russ.)

19. Boykov I.V. Priblizhennoe reshenie singulyarnykh integral'nykh uravneniy = An approximate solution of singular integral equations. Penza: Izd-vo PGU, 2004:316. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Илья Владимирович Бойков

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Il'ya V. Boykov

Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head

of the sub-department of higher and applied

mathematics, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Анастасия Александровна Шалдаева аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Anastasiya A. Shaldaeva Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию / Received 31.03.2021

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 15.04.2021 Принята к публикации / Accepted 20.04.2021

34