CC BY
12
УДК 519.714
М.С. Шуплецов1
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К СИНТЕЗУ ПРЕДИКАТНЫХ СХЕМ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ*
Исследуется асимптотическое поведение функции Шеннона L® (п) для сложности реализации предикатов от п переменных предикатными схемами в произвольном полном базисе 05. Вводится новое определение приведенного веса предиката как решения задачи линейного программирования специального вида, связанной с системой его так называемых обобщенных переменных. Получены новые более точные верхние оценки для L® (п) в ряде базисов на основе разложения исходного предиката с использованием универсальных систем предикатов, построенных для схем, состоящих из элементов базиса с минимальным приведенным весом.
Ключевые слова: схемы из предикатных элементов, сложность, функция Шеннона.
1. Введение. В данной работе рассматривается задача синтеза [1, 2] для специального класса управляющих систем — класса так называемых предикатных схем [3]. В ней содержится развернутое изложение и развитие результатов, связанных с техникой построения разложений по специальным системам обобщенных переменных (ОП). Данные конструкции позволяют существенно улучшить верхние оценки функции Шеннона для сложности предикатных схем в ряде базисов. Напомним, что в работах [3, 4] была получена асимптотика функции Шеннона для сложности предикатных схем в достаточно широком классе базисов, а в работе [5] для некоторых базисов специального вида были получены асимптотические оценки высокой степени точности на основе методов, разработанных С.А. Ложкиным в работе [6].
Предикатная схема представляет собой двудольный граф, у которого все вершины одной доли помечены предикатными символами соответствующих предикатных элементов, а вершины другой доли — символами внутренних и внешних переменных. Функционирование предикатного элемента с к полюсами задается его характеристической функцией от к переменных, связанных с этими полюсами (считается, что элемент находится в допустимом состоянии, если его характеристическая функция равна 1). Схема находится в допустимом состоянии на некотором наборе входных переменных тогда и только тогда, когда существует набор внутренних переменных, такой, что все предикатные элементы схемы будут находиться в допустимом состоянии. Соответствующий набор входных переменных будем называть допустимым.
Суперпозиция схем, как обычно, сводится к переименованию переменных, добавлению и изъятию переменных, а также к объединению схем с возможным отождествлением некоторых вершин, помеченных символами переменных, и соответствующим переименованием этих переменных.
1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: mikleshQshupletsov.ru
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-01-00817а.
В дальнейшем, если это не вызывает разночтений, мы не будем различать предикат и его характеристическую функцию и будем считать, что предикат ж(х,\,..., хп) существенно зависит от переменной Xi, если его характеристическая функция существенно зависит от переменной х%. Для произвольного полного [7] предикатного базиса 05 = где каждому предикату ж^, % = 1,... ,г,
с кг полюсами сопоставлено положительное число /.,. которое характеризует вес этого предиката, в данной работе специальным образом вводится понятие приведенного веса р® • При этом приведенный вес р(:7Гг), г = 1,... , г, произвольного базисного предиката определяется в результате решения задачи линейного программирования, построенной по системе ОП специального вида.
Пусть 1А\в — класс предикатных схем, построенных в базисе 25, а П2(п) — множество всех булевских предикатов от п переменных х\,..., хп. Тогда под сложностью предикатной схемы 1!, £ € в, понимается сумма весов ее предикатов, а под сложностью Ь<в(ф) предиката ф — минимальная из сложностей реализующих его схем. Введем обычным образом функцию Шеннона
Ъгв(п) = тах Ь<в(ф)
Феп2(п)
для класса относительно сложности Ь в базисе 25.
Основным результатом данной работы является следующее утверждение.
Теорема. Для произвольного полного базиса 05 справедлива следующая оценка:
2п ( МоЕп + Р(1)\ п \ п )
2. Обобщенные переменные и приведенный вес предикатов. Множество М. состоящее из г, 2 ^ г ^ п, переменных предиката тг(х1,... ,хп), назовем его обобщенной существенной переменной, если существует такой набор /3 значений остальных переменных предиката, подстановка которого вместо указанных переменных даст предикат ж', обладающий следующими свойствами:
1) 7г' недопустим хотя бы на одном наборе;
2) найдутся два противоположных набора а и а значений переменных из Л /. на которых предикат 7г' допустим.
При этом набор /3 будем называть определяющим, а наборы а и а — основными наборами ОП М предиката тт. Кроме того, недопустимый набор предиката ж', получающийся из некоторого основного набора инвертированием значения, отвечающего переменной х из множества М, будем называть блокируют,им. Из приведенных выше определений вытекает, что для любой переменной х обобщенной переменной М существует хотя бы один блокирующий набор. Обобщенную переменную М, \М\ = 2, будем называть простой.
Если один из элементов ОП М выбрать в качестве выходного полюса и считать, что предикат 7г моделирует некоторый функциональный элемент с возможными неопределенностями на выходе, то определение ОП расширяет определение обобщенной существенной переменной из работы [8].
Рассмотрим предикат ж(хо, х,\,..., хп) от (п+1) переменной и выделим некоторую переменную (не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что это переменная жо). Пусть У = (Ух,..., У^) — некоторое множество минимальных по включению ОП предиката ж, содержащих переменную жо, и А = (^1,...,6а) — набор переменных, где ] = 1,... соответствует ОП 1} и характеризует относительный вклад этой переменной. Тогда для рассматриваемого предиката ж, выделенной переменной жо и выбранного множества У сформулируем следующую задачу линейного программирования:
л
тах,
¿=1
й
^ау^ < 1, г = 1,... ,п, (1)
з=1
где ац = 1, если х^ € У--}, и ац = 0, в противном случае. Обозначим через А* (ж,хо,У) оптимальный набор (51,...,5^) значений переменных А, который получается в результате решения задачи (1), а
й
само значение максимума ^ 5* обозначим через 5*(ж,хо,У).
3 = 1
13 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
Переменную x,i предиката ж(х\,... ,хп) назовем дизъюнктивной, если существуют такие булевские константы ctj, j ф i, г = 1,..., п, что
1; ■ ■ ■ ! ®г —1; ®г+1; ■ ■ ■ ; ®п ) = 1-
Если у предиката существует хотя бы одна дизъюнктивная переменная, то такой предикат будем называть дизъюнктивным. Рассмотрим далее множество Y(:ir,Xi), г = 1,... , п, всех минимальных по включению ОП предиката 7Г, содержащих переменную ж*, и ¥(-7г,x,i) — множество всех подмножеств множества Y(tt, Xi). Пусть D{ix) — множество всех дизъюнктивных переменных предиката ж. Тогда определим приведенный вес р(-к) дизъюнктивного предиката ж следующим образом:
р{ж) = min min
xeD(w) У£¥(ir,x) 8*(lГ, X, Y)'
где L — вес предиката ж.
Рассмотрим множество в(ж) переменных предиката ж, входящих в хотя бы одну простую ОП. Тогда приведенный вес недизъюнктивного предиката ж, существенно зависящего от трех и более переменных и содержащего хотя бы одну простую ОП, определим следующим образом:
р{ж) = min min
хеЯ(тг) У£¥(7Г,ж), <5*(7Г, ж, У) — 1'
Й*(7Г,Ж,У)>1
Для всех остальных предикатов приведенный вес будем полагать равным бесконечности.
Определим операцию снятия входных полюсов для предикатов, которая заключается в замене некоторой входной переменной предиката на внутреннюю и переходу к предикату, зависящему от меньшего числа переменных. Тогда для произвольного полного предикатного базиса 25 построим множество В, которое содержит все предикаты, получающиеся из множества 25 при помощи операции снятия полюсов (включая все предикаты множества 25). Приведенным весом р® базиса 25 назовем следующую величину:
р<в = ттр(тг).
7Г£В
Лемма 1. Произвольный полный предикатный базис 25 имеет конечный приведенный вес р®.
Доказательство. Покажем, что множество В, построенное для базиса 25, содержит хотя бы один предикат с конечным приведенным весом. Из критерия полноты [7] вытекает, что базис 25 содержит предикат ж, который не сохраняет следующую функцию алгебры логики (ФАЛ):
т(ж1,ж2,ж3) = Ж1Ж2 V х2х3 V Ж3Ж1.
Так как ФАЛ т(ж1,ж2,жз) сохраняет все предикаты, существенно зависящие от двух переменных, и все предикаты, допустимые на двух и менее наборах, то предикат ж существенно зависит от трех и более переменных и допустим на трех и более наборах. Перебором нетрудно показать, что в случае, когда предикат ж зависит ровно от трех переменных, его приведенный вес конечен. Предположим, что любой предикат 7г; зависящим от к; к > 3, переменных, имеет конечный приведенный вес. Рассмотрим произвольный предикат ж от (к + 1) переменной и некоторый недопустимый набор а этого предиката, получающийся из некоторых допустимых наборов покомпонентным применением ФАЛ т(х 1,ж2,жз). Возможны следующие два случая.
Пусть в рассматриваемом предикате найдется два различных допустимых набора, которые получаются из набора а инвертированием одной переменной. Тогда приведенный вес такого предиката конечен, так как у него есть хотя бы две различные ОП, причем одна из них простая. В случае, когда такой пары наборов нет, среди переменных предиката можно найти некоторую переменную. При этом набор, получающийся из набора а в результате снятия этой переменной, будет недопустимым. Следовательно, получившийся предикат не сохраняет ФАЛ т(ж1,ж2,жз) и по предположению индукции имеет конечный приведенный вес.
Лемма доказана.
Следствие. Приведенный вес произвольного полного предикатного базиса 25 достигается либо на дизъюнктивном предикате, либо на недизъюнктивном предикате, существенно зависящем от трех и более переменных и содержащем хотя бы одну простую ОП.
3. Синтез на основе обобщенных переменных. Повторим несколько определений из работы [5]. Пусть /(ж1,... ,х„) — произвольная ФАЛ от п переменных и г](г,х\,... ,х„) — предикат от (п + 1) переменной. Тогда г] моделирует /, если
... ,хп) = г ~ /(хи .. .,хп).
Пусть к{х\,..., хп) — ФАЛ от п переменных, а г){х, х\,..., хп) — предикат от (п+1) переменной. Тогда пара = (к, г]) слабо моделирует функцию /, если для любого набора а € Вп значений переменных XI,... ,хп и характеристической функции предиката г] выполняется одно из следующих равенств:
Хг,^,а) =/(а) ф г ф к(а) или х-п(^,а) =/(а) У (г ^ к(а)).
При этом функцию к будем называть сигнальной функцией моделирования Пусть Р2(п) — множество всех ФАЛ от п переменных х\,...,хп. Тогда множество ФАЛ О, О С Р2(т), называется (р-универсальным множеством (ср-УМ) порядка т и ранга р, если существует такая сигнальная ФАЛ к{х,\,... ,хт) от т переменных, что для любой ФАЛ /(х\,... ,хт) из Р2(т) существуют ФАЛ
91-, ■ ■ ■ 9р £ & и предикат г], для которых пара (к, г]) слабо моделирует ФАЛ / и верно равенство
р
ф,хъ .. ,,хт) = (ЗУ)ср(г,уг,... ,ур) Д (уг ~ дг(хъ .. .,хт)), (2)
где У = {ух,..., ур]. Г=1
Лемма 2. Пусть р(у,х\,... ,хр) — произвольный предикат от (р + 1) переменной иУ = = (У\,... ,У(1) — некоторое множество минимальных по включению ОП предиката р, содержащих переменную у. Пусть ..., г^ — целые числа, удовлетворяющие условию г\ + .. ^ 2™. Тогда существует <р-УМ О порядка т и рангар, такое, что |С?| ^ 231 + .. .+23", где Si = ^ г^, г = 1,... ,р,
з-х^еУ,
и существует система предикатов 0, модел,ируюш,их все функции О, которая может быть реализована предикатной схемой Т,д в базисе 25 со сложностью не больше, чем с® |С?| + 0{й ■ 2т+8/2), где 5 = тах .$1 и сав — константа, зависящая от базиса 25.
Доказательство. Разобьем куб Вт на подмножества (полосы) 81,... ,8а, состоящие из наборов с подряд идущими номерами и обладающими тем свойством, что номер любого набора из предшествующего подмножества меньше, чем номер любого набора из последующего подмножества. Указанное разбиение выберем так, чтобы мощность полосы 8:1 была равна г^, ] = При этом суммар-
й
ная мощность всех полос равна ^ гз ^ 2™, следовательно, куб Вт будет полностью покрываться
з=1
данными полосами.
Зафиксируем определяющие наборы (3\,..., (За ОП ..., У^ соответственно, и пусть /3®, х^ ^ г = 1,... ,р, — значение, которое принимает переменная х^ в определяющем наборе ¡3Рассмотрим при каждом г, г = 1 ,...,р, множество О^ всех функций, принимающих значение /3* на полосе 8:1, если Жг ^ 1}, и принимающих произвольные значения в противном случае. При этом выполняются следующие равенства:
\вг\= П = = / I.....р.
З-ХгеУ,
По определению, для каждой ОП У^, ] = 1,... найдется такая константа а^ и пара основных наборов аз и а,], что хотя бы для одного из этих наборов существует блокирующий набор в котором переменная у принимает значение а у Пусть к{х,\,..., хт) — ФАЛ, которая на всех наборах компоненты 8,], $ = I,... принимает значение о:1. Покажем, что множество О = и ... и Ор является ¡^-УМ. Пусть / € Р2(т) — произвольная функция. Рассмотрим предикат г](г,
Х\, ..., хт ), получающийся при
помощи суперпозиции (2), и выберем функции дг € Ог, г = 1 ,...,р, так, что на наборе 7 € Вт, принадлежащем полосе 8:1, 3 = 1 эта функция принимает значение /(7) Ф о:1 Ф где —
значение переменной хг в наборе г/,-. Тогда по построению множества О для любого набора 7 € Вт, принадлежащего полосе 8j, j = I,..., с1, ж предикатов г] ж р> верны следующие представления:
17(2,7) = ¥>(2,Ы7),...,5р(7)),
ф,д1(7),...,дРШ € {/(7)У(гФ%)),/(7)ФгФМт)}. Следовательно, на произвольном наборе куба Вт пара {к, г]) слабо моделирует ФАЛ /.
В работе [6] показана возможность реализации системы ФАЛ в классе схем из функциональных элементов при помощи метода каскадов со сложностью, не превосходящей с\С\ + й ■ 2т+3!2, где с — некоторая константа. Используя метод каскадов для модели предикатных схем [5], можно построить схему Ид для системы предикатов 0 со сложностью не больше, чем с® |С?| + й ■ 2т+3!2. Лемма доказана.
Рассмотрим дизъюнктивный предикат ср(х\,х2, ■ ■ ■,Хк), к ^ 2, и, не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что первая переменная является дизъюнктивной. Тогда возьмем р предикатов 9?(жгд,..., ж^), г = 1,... ,р, и построим предикат ф(у, • • • , ж^, ■ ■ ■ ■ • • • -,хр,ь)-, который получается в результате следующей суперпозиции:
Ф(У, XI,2, • • • , ..., Жр,2, • • • , Жр7к) = Д (р(у, Жг)2, • • • , Ж*,*),
г=1
где у — символ переменной, которая приписывается полюсу, получающемуся после отождествления первых полюсов всех предикатов (р. Предикат ф будем называть ср-дизъюнктивной звездой порядка р, а полюс, отвечающий отождествленным стокам, и соответствующую ему переменную у — центральным полюсом и центральной переменной соответственно.
Пусть £(ж1, жг, • • •, ж/;), к ^ 3, — недизъюнктивный предикат с хотя бы одной простой ОП. Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что переменные х\ и жг предиката £ образуют простую ОП. Тогда возьмем р предикатов ..., ж^), г = 1 ,...,р, и построим предикат г, ж^з,..., ж^,..., жР)з,..., жР)/;), который получается в результате следующей суперпозиции:
С ('Уч ж1,3; • • • ; Х1 ,кч ■ ■ ■ ч хр, 3; • • • ; хр,к) = р — 1
= (ЗТ)С(у,«1,Ж1)3, . . . ,Ж1,*) • ( Д • • . ,Жг)/г) . . . ,ЖР)/г),
4=2 '
где Т = {¿1,... ,1р-1}. Предикат С будем называть цепным предикатом порядка р, а переменную г и отвечающий ей полюс — корневой переменной и корневым полюсом соответственно.
Лемма 3. Пусть (р(х,\,жг, • • •,Х)~), к ^ 2, — произвольный дизъюнктивный предикат, Ф {у-, х\,2-, ■ ■ ■ 1 х\,к", ■ ■ ■ %р,2-, ■ ■ ■ 1 хр— Ч>-дизъюнктивная звезда порядка р и У = (У\, ..., У^) — некоторое множество минимальных по включению ОП предиката (р, содержащих переменную х\. Пусть, кроме того, — положительные вещественные числа, удовлетворяющие услови-
а
ям ^ г2 ^ 1, г = 1,..., к, и г* = гз- Тогда для любого положительного в, в ^ 2™, существует з-х^еУ, э=\
ф-УМ порядка т и ранга р(к — 1), такое, что |С?| ^ ср23, где р = и с = с(к) — константа,
зависящая только от к.
Доказательство. Так как предикат ф построен изр копий предиката (р, то, используя множество У, построим множество Уф = (У±,... ,..., У[,..., У^) ОП предиката ф, где У? — ОП 1} € У г-ш копии предиката (р, в которой переменная х,\ заменяется на переменную у. Зафиксируем некоторое я и определим целые числа г^- = [г^з], г = 1,... ,р, ] = 1,... При этом выполняются следующие неравенства:
Р й й й
Л Л гьз =рТ1 М =
г=1 3 = 1 3 = 1 .? = 1
Пусть
8>1>з = ^ ^ гг + тахтах ^^ + с(к),
где 'I = 1,... ,р ш ] = 2,... ,к. Тогда по лемме 2 построим ф-УМ О порядка т и рангар(к — 1). Оценим мощность этого множества:
Р к
2^ ^ р2<к\к - 1)28 = с{к)р28.
г=13=2
Лемма доказана.
Доказательство следующей леммы проводится аналогичным образом.
Лемма 4. Пусть £,{х\,х2, ■ ■ ■ ,Хк), к ^ 3, — недизъюнктивный предикат с хотя бы одной простой ОП, С (у, г,
■ ■ ■ ; ■ ■ ■ , Хр^З, ■ ■ ■ , Хр^к ) — С-цепной предикат порядка р иУ = (Ух,... ,УА) —
яг*
8Г* > 2Г'
некоторое множество минимальных по включению ОП предиката содержащих переменную х\. Пусть, кроме того, — положительные вещественные числа, удовлетворяющие условиям
й
г^ 1, г = 1,... ,к, и г* = ^ гз- Тогда для любого положительного в, в ^ 2т, существует
З: Хг&Г] 3 = 1
С,-УМ О порядкат и ранга р(к — 2), такое, что |С?| ^ ср28, гдер = зависящая только от к.
s(r*~ 1)
и с = с(к) — константа,
4. Верхние оценки функции Шеннона для сложности предикатных схем. Докажем сформулированную во введении теорему.
Доказательство. Рассмотрим разложение предиката ф(х\,... ,хп) по части его переменных:
ф(х',х") = (3г)(3¥)<3п_г(г,х",уа,...,у2п-г_1)(г ~ ]г(х')) Д щ,, (у„((7»),ж') , (3)
о-" = (а>+1,...,о-п)
где У = {уо,... ,у2п-г_1), х' = (ж1,...,жг), х" = (хг+1,... ,х„), и для всех о" € Вп~г пара (к, Т]а") слабо моделирует характеристическую функцию так называемого остаточного предиката ф^(х') = ф(х',а").
Из следствия леммы 1 вытекает, что для доказательства теоремы необходимо рассмотреть только два случая: либо приведенный вес базиса достигается на дизъюнктивном предикате, либо — на недизъюнктивном предикате от трех и более переменных с хотя бы одной простой ОП. Пусть ср(х..., х— дизъюнктивный предикат, вес которого равен Ь и на котором достигается приведенный вес базиса 25. По определению приведенного веса дизъюнктивного предиката ср существует некоторая переменная (не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что это переменная Ж1) и множество ОП У, для которых ^
У) =Р(7Г)' ^
Тогда, используя этот предикат, построим 7г-проводящую звезду
Ф(Х1,Х 1,2, • • • , х1<к, ..., Хр,2, • • • , хр>к)
порядка р, где р =
sS*(tt х1 y) И s — параметр, значение которого будет определено далее. Для
предиката ф и набора положительных вещественных чисел А*(тг,xi,Y) по лемме 3 существует ф-УМ G порядка г и ранга р(к — 1), такое, что |G| ^ cp2s. Тогда для получения всех остаточных предикатов г)аи, а" € И" ' . в представлении (3) необходимо соответствующим образом соединить 2п~г проводящих звезд ф со схемой Sg, которая моделирует все функции ф-УМ G.
Оценим сложность схемы Иф, получаемой на основе разложения (3) с использованием ф-УМ G. Пусть Hq, и Иф — подсхемы, реализующие предикатный мультиплексор, предикат, моделирующий сигнальную функцию h, и проводящие звезды ф (их 2п~г) соответственно. Из работы [3] вытекает, что функция Шеннона Lgs(n) имеет порядок Тогда схему Х^ можно построить со сложностью ^ с«в^г, где c$g — константа, зависящая от базиса. Кроме того, в этой работе приводится схема для предикатного мультиплексора, построенная на основе контактного дерева. Тогда для подсхемы Sq и для подсхемы по построению выполняются следующие неравенства:
L*(SQKci2п~г, Ьъ{Т1ф)^рЬ2п~г. (5)
По лемме 2 подсхема Sg может быть реализована со сложностью, не превосходящей c«sp2s + О (p2r+i). Определим параметры s ж г следующим образом:
s = \п — 3 log п~], r=|~21ogn~|. (6)
Тогда, используя неравенства (5) и равенства (4), (6), для сложности всей схемы получим следующие неравенства:
т ъп / 9Г \
L^ « + * (2""г + V+"r) + 0(р2'+1> <
, + О (П < (i + .
I) - ■> log п \пг J п \ п )
Доказательство в случае, когда приведенный вес базиса достигается на недизъюнктивном предикате 7г(ж1,ж2, • • • ,Xk), к ^ 3, с хотя бы одной ОП мощности 2, проводится аналогичным образом.
Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лу панов О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
2. Shannon С. Е. The synthethis of two-terminal switching circuits // Bell Syst. Techn. J. 1949. 28. N 1. P. 59-98.
3. Ложкин С. А., Шуппецов M. С. Асимптотические оценки высокой степени точности для сложности предикатных схем из одного класса // Материалы XVI Международной школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем". М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2006. С. 72-77.
4. Шуплецов М. С. Асимптотика функции Шеннона для сложности предикатных схем в некоторых базисах с элементами блочного типа // Материалы XVII Международной школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем". Новосибирск: Изд-во ин-та математики, 2008. С. 196-201.
5. Шуплецов М. С. Оценки высокой степени точности для сложности предикатных схем в некоторых базисах // Ученые записки Казанского университета. Сер. Физ.-матем. науки. 2009. 151. Кн. 2. С. 173-184.
6. Ложкин С. А. Оценки высокой степени точности для сложности управляющих систем из некоторых классов // Матем. вопросы киберн. Вып. 6. М.: Наука; Физматлит, 1996. С. 189-214.
7. Боднарчук В.Г., Калужнин Л. А., Котов В.Н., Ромов Б. А. Теория Галуа для алгебр Поста // Кибернетика. 1969. № 3. С. 1-10; № 5. С. 1-9.
8. Долгополова A.B. Задача синтеза и проблемы полноты для одного класса схем из функциональных элементов, связанных с электронными схемами // Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М., 2003.
Поступила в редакцию 17.03.10
ON SYNTHESIS OF PREDICATE CIRCUITS ON THE BASIS OF GENERALIZED VARIABLES
Shupletsov M. S.
Asymptotic behavior of the Shannon's function L<g(n) is investigated for complexity of n-variable predicate implementation with the use of predicate circuits over arbitrary basis 05. A novel definition of predicate's reduced weight is introduced, regarding it as a solution of a specific linear programming problem based on a system of its generalized variables. More accurate upper bounds for L® (n) are acquired by the means of special decompositions of initial predicates, using universal sets build for circuits, which consist only of elements with minimal reduced weight.
Keywords: predicate circuits, complexity, Shannon's function.
