CC BY
7
В.В. К а й з е р
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА ГРАССМАНОВОМ
МНОГООБРАЗИИ (III)
С помощью аналитического аппарата [1] выделены специальные неголоном-ные конгруэнции и доказаны соответствующие результаты, сформулированные в 1-ой части работы [2].
УДК 512.7
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ПОСТРОЕНИЮ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ С БОЛЬШИМ ЧИСЛОМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Ю.С.К а с а т к и н а
(Калининградский государственный университет)
В настоящей работе ставится задача построения алгебраических кривых с большим числом рациональных точек, опираясь лишь на обобщенные веса Хем-минга подкодов малой размерности. Рассмотрен пример, иллюстрирующий метод построения кривых, исходя из подкодов малых размерностей.
Вопрос построения алгебраических кривых с большим числом рациональ-
__и и т-\
ных точек актуален как с теоретической, так и с практической точек зрения. В теории кодирования, например, такие кривые дают возможность построения кодов с хорошими характеристиками. Наличие большого числа рациональных точек на эллиптической кривой также значительно улучшает параметры криптосистемы. Для получения таких кривых используются различные подходы. Классический подход А.Вейля основан на расширении поля констант функционального поля. М.А.Цфасман и С.Г.Владут использовали для построения кодов так называемые модулярные кривые; F.Torres рассматривает этот вопрос с позиции алгебраической геометрии. Сравнительно недавно G.Geer и M.Vlugt [1] предложили новый подход к построению кривых с большим числом рациональных точек. Он основан на знании иерархии весов кода [2] и конструкции следов кодов [3], [4]. Однако, в общем случае, определение обобщенного веса Хемминга, следовательно, и весовой иерархии кода достаточно сложная задача. Распределение весов известно лишь для некоторых классов кодов.
Рассмотрим подробнее метод, предложенный в работе [1]. Пусть Fq - конечное поле, состоящее из q = рт элементов. Известно, что применяя отображение следа, можно коду C над полем Fq поставить в соответствие код над Fp , который называется следом кода C и обозначается Tr(C). Рассмотрим конечномерное над Fq подпространство L поля рациональных функций Fq(x). Обозначим Р - множе-
ство рациональных над Fq точек проективной прямой Р!(^ ), которые являются
полюсами для функций из L. Таким образом, код над полем Fq можно записать в виде:
С={ - р : f е Ь }.
Тогда след кода ^^ является кодом над полем Fp:
тад = {cf = Ж^х)^^- р: f е X}.
Рассмотрим г-мерный подкод D кода Tr(C). Элементам базиса е^ этого подкода соответствуют элементы £ е L, 1 < i < г . Определим г-мерное подпространство
пространства L над Fp (обозначим его LD), порожденное элементами . Со-
поставим кодовому слову кривую Артина-Шрайера С с аффинным уравнением yp - у = ^(х).
Пусть ф :СГ ^ P1 -отображение, задаваемое включением ^(х) с ^(х,у). Рассмотрим кривую С(0), которая является нормализацией расслоенного произведения кривых С над Р1(^). Известна формула [1] для определения веса подкода D:
W(D) = П-^Ч^)- XРв<®УРГ ,
QеP
где = сИш^ {f е ^ : f - регулярна в точке Q}. Очевидно, что количество рациональных точек на кривой зависит от веса подкода D. Естественным образом можно предположить, что на подкодах малых весов будут получаться кривые с большим числом рациональных точек.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий вышеизложенный метод. Пусть Г(Ь, £(х)) - классический код Гоппы, где Ь = ^, х) = х2 + х +1. Тогда Г(Ь, х)) -
код длины п = 8 над полем F2 . Известно [4], что код, дуальный к данному, можно представить как след. Обозначим:
F = ^ (х) -поле рациональных функций;
р -нуль элемента (х - а), а е Ь, 1 < I < 8;
О -дивизор поля рациональных функций ^ (х), О = р + ... + р; Р -полюс элемента х в поле рациональных функций ^ (х); О0 -дивизор нулей элемента g (х). Тогда Г(Ь, g(х))1 = ТгО (V), где V -векторное пространство, ассоциированное с дивизором (О0 - Рш):
V = {/(х) = : Н(х) е ^ [х] , ¿евН(х) < 1}. g(x) 8
Нетрудно показать, что элементы ——, —— 1абаф6^6 базис векторного про-
g(x) g(x)
странства V . С другой стороны, дуальный код Г(Ь, g(х))1 является кодом длины п = 8 размерности к = 2 над полем F2. Выпишем все его кодовые слова:
(0,0,0,0,0,0,0,0); (1,1,0,0,0,0,0,0); (0,0,1,1,0,1,1,0); (1,1,1,1,0,1,1,0).
Получаем f (х) = —^ = —-. Рассмотрим кривую Артина-Шрайера Cf, за-
Рассмотрим всевозможные одномерные подкоды кода T(L, g(х))±. Первый обобщенный вес Хемминга (в данном случае он равен двум) достигается на под-коде
D={(0,0A0A0A0);(UA0A0,0,0)}. Найдем элемент f eV, который соответствует элементу базиса подкода D. Иначе говоря, такой элемент, который удовлетворяет соотношению:
(1,1,0,0,0,0,0,0) = (Tr (f (р )),..., Tr(f (Pn))).
1 __1
g( х) х2 + х + 1
даваемую аффинным уравнением y2 - y = f (х). Подсчитаем количество рациональных точек кривой Cf. Над каждой точкой р из носителя дивизора D, для которой выполняется Tr (f (р)) = 0, лежат две различные точки степени один. В данном случае таких точекр шесть.
Для подсчета количества рациональных точек, лежащих над точкой р, воспользуемся теоремой Куммера [3]. Получим, что над точкой р на кривой Cf лежат две различные рациональные точки. Таким образом, на кривой Cf лежат четырнадцать рациональных точек. Тем самым получена кривая над F рода
один с четырнадцатью рациональными точками. При этом использовались лишь одномерные подкоды. По данным таблицы [5] на кривой рода один над полем F максимально возможное число рациональных точек равно четырнадцати, т.е.
достигнуто максимальное значение.
Библиографический список
1. Geer G., Vlugt M. Fibre Products of Artin-Schreier cuvers and Generalized Hamming weight of codes // Journal of Combinatorial Theory. 1995. V.70. P.337-348.
2. Wei V.K. Generalized Hemming Weights of Linear Codes // IEEE Trans. Inform. 1991. V.37. P.1412-1418.
3. StichtenothH. Algebraic Function fields and Codes. Springer. 1993. 260 р.
4. Stichtenoth H., Voss V. Generalized Hemming Weights of Trace Codes // IEEE Trans. Inform. 1994. V.40. P.554-558.
5. Geer G., VlugtM. Tables for the function Nq(g). http://www.wins. uva.nl/~geer.
J.S. K a s a t k i n a
ABOUT THE APPROACH TO THE CONSTRUCTION OF ALGEBRAIC CURVES WITH MANY RATIONAL POINTS
The problem of the construction of algebraic curves with many rational points, starting from generalized Hemming weight of subcodes, is discussed in this article. The example, which illustrates the method of construction this curves, is considered here.
