CC BY
6
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
www.volsu.ru
001: https://doi.Org/10.15688/mpcm.jvolsu.2019.3.2
УДК 512.77 Дата поступления статьи: 01.03.2019
ББК 22.147 Дата принятия статьи: 10.06.2019
АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ ПОДКОДОВ МАЛОГО ВЕСА ОДНОГО КЛАССА РАЦИОНАЛЬНЫХ КОДОВ ГОППЫ
Юлия Сергеевна Касаткина
Преподаватель кафедры экономики и информационных технологий, Западный филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы
ул. Артиллерийская, 18, 236016 г. Калининград, Российская Федерация
Анна Сергеевна Касаткина
Преподаватель кафедры экономики и информационных технологий, Западный филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы
ул. Артиллерийская, 18, 236016 г. Калининград, Российская Федерация
Аннотация. Сужение на простое подполе одного класса рациональных кодов Гоппы приводит к классическим кодам Гоппы. В работе исследуется структура подкодов малого веса таких рациональных кодов. Получено описание, в терминах дивизоров, элементов, порождающих подкоды малого веса.
Ключевые слова: геометрический код Гоппы, обобщенный вес кода, весовая иерархия, подкод наименьшего веса.
Понятия обобщенный вес Хемминга и весовая иерархия линейного кода введены Вэем для характеристики поведения кода в каналах II типа. С другой стороны, если рассматривать линейный код как проективную систему, а минимальное расстояние кода описывать через максимальное число точек, лежащих в гиперплоскости, то проблема построения весовой иерархии равносильна вопросу о максимальном числе точек системы, лежащих в подпространстве коразмерности большей, чем единица. Весовые иерархии некоторых семейств кодов, например, кодов Рида —Маллера, кодов Голея, БЧХ-кодов, кодов Гоппы, уже изучены.
В данной работе исследуется структура подкодов малого веса одного класса рациональных кодов Гоппы. Вопрос нахождения таких подкодов возникает при конструировании кривых с большим числом рациональных точек [1;2]. Кроме того, задача нахождения кодовых слов наименьшего веса тесно связана с проблемами декодирования.
о
см
с'
КЗ Ж К X н яз о
ТО «
Ü
КЗ Ж К X н
КЗ о
КЗ ©
Мы рассматриваем геометрические коды Гоппы Съ(И,С) ассоциированные с дивизорами И и С поля рациональных функций (ж). Такие коды называются рациональными кодами Гоппы. Как обычно, предполагаем, что дивизор И является суммой различных точек степени один И = Р\ + ... + Рп и носители дивизоров И и С не пересекаются.
Напомним, что в рациональном поле (ж)/Рд нет других точек, кроме и Рр(ж), где р(х) — неприводимый многочлен из кольца многочленов Рд[ж]. Единственными рациональными точками поля Р(1(х)/Р(1 являются точки Роо и Р(ж_а), где а — элемент конечного поля . Таким образом, в поле рациональных функций (ж)/Рд имеется всего д +1 рациональная точка.
Код Гоппы Съ(И,С) является образом пространства Ь(С) при линейном отображении
evD : ^ p„n, / ^ (/(Pi),..., /(Рп))•
Если степень дивизора G меньше п, то отображение : ¿(G) ^ Cl(D,G) является инъекцией. Кроме того, для рационального кода Гоппы Cl(D,G) длины п, размерности к и с минимальным расстоянием d выполняется:
1. п < q + 1.
2. /с = 0 cleg G < 0 и к = п cleg G > п - 2.
3. Если 0 < clegG < п, то к = 1 + clegG и с/ = n — clegG.
4. Если {^1 ,...,жп} базис пространства ¿(G), тогда матрица
М =
/ ^i(Pi) m(Р2) ... m(Pn)
\ a;fc(Pi) жь(Р2) ... жь(Р„) является порождающей матрицей кода Cl(D,G) [3].
Опишем конструкцию одного вида рациональных кодов Гоппы. Этот класс кодов имеет тесную связь с классическими кодами Гоппы.
Пусть L некоторое подмножество мощности п конечного поля Fq™
L = {oil, •••, <х-п} ^ Fqm, \L\ = п.
Многочлен д(х) е Fqm[x] степени t, такой, что 1 < t < п — 1 и g(oci) ^ 0 для всех Oii Е L. Обозначим р - нуль элемента (х — ос-,) для всех ос,; G L. Дивизор Dl есть сумма точек степени один
Dl = Pi + Р2 + ... + Рп.
Положим Pqo — полюс элемента х поля рациональных функций Fqm(x). Дивизор нулей элемента д(ж) будем обозначать G0 G Div (F9™ (^)/F9m).
Рассмотрим рациональный код Гоппы Cl(Dl,Gq — Роо). Длина этого кода равна п, размерность
к = 1 + cleg G = l + (t-l)=t
и минимальное расстояние
с/ = п — cleg G = п — t + 1.
Элементы поля рациональных функций д(х)~г, хд(х)~г, ..., xt~1g(x)~1 принадлежат пространству L(Gq — Poo)- Размерность этого векторного пространства равна t. Таким образом, элементы {х:'д(х)~1}0<J<i_1 образуют базис пространства L(Gq — Poo), & порождающая матрица рационально кода Гоппы Cl(Dl,Go — Poo) имеет вид:
/ д(<х i)-1 д(<х2)-1 ■ ■ ■ g(oin)-1 \ cxit/(cxi)_1 а25'(а2)~1 ... оспд(осп)-1
V ^(«I)-1 oi^gM'1 ... oc^giocn)-1 у
Весовая иерархия кода Cl(Dl,Go — Poo), то есть набор обобщенных весов Хем-минга, определяется по формуле [4]:
dr(CL(DL, G0 - Poo)) = п, - к + г, где 1 < г < к.
В работе исследуется структура подкодов кода Cl(Dl,Gq — Poo), носители которых \ удовлетворяют условию
1x1 = dr{CL{DL)Go — Poo))-
Пусть Dr — /'-мерный подкод кода Gl{Dl,Gq — Poo), обладающий наименьшим весом. Код Dr порождается г кодовыми словами evo(fi), ■ ■ ■, ev£>(fr), где ..., /,. - линейно независимые над полем Fqm элементы пространства ассоциированного с дивизором Go — — Poo- Условие = dr(G>L(DL,Go —Роо)) определяет структуру главных дивизоров
Ш
ш = D + Д; - (Go - Poo), 1<г< г. При этом дивизоры D и Bi такие, что
О < D < Dl, clegD = t-r
и
Bi > 0, cleg Bi = r — 1 для 1 < г < г.
Заметим, что в конструкции дивизоров Bi возможно использование рациональных точек.
Рассмотрим, в качестве примера, рациональный код Гоппы Gl{Dl,Gq — Poo) над конечным полем Р2?.. Дивизор Dl = Pai + Ра.2 + ... + Рап состоит из рациональных точек Pai = Р(Х_Щ), ос,. G L для всех 1 < г < п. Множество L совпадает с полем Р2?.. В качестве многочлена д(х) выберем многочлен х5 + х2 + 1. Таким образом, получим рациональный код Гоппы Gl(Dl,Gq — Poo) длины 8, размерности бис минимальным расстоянием 4. Порождающая матрица этого кода имеет вид
1 1 а6 ос5 ос3 а3 ос5 ос6 \
0 1 1 1 ос6 1 ос3 ОС5
0 1 а ос2 ос2 а4 а ос4
0 1 а2 ос4 ос5 а ос6 ОС3
1° 1 а3 ос6 а а5 ос4 ос2 /
Одномерный подкод наименьшего веса порождается элементом еурь (/) таким, что
или
(/) = P*n + Р*г2 + Р*гз + Р*.ч - (Go - Poo), где Р^ е supp(DL), 1 < j < clegР
(x - ОСг1)(х - OCi2)(x - ОСгл)(х - 0Ci4)'
(/) =
Если D = Р0 + Pi + Pa + Pa2, то одномерный подкод Pi порождается кодовым словом минимального веса
с= (0,0,0,0, сс5, а, а2, а5).
Заметим, что число кодовых слов минимального веса для разделимого кода с максимальным расстоянием, определенного над полем Fq, равно (q — 1 )Cfr В нашем случае таких кодовых слов 490.
Второй обобщенный вес кода Cl(Dl,Gq — Р») равен пяти. Двумерный подкод, носитель которого удовлетворяет условию |\(Р2)| = c/2(Cl(Pl, G0 — Р»)) порождается элементами
(/•) = Р + Вг - {Go - Poo), 1 < г < 2. При этом дивизоры Р и Pj такие, что
0 < Р < Dl, clegР = 3
и
Вг > 0, cleg Вг = 1 для 1 < г < 2. Если дивизоры P,Pi, P2 такие, что
Р = Р0 + Р + Рл, Pi = Ра2, Р2 = Раз, то двумерный подкод наименьшего веса порождается векторами
ci = (0, 0, 0, 0, а5, а, а2, а5) с2 = (0, 0, 0, а, 0, а6, а, а2).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Касаткина, Ю. С. Анализ рода кривой, соответствующей подкоду наименьшего веса рационального кода Гоппы / Ю. С. Касаткина, А. С. Касаткина // Вестник Волгоградского
2. Касаткина, Ю. С. О конструкции кривой, соответствующей подкоду наименьшего веса рационального кода Гоппы / Ю. С. Касаткина, А. С. Касаткина // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2016. — № 4
4. Yang, К. On the weight hierarchy of geometric Goppa Codes / K. Yang, P. V. Kumar,
REFERENCES
1. Kasatkina Yu.S., Kasatkina A.S. Analiz roda krivoy, sootvetstvuyushchey podkodu naimenshego vesa ratsionalnogo koda Goppy [On the Genus of the Curve Corresponding to the Subcode of Low Weight of a Rational Goppa Code]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstuennogo uniuersiteta. Seriya 1, Matematika, Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2014, no. 4 (23), pp. 6-10. DOI: 10.15688/jvolsu1.2014.4.1.
2. Kasatkina Yu.S., Kasatkina A.S. O konstruktsii krivoy, sootvetstvuyushchey podkodu naimenshego vesa ratsionalnogo koda Goppy [On the Genus of the Curve Corresponding to the Subcode of Low Weight of a Rational Goppa Code]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstuennogo uniuersiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics], 2016, no. 4 (35), pp. 75-83. DOI: 10.15688/jvolsu1.2016.4.5.
3. Stichtenoth H. Algebraic Function Fields and Codes. Berlin, Heidelberg, SpringerVerlag, 2009. XIV+360 p. DOI: 10.1007/978-3-540-76878-4.
4. Yang K., Kumar P.V., Stichtenoth H. On the Weight Hierarchy of Geometric Goppa Codes. IEEE Trans. Inform. Theory, 1994, vol. 40, no. 3, pp. 913—920.
ON THE CONSTUCTION OF SUBCODES OF LOW WEIGHT OF A RATIONAL GOPPA CODE
Yuliya Sergeevna Kasatkina
Lecturer, Department of Economics and Information Technology,
RANEPA (west branch)
ul. Artilleriyskaya, 18, 236016 Kaliningrad, Russian Federation
Anna Sergeevna Kasatkina
Lecturer, Department of Economics and Information Technology,
RANEPA (west branch)
ul. Artilleriyskaya, 18, 236016 Kaliningrad, Russian Federation
Abstract. We consider the class of rational Goppa codes which is closely related to classical Goppa codes. In this paper, we study structure of subcodes of low weight of such rational Goppa codes. Firstly, we review some properties of rational Goppa codes. Finally, we analyze, in the term of divisors, construction of subcodes of low weight. Our analysis is based on the knowledge of weight hierarchy of codes.
Key words: geometric Goppa code, generalized Hemming weight of the code, weight hierarchy, subcode of low weight.
