Об одном подходе к моделированию отскока упругой шайбы от гладкой абсолютно жесткой поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

УДК 517.9

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ ОТСКОКА

УПРУГОЙ ШАЙБЫ ОТ ГЛАДКОЙ АБСОЛЮТНО ЖЕСТКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

© 2007 г. А. С. Ефимов 1, О.А. Моренов 1,

А.Ю. Петров 2

1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2 Санкт-Петербургский университет информационных технологий, механики и оптики

vefimov@rol.ru

Поступила в редакцию 27.12.2006

Рассматривается задача моделирования малых деформаций упругой шайбы при ударе о гладкую абсолютно жесткую поверхность. Приводится численное решение задачи с помощью метода конечных разностей, а также алгоритм определения зоны контакта тела с поверхностью. Представлена моделирующая программная система для расчета и визуализации деформаций.

Введение

В последнее время широкое распространение получили экономичные разностные схемы, адаптированные для решения линейных задач теории упругости за разумное время. Однако область их применения серьезно ограничена. В частности, большие трудности вызывает построение экономичных схем для динамических задач теории упругости со смешанными граничными условиями. Построение эффективных схем решения подобных задач представляет определенный практический интерес, особенно при необходимости разработки моделирующей программной системы реального времени.

Разностная схема

Опишем разностную схему для решения имеющейся плоской динамической задачи теории упругости, сопряженной с решением задачи определения зоны контакта упругого и жесткого тел, при следующих допущениях:

— плоская шайба представляет собой математическую модель линейно упругой изотропной среды;

— до соударения шайба свободно падает в однородном поле силы тяжести с фиксированной высоты Н без начальной скорости;

— поверхность, с которой происходит соударение, является абсолютно жесткой и гладкой;

— в задаче рассматриваются только малые деформации.

В этих условиях для описания динамики упругого тела воспользуемся уравнениями Ламе [1]:

Р

э 2и

э 2и

Э12

— Ьі+(Я+2т) —2г+

эи (Я ) эV

+ + (Я + т)

э V

рТ~у — Ь2 + (Я + 2т)

э^2 э V

+ +(Я + т)

эх2

эхэу э V

(1)

эу2

+

э 2и эхэу

где и, V - проекции вектора перемещения на координатные оси Ох и Оу соответственно, Ь1, Ь2 - проекции плотности объемных сил на координатные оси, р - плотность материала,

- коэффициенты Ламе. Поскольку в задаче учитывается только одна объемная сила

- сила тяжести, то Ь1 = 0, Ь2 =— р g , где g -ускорение свободного падения.

Конечно-разностный аналог системы (1) на прямоугольной сетке с равным шагом по пространственным координатам и

фиксированным шагом по времени можно записать в виде неявной трехслойной симметричной разностной схемы с весами / и ‘/2 [2]:

Р

ик — 2ик—1 + ик—2

тп тп тп

= [(Я + 2^ )Л+ тЛуу ] *

Ґ к к—2 ^

ик + и 2

тп тп

+ [(Я + т )л ху ]*

к к-2 ук + ук 2

тп тп

Р

ук — 2ук 1 + ук 2

V тп тп 1 у тп

(2)

— — рё + [(Я + 2т )луу + тЛ XX ] *

к

ук

к—2 ^

+ У

тп у тп

+ [(Я + т )л ху ]*

к

ик

к—2 + ик—2 тп тп

и тп, утп — значения функций и и V

где

соответственно в узле сетки (т , п) на слое к по

времени, Л хх, Л77 — центральные

трехточечные операторы вторых производных

по координатам х и у соответственно, Л^ —

центральный четырехточечный оператор второй смешанной производной. В квадратных скобках в системе (2) записаны обобщенные конечноразностные операторы, за знаком * стоит выражение, к которому указанные операторы применяются. Сетка строится в области, ограниченной квадратом, описанным вокруг шайбы в момент ее касания поверхности.

Разностная схема (2) имеет погрешность

0(т2, И2 + И2) и устойчива независимо от размера шагов по пространству и времени в силу соответствующего выбора весов. Особенностью применения указанной разностной схемы при решении поставленной задачи является необходимость решения задачи определения множества контактных узлов на каждом временном слое, что вносит в задачу элементы нелинейности, которые могут приводить к неустойчивости.

В качестве граничных условий задачи рассматриваются смешанные граничные условия. В точках границы области, не касающихся поверхности, рассматриваются граничные условия свободной поверхности [1]:

I ^11п1 + 0 12 п2

I &21п1 + 022 п2

: 0 = 0:

(3)

где п = (п1,п2) — нормаль к поверхности в заданной точке, <Г11, С12, С21, С22 —

компоненты тензора напряжений. В точках границы, касающихся поверхности, задаются кинематические граничные условия, [1]:

и = 0, V = 0 . (4)

Дополнительную сложность вносит необходимость записи граничных условий в узлах сетки, покрывающей область с криволинейной границей, которая изменяется на каждом временном слое в силу деформации шайбы. Вместе с тем граничные условия (3) записываются только в узлах сетки, не имеющих полного шаблона для аппроксимации системы (1), т. е. в приграничных узлах сетки.

Для выражения этих граничных условий в конечных разностях используем обобщенный закон Гука [1] теории упругости и выразим компоненты напряжений через компоненты деформации:

011 Я (Є11 + Є 22 ) + 2тЄ11, 022 — Я (Є11 + Є 22 ) + 22 ’ °12 — 2 12.

(5)

Поскольку

эи

е11

эх ’

эу_

эУ

эи эуч

", , е22 ". , Є12 2 ( ^ + ", ) , (6)

эу эх

то в операторном виде граничные условия свободной поверхности принимают вид:

Л

X

;[п! (я+2 т)

)итп + п2 тУ тп ]+

+ ЛУ * \а2тиїіп + п1Яуїіп]— 0 ,

Л

X

’ [п2Яи»ги + п1тУтп ]+

(7)

+ Лу *

\а1тикіп + п2(Я + 2т)утп]— 0 .

Анализ возможных вариантов расположения точек сетки и криволинейной границы привел к рассмотрению девяти различных шаблонов для записи (7), каждый из которых имеет необходимое количество точек для обеспечения второго порядка аппроксимации условий (3) по пространственным координатам.

Решение задачи определения множества контактных узлов

2

2

2

2

*

2

2

Для определения узлов сетки, в которых записываются кинематические граничные условия (4) (множество таких контактных узлов обозначим С), требуется знать положение и форму границы шайбы на каждом временном слое. Границу шайбы можно представлять в виде множества точек О пересечения границы с направляющими сетки. Эти точки можно упорядочить по обходу границы по часовой стрелке. После расчета перемещений во внутренних узлах сетки в соответствии с разностной схемой (2) производится линейная экстраполяция рассчитанных перемещений в точках множества О. На их основе вычисляются новые положения точек множества О на данном

шаге по времени - множество О . Для получения полной формы деформированной границы на

основе множества О строятся два независимых

параметрических кубических сплайна 8 х (г) и

Бу ().

Алгоритм определения множества контактных узлов С состоит из двух последовательных фаз и начинает свою работу сразу после вычисления множества О.

Алгоритм определения точек, добавляемых в множество С

В процессе обхода множества (О обнуляются отрицательные у-координаты точек, затем рассчитывается величина максимального «провала» границы сквозь поверхность (МахБаП) на основе сплайнов

8х (г) и 8у (г).

По рассчитанным значениям перемещений в узлах сетки в соответствии с (2) рассчитываются их новые положения по формулам:

Лк+1

yk+l = ук. + vk .

У 1J У 11 11

(8)

ij

ij

Алгоритм определения точек, удаляемых из множества С

Обходим множество С. Если узел был добавлен в множество С на текущем шаге по времени, то он не удаляется из него.

Если узел был добавлен в С на предыдущих шагах по времени, то в нем рассчитывается проекция силы поверхностного напряжения на ось Оу:

■ S2ini + S 22 П2 •

(9)

Если в процессе обхода множества всех

к +1 ^ г\

узлов сетки у^ < 0, то:

• Укг] +1= Укг] +1 + МахБаП;

• этот узел добавляется в С;

• обходим соседние узлы сетки, при необходимости меняя используемые в них шаблоны так, чтобы узел сетки, ставший контактной точкой, был в них включен.

ЕСЛИ Капр >0, то сила, действующая на

точку, стремится оторвать ее от поверхности, и, следовательно, этот узел необходимо удалить из множества С • Если РНапр <0, то узел не удаляется из множества С .

Моделирующая программная система

На основе приведенного подхода была разработана программная система для моделирования процесса деформации упругой шайбы при ударе об абсолютно твердую гладкую поверхность. Настоящая система способна проводить расчет и визуализацию деформаций в режиме реального времени. Характер деформаций шайбы, наблюдаемых при моделировании с помощью разработанной системы, близок к деформациям, которые можно наблюдать при проведении реального эксперимента.

Экспериментально установлено, что существует достаточно широкий диапазон параметров сетки, при которых разностная схема является устойчивой: при числе

сегментов разбиения области по пространству от 10 до 50 и шаге по времени от 0,0002 до 0,01. В качестве материалов шайбы рассматривались твердая и мягкая резины, пластик и сталь.

Поскольку в процессе послойных расчетов в соответствии с разностной схемой (2) на каждом временном слое приходится решать систему линейных алгебраических уравнений большой размерности (порядка 2000*2000), то данная разработка была использована для сравнения производительности математических библиотек Intel® MKL и ATLAS и была принята компанией Intel в качестве демонстрационного приложения для показа преимуществ библиотеки Intel® MKL при решении последовательности систем линейных алгебраических уравнений больших

размерностей.

Полнофункциональная версия

рассматриваемой программной системы

свободно доступна с сайта разработчиков по адресу: http://user.rol.ru/~vefimov/demo.zip.

Заключение

В данной работе задача моделирования малых деформаций упругой шайбы при ударе о гладкую абсолютно жесткую поверхность формализована в виде динамической плоской задачи теории упругости со смешанными граничными условиями, изменяющимися во времени. Как вариант решения предложены конечно-разностная схема и алгоритм определения множества контактных узлов. Экспериментальные результаты показывают, что данный подход позволяет получить правдоподобные деформации, проводя все вычисления и анимацию процесса деформирования в реальном времени.

Работа выполнена в рамках учебно-иссле- Список литературы

довательской лаборатории «Информационные

технологии» факультета ВМК ННГУ. 1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые избранные

задачи математической теории упругости. М., 1966.

AN APPROACH TO MODELING AN IMPACT OF AN ELASTIC DISK ON A SMOOTH ABSOLUTELY RIGID SURFACE

A.S. Efimov, OA. Moryonov, A. Yu. Petrov

We consider the problem of modeling small deformations of an elastic disk upon its impact to a smooth absolutely rigid surface. A numerical solution of the problem by the finite-difference method and the algorithm for determination of the body-surface contact area are given. The simulation code for the calculation and imaging of the deformations is presented.

707 с.

2. Власова Е.А., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 700 с.