CC BY
55
Совместное использование дискретного и континуального методов для моделирования процессов деформации и разрушения в области
контактного взаимодействия
А.Ю. Смолин, Ю.П. Стефанов, С.Г. Псахье
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе представлен новый подход к моделированию поведения материалов, в котором исследуемый объект представляется состоящим из областей двух типов, описываемых в рамках дискретного и континуального подходов. Дискретные области среды моделируются методом подвижных клеточных автоматов, континуальные — конечно-разностным методом. Результаты расчетов показали возможность и перспективность применения предложенного подхода для решения задач, связанных с изучением процессов деформации и разрушения в области контактного взаимодействия, а также поведения твердых тел в зонах больших деформаций.
Combined discrete-continual method for simulation of deformation and fracture in the contact zone
A.Yu. Smolin, Yu.P. Stefanov, and S.G. Psakhie
The paper presents an approach to the simulation of material behavior where an object under study is considered to consist of parts of two types described by discrete and continual approaches. The discrete parts of the medium are modeled by the movable cellular automaton method and the continuum ones are described by solving the continuum mechanics equations by a finite-difference method. The results obtained allow us to conclude that the combined approach holds much promise for solving the problems related with numerical study of the behavior of complex media with marked differences in physical and mechanical properties.
1. Введение
В ряду важнейших задач современной вычислительной механики стоит проблема описания процессов в областях развития больших деформаций, нередко сопровождающихся нарушением сплошности и перемешиванием вещества. Решение данной задачи предполагает различную детальность описания процесса деформации в отдельных областях деформируемого тела. Данная задача актуальна для изучения особенностей поведения материала в зонах локализации деформации, разрушения, а также контактного взаимодействия. Использование численных методов континуальной механики для описания таких процессов наталкивается на почти непреодолимые сложности. Лагранжево представление движения при численном моделировании плохо описывает большие сдвиговые деформации и не позволяет описать интенсивные вихревые деформации и перемешивание масс. С этой целью используются алгоритмы перестройки сетки, что редко позволяет существенно продолжить расчет и продвинуться в описании развития деформации, а также приводит к потере точности реше-
ния. Использование эйлерового подхода затрудняет описание движения конкретных обьемов вещества.
В то же время, дискретные методы позволяют явно моделировать процессы, связанные с перемешиванием масс. Они развивались главным образом для исследования гранулированных и сыпучих сред [1-4], где в качестве основных элементов выступают частицы. По этой причине в большинстве работ используются уравнения движения, характерные для метода частиц [4], а силы взаимодействия вычисляются в рамках моделей жестких или мягких сфер. Однако этот формализм не позволяет корректно описывать поведение сплошных изотропных сред. Свободным от данного недостатка является метод подвижных клеточных автоматов (метод МСА) [5-9], основным достоинством которого является возможность описывать как поведение сплошных сред, так и эффекты перемешивания масс, включая формирование несплошностей различного типа. В [7] показано, что при стремлении характерного размера автомата к нулю формализм метода позволяет перейти к соотношениям механики сплошной среды. Это создает
© Смолин А.Ю., Стефанов Ю.П., Псахье С.Г., 2004
предпосылки для совместного использования дискретного и континуального подходов в рамках единой расчетной методики, что позволяет объединить их преимущества для решения задач, связанных с моделированием сложных объектов, где явно выделяются зоны интенсивных деформаций и разрушения.
В работах [10, 11] была предложена и протестирована методика комбинированного использования метода МСА и численного метода, основанного на континуальном подходе [12]. Был рассмотрен случай, когда шаг сетки совпадал с размером автоматов, а деформации материала были только упругими.
В настоящей работе данная методика распространена на случай, когда шаг сетки превышает размер частиц дискретной области. Заметим, что использование автоматов меньшего размера позволяет с большей точностью описывать особенности деформации в заданной области, при этом эффективно использовать вычислительные ресурсы. На примере задач о пластической деформации и разрушении при контактном взаимодействии тел, представляющих теоретический и практический интерес, проиллюстрированы возможности предложенного метода.
2. Методика расчета
Для совмещения дискретного и континуального подходов использованы тщательно протестированные и апробированные программы численного моделирования поведения твердых тел под действием различного типа нагрузок, реализующие дискретный метод МСА [5-9] и метод [13-17], построенный на основе конечно-разностной аппроксимации [12].
Остановимся на вопросах, касающихся совмещения методов для случая, когда размеры дискретных автоматов значительно меньше размера ячеек расчетной сетки.
Пусть среда состоит из континуальной (GRID) и дискретной (MCA) областей (рис. 1). Как и в работе [10], будем считать, что автоматы неразрывно связаны с границей совмещения областей, однако при этом не будем вводить ограничений на их движение вдоль этой границы.
Для корректного описания совместного поведения континуальной и дискретной областей необходимо обеспечить непрерывность параметров состояния при переходе через границу совмещения. Согласование движения обеспечивается на этапе расчета скорости граничных узлов. Для этого на границе сопряжения конечно-разностное уравнение движения для этих узлов было записано в виде, позволяющем учесть все силы, действующие на граничные узлы, в том числе со стороны граничных автоматов.
Рассмотрим особенности расчета сил, действующих со стороны дискретной области, которые необходимы
Рис. 1. Схема сопряжения континуальной и дискретной областей
для вычисления скоростей узлов расчетной сетки на границе сопряжения, а также движение автоматов, лежащих на указанной границе.
1. Для каждого из автоматов п, лежащих на границе совмещения, определяем номер соответствующей граничной ячейки I (рис. 1). Затем рассчитываем весовой множитель а 1п как отношение расстояния между автоматом п и правым узлом j ячейки к длине границы:
^п = ((хп _ Х] )2 + (Уп _ У] Э2)1^
г =((X] _ X]-1)2 +(У] _ У]_1)2)1/2.
Для всех < Г вычисляем весовой множитель
а 1п = Щп/п .
2. В предположении линейности каждого участка границы, силы F, действующие на узел сетки со стороны автоматов, определяем суммированием сил f со стороны всех автоматов, лежащих на смежных (слева и справа) граничных ячейках, с соответствующими весовыми множителями ап:
Fj = Е fnа ln + Е fn (1 - а l+1 n )•
Определив таким образом силы, действующие со стороны дискретной области, можно вычислить скорости движения узлов сетки согласно уравнениям движения, как это сделано в [10].
3. После расчета скоростей и] и координат всех узлов расчетной сетки, лежащих на границе сопряжения, определяем скорости соответствующих автоматов и п путем линейной интерполяции:
Рис. 3. Результаты моделирования горизонтального смещения предварительно вдавленного штампа в пластичную среду с пластичным (а) и хрупким (б) покрытиями
Рис. 2. Поле скоростей в области вдавливания штампа в начале развития пластического течения (а); расчетная сетка для континуальной области и структура межавтоматных связей для дискретной области при вдавливании штампа в пластичную среду с пластичным (б) и хрупким пористым (в) покрытиями
и п =а 1п и ] + (1 _а 1п )и ]_1-
Координаты данных автоматов определяются аналогичным образом.
3. Результаты расчетов
Развитая в данной работе методика была протестирована на задачах о распространении упругих волн в полубесконечной среде, подобно тому, как это сделано в работе [10]. Результаты показали, что уменьшение размеров автоматов в 10 раз не приводит к искажению волновой картины процесса, что свидетельствует о корректной передаче импульса на границе сопряжения.
Следующим этапом было решение задачи о вдавливании упругого штампа в упругопластическую среду, верхняя часть которой — покрытие — описывалась методом МСА, а нижняя — континуальным сеточным методом. Подобным образом был описан и штамп: его нижняя контактная часть описывалась в рамках диск-
ретного подхода МСА. В области контакта предполагалось скольжение без трения.
На рис. 2, а, б показаны результаты расчетов для случая, когда механические характеристики покрытия соответствовали упругопластическим свойствам основного материала. Отличие такого покрытия от основы заключается лишь в методе его описания. В этом случае пластическая деформация начинает развиваться от углов более жесткого штампа в глубину (рис. 2, б). Штамп с острыми углами «врезается» в пластичный материал покрытия. Лишь на более поздней стадии развития деформации полосы локализации, проникнув в континуальную область основного материала, выйдут на поверхность [17]. В случае хрупкого пористого покрытия под штампом происходит его дробление, связи между автоматами нарушаются. Последующее разрушение развивается от области вдавливания вдоль поверхности раздела с материалом основы (рис. 2, в).
На рис. 3 показаны результаты моделирования для задачи, когда после некоторого вдавливания штамп перемещался горизонтально, срезая покрытие. В этом случае пластическая деформация в покрытии является более интенсивной, что приводит к частичному разрушению материала непосредственно под штампом, в этом месте поверхность материала перестает быть гладкой. Непосредственно за штампом на свободной поверхности образуется небольшая каверна, а перед ним наплыв (рис. 3, а). В случае хрупкого пористого покрытия разрушение достигает основы лишь в области первоначального вдавливания. После начала горизонтального движения покрытие начинает расслаиваться, полностью разрушается только верхний слой (рис. 3, б).
Преимущество такого способа описания для решения рассмотренных задач состоит в возможности более детального описания процесса деформации в контактной области, в первую очередь, вблизи угловых точек штампа, где развиваются большие деформации. Кроме того, применение предложенного подхода позволяет численно описывать процессы деформации с учетом контактного взаимодействия поверхностей, в том числе и при множественном трещинообразовании, что является чрезвычайно сложной проблемой при использовании традиционных конечно-разностных и конечноэлементных подходов.
4. Заключение
Предложен метод комбинированного использования дискретного и континуального подходов численного моделирования для описания больших деформаций и разрушения твердых тел. Разработана методика совмещения методов для произвольного соотношения размеров дискретных частиц (подвижных клеточных автоматов) и пространственного шага расчетной сетки континуального (конечно-разностного) метода.
С использованием разработанного алгоритма совмещения методов рассмотрен ряд задач о взаимодействии упругого штампа с упругопластическим и хрупким слоями материала. Полученные результаты показали перспективность предложенного подхода для численного исследования процессов деформации и разрушения в областях контактного взаимодействия твердых тел.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 01-05-64482), Гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ № НШ-2324.2003.1, Программы фундаментальных исследований Отделения энергетики, машиностроения, механики и процессов управления РАН № 3.12 (проект № 5), Федеральной целевой научно-технической программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития науки и техники» на 2002-2006 гг. (гос. контракт № 41.002.11.2424 от 31 января 2002 г.), проекта 13.12 Программы фундаментальных исследований Президиума РАН, проекта 6.5.2 Программы специализированных отделений РАН.
Литература
1. CundallP.A., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies // Geotechnique. - 1979. - V. 1. - No. 29. - P. 47-65.
2. LudingS. Granular materials under vibration: Simulation of rotating spheres // Phys. Rev. E. - 1995. - V. 52. - No. 4. - P. 4442^457.
3. Walton O.R. Numerical simulation of inclined chute flows of monodis-perse, inelastic, friction spheres // Mechanics of Materials. - 1993a. -No. 16. - P. 239-247.
4. Herrmann H.J., Luding S. Modeling granular media on the computer // Continuum Mech. Thermodyn. - 1998. - No. 10. - P. 189-231.
5. Псахъе С.Г, Хори Я., Коростелев С.Ю., Смолин И.Ю., Дмитриев А.И., Шилъко Е.В., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент для моделирования в рамках физической мезомеханики // Изв. вузов. Физика. - 1995. - Вып. 38. -№ 11. - С. 58-69.
6. Псахъе С.Г., Коростелев С.Ю., Смолин А.Ю., Дмитриев А.И., Шилъко Е.В., МоисеенкоД.Д., Татаринцев Е.М., Алексеев С.В. Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент физической мезомеханики материалов // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. -№ 1. - С. 95-108.
7. Псахъе С.Г, ЧертовМ.А., Шилъко Е.В. Интерпретация параметров
метода подвижных клеточных автоматов на основе перехода к континуальному описанию // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - №3.-С. 93-96.
8. Psakhie S.G., Horie Y, Ostermeyer G.P., Korostelev S.Yu., Smolin A.Yu.,
Shilko E.V., Dmitriev A.I., Blatnik S., Spegel M., Zavsek S. Movable cellular automata method for simulating materials with mesostructure // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - 2001. - V. 37. -Nos. 1-3. - P. 311-334.
9. Псахъе С.Г, Моисеенко Д.Д., Смолин А.Ю., Шилъко Е.В., Дмитри-
ев А.И. Исследование особенностей разрушения хрупких керамических покрытий на основе метода подвижных клеточных автоматов // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 2. - С. 95-100.
10. Псахъе С.Г, Смолин А.Ю., СтефановЮ.П., Макаров П.В., Шилъко Е.В., Чертов М.А., Евтушенко Е.П. Моделирование поведения сложных сред на основе комбинированного дискретно-континуального подхода // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 6. - С. 11-21.
11. ПсахъеС.Г, СмолинА.Ю., СтефановЮ.П., МакаровП.В., Чертов М.А. Моделирование поведения сложных сред на основе совместного использования дискретного и континуального подходов // Письма в ЖТФ. - 2004. - Т. 30. - Вып. 17. - С. 7-13.
12. УилкинсМ.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. - С. 212-263.
13. Stefanov Y.P., Makarov P. V, Burkov P. V, Matveev VS. Dynamic simulation of chip generation and formation in metal cutting // Theor. and Appl. Frac. Mech. - 1997. - V. 28/2. - P. 117-124.
14. Stefanov Yu.P. Wave dynamics of cracks and multiple contact surface interaction // Theor. and Appl. Frac. Mech. - 2000. - V. 34/2. - P. 101108.
15. Стефанов Ю.П., Смолин И.Ю. Численное исследование деформации и образования трещин в плоских образцах с покрытиями // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 6. - С. 35-43.
16. Стефанов Ю.П. Локализация деформации и разрушение в геоматериалах. Численное моделирование // Физ. мезомех. - 2002. -Т.5. - №5. - С. 107-118.
17. Stefanov Yu.P. Numerical modelling of strain localization and fracture in brittle-plastic materials / Eds. by G.C. Sih, Th.B. Kermanidis and Sp.G. Pantelakis // Proceedings of Sixth International Conference for Mesomechanics “Multiscaling in Applied Science and Emerging Technology. Fundamentals and Applications in Mesomechanics”, Patras, Greece, May 31 - June 4, 2004. - Patras: Patras University, 2004. -P. 321-327.
