CC BY
22
СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕХАНИКИ, ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА И ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ГОРНОМ ДЕЛЕ
PRESENT-DAY PROBLEMS OF GEOMECHANICS, MINING PRACTICE AND INNOVATION TECHNOLOGIES
IN MINING ENGINEERING
УДК 624.121:550.3
А.П.ГОСПОДАРИКОВ, д-р техн. наук, профессор, М.В.МАКСИМЕНКО, аспирант, mig_sab@rambler.ru
Национальный минерально-сырьевой университет «Горный», Санкт-Петербург
A.P.GOSPODARIKOV, Dr. in eng. sc..,professor, M.V.MAKSIMENKO,post-graduate student, mig_sab@rambler.ru National Mineral Resources University (University of Mines), Saint Petersburg
ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОГО ХАРАКТЕРА ПРОЦЕССА ИХ ДЕФОРМИРОВАНИЯ
Рассмотрена нелинейная краевая задача об исследовании напряженно-деформированного состояния (НДС) массива горных пород вокруг одиночной горизонтальной протяженной выработки. Предложен алгоритм определения основных параметров НДС горного массива, включающий комплекс вычислительных методов.
Ключевые слова: физическая нелинейность, метод линеаризации Ньютона - Рафсона.
THE METHOD OF ANALYSIS STRESS-AND-STRAIN STATE OF A ROCK MASSIF WITH REGARD TO NONLINEAR CHARACTER
OF STRAINING PROCESS
The nonlinear problem of analysis of the stress-and-strain state of rock massif is discussed. The numerical algorithm analysis of the stress-strain state of a massif, which includes a set of computational methods, is suggested.
Key words: physical nonlinearity, Newton - Raphson linearization method.
В связи с переходом подземных горных работ в основных угольных бассейнах страны на более глубокие горизонты значительно ухудшаются горно-геологические условия разработки пластов. На глубоких шах-
тах значительно увеличиваются расходы на ремонт, перекрепление подготовительных выработок, усложняются мероприятия по борьбе с опасными проявлениями горного давления, что в конечном итоге приводит к
134 -
ISSN 0135-3500. Записки Горного института. Т.197
значительному росту смещении горных пород вокруг выработок [1]. Поэтому, традиционные методы охраны объектов от вредных влияний горных работ в современных условиях все чаще становятся или неэффективными, или вовсе неприемлемыми. С практической точки зрения очень важно иметь представление о реальном распределении компонент тензоров напряжений и деформаций, а также вектора перемещений в массивах пород при наличии горных выработок различного назначения и очертания, целиков, с учетом выработанного пространства и т.д.
Получение аналитических решений в таких случаях ограничено, как правило, выбором простой физической модели среды (сплошная, изотропная и однородная) в рамках применимости линейного закона Гука и формой выработки (круглая). Математическое моделирование неоднородного породного массива, ослабленного одной или несколькими подземными выработками сложного очертания, а также учет нелинейного характера процесса деформирования горных пород, предполагает использование эффективных численных методов.
Проведение выработки с физической точки зрения представляет собой образование некоторой пространственной полости в массиве горных пород. Анализ геометрических параметров рассматриваемого объекта приводит к тому, что граничные поверхности последнего представляют собой многосвязные области, учет которых приводит к существенному усложнению процедуры нахождения решения рассматриваемой задачи. Установлено, что для выработок, располагающихся на достаточно большой глубине Н, погрешность от замены реальных граничных условий (земная поверхность) на задачу с односвязным контуром (отверстие в тяжелой плоскости) быстро убывает с увеличением глубины залегания последних [1].
В работе принята физическая модель нелинейно-упругой среды (нелинейная связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций). Начальное поле напряжений в массиве горных пород формируется под действием гравитационных сил.
Отметим также, что для случая одиночной протяженной горизонтальной выработ-
ки, у которой длина во много раз превышает два других характерных размера (высоту и ширину), пространственная задача по определению основных параметров НДС массива горных пород может быть сведена к плоской.
Далее, учитывая, что фактическое влияние выработки на породный массив является локальным, а также тот факт, что если глубина заложения выработки Н превышает десять радиусов выработки и более, собственный вес горных пород учитывается приложением распределенной нагрузки интенсивностью уН к границам исследуемой невесомой области (С.Г.Михлин).
Таким образом, математическая постановка плоской деформации массива горных пород, включающих выработку, сводится к следующему: рассматривается система разрешающих дифференциальных уравнений в частных производных, описывающие физически нелинейную деформацию массива, дополненную надлежащими граничными условиями. Рассматриваемую двумерную нелинейную краевую задачу запишем в единой векторной форме, удобной для изложения разработанного алгоритма численного решения. Введем в рассмотрение вектор-функции:
а =
а х в х
а— ; в = в—
Т V х— в V х— у
; и =
и
V v У
Нелинейная краевая двумерная задача содержит восемь уравнений: два уравнения равновесия, три уравнения Коши (соотношения между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещений), а также три уравнения, устанавливающие соотношения между компонентами тензоров напряжений и деформаций (в рамках принятого нелинейного физического закона). Тогда матричная запись разрешающих уравнений примет вид:
Ат а = 0; в = Аи; а = Св, где А - дифференциальный оператор,
(1)
А =
(д Л
дх
о д—
д—
_д_
V д— дх у
матрица С определяется из нелинейных физических соотношений между компонентами тензоров напряжений и деформаций на основе кривой деформирования а - 8. В частности, в работе используется закон, предложенный Бахом, связь между напряжениями и деформациями представлена в виде
степенной зависимости аг- = Б^?', где Б' (' = 1,2,3) - коэффициенты деформирования, полученные экспериментальным путем, аг < 1 [2].
Граничные условия, заданные в перемещениях на контуре выработки Ь и на границе области Г, имеют вид
u = uT
u = ur
(2)
Л/Л
где uL =
ur =
V ^L J
V vrj
Итак, исследование НДС массива горных пород, включающего выработку, сводится к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений (1) в частных производных при одновременном удовлетворении граничных условий (2) на контуре выработки и на границе рассматриваемой области.
В области 0 = X х У, X е [0; а], У е [0; Ь] ищутся вектор-функции основных
V (х, у) =
и дополнительных
^ х >
О,,
ху
u
V V J
W ( х, у ) =
\У ху J
неизвестных, которые всюду в области О удовлетворяют системе т дифференциальных уравнений в частных производных:
А V = £(V,Ж,х,у),х е (0,а),у е (0,Ъ), (3)
где А - дифференциальный оператор: 136
Га
дх
A =
— 0 —
0 0 0 0
а
ду
а
ду дх
0 0 0
0 0 0
0 0
а
дх 0
0 0
0
д ду д
g (V , W, х, у) =
д_ _ ду дх
Г 0 Л 0
8 х
s у
Т
V ху
и ассоциированной с (3) системе р трансцендентных уравнений [3]:
f (V, W, х, у) = 0,
г
где f (V ,W, х, у) =
(4)
BlSx1 Л х
^2 у
ВУху -Т ху ,
Граничные условия задаются некоторой системой уравнений общего вида:
D (Vl V) = 0.
(5)
Отметим, что в рассматриваемой постановке исходной задачи т = 5, р = 3.
Рассмотрим нелинейное операторное уравнение, соответствующее системам (3)-(5) Т(ю) = 0. Под ю понимается вектор-
функция ю (х, у) = [V (х, у), Ж (х, у)]т , компоненты которой представляют собой непрерывные вместе с первыми частными производными ограниченные функции, заданные в области О.
Оператор Т(ю), символизирующий дифференциальный оператор А (3) и левые части (4) и (5), является дифференцируемым по Фреше нелинейным оператором в банаховом пространстве Е.
Используя метод линеаризации Ньютона - Канторовича, представим операторное уравнение в виде:
ISSN 0135-3500. Записки Горного института. Т.197
8
|Ti(co)co + Г2(ю) = 0;
1 T1(®) = TL(®Х т2(ю) = T И" TL (®К
где Т^ - производная Фреше нелинейного
оператора Т(ю).
Вводя индексы итерации п, п-1 в уравнение метода линеаризации (6), приходим к соотношению при каждом п = 1, 2,...:
т; (соп )соп + Т(соп-1) - т; (соп )соп-1 = 0.
Применяя метод линеаризации Ньютона - Канторовича к краевой задаче (3)-(5), получим:
АУ = G1(V ,¥, х, у)У +
+ G2 (V, ¥, х, у)¥ + ^ (V, ¥, х, -);
F1 (V, ¥, х, у) У + F2 (V, ¥, х, - )¥ + + ¿(У ,¥, х, у) = 0;
Ъ V у) = о.
Отметим, что, как правило, граничные условия, записанные в перемещениях, на контуре выработки Ь и на границе области Г описываются системой линейных алгебраических уравнений вида (5).
Окончательно, итерационный процесс метода линеаризации Ньютона - Канторовича запишется в виде
А Уп = Glп-1Vn + G2n-1¥п + £1п-1;
F1n-1Vn + F2n-1 W n + /1п"1 = 0;
D V ,Vr) = 0.
(7)
1Л-1
В системе (7) через G1n- , Gn- , F1 F2n-1 обозначены матрицы Якоби от вектор-функций £ (V ,¥, х, у), / (V ,¥, х, у) по тому векторному аргументу, который стоит множителем при данной матрице. Размерности этих матриц однозначно определяются размерностью искомых и заданных вектор-функций, присутствующих в уравнениях рассматриваемой краевой задачи.
Здесь и далее использованы сокращенные обозначения вида
Gn-1 = G1(Vn-1, Wn-1, x, y); F1n-1 = F1(Vn-1, Wn-1, x, y); fin-1 = ^i(Vn-1, Wn-1, x, y).
G2n-1 = G2(Vn-1, Wn-1, x, y);
n-1
" n-1
F1n-1 = F1(Vn-1,Wn-1, x, y);
n -1
n -1
1Г = Л(Гп-1,¥п-1, х, у).
Здесь векторы £1п-1, , согласно заданным системам уравнений (3)-(4), определяются по формулам:
—п-1 —п-1 г~,п-1т7 п-1 /"<11-1^7 п-1.
£1 = £ - G1 у - G2 ¥ ;
rn—1 rn—1 T-*n-n—1 17
J1 = J - F1 V - F2
rn-1
n-1тл n-1
m-1w n-1
Таким образом, последовательность со п на каждом шаге итерации п определяется, как решение линейной краевой задачи, а с учетом необходимого для численной реализации перехода к соответствующей дискретной задаче (например, на основе метода конечных элементов) - из решения системы линейных алгебраических уравнений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Баташов И.В., Картозия Б.А., Шашенко А.Н., Борисов В.Н. Геомеханика: Учебник для вузов. М., 2004. Т.2.249 с.
2. Вялое С.С. Реологические основы механики грунтов: Учеб. пособие. М., 1978. 447 с.
3. Господарикое А.П. Метод расчета нелинейных задач механики горных пород при подземной разработке пластовых месторождений. СПб, 1999. 129 с.
REFERENCES
1. Baklashov I. V., Kartoziya B.A., Shashenko A.N., Borisov V.N. Geomechanics: Textbook for schools. Moscow, 2004. Vol.2. 249 p.
2. Vyalov S.S. Rheological basics of soil mechanics: Textbook for technical schools. Moscow, 1978. 447 p.
3. Gospodarikov A.P. The method of analysis of nonlinear problems of rock mechanics in underground mining of sheet deposits. Saint Petersburg, 1999. 129 p.
—>
