Об одном подходе исследования напряженно-деформированного состояния массива горных пород с учетом нелинейного характера их деформирования Текст научной статьи по специальности «Энергетика и рациональное природопользование»

© М.В. Максимснко, 2012

УДК 624.121:550.3:51-7 М.В. Максименко

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ ИССДЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОГО ХАРАКТЕРА ИХ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Рассмотрена нелинейная задача об исследовании напряженно-деформированного состояния (НДС) массива горных пород вокруг одиночной горизонтальной протяженной выработки. Представлен численный алгоритм исследования НДС горного массива, включающий комплекс вычислительных методов.

Ключевые слова: физическая нелинейность, метод линеаризации Ньютона-Рафсона.

В связи с переходом подземных горных работ на более глубокие горизонты значительно ухудшаются горно-геологические условия разработки пластов в основных угольных бассейнах страны. На глубоких шахтах значительно увеличиваются расходы на ремонт, перекрепление подготовительных выработок, усложняются мероприятия по снижению высокой температуры и по борьбе с опасными проявлениями горного давления, влияние которого выражается, прежде всего, в возрастании смешений пород вокруг выработок [1]. Традиционные методы охраны объектов от вредных влияний горных работ в современных условиях (при высокой плотности застройки, больших глубинах разработки и др.) всё чаше становятся неэффективными или вовсе неприемлемыми. Именно поэтому очень важно иметь представление о распределении напряжений в массивах пород при сложных сочетаниях выработок, целиков, выработанного пространства и дневной поверхности.

В частности, в работе [4] при по-моши аналитических и экспериментальных методов показано, что на больших глубинах для описания

свойств массива горных пород необходимо пользоваться моделью упруго-пластической среды, то есть до некоторого предела, определяемого условиями предельного равновесия, в массиве развиваются только упругие деформации, а по достижении этого предела - пластические, таким образом, вокруг подземных выработок образуется замкнутая область пластично-деформированных пород. Получение аналитических решений ограничено, как правило, простой моделью среды (сплошная, изотропная, однородная) и формой выработки (круглая). Математическое моделирование неоднородного породного массива, ослабленного одной или несколькими подземными выработками сложного очертания с учетом нелинейного характера деформирования горных пород, предполагает использование различных численных методов.

Рассмотрим напряженно-деформированное состояние массива в окрестности длинной одиночной горизонтальной выработки кругового сечения радиусом К0 , расположенной на глубине Н от земной поверхности и не испытываюшей влияния очистных работ (рис. 1). Породную среду в пределах

ст =

( \ ( \

ст 8

X X

ст ;8 = 8

У У

т 8

V ХУ) V ХУ)

; и =

Рис. 1. Массив горных пород, вмещающий подземную горную выработку круглого сечения

зоны влияния выработки полагаем невесомой. Ошибка вследствие принятия подобной идеализации тем меньше, чем больше глубина расположения выработки и, как показано в работе [5], величина ее не превышает 1 %.

В направлении оси Х на бесконечности приложены внешние равномерно распределенные нагрузки, равные по величине у И, где у -удельный вес породы, а в направлении У - ЛуИ, (здесь Л - коэффициент бокового распора). В упругой области сохраняется гипотеза о сплошности среды. Поскольку перемещение породного массива в направлении продольной оси выработки невозможно, объемная задача может быть сведена к плоской - случай плоской деформации. В результате численного решения задачи определяются компоненты полей напряжений, деформаций и перемещений в нелинейно-упругой области.

Математическая задача о плоской деформации является двумерной, содержит восемь уравнений - три уравнения Коши, два уравнения равновесия и три уравнения, задающих связь между компонентами напряжений и деформаций. Обозначив векторы напряжений, деформаций и перемещений следующим образом:

уравнения равновесия, Коши и связи между напряжениями и деформациями запишутся в матричном виде:

Ат ст = 0; 8 = Аи; ст = Ш, (1)

где А — дифференциальный опера-

тор, А =

(д 0

дх

0 д

ду

д д

V ду дх

Л

; матрица П может

быть определена из нелинейных соотношений между напряжениями и деформациями в массиве горных пород на основе кривой деформирования "ст-а". В частности, используя модель, впервые предложенную Бахом, связь между напряжениями и деформациями может быть представлена в виде степенной функции:

<ст1 = ВаП, где В (Па) - коэффициент

деформирования, П < 1 [2].

Граничные условия в перемещениях на контуре выработки Ь будут и на границе области Г :

(2)

где и, = \и1 I ,иг =| и г

г/1) V V г.

Таким образом, исследование НДС массива горных пород сводится к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений (1) в частных производных при одновременном удовлетворении граничных условий (2) на контуре выработки и на границе области.

Метод линеаризации Ньютона-Рафсона является достаточно эффективным и универсальным методом при решении нелинейных задач. Он осно-

ван на разложении в ряд Тейлора функции Т(и) = 0 , символизируюшей в операторной форме систему (1)-(2), по переменной и :

Т (ик + Аи) = Т (ик) + Т\йк )Аи + г (йк).

где Т'(и) — производная Фреше оператора Т(и) . Отбрасывая остаток ряда Тейлора Г(ик) , получим

линеаризованное уравнение, которое является основой для итерационного процесса решения операторного нелинейного уравнения Т (и) = 0 [3]. Полученная на каждом шаге итерации краевая задача может

быть решена при помоши метода конечных элементов.

Рассмотренная задача является актуальной для большого количества предприятий, добываюших уголь. В том числе, для шахты «Котинская», входя-шей в состав ОАО «СУЭК Кузбасс». Шахтное поле «Котинской» расположено в центральной части Соколовского угольного месторождения. Используя предложенный численный алгоритм, можно также учесть неоднородность массива горных пород. В конечном счете, исследование НДС массива на больших глубинах позволяет разработать и необходимые рекомендации по безопасности ведения горных работ.

1. Баклашов И.В. Геомеханика: Учебник для вузов. В 2 т. - М.: Издательство МГГУ, 2004.

2. Вялов С. С. Реологические основы механики грунтов: Учебное пособие для строительных вузов. — М.: Высш. школа, 1978.

3. Господариков А.П. Решение нелинейных осесимметричных задач статики тонких упругих оболочек врашения на основе одного обшего сеточного алгоритма: - Авторефе-

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

рат диссертации на соискание ученой степени к.ф. — м.н. - Казань, КГУ, 1981.

4. Насонов Л.Н. Проявления горного давления на больших глубинах в горизонтальных горных выработках. М.: Недра, 1964.

5. Шашенко О.М., Сдвижкова О.О., Га-пеев С.МДеформовашсть та мщшсть ма-сив1в прських порщ: Монограф1я. - Д.: На-шональний прничий ушверситет, 2008. и'.'-'^

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -

Максименко М.В. — аспирант, Санкт-Петербургский государственный горный университет, e-mail: [email protected].

ЛЮБОПЫТНЫЕ ФАКТЫ -

Авторы книги «Недра духовной культуры горного дела», опубликованной в Изд-ве ООО «Типография «ИМИДЖ-ПРЕСС» утверждают, что в своих поэмах Гомер упоминает 16 видов полезных ископаемых и «получаемых продуктов». В этот список авторы включили даже воду. У Вергилия, по их подсчетам, упоминалось уже 22 вида.