CC BY
22
3. Harary F. and Hayes J. P. Node fault tolerance in graphs // Networks. 1996. V. 27. P. 19-23.
4. Mukhopadhyaya K. and Sinha B. P. Hamiltonian graphs with minimum number of edges for fault-tolerant topologies // Inform. Process. Lett. 1992. V. 44. P. 95-99.
5. Hsu L. H. and Lin C. K. Graph Theory and Interconnection Networks. CRC Press, 2009.
6. Абросимов М. Б. О неизоморфных оптимальных 1-отказоустойчивых реализациях некоторых графов // Теоретические проблемы информатики и её приложений. Саратов: СГУ, 2000. Вып. 3. С. 3-10.
7. Абросимов М. Б. О неизоморфных минимальных реберных 1-расширениях графов // Теоретические проблемы информатики и её приложений. Саратов: СГУ, 2004. Вып. 6. С. 3-9.
8. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2012.
9. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. №5(88). С. 643-650.
10. Абросимов М. Б. Минимальные вершинные расширения циклов с числом вершин не более одиннадцати. Саратов: СГУ, 2001. 17с. Деп. в ВИНИТИ 14.08.2001, №1869-В2001.
11. Абросимов М. Б., Кузнецов Н. А. О количестве минимальных вершинных и рёберных 1-раотирений циклов с числом вершин до 17 // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2012. №5. С. 84-86.
12. Бринкман Г., Абросимов М. Б. О количестве минимальных раотирений циклов с числом вершин до 26 и 28 // Дискретная математика, теория графов и их приложения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. Минск, 11-14 ноября 2013 г. Мн.: Институт математики НАН Беларуси, 2013. С. 7-9.
13. Brinkmann G. Fast generation of cubic graphs //J. Graph Theory. 1996. V. 23. P. 139-140.
14. Brinkmann G., Goedgebeur J., and McKay B. D. Generation of cubic graphs // Discr. Math. Theor. Comp. Sci. 2011. V. 13(2). P.69-80.
15. Grund R. Konstruktion schlichter Graphen mit gegebener Gradpartition // Bayreuther Mathematische Schriften. 1993. B.44. S. 73-104.
16. Сухов С. А. DSR Generator. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ №2016610073. Зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ 11 января 2016 г.
УДК 519.1 DOI 10.17223/2226308X/9/41
ОБ ОДНОМ НАСЛЕДСТВЕННОМ ПРИЗНАКЕ В ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОЛУГРУППАХ ГРАФОВ
Я. Э. Авезова, В. М. Фомичев
В циклической полугруппе орграфов исследован признак наличия петель в вершинах из заданного множества. Для показателя этого признака через длины контуров орграфа (образующего элемента циклической полугруппы) получены достижимые оценки и формулы для подсчёта точного значения. Применение формул показано на примере. Результаты позволяют оценить экспоненты широкого класса примитивных систем орграфов.
Ключевые слова: признак, показатель признака, экспонент системы графов.
Введение
Важной задачей в криптографических приложениях является определение экспонента системы орграфов Г = {Г1,..., Гт}, обозначаемого exp Г (равносильное определение экспонента системы матриц дано в [1, с. 202]). Один из способов получения
оценки ехр Г основан на построении примитивного орграфа Г', являющегося словом в алфавите Г, то есть элементом полугруппы (Г), и оценке ехр Г', где, согласно универсальному критерию примитивности [2], орграф Г' примитивный, если и только если он сильносвязный и имеет простые контуры взаимно простых длин.
Примитивный орграф Г' может быть получен как произведение непримитивных орграфов, составляющих некоторую систему. Одно из условий примитивности орграфа Г' связано, в частности, с наличием петель в определённом подмножестве вершин орграфа Г при некотором ] Е {1,... , т} и некотором натуральном В частности, пример такой системы Г из двух графов рассмотрен в [3]. Настоящая работа посвящена исследованию свойства орграфа, связанного с наличием петель в определённом подмножестве вершин.
1. Полугрупповой признак наличия петель в заданном подмножестве
вершин орграфов
Подмножество Н полугруппы С, состоящее из всех элементов С, обладающих определённым свойством, называется признаком Н (Н-признаком) в полугруппе С. Если Н ^ С — подполугруппа, то Н называется полугрупповым признаком в С [1, с. 178].
Пусть С — полугруппа орграфов с множеством вершин V = {1,... , п}, 0 = Р С V. В полугруппе С полугрупповым признаком (обозначим его Рьор) является, в частности, множество всех орграфов, имеющих петли в каждой вершине множества Р.
Пусть Г Е С. Обозначим (Г) циклическую полугруппу, порождённую орграфом Г. Показателем Р}оор-признака в полугруппе (Г) называется наименьшее натуральное при котором Г* Е Р1оор (обозначается рок Р1оор или кратко /Р). Заметим, что /у = огё д, если Г — граф подстановки д множества V.
Утверждение 1. Признак Р1оор в полугруппе (Г) не пуст, если и только если каждая вершина из Р является циклической.
2. Оценки показателя признака наличия петель в заданном подмножестве
вершин орграфов
Рассмотрим орграф Г, все вершины которого из множества Р являются циклическими. Обозначим в Г: (7 = {С1,... , Ск} —множество к простых контуров; /(С) — длина контура С; V(С) —множество вершин контура С; ¿(г) —множество длин контуров, проходящих через вершину г; ¿[т](г) —множество не превосходящих натурального числа т длин контуров, проходящих через вершину г; Л(г) —множество длин простых контуров, проходящих через вершину г; Ст;п,г — кратчайший простой контур, проходящий через вершину г, г Е V.
Утверждение 2. Показатель признака Р1оор равен
/р = штП Ь(г). (1)
геР
Поскольку через каждую вершину г Е Р проходит бесконечно много контуров, применение (1) для вычисления точного значения показателя признака Р1оор затруднительно. Для уточнения формулы получим ряд оценок /р.
Запишем, что система контуров С = {С1,..., С} содержит множество Р, если Р С V(С1) и ... и V(Ск). Систему контуров С = {С1,... , Ск} назовём связной, если связной является часть графа Г, совпадающая с С1 и ... и Ск. Связную систему контуров, содержащую множество Р, назовём Р-сокращённой, если после удаления любого контура оставшаяся подсистема либо не является связной, либо не содержит
множество Р. Р-сокращённую систему С = (С,... , С} назовём минимальной в Г, если сумма длин её контуров принимает наименьшее значение. Заметим, что Р-сокращённых и минимальных систем в орграфе Г может быть несколько.
Далее полагаем Р = (1,... ,р}.
Лемма 1. Пусть орграф Г содержит связную систему контуров С = (С!,... , Ск}, к ^ 1. Тогда в Г имеется контур длины /((С) = /((1) + ... + /(Ск), обходящий однократно каждый контур системы С.
Теорема 1. Если в орграфе Г связная система контуров С = (С1,... , Ск} содержит множество Р, то верны оценки
шах{/(Ст1М): г € Р} ^ /р ^ /(С) (2)
Верхняя оценка (2) принимает наименьшее значение, если система С Р-сокращён-ная и минимальная.
Теорема 2. Для любого разбиения множества Р = Р1 и ... и Рг выполнено
/р ^ НОК(/р1 ,...,/рг). (3)
Следствие 1 (для минимального разбиения множества Р). Верна оценка
/р ^ шШ(НОК((Аь ..., Ар) € Л(1) х ... х Л(р)}}. (4)
Оценка (4) позволяет уточнить (1), заменив бесконечные множества конечными.
Следствие 2. При т = НОК((А1,..., Ар) € Л(1) х ... х Л(р)} выполнено
/р = шт П ¿Н(г). (5)
гер
Уточним равенство (5) с использованием верхней оценки (2).
Следствие 3. Если в Г связная система контуров С содержит множество Р, то формула (5) верна при т = ш1п(/(С7), ш1п(НОК((А1,..., Ар) € Л(1) х ... х Л(р)}}}.
Следствие 4. Пусть орграф Г содержит компоненты сильной связности Г1,... , Гг с множествами вершин У1, ... , У соответственно и Рг = РП У, г = 1,... , г. Тогда верна оценка (3).
Проиллюстрируем примером полученные результаты для показателя Р}00р.
Пример 1. Граф Г (рис. 1) состоит из компонент сильной связности Г1 и Г2. Компонента сильной связности Г1 представляет собой связную систему простых контуров С1 = (1, 2, 3), С2 = (3, 4) и С3 = (4, 5, 6, 7, 8) длин 3, 2 и 5 соответственно. Компонента сильной связности Г2 есть связная система простых контуров С4 = (9,10), С5 = (10,11) и С6 = (10,11,12) длин 2, 2 и 3 соответственно. Для орграфа Г при некоторых Р посчитаны оценки показателя /р с помощью оценок (2) и (4) (табл. 1 и 2), а также точное значение показателя /р (табл. 3) с помощью (5) или следствия 3.
Рис. 1. Орграф Г
Таблица 1
Верхняя оценка (2) показателя 1р для различных Р
Р Минимальная связная система, содержащая Р Оценка (2)
{1, 5} {С1, С2, С3 } 1р < 3 + 2 + 5 = 10
{1, 4} {С1,С2} 1р < 3 + 2 = 5
{9,11} {С4,С5} 1р < 2 + 2 = 4
Таблица 2
Верхняя оценка (4) показателя 1р для различных Р
Р Л(г), i € Р Оценка (4)
{1, 5} Л(1) = {3}, Л(5) = {5} 1р < НОК(3,5) = 15
{1, 4} Л(1) = {3}, Л(4) = {2, 5} 1р < шш{НОК(3, 2), НОК(3, 5)} = 6
{9,11} Л(9) = {2}, Л(11) = {2, 3} 1р < шт{НОК(2, 2), НОК(2, 3)} = 2
{1,4, 9,11} Л(1) = {3}, Л(4) = {2, 5}, Л(9) = {2}, Л(11) = {2, 3} 1р < шт{НОК(3, 2, 2, 2), НОК(3, 5, 2, 2)}, НОК(3, 2, 2, 3), НОК(3, 5, 2, 3)} = 6
Таблица 3
Показатель 1р для различных Р, посчитанный с помощью (5)
Р т i € Р 1Р (5)
{1, 5} 10 Ь[10] (1) = {3, 5, 6, 7, 8, 9,10}, (5) = {5, 7, 9,10} 1Р = шт £[101(1) п £[101(5) = 5
{1,4} 5 Ь[51(1) = {3, 5}, Ь[5](4) = {2,4, 5} 1р = шш Ь[51(1) П Ь[51 (4) = 5
{9,11} 2 ¿121(9) = ¿121(11) = {2} 1р = 2
{1, 4, 9,11} 6 (1) = {3, 5, 6}, Ь161 (4) = {2, 4, 5, 6}, ЬИ(9) = {2, 4, 5, 6}, £[61(11) = {2, 3,4, 5, 6} 1 р = шт{5, 6} = 5
Из табл. 1 следует, что для Р = {1,5} и {1,4} оценка (2) точнее оценки (4), а для Р = {9,11} соотношение обратное. Для Р = {1, 4,9,11} с помощью следствия 3 получаем оценку 1р ^ НОК(2, 5) = 10; величина оценки (4) более точная (см. табл. 2), но превышает точное значение, посчитанное в табл. 3.
Результаты показывают, что в некоторых случаях оценки (2) и (4) достижимы. Для многих орграфов с большим числом вершин сложность вычисления оценок показателя 1р по предварительным оценкам меньше, чем сложность определения точного значения. Однако для вычисления по формуле (5) точного значения 1р необходимо вычислить параметр т, являющийся верхней оценкой 1р, и затем построить пересечение множеств ¿Н(1),... , ¿Н(р).
Перспективное направление дальнейших исследований связано с алгоритмическими вопросами вычисления показателя Р^ор--признака в полугруппе (Г).
Выводы
Доказанные оценки показателя Р}оор-признака могут быть использованы для оценки экспонентов некоторых примитивных систем орграфов. Полученные условия существенно расширяют область систем орграфов, для которой удаётся получить оценки экспонентов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Фомичев В. М. Методы дискретной математики в криптологии. М.: Диалог-МИФИ, 2010.
424 е.
2. Когос К. Г., Фомичев В. М. Положительные свойства неотрицательных матриц // Прикладная дискретная математика. 2012. №4(18). С. 116-121.
3. Авезова Я. Э., Фомичев В. М. Условия примитивности системы двух графов // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2015. №8. С. 113-114.
УДК 519.175.3 Б01 10.17223/2226308Х/9/42
ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ПОМЕЧЕННЫХ ЦВЕТОЧНО-КОЛЁСНЫХ ГРАФОВ
В. А. Воблый, А. К. Мелешко
Получена точная формула для числа помеченных цветочно-колёсных графов с заданным количеством вершин и лепестков.
Ключевые слова: корневой граф, граф колесо, цветочно-колёсный граф.
Точкой сочленения связного графа называется его вершина, после удаления которой вместе с инцидентными ей рёбрами граф становится несвязным. Блок — это связный граф без точек сочленения, а также максимальный связный нетривиальный подграф, не имеющий точек сочленения. Корневой граф имеет одну выделенную вершину, называемую корнем. Колесо Жп — граф с п ^ 4 вершинами, который образован соединением единственной вершины со всеми вершинами (п — 1)-цикла [1, с. 63]. Граф Ж4 изоморфен полному графу К4.
Цветочно-колёсный граф с т лепестками — это связный граф с одной точкой сочленения, у которого все т блоков (лепестков) — колёса, причём вершина, являющаяся осью колеса, не может быть точкой сочленения. Цветочно-колёсные графы представляют топологию коммуникационных, компьютерных и других сложных сетей [2]. Кроме того, перечисление графов тесно связано с теорией случайных графов; рандомизация колёсных подграфов сети может использоваться для защиты данных пользователей социальных сетей [3].
Теорема 1. Число РЖ(п,т) помеченных цветочно-колесных графов с п вершинами и т лепестками при п ^ 7 и т ^ 2 равно
. п! А /т\ /п — 2т — г — 2\ •
(п'т>= тб^ДгА т-1 )2'
где г = шт(т, п — 3т — 1).
ТО
Доказательство. Пусть Ст(-) = ^ РЖ(п,т) —, — число помеченных
п=4 п!
колёс с п вершинами, ДЖп — число помеченных корневых колёс с п вершинами, Я(-) =
те 7п
= Е яЖп -г.
п=4 п!
Так как метку для оси колеса Жп можно выбрать п способами и число циклов с п — 1 помеченными вершинами равно (п — 2)!/2, то = п(п — 2)!/2 при п ^ 5,
N^4 = 1.
Поскольку корень колеса Жп не должен быть вершиной-осью колеса, то метку для него можно выбрать п — 1 способами и при п ^ 5 имеем РЖп = (п — = п!/2.
Однако в случае Ж4 (полный граф) осью может быть любая вершина и ДЖ4 = пЖЖ4 = = 4. Поэтому имеем
74 1 те 74 75
Я(-) = - + 1 Е -п = - + , 7 ч.
() 6 2 п=5 6 2(1 — -)
