Оценка экспонента некоторых графов с помощью чисел Фробениуса для трёх аргументов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2014 Прикладная теория графов №2(24)

УДК 519.6

ОЦЕНКА ЭКСПОНЕНТА НЕКОТОРЫХ ГРАФОВ С ПОМОЩЬЮ ЧИСЕЛ ФРОБЕНИУСА ДЛЯ ТРЁХ АРГУМЕНТОВ

В. М. Фомичев

Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», г. Москва, Россия

E-mail: [email protected]

Выведена формула чисел Фробениуса для трёх аргументов и с их помощью получена оценка экспонента сильносвязного n-вершинного орграфа при n > 2, в котором имеются три дуги вида (i,r), (r,j), (i,j), где i,r, j Є {1,..., n}. Показано, что во многих случаях данная оценка экспонента существенно лучше уже известных оценок.

Ключевые слова: число Фробениуса, порождённая множеством чисел аддитивная полугруппа, экспонент графа.

Введение

Основные обозначения:

— N — множество натуральных чисел, N0 = N U {0};

— a | b и a / b — «a делит b» и «a не делит b» соответственно, a, b Є N;

— d = {О, А) —наибольший общий делитель натуральных чисел О, А;

— (О, А,...) — аддитивная полугруппа, порождённая числами О, А, ...;

— если A = {a1,.. .,ak} С N, b Є N0, то bA = {ba1,... ,bak}, b± A = {b± a1,... ,b± ak};

— C{О, А,...) = dN\^, А,...), z = max C{О, А);

— (О, А) —подмножество полугруппы (О, А), состоящее из чисел, меньших z;

— g^, А,...) —число Фробениуса для аргументов О, А, ...

Пусть 1 < О < А < l и числа О, А, l взаимно простые.

Функция Фробениуса g^, А, l) для трёх аргументов определена как max C{О, А, l), то есть как наибольшее натуральное число, не представимое в виде линейной комбинации чисел О, А, l с неотрицательными целыми коэффициентами:

g^, А, l) = max{t Є N : t = с1О + с2А + c31}.

Задача определения g^, А, l) известна как диофантова проблема Фробениуса для трёх аргументов, задача определения множества C{О, А, l) — как расширенная проблема Фробениуса для трёх аргументов. Обзор основных результатов по проблеме Фро-бениуса для различного числа аргументов можно найти в [1]. Здесь отметим лишь те факты, которые наиболее важны для изложения результатов данной работы.

Для двух взаимно простых чисел О, А получение формулы числа Фробениуса, равного maxC{О, А), и описание множества C{О, А) относится ещё к 1884г. [2]:

g^, А) = ОА - О - А,

C{О, А) = {g^, А) -(М)}.

(1)

(2)

Из (2) следует, что

Кв Л)| = |C(в Л)| = (в - 1)(Л - 1)/2 = (g(^,A) + 1)/2. (3)

Если d > 1, то из (1) следует, что число z = max C(в, Л) определено формулой

z = вЛ/d - в — Л. (4)

Формула числа Фробениуса от трёх и более аргументов известна лишь для частных случаев. В [3] доказано, что не существует конечного числа полиномов, позволяющих выразить через них в общем случае число Фробениуса д(в, Л, /) от трёх аргументов с помощью разбиения области определения.

Более продуктивным стал алгоритмический подход к определению числа Фробениуса g(ai,...,afc) от k аргументов. Построены алгоритмы при k = 3 (O. Rodseth, J. Davison и др. [1]); при k > 3 [4, 5] оценка сложности алгоритма определения g(a1,... , ak) снижена до величины порядка O(ka1) операций. Эта оценка улучшена [6] до величины O(/ + ha1), где / и h — характеристики множества {a1,..., ak}, принимающие для различных множеств аргументов значения от 2 до min(a1, k).

В данной работе выведена формула числа д(в, Л, /), использующая арифметические и теоретико-множественные операции во множестве натуральных чисел. Приведены примеры вычисления g(e, Л, /) по полученной формуле. Число Фробениуса g(e, Л, /) использовано для оценки экспонентов весьма широкого класса орграфов. Полученная оценка существенно улучшает известные оценки для рассмотренного класса орграфов.

1. Формула числа Фробениуса для трёх аргументов

Обозначим K(в, Л,/) множество натуральных чисел k, таких, что kdZ Е C(в, Л), S(/) —подмножество множества C(в, Л):

S(/) = U {(kd/ + b) Е C(в, Л) : b Е <в,Л)}.

keK(d,\,l)

Утверждение 1.

а) Если a Е N и d | a, то / | a, если и только если d/ | a;

б) S(/) = C(в,Л) П <в, Л, /);

в) C(в,Л)\S(/) = 0;

г) S(/) = 0, если и только если K(в, Л,/) = 0.

Доказательство.

а) По условию d = (в, Л) и числа в, Л, / взаимно простые, тогда (/,d) = 1, отсюда следует требуемое утверждение.

б) Пусть a Е C(в, Л) П <в, Л, /). Тогда a = n/ + b, где b Е <в, Л), при этом n Е N, иначе при n = 0 имеем противоречие: a Е <в, Л).

Ввиду a Е C(в, Л) имеем a — b = п/ Е C(в, Л), иначе приходим к противоречию: a Е <в,Л).

Заметим, что d | п/ и / | п/, тогда по утверждению 1а верно d/ | п/. Отсюда п/ = kd/ при натуральном k, где k Е K(в, Л,/), так как п/ Е C(в, Л). Тогда a = kd/ + b Е S(/). Следовательно, C(в, Л) П <в, Л, /) С S(/).

Обратно, пусть a Е S(/), тогда a = kd/ + b при некотором k Е K(в, Л, /), где ^/ Е Е C(в, Л) и b Е <в, Л). По определению S(/) С C(в, Л), поэтому получаем a Е C(в, Л) П П <в, Л, /). Значит, выполнено и обратное включение S(/) С C(в, Л) П <в, Л, /).

в) Для любого Ь € {1,... , в — 1} выполнено Ь € (в, Л) и Ь € (в, Л, /), тогда Ь € С(в, Л) и Ь € $(1)- Следовательно, С(в,Л)\$(/) = 0.

г) Следует из определения множества $(/). ■

Уточним строение множества $(/). Определим на множестве N0 всех пар целых неотрицательных чисел отношение частичного порядка: (п^ш^ ^ (п0,ш0), если и только если п1 ^ п0 и ш1 ^ ш0, при этом если п1 < п0 или ш1 < ш0, то пишется (п1,т1) < (п0,ш0). Множество N0 — решётка относительно частичного порядка ^. Нулём решетки N0 является пара (0, 0). Через 1(п,ш) обозначим идеал решетки N0:

1(п,ш) = {(п',ш') € N0 : (п',ш') ^ (п,ш)}.

На решётке N0 определена операция сложения (п, ш) + (п', ш') = (п + п', ш + ш'), относительно которой множество N0 образует полугруппу. (Заметим, что эта операция отличается от операции сложения в решётке, определяемой как а + Ь = вир{а, Ь}.)

Лемма 1. Любое число Ь € (в, Л) однозначно представляется в виде линейной комбинации чисел в и Л с целыми неотрицательными коэффициентами.

Доказательство. Пусть имеются два различных представления

Ь = пв + шЛ = п'в + ш'Л.

Все коэффициенты положительные, поэтому пары (п,ш) и (п',ш') несравнимы. Пусть

0 ^ п < п' и 0 ^ ш' < ш. Тогда (п' — п)в = (ш — ш')Л. Так как числа в/^ и Л/^ взаимно

простые, последнее равенство выполнено только если п' — п = кЛ/^ и ш — ш'=кв/^ при некотором натуральном к. Отсюда ш ^ кв/^ и Ь ^ пв + квЛ/^ ^ вЛ/^, то есть

в соответствии с (4) Ь > г, что противоречит условию Ь € (в, Л). ■

Лемма 1 устанавливает биекцию f между множеством (в, Л) и подмножеством решетки N0: если Ь = пв + шЛ, то f (Ь) = (п,ш). В этом случае определим идеал

1 (Ь) = 1 (п, ш).

Заметим, что полугрупповая операция на множестве (в, Л) согласована с операцией сложения в N0, то есть если а, Ь, (а + Ь) € (в, Л), то f (а + Ь) = f (а) + f (Ь).

Лемма 2. Если а, Ь € (в, Л), то а — Ь € (в, Л), если и только если f (Ь) ^ f (а). Доказательство. Пусть f(а) = (п,ш), f(Ь) = (п',ш'). Если (п',ш') ^ (п,ш), то f (а — Ь) = (п — п', ш — ш'), то есть а — Ь € (в, Л).

Обратно, если а—Ь € (в, Л), то f (а—Ь) = (п'', ш''), где п'',ш'' ^ 0. Тогда а = Ь+(а—Ь),

следовательно, (п',ш') ^ (п,ш), то есть f (Ь) ^ f (а). ■

Утверждение 2. $(/) = У (Ы/ + 1(д(в, Л) — Ы/)).

кек(в,\,г)

Доказательство. Обозначим

Ьк = д(в, Л) — Ы/, (5)

где к € К (в, Л, /). В силу равенств (2), (3) при к € К (в, Л, /) выполнено Ьк € (в, Л), тогда

Ы/ + Ьк = д(в, Л) € $ (/). Возьмём Ь € (в, Л); если f (Ь) ^ f (Ьк) и Ы/ + Ь € С (в, Л), то Ы/ + Ь € $ (/). Тогда (Ы/ +1 (Ьк)) С $(/). В силу произвольности к € К (в, Л,/) получаем

и (Ы +1 (Ьк)) С $(/).

кек(в,\,1)

Обратно, если а € $ (/), то по определению а = Ы/+Ь, где а, Ы/ € С (в, Л) и Ь € (в, Л). Тогда Ь = а — к^/. Вычитая это равенство из (5), получаем Ьк — Ь = д(в, Л) — а. В силу

равенств (2), (3) имеем (g(0, Л) — а) € (0,Л), следовательно, bk — b € (0, Л) . Отсюда

f (b) ^ f (bk) в соответствии с леммой 2, то есть b € I(bk) и а € (kdl + I(bk)). Таким

образом, верно и обратное включение S(/) С у (kd/ + I(bk)). ■

fceK (е,л,г)

Теорема 1. g(0, Л, /) = max C(0, A)\S(/) + (d — 1)/.

Доказательство. Пусть d =1. По определению C(0, Л, /) = N\(0, Л, /). При d = 1 имеет место включение C(0, Л, /) С C(0, Л), поэтому

C(0, Л, /) = C(0, Л)\(0, Л, /) = C(0, Л)\(C(0, Л) П (0, Л, /)).

Отсюда в соответствии с утверждением 1б получим C(0, Л,/) = C(0, Л)\5(/). Следовательно, g(0, Л, /) = max C(0, Л, /) = max C(0, Л)\£(/), то есть при d =1 теорема верна.

d—1

Пусть d > 1. Из разбиения No = U (r + dN0), где r + dNo — множество всех чисел

r=0

из No, сравнимых с r по модулю d, r = 0,... , d — 1, следует разбиение

C (0, Л, /) = lj(r + dNo) П C (0, Л, /).

r=0

Отсюда получаем

max C(0, Л, /) = max{z0,... , zd—1}, (6)

где zr = max((r + dN0) П C(0, Л, /)), r = 0,..., d — 1.

Используем очевидное разбиение dN0 = (0, Л) U S(/) U (C(0, Л)\£(/)).

Любое число а из C(0, Л,/) имеет вид а = n/ + b, где n — натуральное, b кратно d и

b Е (0,Л,/). Тогда b Е (0,Л) U S(/), иначе имеем противоречие: а € (0, Л, /). Следова-

тельно, b € C(0, Л)\£(/) и при r = 0,..., d — 1

zr = max((r + dN0) П (C(0, Л)\£(/))).

Число а € (r + dN0) П (C(0, Л)\£(/)), если и только если n/ = r (mod d), r = 0,... , d — 1. Следовательно, zr = n/ + в, где n/ = r (mod d) и в = max C(0, Л)\£(/). Покажем, что n — наименьшее натуральное, при котором n/ = r (mod d). Заметим, что в силу взаимной простоты чисел d и / при любом r = 0, . . . , d — 1 такое наименьшее n

€ {0,...,d — 1}. Действительно, при n ^ d разделим n на d с остатком: n = dq + £, где

q > 0, ^ < d. Тогда

zr = (qd/ + в) + ^/,

где число (dq/ + в) больше в и кратно d. Значит, (dq/ + в) € (0,Л)иS(/), следовательно, (dq/ + в) € (0, Л, /). Отсюда получаем противоречие: zr € (0, Л, /). Тогда в соответствии с (6)

max C(0, Л, /) = max C(0, Л)\£(/) + max{0, /,..., (d — 1)/} = max C(0, Л)\£(/) + (d — 1)/. Теорема доказана. ■

Замечание. Из теоремы 1 и равенства (4) следует оценка числа g(0, Л,/) (частный случай оценки Брауэра [7]):

g(0, Л, /) ^ 0Л^ — 0 — Л + (d — 1)/. (7)

Пример 1. Определим 0(7,11,12). Вычисляем: ^ = 1, г = 7 • 11 — 7 — 11 = 59,

тогда |<7,11)| = |С(7,11)| = 6 • 10/2 = 30. ______

Выпишем в табл. 1 множество чисел а Е <7,11) с соответствующими парами /(а) Е N и множество чисел (г — а) Е С(7,11). Получаем, что множество чисел из С(7,11), кратных 12, есть {12, 24, 48}. Тогда К(7,11,12) = {1, 2,4}. В соответствии с утверждением 2 надо определить идеалы I(59 — 12) = I(47), I(59 — 24) = I(35),

I (59 — 48) = I (11).

Таблица 1

а//(а) г — а а//(а) г — а а//(а) г — а а//(а) г — а а//(а) г — а а//(а) г — а

56/(8,0) 3

49/(7,0) 10

42/(6,0) 17 53/(6,1) 6

35/(5,0) 24 46/(5,1) 13 57/(5,2) 2

28/(4,0) 31 39/(4,1) 20 50/(4,2) 9

21/(3,0) 38 32/(3,1) 27 43/(3,2) 16 54/(3,3) 5

14/(2,0) 45 25/(2,1) 34 36/(2,2) 23 47/(2,3) 12 58/(2,4) 1

7/(1,0) 52 18/(1,1) 41 29/(1,2) 30 40/(1,3) 19 51/(1,4) 8

0/(0,0) 59 11/(0,1) 48 22/(0,2) 37 33/(0,3) 26 44/(0,4) 15 55/(0,5) 4

Из табл. 1 имеем: /(47) = (2, 3), /(35) = (5,0), /(11) = (0,1). Зададим идеалы в табл. 2 (три части табл. 1).

Таблица 2

Идеал I(47) Идеал I(35) Идеал I(11)

35/(5,0)

28/(4,0)

21/(3,0)

14/(2,0) 25/(2,1) 36/(2,2) 47/(2,3) 14/(2,0)

7/(1,0) 18/(1,1) 29/(1,2) 40/(1,3) 7/(1,0) 11/(0,1)

0/(0,0) 11/(0,1) 22/(0,2) 33/(0,3) 0/(0,0) 0/(0,0)

Из табл. 2 в соответствии с утверждением 2 получаем

£(12) = (12 + I(47)) и (24 + I(47)) и (48 + I(11)) =

= {26,19,12,37,30,23,48,41,34,59,52,45,38,31,24}.

Отсюда и из табл. 1 получаем окончательно

0(7,11,12) = тах(С(7,11)\Б(12)) = тах{17,10, 27, 20,13, 6,16, 9, 2, 5,15, 8,1, 4} = 27.

Пример 2. Определим 0(8, 38,41). Вычисляем: і =2, г = 2(4 • 19 — 4 — 19) = 106,

тогда | (8, 38)| = |С(8, 38) | = 3 • 18/2 = 27. _

Выпишем в табл. 3 множество чисел а Е (8, 38) с соответствующими парами f (а) Е Е N0 и множество чисел (г — а) Е С(8, 38). Получаем, что во множестве С(8, 38) лишь число 82 кратно 82, тогда К(8, 38, 41) = {1}. В соответствии с утверждением 2 определяем идеал I(106 — 82) = I(24).

Из табл. 3 также имеем: f (24) = (3, 0); I(24) = {24,16, 8,0}; Б(41) = 82+!(24) = {82, 90, 98,106}. Отсюда и из табл. 3 получаем окончательно

0(8, 38, 41) = тах(С(8, 38)\Б(41)) + 41 = 74 + 41 = 115.

Таблица 3

a/f (a) z — a a/f (a) z — a a/f (a) z — a

104/(13,0) 2

96/(12,0) 10

88/(11,0) 18

80/(10,0) 26

72/(9,0) 34

64/(8,0) 42 102/(8,1) 4

56/(7,0) 50 94/(7,1) 12

48/(6,0) 58 86/(6,1) 20

40/(5,0) 66 78/(5,1) 28

32/(4,0) 74 70/(4,1) 36

24/(3,0) 82 62/(3,1) 44 100/(3,2) 6

16/(2,0) 90 54/(2,1) 52 92/(2,2) 14

8/(1,0) 98 46/(1,1) 60 84/(1,2) 22

0/(0,0) 106 38/(0,1) 68 76/(0,2) 30

Заметим, что описание формулы числа Фробениуса для четырёх аргументов несколько сложнее, чем для трёх. Один из факторов усложнения — отсутствие жёсткой связи между множествами (0, Л, /) и C(0, Л, /), подобной той, что задана для множеств (0, Л) и C(0, Л) равенством (2).

2. Оценка экспонентов ориентированных графов

Используем формулу числа g(0, Л, /) для оценки экспонентов некоторых графов.

Граф Г с матрицей смежности вершин M называется примитивным, если M1 >0 при некотором натуральном 7. Наименьшее такое число 7 называют экспонентом (показателем примитивности) графа Г (обозначается exp Г).

Универсальный критерий примитивности графа Г [8, с. 226] следующий: если C1,...,Ck суть все простые циклы графа Г длин /1,...,/k соответственно, то сильносвязный орграф (связный граф) Г примитивный, если и только если (/1,... , /д.) = 1.

Универсальная и частные оценки экспонентов n-вершинных графов систематизированы и даны в [9]. Рассмотрим новые классы примитивных орграфов и графов и получим оценку их экспонентов.

В n-вершинном орграфе (графе) Г при n > 1 всякие три дуги (ребра) вида (i,r), (r,j) и (i,j), i,r,j € {1,...,n}, назовём транзитивной тройкой дуг (рёбер). Заметим, что всякая петля в орграфе (графе) является такой тройкой. Длину пути w в Г, измеряемую числом дуг (рёбер), составляющих путь, обозначим /(w). В частности, петля в Г есть путь длины 1. Пустой путь (путь длины 0, который не содержит дуг (рёбер) и может относиться к любой вершине орграфа) обозначим w0.

Для последовательности w1,... , wm из m > 1 непустых путей определён путь w с помощью операции конкатенации, если конечная вершина предыдущего пути совпадает с начальной вершиной следующего пути (операция конкатенации обозначена символом •), записывается w = w1 •.. .•wm. Если w = w1 •.. .• wm, то /(w) = /(w1) + ...+/(wm).

Теорема 2. Если при n > 2 в сильносвязном n-вершинном орграфе Г имеются транзитивная тройка дуг (i,r), (r, j), (i, j) и простой путь w из j в i длины t — 1, где t > 1, то орграф Г примитивный и выполнены оценки:

а) если i = j, или r = i, или r = j, то exp Г^ 2n — 2;

б) если i, j, r — три различные вершины и путь w не проходит через вершину r, то exp Г^ (t — 1)2 + 2n — 2;

в) если i, j, r — три различные вершины и путь w проходит через вершину r, которая делит путь w на пути длины т — 1 и t — т, где 0 < t — т < т < t, то

exp Г ^ g(t — т + 1, т, t) + 2(n — t + т) — 1,

где g — число Фробениуса от трёх аргументов.

Доказательство.

а) Если i = j, или r = i, или r = j, то в Г имеется петля, и орграф Г примитивный. Тогда в соответствии с [8, с. 397] exp Г^ 2n — 2.

б) Если i, j, r суть три различные вершины, n > 2 и путь w не проходит через вершину r, то t ^ n — 1 ивГ имеются циклы z1 и z2, где z1 = w • (i, r) • (r, j), z2 = w • (i, j). Отсюда /(z1) = t + 1, /(z2) = t, следовательно, (/(z1),/(z2)) = 1 ив соответствии с универсальным критерием орграф Г является примитивным. Цикл z2 — часть цикла z1, отсюда в соответствии с оценкой [10, теорема 1б] exp Г^ (t — 1)2 + 2n — 2.

в) Если i, j, r суть три различные вершины, n > 2 и путь w проходит через вершину r, то t ^ n и выполнено равенство w = w1 -w2, где w1 есть простой путь из j в r и w2 — простой путь из r в i. Тогда в Г имеются циклы z0, z1 и z2, где z0 = w- (i, j), z1 = w1 • (r, j), z2 = (i, r) • w2. В соответствии с условиями /(z0) = t, /(z1) = т, /(z2) = t — т + 1.

Пусть (/(z0),/(z1),/(z2)) = 5. Тогда 5 делит /(z1) + /(z2), то есть 5 делит t + 1. Вместе с тем 5 делит /(z0), где /(z0) = t. Следовательно, 5 =1 и граф Г примитивный.

Для получения оценки exp Г воспользуемся утверждением 3б из [10].

При обходе какого-либо цикла z; выделим его вершину е как начальную, цикл в этом случае обозначим z;(e). Для целого неотрицательного q через qz;(e) обозначим цикл, составленный из q-кратно пройденного цикла z;(e), где 0z;(е) = w0.

Пусть множество W состоит из всех вершин пути w и V — из остальных вершин орграфа Г, в частности, не исключено V = 0. Пусть а, в — любые вершины орграфа Г и и(а,в) —путь из а в в вида

и(а,в) = u(a,r) • z(r) • u(r, в), (8)

где u(a,r) —кратчайший путь из а в r; u(r, в) — кратчайший путь из r в в; z(r) — цикл, проходящий только через вершины множества W. Так как вершина r является общей для циклов z0, z1 и z2, то цикл z(r) может быть представлен в виде

z(r) = q0z0(r) • q1 z1(r) • q2z2(r), (9)

где q0, q1, q2 — целые неотрицательные числа.

Оценим длину пути и(а,в). Используем представления

u(a, в) = u(a, е) • u(e, r), u(r, в) = u(r, £) • u(£, в), (10)

где и(а,е) —кратчайший путь из вершины а до ближайшей вершины е из множества W; u(£, в) — кратчайший путь в в из ближайшей вершины £ множества W; u(e, r) и u(r, £) —пути наименьшей длины соответственно из е в r и из r в £, проходящие только через вершины множества W. Заметим, что при а € W путь и(а,е) пустой, при в € W путь и(£,в) пустой.

Учитывая, что |W| = t, где по условию t ^ n, из определения данных путей получаем /(и(а, е)) ^ n — t, /(u(£, в)) ^ n — t, /(u(e, r)) < max{/(z1), /(z2)} = т, /(u(r, £)) < < max{/(z1),/(z2)} = т. Отсюда и из (10) следует

/(и(а, r)) ^ n — t + т — 1, /(u(r, в)) ^ n — t + т — 1.

(11)

В соответствии с определением числа Фробениуса и равенством (9) коэффициенты q0,q1,q2 можно выбрать так, чтобы длина пути z(r) равнялась любому числу, превосходящему число Фробениуса g(t — т + 1,т, t). Следовательно, из (8) и (11) получаем, что подбором коэффициентов q0,q1,q2 можно добиться, чтобы для любых вершин а, в длина пути и(а,в) принимала любое значение, большее или равное g(t — т + 1,т, t) + 2(n — t + т) — 1. По следствию 1 теоремы 2 [11] это равносильно положительности матрицы As при любом s ^ g(t — т +1,т, t) + 2(n — t + т) — 1, где A — матрица смежности вершин графа Г. Требуемая оценка экспонента выполнена. ■

Следствие. Если выполнены условия теоремы 2в и (t + 1, т) = d, то

exp Г ^ (t — т + 1^/d + (d — 4)t + 2n + 2т — 2.

Доказательство. Заметим, что (t + 1,т) = (t — т + 1,т) = d. С учётом этого требуемая оценка получается из теоремы 2в с использованием оценки (7). ■

Пример 3. Пусть для примитивного орграфа Г со 100 вершинами выполнены условия теоремы 2в, где t = 62, т = 36. Тогда t — т +1 = 27, требуется определить

g(27, 36,62). _______

Вычисляем: d = (27, 36) = 9, z = 9 • 5 = 45, тогда |(27, 36)| = |C(27, 36)| = 6/2 = 3. Поскольку (27, 36) = {0, 27, 36}, C(27, 36) = {9,18, 45}, получаем S(62) = 0 и max C(27, 36) = 45. В соответствии с теоремой 1 g(27, 36,62) = 45 + 8 • 62 = 541. Отсюда по теореме 2в exp Г^ 541 + 2 • 74 — 1 = 688.

Пример 4. Пусть для примитивного орграфа Г со 100 вершинами выполнены условия теоремы 2в, где t = 59, т = 52. Тогда t — т + 1 = 8, требуется определить

g(8, 52, 59). _______

Вычисляем: d = (8, 52) = 4, z = 4 • 11 = 44, тогда |(8, 52)| = |C(8, 52)| = 12/2 = 6. Имеем (8,52) = {0, 8,16, 24, 32, 40}, C(8,52) = {4,12, 20, 28, 36, 44}. Множество чисел из C(8, 52), кратных 236, пусто, значит, пусто множество S(236). Тогда по теореме 1

g(8, 52, 59) = max C(8, 52) + 3 • 59 = 44 + 177 = 221.

Отсюда по теореме 2в exp Г^ 221 + 2 • 93 — 1 = 406.

Точное сравнение полученной оценки с известными оценками затруднено наличием в ней слагаемого в виде числа Фробениуса, которое во многих случаях вносит основной вклад в величину оценки. Рассмотрим числовые примеры.

Для примитивного 100-вершинного орграфа из примера 3 оценки следующие:

— универсальная оценка Виландта [12] —9802;

— оценка, данная в [8, с. 227], — 2746 (длина кратчайшего цикла 27);

— оценка теоремы 1б [10] — 1758 (длины циклов 27 и 62);

— оценка примера 3 — 688.

Для примитивного 100-вершинного орграфа из примера 4 оценки следующие:

— универсальная оценка Виландта [12] —9802;

— оценка, данная в [8, с. 227], — 884 (длина кратчайшего цикла 8);

— оценка теоремы 1б [10] — 597 (длины циклов 8 и 59);

— оценка примера 4 — 406.

Анализ числовых примеров позволяет считать, что полученная оценка, как правило, значительно точнее других известных оценок.

ЛИТЕРАТУРА

1. Alfonsin J.R. The Diophantine Frobenius Problem. Oxford University Press, 2005.

2. Sylvester J. J. Problem 7382 // Mathematical Questions from the Educational Times. 1884. V. 37. P. 26.

3. Curtis F. On formulas for the Frobenius number of a numerical semigroup // Math. Scand. 1990. No. 67. P. 190-192.

4. Heap B. R. and Lynn M. S. On a linear Diophantine problem of Frobenius: an improved algorithm // Numer. Math. 1965. No 7. P. 226-231.

5. Bocker S. and Liptak Z. The “money changing problem” revisited: computing the Frobenius number in time O(ka1). Technical Report No. 2004-2, Univ. of Bielefeld, Technical Faculty, 2004.

6. Фомичев В. М. Эквивалентные по Фробениусу примитивные множества чисел // Прикладная дискретная математика. 2014. №1(23). С. 20-26.

7. Brauer A. On a problem of partitions // Am. J. Math. 1942. No. 64. P. 299-312.

8. Сачков В. Н., Тараканов В. Е. Комбинаторика неотрицательных матриц. М.: ТВП, 2000. 448 с.

9. Когос К. Г., Фомичев В. М. Положительные свойства неотрицательных матриц // Прикладная дискретная математика. 2012. №4(18). С. 116-121.

10. Фомичев В. М. Оценки экспонентов примитивных графов // Прикладная дискретная математика. 2011. №2(12). С. 101-112.

11. Берж К. Теория графов и её применение. М.: ИЛ, 1962. 320с.

12. Wielandt H. Unzerlegbare nicht negative Matrizen // Math. Zeitschr. 1950. N. 52. S. 642-648.