Научная статья на тему 'Критерий примитивности и оценки экспонентов множества орграфов с общим множеством контуров'

Критерий примитивности и оценки экспонентов множества орграфов с общим множеством контуров Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
108
6
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Прикладная дискретная математика. Приложение
Область наук
Ключевые слова
ГАМИЛЬТОНОВ КОНТУР / HAMILTONIAN CYCLE / ПОКАЗАТЕЛЬ ПРИЗНАКА / ПРИМИТИВНОСТЬ МНОЖЕСТВА ОРГРАФОВ / ЭКСПОНЕНТ ОРГРАФА / EXPONENT OF DIGRAPH / ЭКСПОНЕНТ МНОЖЕСТВА ОРГРАФОВ / LOOP-CHARACTER INDEX / PRIMITIVITY OF DIGRAPHS SET / EXPONENT OF DIGRAPHS SET

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Авезова Яна Эдуардовна

Пусть Г = {Г1,..., Гр} множество орграфов с множеством вершин V, орграф U(p) объединение орграфов Г1U... U Гр без учёта кратности дуг, p > 1, и множество простых контуров C = {C1,..., Cm}, m ^ 1, является общим для Г, то есть каждый орграф множества Г содержит все контуры множества C. Для случая C* U... U Cm = V, где C* множество вершин контура C, i = 1,..., m, получены критерии примитивности и оценки экспонентов множеств орграфов с общими контурами. При m > 1 множество орграфов Г с общим множеством контуров C примитивное, если и только если орграф U(p) примитивный, и ехрГ ^ ^ ((p 1)h + 1)expU(p), где h показатель Рьор-признака в полугруппе (Г(С)), Г(С) = C1 U... U Cm (наименьшее натуральное число h, при котором (T(C)) имеет петли во всех вершинах). При m = 1 критерий примитивности и оценка экспонента уточнены: если все орграфы множества Г имеют общий гамильтонов контур, то множество Г примитивное, если и только если НОД длин всех p простых контуров U(p) равен 1, и ехрГ ^ (2n 1)p + ^ (F(LT)+ dT ), T =1 где LT = {IT,..., im(T)} множество длин всех простых контуров орграфа Гт, IT <... < 1m(T) = n, dT = НОД^т), Lt/dT = №/dr,...,im(T)/dT}, F(Lt) = = dT$(LT/dT), $(LT/dT) число Фробениуса, т = 1,...,p.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Авезова Яна Эдуардовна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The criterion of primitivity and exponent bounds for a set of digraphs with common cycles

In the present paper, we determine criteria of primitivity and bounds on the exponents for sets of digraphs with common cycles. Let Г = {Г1,..., Гр} be a set of digraphs with vertex set V and U(p) be a union of digraphs Г1 U... U Гр with no multiple arcs, p > 1. Suppose C = {C\,..., Cm} is a set of elementary cycles. This set is called common for Г if every digraph of the set Г contains all the cycles of the set C. In the paper, we consider the case when C* U... U Cm = V where C* denotes the vertex set of the cycle C, i = 1,...,m. For a given digraph Г, the loop-character index of the semigroup (Г) is the smallest integer h such that there is a loop on every vertex of For m > 1, the set Г with common cycles set C is primitive if and only if the digraph U(p) is primitive; and if U(p) is primitive, then exp Г ((p 1)h + 1) exp U(p) where h denotes the loop-character index of the semigroup (Г((7)), Г((7) = C1 U... U Cm. For m =1, some improvements are obtained. Let all the digraphs of the set Г contain a common Hamiltonian cycle. Then Г is primitive if and only if the greatest common divisor of all the distinct cycle lengths in U(p) is equal to 1; and if Г is primitive, then exp Г (2n 1)p + £ (f(Lt) + dT lJ j where LT = {/J,..., l1 m(т)} is the set of all the cycle lengths in Гт, ordered so that lJ <... < l'J m(T) = n, dT = gcd(LT), LTjdT = {/JjdT,...,l1 m(T)jdT}, F(LT) = dT&(LTjdT), ФтjdT) denotes the Frobenius number, т = 1,...,p.

Текст научной работы на тему «Критерий примитивности и оценки экспонентов множества орграфов с общим множеством контуров»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

№11 ПРИЛОЖЕНИЕ Сентябрь 2018

Секция 5

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ, АВТОМАТОВ И ГРАФОВ

УДК 519.1 Б01 10.17223/2226308Х/11/31

КРИТЕРИЙ ПРИМИТИВНОСТИ И ОЦЕНКИ ЭКСПОНЕНТОВ МНОЖЕСТВА ОРГРАФОВ С ОБЩИМ МНОЖЕСТВОМ КОНТУРОВ

Я. Э. Авезова

Пусть Г = {Г1,..., Гр} — множество орграфов с множеством вершин V, орграф и(р) — объединение орграфов Г1 и... и Гр без учёта кратности дуг, р > 1, и множество простых контуров С = {С1,..., Ст}, т ^ 1, является общим для Г, то есть каждый орграф множества Г содержит все контуры множества (С. Для случая С* и ... и Ст = V, где С* — множество вершин контура С, г = 1,..., т, получены критерии примитивности и оценки экспонентов множеств орграфов с общими контурами. При т > 1 множество орграфов Г с общим множеством контуров С примитивное, если и только если орграф и(р) примитивный, и ехрГ ^ ^ ((р — 1)Ь + 1)ехри(р), где Ь — показатель Рьор-признака в полугруппе (Г((С)), Г(С) = С1 и ... и Ст (наименьшее натуральное число Ь, при котором (Г(С)) имеет петли во всех вершинах). При т = 1 критерий примитивности и оценка экспонента уточнены: если все орграфы множества Г имеют общий гамильто-

нов контур, то множество Г примитивное, если и только если НОД длин всех

р

простых контуров и(р) равен 1, и ехрГ ^ (2п — 1)р + ^ (^(ЬТ)+ (Т — ),

Т =1

где ЬТ = {¿Т,..., ¿Т(Т)} — множество длин всех простых контуров орграфа ГТ, 1Т < ... < 1т(Т) = п, ^Т = НОД(Ьт), Ь/(1т = {![/(т,...,1Тт(Т)/(1Т}, F(ЬТ) = = (ТФ(ЬТ/(Т), Ф(ЬТ/(Т) — число Фробениуса, т = 1,... ,р.

Ключевые слова: гамильтонов контур, показатель признака, примитивность множества орграфов, экспонент орграфа, экспонент множества орграфов.

Введение

Пусть Г = {Г1,..., Гр} —множество орграфов с множеством вершин V = {0,... , п — 1}, все дуги орграфа ГТ помечены числом т, т = 1,... ,р, р > 1. Множеству Г соответствует мультиграф Г(р) = Г1 и... и Гр, в котором любой путь длины 5 помечен непустым множеством слов длины 5. Орграф, полученный из Г(р) удалением всех меток и отождествлением кратных дуг, будем обозначать и(р). Если множество Г примитивное, то мультиграф Г(р) и орграф и(р) сильносвязные [1, 2]. Множество Г примитивное, если и только если при некотором натуральном в существует метка /ш1... /ш3 (слово длины в в алфавите {1,... ,р}), такая, что имеется путь из г в ] с этой меткой при любых г,] Е V [3]. Наименьшее такое в называется экспонентом множества Г и обозначается ехр Г. Примитивность множества орграфов — одно из обобщений понятия примитивности, которое является ключевым в матрично-графовом подходе к исследованию перемешивающих свойств итеративных блочных шифров и генераторов гаммы. Оценка экспонента произвольного множества орграфов является сложной задачей. В [3,4]

Прикладная теория кодирования, автоматов и графов

103

получены условия примитивности и оценки экспонентов некоторых частных классов множеств перемешивающих орграфов регистровых преобразований. Особенностью таких орграфов является наличие гамильтонова контура. В данной работе представлено обобщение результатов [3, 4], в частности получены критерий примитивности и универсальная оценка экспонента для множества орграфов с общим гамильтоновым контуром, а также критерий примитивности и оценка экспонента множества орграфов с общим множеством контуров.

1. Критерий примитивности множества орграфов

с общим гамильтоновым контуром

Введем обозначения: (X) —подполугруппа, порождённая подмножеством X мультипликативной полугруппы; если L = {li,... , lm} С N, то НОД(Х) = (li,... , lm) = d — наибольший общий делитель чисел li,... , lm; при d = 1: $(L) = Ф(1ь..., lm) —число Фробениуса, т. е. наибольшее целое число, не принадлежащее аддитивной полугруппе (L); при d > 1: L/d = {li/d,... , lm/d}, F(L) = dФ(L/d) (F(L) = Ф^) при d = 1).

Контур C называется общим контуром множества Г, если каждый орграф этого множества имеет контур C. Установлен критерий примитивности множества Г с общим гамильтоновым контуром.

Теорема 1. Пусть Г = {Г1,..., Гр} — множество орграфов с общим гамильтоновым контуром, p > 1. Множество Г примитивное, если и только если НОД длин всех простых контуров орграфа U(p) равен 1. Для экспонента примитивного множества орграфов Г верна оценка

exp Г ^ (2n - 1)p + £ (F(Lr) + dr - l[). (1)

т =1

2. Критерий примитивности множества орграфов

с общим множеством контуров

При исследовании примитивности множества орграфов с общим множеством контуров обратимся к понятию признака наличия петель в орграфе в вершинах из заданного множества [5]. Подмножество H полугруппы G, состоящее из всех элементов G, обладающих определённым свойством, называется признаком H (H-признаком) в полугруппе G [1, с. 178]. В мультипликативной полугруппе всех n-вершинных орграфов признаком (обозначается Pi00p) является, в частности, множество всех орграфов, имеющих петли в каждой вершине множества P, 0 = P С V. Показателем P^^-признака в циклической полугруппе (Г) называется наименьшее натуральное h, при котором Г" £ Pi00p. Оценки и точное значение показателя Pi00p-признака получены в [5].

В орграфе Г обозначим C* —множество вершин контура C; C7 = {C1,... , Cm} — множество простых контуров, m > 1; Г(С) = C1 U ... U Cm — часть орграфа Г.

Теорема 2. Пусть Г = {Г1,..., Гр} — множество орграфов с общим множеством контуров C = {C1,... , Cm}, p, m > 1, C*U.. .UCm = V. Множество Г примитивное, если и только если орграф U(p) примитивный. Для экспонента примитивного множества орграфов Г верна оценка

exp Г ^ ((p - 1)h +1) exp U(p), (2)

где h — показатель V100p-признака в полугруппе (Г(С)).

104

Прикладная дискретная математика. Приложение

Пример 1. На рис.1 представлено множество орграфов Г = {Гх, Г2} с общим множеством контуров при п = 6. В таблице приведены оценки ехрГ. На рис. 1, а Г(С) сильносвязный, на рис. 1, б Г(С) не является сильносвязным, в обоих случаях орграфы Гх и Г2 непримитивные. Множество Г примитивное по теоремам 1 и 2.

а б

Рис. 1. Множество Г = {Гх, Г2} и соответствующий орграф и(2)

Г Общее множество простых контуров С Н ехр и(2) ехр Г Оценка (1) Оценка (2)

Рис. 1, а {(0,1,..., 5)} 6 9 11 17 63

Рис. 1, б {(0,1, 2, 3), (0, 3), (1, 2), (4, 5)} 2 6 8 - 18

Выводы

Критерий примитивности множества орграфов с общим гамильтоновым контуром (теорема 1) уточняет критерий примитивности множества орграфов с общим множеством контуров (теорема 2). Если общее множество контуров орграфов содержит га-мильтонов контур, оценка (1) существенно улучшает оценку (2). Как видно из примера, оценка (2) для экспонента множества орграфов на рис. 1, а имеет значение ехрГ ^ 63, что существенно больше, чем по оценке (1).

Перспективным направлением дальнейшей работы является исследование условий примитивности и оценка экспонента множества орграфов с общим множеством контуров в случае, когда С{ и ... и С^ С V.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фомичев В. М. Методы дискретной математики в криптологии. М.: Диалог-МИФИ, 2010. 424 с.

2. Фомичев В. М., Мельников Д. А. Криптографические методы защиты информации. В 2 ч. Ч. 1. Математические аспекты. М.: Юрайт, 2016. 209 с.

3. Авезова Я. Э., Фомичев В. М. Условия примитивности и оценки экспонентов множеств ориентированных графов // Прикладная дискретная математика. 2017. №135. С. 89-101.

4. Авезова Я. Э. О примитивности некоторых множеств перемешивающих орграфов регистровых преобразований // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2017. № 10. С. 60-62.

5. Авезова Я. Э., Фомичев В. М. Об одном наследственном признаке в циклических полугруппах графов // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2016. №9. С. 105-109.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности
Открытая наука