ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ УПРОЩЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КУБИЧЕСКИЕ КОРНИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

6

Национальная ассоциация ученых (НАУ) # IV (9), 2015/ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ УПРОЩЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ,

СОДЕРЖАЩИХ КУБИЧЕСКИЕ КОРНИ

Аносов Виктор Петрович

кандидат физико-математических наук, доцент Новосибирский Государственный Педагогический Университет

г. Новосибирск

ONE METHOD OFSIMPLIFICATION OFSOME NUMERICAL EXPRESSIONS CONTAINING CUBIC ROOTS

Anosov Viktor Petrovich, Candidate of physical-mathematical sciences, assistant professor, Novosibirsk State Pedagogical University, Novosibirsk АННОТАЦИЯ

В работе приводится упрощение некоторых числовых выражений, содержащих кубические корни. ABSTRACT

Given in work is a method of simplification of some numerical expressions containing cubic roots. Ключевые слова: метод упрощения числовых выражений, кубические корни. Keywords: method of simplification of numerical expressions, cubic roots.

При упрощении числовых выражений, нам приходится сталкиваться с двумя взаимно обратными операциями, и, как правило, выполнение одной технически существенно сложнее, чем выполнение другой. С такой ситуацией мы часто встречаемся при возведении в степень и извлечении корня. Легко

(5 + ~ 3V2)2= 43 + 30\/2, (5 + ~ З-у/2)' = 395 + 279V2.

получить, что, и гораздо труднее прочесть эти равенства справа налево. При этом, как утверждается в

[1], если при решении задач встретились выражения уа-Г Ьл[с или У а + Ьл/с

(a, b — целые числа, с — натуральное число), то необходимо извлечь соответствующий корень, и это часто можно сделать! И как сказано в [1], если подобное извлечение возможно, то его можно найти методом подбора.

Остановимся на одной из задач из [1], решаемых этим методом. Задача состоит в упрощении выражения

Указание к решению этого примера из [1], приведённое на странице 213. Рассмотрим выражение

(а+ 6/5)

. Давая а и о натуральные значения, уже на

первом шаге получим ( 1 + ^ 5)J = v(2 + Vs) оТСЮда

(1-V5)3= у(2 - V5) _ понятно, что .Проводя еще не-

сколько очевидных операций, устанавливаем, что выражение (1) равно 1.

Но этот метод подбора малоэффективен при более сложных выражениях, чем выражение (1).

Мы предлагаем применять для данных случаев Те°рема L Пустъ дан° числ°в°е выражение

другой метод. Поясним его на примере. з / ; "р з i ; р

V о + Ьус + V а — byjc/ (7)

Обозначим выражение (1) через х, т. е.

х = У 2 + л/5 + У 2 - л/5,

(2)

и возведём обе части (2) в третью степень. Мы получим, что _ _ _ _

х3 = 4 + 3V2 + VI • V2 - VS(V2 + л/5 + У2 - VS).

(3)

Учитывая обозначение (2) и то, что УгТТ!■ ^2-/5 = -1 уравнение (3) можно записать в виде

х3 + 3х - 4 = 0. (4)

Очевидно, что х = 1 является корнем уравнения (4). Других действительных корней уравнение (4) не имеет, что следует из равносильности его дизъюнкции

х - 1 = 0, х2 + х + 4 = 0, (5)

второе уравнение которой корней не имеет. Итак, ответ х = 1.

Подобная же схема решения может быть применена для задач 8-10, 15-16, предложенных в [1,с.13].

Для иллюстрации простоты применения данного метода, предлагается сравнить первый и второй метод, решая задачу упрощения выражения

Далее обобщаем сказанное выше, предварительно введя следующие обозначения: < — множество рациональных чисел; <* = < \ {0};

<+ — множество положительных рациональных чисел; Ъ — множество целых чисел; Ъ* = Ъ \ {0}.

Национальная ассоциация ученых (НАУ) # IV (9), 2015 / ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

7

где а 6 О, Ь 6 (2*, с 6 и пусть произведение слагаемых из (7) к = Ь2С есть рациональное число и пусть (7) так же есть рациональное число, тогда (7) является единственным решением уравнения

х3 - 3кх + 2а = 0. (8)

Доказательство. Как и выше, обозначим выражение (7) через х, т. е.

Проводя те же рассуждения, что и при упрощении выражения (2), приходим к тому, что х должно удовлетворять уравнению (8). Осталось установить его единственность. Для этого надо проверить выполнение соответствующих условий теоремы 9.2 из [2] или условие (а) теоремы 3.3 из [3,с.528]. Это действие затруднений не вызывает.

Теорема 1 доказана.

Следующая теорема даёт возможность найти целые корни уравнения (8).

Теорема 2. Пусть х0 = тЕ Ж* является корнем уравнения (8) с целыми коэффициентами 3к, 2а. Тогда т является делителем 2а.

Доказательство этой теоремы не представляет особых трудностей.

В заключении отметим, что предложенный метод неоднократно апробирован на занятиях со студентами математического факультета НГПУ.

Список литературы

1. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по систематике. Решение задач. Учебное пособие для 10 кл. сред. шк., — М.: Просвещение, 1989. — Ст. 252.

2. Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа, Ч. I, кн. 1, — Новосибирск: Издательство Института Математики, 1999. — Ст. 454.

3. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. Учебное пособие для педагогических институтов, — М.: Высшая Школа, 1979. — Ст. 559.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ ПОДГОТОВКЕ

ЛИЦ, РАБОТАЮЩИХ В ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ

Аралова Наталья Игоревна

кандидат технических наук, ст. науч.сотр., Институт кибернетики НАН Украины, Киев MATHEMATICAL MODELS OF DECISION SUPPORT BY THE TRAINING IN EXTREME CONDITIONS

Aralova Natalia Igorevna, Candidate of Science, sr. Researcher, Institute of Cybernetics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev

АННОТАЦИЯ

Описывается программный комплекс для оценки функционального состояния спортсменов, занимающихся силовыми единоборствами, основанный на математической модели функциональной системы дыхания с оптимальным управлением. ABSTRACT

The software package to assess the functional state of athletes involved in combative sports, based on a mathematical model of the functional respiratory system with use of optimal control is described.

Ключевые слова: Функциональная система дыхания; математическая модель; оптимальное управление. Keywords: Functional respiratory system; mathematical model; optimal control.

Чтобы объективно оценить степень подготовленности борца к соревнованиям наряду с экспериментальными обследованиями широко применяются методы математического моделирования отдельных функциональных систем и целостного организма. Результаты исследования на математических моделях позволяют оценить функциональное состояние, технико - тактическую подготовленность, особенности физиологического и психофизиологического статусов, дополнить данные медицинских и физиологических обследований. В данной работе предлагается программный комплекс для оценки функционального состояния борца.

В силовых единоборствах спортсмен тратит значительное количество энергии, что приводит к развитию кислородной недостаточности в работающих мышцах и тканях (скелетных, сердечной и нервной, тканях мозга), которые могут существенно ограничить его работоспособность. Для оценки степени развития гипоксии в отдельных

группах тканей и в целостном организме предлагается использовать математическую модель функциональной системы дыхания (ФСД) [1, с. 63-70], описывающую транспорт и массообмен респираторных газов в различных звеньях системы дыхания - дыхательных путях, альвеолярном пространстве легких, крови легочных и тканевых капилляров, артериальной и смешанной венозной крови, тканевых резервуарах и органах (мозг, сердце, дыхательные и скелетные мышцы, другие ткани и органы) и компенсирующие воздействия механизмов саморегуляции (величина вентиляции легких, минутный объем системного и органных (тканевых) кровотоков), стабилизирующих функциональные состояния организма при заданном уровне его функциональной активности.

По существу, модель ФСД представляет собой управляемую динамическую систему, состояние которой определяется в каждый момент времени напряжениями кислорода и углекислоты в каждом структурном звене системы дыхания (альвеолах, крови и тканях). Управление